(1)利用問題的幾何特征，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，主要就是兼顧到它們的對(duì)稱性，盡量使圖形的對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)正好是坐標(biāo)系中的x軸，y軸(坐標(biāo)原點(diǎn))．(2)坐標(biāo)系的建立，要盡量使我們研究的曲線的方程簡(jiǎn)單．艦A在艦B正東，距離6km，艦C在艦B的北偏西30°，距離4km，它們準(zhǔn)備圍捕海洋動(dòng)物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，4s后，B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)，A于是發(fā)射麻醉炮彈．假設(shè)艦與動(dòng)物都是靜止的，動(dòng)物信號(hào)的傳播速度為1km/s.空氣阻力不計(jì)，求A炮擊的方位角．[解]如圖，以BA為x軸，BA的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2eq\r(3))．設(shè)動(dòng)物所在位置P(x，y)，P在BC中垂線上．∵kBC＝eq\f(2\r(3),－5＋3)＝－eq\r(3)，BC中點(diǎn)M(－4，eq\r(3))，∴BC的中垂線方程為y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x＋4)．即y＝eq\f(\r(3),3)(x＋7)．①∵|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝6，∴P在雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1②的右支上．由①②得P(8，5eq\r(3))，設(shè)∠xAP＝α，則tanα＝eq\r(3)，∴α＝60°.∴炮彈發(fā)射的方位角為北偏東30°.設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x（λ＞0），,y′＝μ·y（μ＞0）))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換．在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y))后，曲線C變?yōu)榍€(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲線C的方程，并判斷其形狀．[解]將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2y，))代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化簡(jiǎn)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋3)2＝eq\f(1,4).該曲線是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))為圓心，半徑為eq\f(1,2)的圓.(1)在給定的平面上的極坐標(biāo)系下，有一個(gè)二元方程F(ρ，θ)＝0，如果曲線C是由極坐標(biāo)(ρ，θ)滿足方程的所有點(diǎn)組成的，則稱此二元方程F(ρ，θ)＝0為曲線C的極坐標(biāo)方程．(2)由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，因此曲線的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程也有不同之處，一條曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)有多組表示形式，有些表示形式可能不滿足方程，這里要求至少有一組能滿足極坐標(biāo)方程．(3)求軌跡方程的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法，在極坐標(biāo)中仍然適用，注意求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，找出所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)ρ、θ的關(guān)系．△ABC底邊BC＝10，∠A＝eq\f(1,2)∠B，以B為極點(diǎn)，BC為極軸，求頂點(diǎn)A的軌跡的極坐標(biāo)方程．[解]如圖：令A(yù)(ρ，θ)，△ABC內(nèi)，設(shè)∠B＝θ，∠A＝eq\f(θ,2)，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得eq\f(ρ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(3θ,2))))＝eq\f(10,sin\f(θ,2))，化簡(jiǎn)，得A點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝10＋20cosθ.(1)互化的前提依舊是把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸并在兩種坐標(biāo)系下取相同的單位．(2)互化公式為eq\x(x＝ρcosθ，y＝ρsinθ)eq\x(ρ2＝x2＋y2tanθ＝\f(y,x)（x≠0）)(3)直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程可直接將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程通常將極坐標(biāo)方程化為ρcosθ，ρsinθ的整體形式，然后用x，y代替較為方便，常常兩端同乘以ρ即可達(dá)到目的，但要注意變形的等價(jià)性．把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出它們分別表示什么曲線．(1)ρ＝2acosθ(a＞0)；(2)ρ＝9(sinθ＋cosθ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5.[解](1)ρ＝2acosθ，兩邊同時(shí)乘以ρ得ρ2＝2aρcosθ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.是以(a，0)為圓心，以a為半徑的圓．(2)兩邊同時(shí)乘以ρ得ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(81,2)，是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(9,2)))為圓心，以eq\f(9\r(2),2)為半徑的圓．(3)將ρ＝4兩邊平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.是以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓．(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝5，是一條直線.(1)柱坐標(biāo)定義：設(shè)P是空間內(nèi)任意一點(diǎn)，它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)來(lái)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)．這時(shí)點(diǎn)P的位置可由有序數(shù)組(ρ，θ，z)表示，叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)．(2)球坐標(biāo)：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP|＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q.Ox軸逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)，所轉(zhuǎn)過的最小正角為θ，則P(r，φ，θ)為P點(diǎn)的球坐標(biāo)．如圖，在長(zhǎng)方體OABC-D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝3，A′C′與B′D′相交于點(diǎn)P，分別寫出點(diǎn)C，B′，P的柱坐標(biāo)．