6.3等比數(shù)列

考點1等比數(shù)列及其前n項和

1.(2023全國甲理,5,5分,中)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,若

a1=1,S5=5S3-4,則S4=()

A.B.C.15D.40

1565

88

答案C設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由題意可知q≠1.

∵53,∴,

S=5S-45=5·3-4

?1(1??)?1(1??)

∴q4-5q2+4=0,解1得??q2=4或1?q2?=1,

∴q=2,∴S4===15,故選C.

44

?1(1??)1?2

1??1?2

2.(2023天津,6,5分,易)已知{an}為等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,an+1=2Sn+2,則

a4的值為()

A.3B.18C.54D.152

答案C∵an+1=2Sn+2,∴an=2Sn-1+2(n≥2),

兩式相減得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),

又∵{an}是等比數(shù)列,∴{an}的公比為3.

而a2=2S1+2,∴3a1=2a1+2,∴a1=2,

n-13

∴an=2·3,∴a4=2×3=54,故選C.

3.(2021全國甲文,9,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若S2=4,S4=6,則S6=()

A.7B.8C.9D.10

答案A解題指導(dǎo):思路一:直接利用求和公式解關(guān)于首項和公比兩個基本量的方程組.思路二:根據(jù)等

比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(依次每n項和仍然成等比數(shù)列且Sn≠0)求解.

解析解法一(基本量法):設(shè){an}的首項為a1,公比為q(q≠1),

2

1

則?(1??)解得21

1??=4,2

4?1=,

?1(1??)?

1??=6,1??=8,

∴,故選

S6=6=7A.

?1(1??)1

1??=8×1?8

解法二(利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)):

由題意知S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,

22

則(S4-S2)=S2·(S6-S4),即(6-4)=4(S6-6),

解得S6=7,故選A.

4.(2021全國甲理,7,5分)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn.設(shè)甲:q>0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B當(dāng)q=1,a1<0時,等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=na1<0,可知{Sn}是單調(diào)遞減數(shù)列,因此甲不是乙的

充分條件;

n-1n-1

若{Sn}是遞增數(shù)列,則當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1>0,即a1q>0恒成立,而只有當(dāng)a1>0,q>0時,a1q>0恒成立,所以

可得q>0,因此甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的必要條件但不是充分條件.故選B.

*

方法總結(jié):研究數(shù)列{Sn}的單調(diào)性只需考慮Sn>Sn-1或Sn<Sn-1(n≥2)成立,不需討論對任意n,m∈N且n<m,有

Sn<Sm或Sn>Sm恒成立.

5.(2022全國乙,理8,文10,5分)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168,a2-a5=42,則a6=()

A.14B.12C.6D.3

答案D解法一:設(shè){an}的公比為q,

則

4

?2??5=?1(???)=42,①

2

1231

得?+?+?=?(1+?+(?))=1,68,2②,即()2,∴,代入①得,故5,

32=q1-q=4q-4q+1=02q-1=0q=a1=96a6=a1q=96×=3

①?(1??)?(1??)(1+?+?)111

22

②1+?+?=1+?+?4232

故選D.

解法二:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn.

由a2-a5=42,得q≠1.

3

由題意得?1(1??)

?3=1??=168,①

3

252125

得?=4,?即?4q=-?4q?+(11=?0,?∴)(2=q-412),②=0,得q=,代入①得a1=96,∴a6=a1q=96×=3,故選D.

①1115

②?(1??)22

6.(2013課標(biāo)Ⅰ文,6,5分)設(shè)首項為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則()

2

A.Sn=2an-1B.Sn=3an-23

C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an

答案D因為a1=1,公比q=,所以an=,Sn==31-=3-2=3-2an,故選D.

??1????1

22?1(1??)22

7.(2013課標(biāo)Ⅱ理,3,5分)等3比數(shù)列{an}的3前n項和為1?S?n,已知S3=a2+310a1,a5=9,則3a1=()

A.B.-C.D.-

1111

2

答案3C由已3知條件及9S3=a1+a2+a3得9a3=9a1,設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則q=9.

4

所以a5=9=a1·q=81a1,得a1=,故選C.

