[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.會利用平面法向量證明兩個(gè)平面垂直.2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直(線線、線面、面面)關(guān)系.知識點(diǎn)空間垂直關(guān)系的向量表示空間中的垂直關(guān)系線線垂直線面垂直面面垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?a⊥b?a·b＝0設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R設(shè)平面α的法向量為u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?u⊥v?u·v＝0思考直線的方向向量和平面的法向量在確定直線、平面的位置時(shí)各起到什么作用？答案(1)①方向向量的選?。涸谥本€上任取兩點(diǎn)P，Q，可得到直線的一個(gè)方向向量eq\o(PQ,\s\up6(→)).②方向向量的不惟一性：直線的方向向量不是惟一的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量，解題時(shí)，可以選取坐標(biāo)最簡的方向向量.③非零性：直線的方向向量是非零向量.(2)對平面法向量的兩點(diǎn)說明①平面法向量的選取：平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的所有向量.即只需作一條垂直于平面的直線，選取該直線的方向向量.②平面法向量的不惟一性：一個(gè)平面的法向量不是惟一的，一個(gè)平面的所有法向量共線.在應(yīng)用時(shí)，可以根據(jù)需要進(jìn)行選取.題型一證明線線垂直問題例1如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn).求證：EF⊥BC.證明由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，eq\r(3))，D(eq\r(3)，－1,0)，C(0,2,0)，因而E(0，eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，F(xiàn)(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，0)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，0，－eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.從而eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以EF⊥BC.反思與感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足為A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).求證AE⊥CD.證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,1).∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形.∴C(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，0)，E(eq\f(1,4)，eq\f(\r(3),4)，eq\f(1,2)).設(shè)D(0，y,0)，由AC⊥CD得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，即y＝eq\f(2\r(3),3)，則D(0，eq\f(2\r(3),3)，0)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),6)，0).又eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\f(1,4)，eq\f(\r(3),4)，eq\f(1,2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),6)×eq\f(\r(3),4)＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即AE⊥CD.

題型二證明線面垂直問題例2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF⊥平面B1AC.證明方法一設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1,－1,1).eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0).而eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1,－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1平面B1AC，AC平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.方法二設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b.∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq\f(1,2)(b2－a2＋c·a＋c·b)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1平面B1AC，B1C平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.反思與感悟本類型題目用向量法證明的關(guān)鍵步驟是建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量或用基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算.

跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn).求證：A1O⊥平面GBD.證明方法一如圖取D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，∴eq\o(OA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(BG,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，而eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝1－1＋0＝0，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(BG,\s\up6(→))＝－2＋0＋2＝0.∴eq\o(OA1,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BG,\s\up6(→))，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.方法二同方法一建系后，設(shè)面GBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(BG,\s\up6(→))·n＝0,\o(BD,\s\up6(→))·n＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋z＝0,－2x－2y＝0))，令x＝1得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一個(gè)法向量為(1，－1,2)，顯然eq\o(A1O,\s\up6(→))＝(－1,1，－2)＝－n，∴eq\o(A1O,\s\up6(→))∥n，∴A1O⊥平面GBD.題型三證明面面垂直例3如圖，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn).求證：平面BDE⊥平面ABCD.證明設(shè)AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，連接AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，則點(diǎn)O的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0).因?yàn)閑q\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(0,0，eq\f(1,2))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up6(→))，所以eq\o(OE,\s\up6(→))∥eq\o(AS,\s\up6(→)).又因?yàn)锳S⊥平面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD，又OE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.反思與感悟利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直.跟蹤訓(xùn)練3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.解由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，eq\f(1,2))，故eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－2,2,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2,0，eq\f(1,2)).設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AA1,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝0，,－2x＋2y＝0.))令x＝1，得y＝1，故n＝(1,1,0).設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(AC1,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋2b＋c＝0，,－2a＋\f(1,2)c＝0.))令c＝4，得a＝1，b＝－1.故n2＝(1，－1,4).因?yàn)閚1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.1.已知平面α的法向量為a＝(1，2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于()A.5B.4C.－4D.－5答案D解析∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.2.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m等于()A.－2B.2C.6D.10答案D解析∵l1⊥l2，∴a·b＝0，∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10.3.若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個(gè)平面的法向量的是()A.n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B.n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C.n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D.n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)答案A解析∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，∴n1·n2＝0，故選A.4.若直線l的方向向量為a＝(2,0,1)，平面α的法向量為n＝(－4,0，－2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為()A.l與α斜交 B.lαC.l∥α D.l⊥α答案D解析∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，