[解]C點(diǎn)的ρ、θ分別為|OC|及∠COA.B′點(diǎn)的ρ為|OB|＝eq\r(|OA|2＋|AB|2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)；θ＝∠BOA，而tan∠BOA＝eq\f(|AB|,|OA|)＝1.所以∠BOA＝eq\f(π,4).P點(diǎn)的ρ、θ分別為OE、∠AOE，|OE|＝eq\f(1,2)|OB|＝eq\f(3\r(2),2)，∠AOE＝∠AOB.所以C點(diǎn)的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,2)，0))；B′點(diǎn)的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(π,4)，3))；P點(diǎn)的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(π,4)，3)).如圖，長(zhǎng)方體OABC—D′A′B′C′中OA＝OC＝a，BB′＝eq\r(2)OA，對(duì)角線OB′與BD′相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)；OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上．試寫出點(diǎn)P的球坐標(biāo)．[解]r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，tan∠OB′B＝eq\f(|OB|,|BB′|)＝1，∴∠OB′B＝eq\f(π,4)，θ＝∠AOB＝eq\f(π,4).∴點(diǎn)P的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,4)，\f(π,4))).一、選擇題1．點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(－1,eq\r(3))，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2kπ＋\f(π,3)))，(k∈Z)解析：選Dρ2＝(－1)2＋(eq\r(3))2＝4，∴ρ＝2.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(1,2)，,sinθ＝\f(\r(3),2)，))∴θ＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.即點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(2，2kπ＋eq\f(2π,3))，(k∈Z)．2．化極坐標(biāo)方程ρ2cosθ－ρ＝0為直角坐標(biāo)方程為()A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1解析：選Cρ(ρcosθ－1)＝0，ρ＝eq\r(x2＋y2)＝0，或ρcosθ＝x＝1.3．極坐標(biāo)方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲線為()A．一條射線和一個(gè)圓B．兩條直線C．一條直線和一個(gè)圓D．一個(gè)圓解析：選Cρcosθ＝4sinθcosθ，cosθ＝0，或ρ＝4sinθ，(ρ2＝4ρsinθ)，則x＝0，或x2＋y2＝4y.4．(安徽高考)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cosθ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析：選B由ρ＝2cosθ，可得圓的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x軸的兩條切線方程分別為x＝0和x＝2，即所求垂直于極軸的兩條切線方程分別為θ＝eq\f(π,2)(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故選B.二、填空題5．點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)，8))，則它的直角坐標(biāo)為________．解析：∵x＝2coseq\f(π,3)＝1，y＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，z＝8.∴它的直角坐標(biāo)為(1，eq\r(3)，8)．答案：(1，eq\r(3)，8)6．點(diǎn)M的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(π,2)，\f(π,3)))，則它的直角坐標(biāo)為________．解析：x＝6·sineq\f(π,2)·coseq\f(π,3)＝3，y＝6sineq\f(π,2)sineq\f(π,3)＝3eq\r(3)，z＝6coseq\f(π,2)＝0，∴它的直角坐標(biāo)為(3，3eq\r(3)，0)．答案：(3，3eq\r(3)，0)7．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1，2)到直線ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距離為________．解析：直線的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0，d＝eq\f(|1＋2－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)8．在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(6，π)作圓ρ＝－4cosθ的切線，則切線長(zhǎng)為________．解析：圓ρ＝－4cosθ化為(x＋2)2＋y2＝4，點(diǎn)(6，π)化為(－6，0)，故切線長(zhǎng)為eq\r(42－22)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)三、解答題9．求由曲線4x2＋9y2＝36變成曲線x′2＋y′2＝1的伸縮變換．解：設(shè)變換為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x，（λ>0），,y′＝μ·y，（μ>0），))將其代入方程x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.又∵4x2＋9y2＝36，即eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ2＝\f(1,9)，,μ2＝\f(1,4).))又∵λ>0，μ>0，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(1,2).∴將曲線4x2＋9y2＝36變成曲線x′2＋y′2＝1的伸縮變換為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,2)y.))10.如圖，圓O1和圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點(diǎn))使得|PM|＝eq\r(2)|PN|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．解：如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩圓心的坐標(biāo)分別為O1(－2，0)，O2(2，0)．設(shè)P(x，y)，則|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1.同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1.∵|PM|＝eq\r(2)|PN|，即|PM|2＝2|PN|2.即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]．即x2－12x＋y2＋3＝0.即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33.11．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，1.Q1.Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，O為極點(diǎn)．