1

8.(2023北京,14,5分,中9)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史,戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類

似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位:銖)從小到大構(gòu)成

項數(shù)為9的數(shù)列{an},該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列,后7項成等比數(shù)列,且

a1=1,a5=12,a9=192,則a7=;數(shù)列{an}所有項的和為.

答案48;384

解析數(shù)列{an}共有9項,前3項成等差數(shù)列,設(shè)公差為d(d>0),后7項成等比數(shù)列,設(shè)公

2266

比為q(q>1),則a2=1+d,a3=1+2d,a5=a3·q=(1+2d)·q=12①,a9=a3·q=(1+2d)·q=192②,

由①②解得q=2,d=1,則

44

73,129

a=a·q=3×2=48a+a+…+a=1+2+3+6+12+24+48+96+192=1+2+7=384.

3(1?2)

1?2

9.(2023全國甲文,13,5分,易)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若8S6=7S3,則{an}的公

比為.

答案-

1

2

解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,q≠1,

∵63,∴,

8S=7S8×6=7×3

?1(1??)?1(1??)

∴8(1-q6)=7(1-q3)1,?即?8(1+q31)?=?7,

解得q=-.

1

2

10.(2019課標(biāo)Ⅰ文,14,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,S3=,則S4=.

3

4

答案

5

解析本8題主要考查等比數(shù)列的有關(guān)概念;考查學(xué)生的運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.

設(shè)公比為q(q≠0),

2

則S3=a1+a2+a3=1+q+q=,

3

4

解得q=-,

1

32

∴a4=a1q=-,

1

8

∴S4=S3+a4=-=.

315

11.(2017課4標(biāo)8Ⅲ8理,14,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.

答案-8

解析本題考查等比數(shù)列的通項.

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,

由題意得

?1+?1q=?1,

2

?1??1?=?3,

解得

?1=1,

3

∴a4=a1?q=-?8.2,

12.(2015課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和.若Sn=126,則n=.

答案6

n+1

解析由已知得{an}為等比數(shù)列,公比q=2,由首項a1=2,Sn=126得=126,解得2=128,∴n=6.

?

2(1?2)

評析本題主要考查等比數(shù)列的定義及前n項和公式,屬容易題,注1意?運2算要準(zhǔn)確哦!

13.(2015湖南理,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則

an=.

答案3n-1

222

解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),依題意得a2=a1·q=q,a3=a1q=q,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q.又

2n-1n-1

3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1q=3.

2

14.(2013遼寧理,14,5分)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.若a1,a3是方程x-5x+4=0的

兩個根,則S6=.

答案63

2

解析a1,a3是方程x-5x+4=0的兩個根且{an}是遞增數(shù)列,故a3=4,a1=1,故公比q=2,S6==63.

6

?1(1??)

評析本題考查了等比數(shù)列的求和公式.數(shù)列{an}遞增是解題的關(guān)鍵,沒考慮到q>0是失分1的??主因.

15.(2012課標(biāo)文,14,5分)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3+3S2=0,則公比q=.

答案-2

2

解析由S3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q=0,解得q=-2.

評析本題考查了等比數(shù)列的運算,直接利用定義求解可達到事半功倍的效果.

16.(2024全國甲理,18,12分,易)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知4Sn=3an+4.

(1)求{an}的通項公式;

n-1

(2)設(shè)bn=(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

解析

18

(1)∵4Sn=3an+4①,

∴當(dāng)n=1時,4S1=4a1=3a1+4,得a1=4,

當(dāng)n≥2時,4Sn-1=3an-1+4②,

由①-②得,4an=3an-3an-1,

∴an=-3an-1,

∴數(shù)列{an}是首項為4,公比為-3的等比數(shù)列.

n-1

∴an=4×(-3).

n-1n-1

(2)由(1)得bn=(-1)nan=4n·3,

012n-2n-1

∴Tn=4×3+4×2×3+4×3×3+…+4(n-1)·3+4n·3③,

123n-1n

3Tn=4×3+4×2×3+4×3×3+…+4(n-1)·3+4n·3④,

12n-1n

③-④得-2Tn=4+4×3+4×3+…+4×3-4n·3,

n

∴-2Tn=4+4·-4n·3,

n-1

3(1?3)

nn

∴-2Tn=4+(2-4n)1·?33-6=-2+(2-4n)3,

n

∴Tn=1+(2n-1)3.