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)若P在直線OQ上運(yùn)動(dòng)，且滿足eq\f(OQ,QP)＝eq\f(2,3)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．解：(1)如圖所示，設(shè)M(ρ，θ)為圓C上任意一點(diǎn)，如圖，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，根據(jù)余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·coseq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，化簡(jiǎn)整理，得ρ2－6·ρcos(θ－eq\f(π,6))＋8＝0為圓C的軌跡方程．(2)設(shè)Q(ρ1，θ1)，則有ρeq\o\al(2,1)－6·ρ1cos(θ1－eq\f(π,6))＋8＝0.①設(shè)P(ρ，θ)，則OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3?ρ1＝eq\f(2,5)ρ，又θ1＝θ，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ1＝\f(2,5)ρ，,θ1＝θ，))代入①得eq\f(4,25)ρ2－6·eq\f(2,5)ρcos(θ－eq\f(π,6))＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos(θ－eq\f(π,6))＋50＝0為P點(diǎn)的軌跡方程．(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．點(diǎn)M的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，則它的直角坐標(biāo)為()A．(eq\r(3)，1)B．(－1，eq\r(3))C．(1，eq\r(3))D．(－eq\r(3)，－1)解析：選Cx＝ρcosθ＝2coseq\f(π,3)＝1，y＝ρsinθ＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).∴它的直角坐標(biāo)為(1，eq\r(3))．2．原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合，則點(diǎn)(－2，－2eq\r(3))的極坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))B.eqB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(2π,3)))D.eqD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))解析：選B由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式：ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)．把點(diǎn)(－2，－2eq\r(3))代入即可得ρ＝4，tanθ＝eq\r(3)，因?yàn)辄c(diǎn)(－2，－2eq\r(3))在第三象限，所以θ＝eq\f(4π,3).3．可以將橢圓eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,8)＝1變?yōu)閳Ax2＋y2＝4的伸縮變換為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x′＝2x，,\r(2)y′＝y(tǒng)))B.eqB.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x′＝\r(5)x，,y′＝\r(2)y))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x′＝x，,\r(5)y′＝\r(2)x))D.eqD.q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(5)x′＝\r(2)x，,\r(2)y′＝y(tǒng)))解析：選D法一：將橢圓方程eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,8)＝1化為eq\f(2x2,5)＋eq\f(y2,2)＝4，∴(eq\f(\r(2)x,\r(5)))2＋(eq\f(y,\r(2)))2＝4.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(\r(2),\r(5))x，,y′＝\f(y,\r(2))))得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.∴伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(5)x′＝\r(2)x，,\r(2)y′＝y(tǒng)))為所求．法二：將x2＋y2＝4改寫為x′2＋y′2＝4，設(shè)滿足題意的伸縮變換為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x（λ>0），,y′＝μ·y（μ>0），))代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，即eq\f(λ2x2,4)＋eq\f(μ2y2,4)＝1.與橢圓eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,8)＝1比較系數(shù)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(λ2,4)＝\f(1,10)，,\f(μ2,4)＝\f(1,8)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(2),\r(5))，,μ＝\f(1,\r(2)).))∴伸縮變換為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(\r(2),\r(5))x，,y′＝\f(1,\r(2))y.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(5)x′＝\r(2)x，,\r(2)y′＝y(tǒng).))4．曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，化成直角坐標(biāo)方程為()A．x2＋(y＋2)2＝4B．x2＋(y－2)2＝4C．(x－2)2＋y2＝4D．(x＋2)2＋y2＝4解析：選B由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式y(tǒng)＝ρsinθ，即ρ2＝x2＋y2，可得x2＋y2＝4y，整理得：x2＋(y－2)2＝4.5．圓ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)的圓心坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))B.eqB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))D.eqD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))解析：選A法一：∵圓ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)＝2sin(θ＋eq\f(π,4))，可以看作由圓ρ＝2sinθ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,4)得到．而ρ＝2sinθ的圓心為(1，eq\f(π,2))，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,4)得到(1，eq\f(π,4))，∴ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)的圓心坐標(biāo)為(1，eq\f(π,4))．法二：圓ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－eq\r(2)x－eq\r(2)y＝0，∴(x－eq\f(\r(2),2))2＋(y－eq\f(\r(2),2))2＝1，圓心的直角坐標(biāo)為(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))，化為極坐標(biāo)為(1，eq\f(π,4))．