16.(2020課標(biāo)Ⅰ理,17,12分)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項.

(1)求{an}的公比;

(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項和.

2

解析(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q.

2

所以q+q-2=0,解得q1=1(舍去),q2=-2.

故{an}的公比為-2.

n-1

(2)記Sn為{nan}的前n項和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2).

n-1

所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2),

2n-1n

-2Sn=-2+2×(-2)+…+(n-1)×(-2)+n×(-2).

2n-1n

可得3Sn=1+(-2)+(-2)+…+(-2)-n×(-2)

()n

=?-n×-2.

1?(?2)

3

所以

Sn=?.

1(3?+1)(?2)

9?9

17.(2020新高考Ⅰ,18,12分)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3=8.

(1)求{an}的通項公式;

*

(2)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N)中的項的個數(shù),求數(shù)列{bm}的前100項和S100.

32

解析(1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)得a1q+a1q=20,a1q=8.

解得q1=(舍去),q2=2.由題設(shè)得a1=2.

1

2n

所以{an}的通項公式為an=2.

nn+1

(2)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2≤m<2時,bm=n.

所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)

=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)

=480.

思路分析(1)設(shè)出公比q,由題設(shè)條件求得a1和q,利用等比數(shù)列的通項公式得出結(jié)果.

(2)由題設(shè)及(1)推導(dǎo)出bm,再計算數(shù)列{bm}的前100項和,即先給m賦值,推導(dǎo)出規(guī)律,再進行運算,得到S100

的值.

18.(2022新高考Ⅱ,17,10分)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)證明:a1=b1;

(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個數(shù).

解析(1)證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

由a2-b2=a3-b3得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1,①

由a3-b3=b4-a4得a1+2d-4b1=8b1-a1-3d,故2a1+5d=12b1,②

由①②得2a1+10b1=12b1,即a1=b1.

k-1k-1

(2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,1≤m≤500得b1×2=2a1+(m-1)d,即a1×2=2a1+2(m-1)a1,其中a1≠0,

∴2k-1=2m,即2k-2=m,∴1≤2k-2≤500,∴0≤k-2≤8,

∴2≤k≤10.

故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素個數(shù)為9個.

19.(2018課標(biāo)Ⅰ文,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.

??

?

(1)求b1,b2,b3;

(2)判斷數(shù)列{bn}是不是等比數(shù)列,并說明理由;

(3)求{an}的通項公式.

解析(1)由條件可得an+1=an.

2(?+1)

將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,?所以a2=4.

將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.

從而b1=1,b2=2,b3=4.

(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得=,即bn+1=2bn,

??+12??

又b1=1,所以?{+b1n}是?首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

n-1n-1

(3)由(2)可得=2,所以an=n·2.

??

方法規(guī)律等比?數(shù)列的判定方法:

證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項法,通項公式法及前n項和公式法只用于選擇題、填空題中

的判定.若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.

20.(2014課標(biāo)Ⅱ理,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

(1)證明是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;

1

??+

2

(2)證明++…+<.

1113

?1?2??2

解析(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.

11

??+

22

又a1+=,所以是首項為,公比為3的等比數(shù)列.

1313

??+

2222

an+=,因此{an}的通項公式為an=.

??

133?1

222

(2)由(1)知=.

12

?

??3?1

因為當(dāng)n≥1時,3n-1≥2×3n-1,所以≤.

11

???1

3?12×3

于是++…+≤1++…+=<.

11111313

??11??

?1?2??33232

所以++…+<.

1113

評析?1本?題2考查??了2等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮求和是本題的難點.

21.(2011課標(biāo)文,17,12分)已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.

11

33

(1)Sn為{an}的前n項和,證明:Sn=;

1???

(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求2數(shù)列{bn}的通項公式.

解析(1)因為an=×=,Sn==,

??1111

11131?3?1?3?