6．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，π)，則過點(diǎn)P且垂直極軸的直線方程是()A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝－eq\f(1,cosθ)D．ρ＝eq\f(1,cosθ)解析：選C由點(diǎn)P的坐標(biāo)可知，過點(diǎn)P且垂直極軸的直線方程在直角坐標(biāo)中為x＝－1，即ρcosθ＝－1.7．曲線θ＝eq\f(2π,3)與ρ＝6sinθ的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為()B.eqB.eq\r(3)C．3eq\r(3)D．6解析：選C極坐標(biāo)方程θ＝eq\f(2π,3)，ρ＝6sinθ分別表示直線與圓，如圖所示，圓心C(3，eq\f(π,2))，∠AOC＝eq\f(π,6)，∴|AO|＝2×3×coseq\f(π,6)＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).8．點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7π,6)))關(guān)于直線θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4π,3)))B.eqB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))D.eqD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(7π,6)))解析：選A法一：點(diǎn)M(1，eq\f(7π,6))關(guān)于直線θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)的對(duì)稱點(diǎn)為(1，eq\f(7π,6)＋eq\f(π,6))，即(1，eq\f(4π,3))．法二：點(diǎn)M(1，eq\f(7π,6))的直角坐標(biāo)為(coseq\f(7π,6)，sineq\f(7π,6))＝(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，直線θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，即直線y＝x，點(diǎn)(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(－eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))，再化為極坐標(biāo)即(1，eq\f(4π,3))．9．圓ρ＝4cosθ的圓心到直線tanθ＝1的距離為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)解析：選B圓ρ＝4cosθ的圓心C(2，0)，如圖，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝eq\f(π,2)，∠COD＝eq\f(π,4)，∴|CD|＝eq\r(2).10．圓ρ＝r與圓ρ＝－2rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))(r>0)的公共弦所在直線的方程為()A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝rB．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝rD.eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝－r解析：選D圓ρ＝r的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝r2①圓ρ＝－2rsin(θ＋eq\f(π,4))＝－2r(sinθcoseq\f(π,4)＋cosθsineq\f(π,4))＝－eq\r(2)r(sinθ＋cosθ)．兩邊同乘以ρ得ρ2＝－eq\r(2)r(ρsinθ＋ρcosθ)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋eq\r(2)rx＋eq\r(2)ry＝0.②①－②整理得eq\r(2)(x＋y)＝－r，即為兩圓公共弦所在直線的普通方程．再將直線eq\r(2)(x＋y)＝－r化為極坐標(biāo)方程為eq\r(2)ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)11．直線xcosα＋ysinα＝0的極坐標(biāo)方程為________．解析：ρcosθcosα＋ρsinθsinα＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝eq\f(π,2).答案：θ＝eq\f(π,2)＋α12．在極坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)A(4，0)的直線l與曲線ρ2＝4ρcosθ－3有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為________．解析：將ρ2＝4ρcosθ－3化為直角坐標(biāo)方程得(x－2)2＋y2＝1，如右圖易得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).答案：[－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)]13．已知點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(2π,3)，\f(2π,3)))，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為________，球坐標(biāo)為________．解析：設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2π,3)cos\f(2π,3)＝－\f(π,3)，,y＝\f(2π,3)sin\f(2π,3)＝\f(\r(3)π,3)，,z＝\f(2π,3)，))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝\r(x2＋y2＋z2)，,cosφ＝\f(z,r)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝\f(2\r(2)π,3)，,cosφ＝\f(\r(2),2).))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝\f(2\r(2)π,3)，,φ＝\f(π,4).))∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－eq\f(π,3)，eq\f(\r(3)π,3)，eq\f(2π,3))，球坐標(biāo)為(eq\f(2\r(2)π,3)，eq\f(π,4)，eq\f(2π,3))．答案：(－eq\f(π,3)，eq\f(\r(3)π,3)，eq\f(2π,3))(eq\f(2\r(2)π,3)，eq\f(π,4)，eq\f(2π,3))14．(湖南高考)在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a＝________．解析：曲線C1的直角坐標(biāo)方程為eq\r(2)x＋y＝1，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝a2，C1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(\r(2),2)，0)，此點(diǎn)也在曲線C2上，代入解得a＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(12分)極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(π,3)))(m＞0)到直線ρcos(θ－eq\f(π,3))＝2的距離．解：將直線極坐標(biāo)方程化為ρ(cosθcoseq\f(π,3)＋sinθsineq\f(π,3))＝2，化為直角坐標(biāo)方程為x＋eq\r(3)y－4＝0，點(diǎn)(m，eq\f(π,3))的直角坐標(biāo)為(eq\f