?1

3331?32

所以Sn=.

1???

(2)bn=log32a1+log3a2+…+log3an

=-(1+2+…+n)=-.

?(?+1)

2

所以{bn}的通項公式為bn=-.

?(?+1)

評析本題考查等差數(shù)列、等比2數(shù)列的基礎(chǔ)知識,對數(shù)運算性質(zhì),要求考生有較清晰的推理思路和運算目標(biāo),

但難度并不大.屬中檔題.

22.(2016課標(biāo)Ⅲ理,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.

(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;

(2)若S5=,求λ.

31

解析(1)3由2題意得a1=S1=1+λa1,

故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分)

1

1??

由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.

??+1?

????1

因此{an}是首項為,公比為的等比數(shù)列,于是an=.(6分)

??1

1?1?

1????11????1

(2)由(1)得Sn=1-.

?

?

??1

由S5=得1-=,即=.

55

31?31?1

解得λ3=2-1.(12分??)132??132

思路分析(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比

是否為一常數(shù),其中說明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結(jié)論解方程求出λ.

考點2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

1.(2023新課標(biāo)Ⅱ,8,5分,中)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則

S8=()

A.120B.85C.-85D.-120

答案C解法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,

當(dāng)q=1時,S4=4a1=-5,解得a1=-,因為S6=6a1=-,21S2=21×2a1=-,所以S6≠21S2,故q≠1.

515105

422

4

1

因為?(1??)所以2

1??=?5,

62??1=41,

?1(1??)?1(1??)

1??=3.

1??=21·1??,

4

所以8(),故選

S=8=×1-4=-85C.

?1(1??)1

1??3

解法二:由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……為等比數(shù)列,可得

S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,……為等比數(shù)列,

22

則(S4-S2)=S2·(S6-S4),即(-5-S2)=S2·(21S2+5),化簡得4-S2-5=0,即(4S2-5)(S2+1)=0,

2

2

所以S2=或S2=-1.?

5

4

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,

2

當(dāng)S2=時,==q=-5,無實數(shù)解,舍去,故S2=-1,

5?4??2?3+?4

4?2?1+?2

所以S4-S2=-4,S6-S4=-16,所以S8-S6=-64.

又因為S6=-21,所以S8=-85,故選C.

2.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則()

A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4

C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4

答案B本題考查等比數(shù)列的概念和性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值,不等式的性質(zhì)和分類討論思

想.

設(shè)f(x)=lnx-x(x>0),則f'(x)=-1=,

11??

令f'(x)>0,得0<x<1,令f'(x)<?0,得x?>1,

∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù),

∴f(x)≤f(1)=-1,即有l(wèi)nx≤x-1.

從而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,

∴a4<0,又a1>1,∴公比q<0.

若q=-1,則a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)=lna1>0,矛盾.

232

若q<-1,則a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q+q)=a1(1+q)(1+q)<0,而a2+a3=a2(1+q)=a1q(1+q)>0,∴l(xiāng)n(a1+a2+a3)>lna1>0,

也矛盾.∴-1<q<0.

2

從而=q<1,∵a1>0,∴a1>a3.

?3

1

?2

同理,∵=q<1,a2<0,∴a4>a2.選B.

?4

222

思路分析?(1)由題中的選項可知要判斷0<q<1,還是q>1.

(2)由條件可知要利用不等式lnx≤x-1(x>0),得a4<0,進而得q<0.

(3)直接求q的取值范圍較難,轉(zhuǎn)化為判斷q=-1和q<-1時,等式a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)左、右兩邊的正負,

進而得出矛盾,從而得-1<q<0.

(4)注意a1>0,而a2<0,利用-1<q<0得結(jié)論.

3.(2015課標(biāo)Ⅱ文,9,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2=()

1

4

A.2B.1C.D.

11

282

答案C設(shè){an}的公比為q,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a3a5=,∴=4(a4-1),即(a4-2)=0,得a4=2,

22

44

3??

則q===8,得q=2,

?42

11

?4

則a2=a1q=×2=,故選C.

11

4.(2014大4綱全2國文,8,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()

A.31B.32C.63D.64

2