[對應(yīng)學(xué)生用書P16]近兩年高考中，由于各地的要求不同，所以試題的呈現(xiàn)形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，射影定理，平行線分線段成比例定理；一般試題難度不大，解題中要注意觀察圖形特點(diǎn)，巧添輔助線對解題可起到事半功倍的效果．在使用平行線分線段成比例定理及其推論時，一定要搞清有關(guān)線段或邊的對應(yīng)關(guān)系，切忌搞錯比例關(guān)系．1.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________．解析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝eq\f(1,2)(CD＋AB)，∴EF是梯形ABCD的中位線，則梯形ABFE與梯形EFCD有相同的高，設(shè)為h，于是兩梯形的面積比為eq\f(1,2)(3＋4)h∶eq\f(1,2)(2＋3)h＝7∶5.答案：7∶52.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，則eq\f(CE,EO)的值為________．解析：連接AC，BC，則∠ACB＝90°.設(shè)AD＝2，則AB＝6，于是BD＝4，OD＝1.如圖，由射影定理得CD2＝AD·BD＝8，則CD＝2eq\r(2).在Rt△OCD中，DE＝eq\f(OD·CD,OC)＝eq\f(1×2\r(2),3)＝eq\f(2\r(2),3).則CE＝eq\r(DC2－DE2)＝eq\r(8－\f(8,9))＝eq\f(8,3)，EO＝OC－CE＝3－eq\f(8,3)＝eq\f(1,3).因此eq\f(CE,EO)＝eq\f(\f(8,3),\f(1,3))＝8.答案：8[對應(yīng)學(xué)生用書P16]平行線分線段相關(guān)定理平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理，其實(shí)質(zhì)是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現(xiàn)的規(guī)律，主要用來證明比例式成立、證明直線平行、計(jì)算線段的長度，也可以作為計(jì)算某些圖形的周長或面積的重要方法，其中，平行線等分線段定理是線段的比為1的特例．[例1]如圖，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.求證：EG∥BH.[證明]∵DE∥BC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AB).∵DH∥GC，∴eq\f(AH,AC)＝eq\f(AD,AG).∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG.∴eq\f(AE,AH)＝eq\f(AG,AB).∴EG∥BH.[例2]如圖，直線l分別交△ABC的邊BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AF＝eq\f(1,3)AB，BD＝eq\f(5,2)BC，試求eq\f(EC,AE).兩式相乘，得eq\f(BF,CN)·eq\f(CN,AF)＝eq\f(DB,DC)·eq\f(EC,AE)，即eq\f(EC,AE)＝eq\f(BF,AF)·eq\f(DC,DB).又由AF＝eq\f(1,3)AB，得eq\f(BF,AF)＝2，由BD＝eq\f(5,2)BC，得eq\f(DC,DB)＝eq\f(3,5)，所以eq\f(EC,AE)＝2×eq\f(3,5)＝eq\f(6,5).相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)揭示了形狀相同，大小不一定相等的兩個三角形之間的邊、角關(guān)系．其應(yīng)用非常廣泛，涉及到多種題型，可用來計(jì)算線段、角的大小，也可用來證明線段、角之間的關(guān)系，還可以證明直線之間的位置關(guān)系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情況．[例3]如圖所示，AD、CF是△ABC的兩條高線，在AB上取一點(diǎn)P，使AP＝AD，再從P點(diǎn)引BC的平行線與AC交于點(diǎn)Q.求證：PQ＝CF.[證明]∵AD、CF是△ABC的兩條高線，∴∠ADB＝∠BFC＝90°.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.∴eq\f(AD,CF)＝eq\f(AB,CB).又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.∴eq\f(PQ,BC)＝eq\f(AP,AB).∴eq\f(AP,PQ)＝eq\f(AB,BC).∴eq\f(AD,CF)＝eq\f(AP,PQ).又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.[例4]四邊形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于點(diǎn)E，DE＝2AE，若△CED的面積為1，求四邊形ABCE的面積．[解]如圖，延長CB、DA交于點(diǎn)F，又CE平分∠BCD，CE⊥AD.∴△FCD為等腰三角形，E為FD的中點(diǎn)．∴S△FCD＝eq\f(1,2)FD·CE＝eq\f(1,2)×2ED·CE＝2S△CED＝2，EF＝ED＝2AE.∴FA＝AE＝eq\f(1,4)FD.又∵AB∥CD，∴△FBA∽△FCD.∴eq\f(S△FBA,S△FCD)＝(eq\f(FA,FD))2＝(eq\f(1,4))2＝eq\f(1,16).∴S△FBA＝eq\f(1,16)×S△FCD＝eq\f(1,8).∴S四邊形ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).射影定理射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影，斜邊及兩直角邊之間的比例關(guān)系，此定理常作為計(jì)算與證明的依據(jù)，在運(yùn)用射影定理時，要特別注意弄清射影與直角邊的對應(yīng)關(guān)系，分清比例中項(xiàng)，否則在做題中極易出錯．[例5]如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F.求證：CE2＝BD·DF.[證明]∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(AB,AC).同理：CD∥EF，∴eq\f(CE,DF)＝eq\f(AC,AD).∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB.∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC).∴eq\f(CE,DF)＝eq\f(BD,CE).∴CE2＝BD·DF.[對應(yīng)學(xué)生用書P41](時間：90分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是()A．AB＝2A′B′ B．3A′B′＝B′C′C．BC＝B′C′ D．AB＝A′B′解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(A′B′,B′C′)＝eq\f(1,3).∴3A′B′＝B′C′.答案：B2.如圖，∠ACB＝90°.CD⊥AB于D，AD＝3、CD＝2，則AC∶BC的值是()A．3∶2 B．9∶4C.eq\r(3)∶eq\r(2) D.eq\r(2)∶eq\r(3)解析：Rt△ACD∽Rt△CBD，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(3,2).答案：A3．在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，若BD＝3cm，AC＝2cm，則CD和BC的長分別為()A.eq\r(3)cm和3eq\r(2)cmB．1cm和eq\r(3)cmC．1cm和3eq\r(2)cmD.eq\r(3)cm和2eq\r(3)cm解析：設(shè)AD＝x，則由射影定理得x(x＋3)＝4，即x＝1(負(fù)值舍去)，則CD＝eq\r(AD·BD)＝eq\r(3)(cm)，BC＝eq\r(BD·AB)＝eq\r(33＋1)＝2eq\r(3)(cm)．答案：D4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，則DE的值為()A.eq\f(2\r(21),5) B.eq\f(\r(21),5)C.eq\f(3\r(21),5) D.eq\f(2\r(12),5)解析：AC2＝CD·BC，即52＝2×BC，∴BC＝eq\f(25,2).∴AB＝eq\r(BC2－AC2)＝eq\r(\f(252,4)－52)＝eq\f(5\r(21),2).∵eq\f(DE,AB)＝eq\f(DC,BC)，∴DE＝eq\f(2\r(21),5).答案：A5．如圖所示，給出下列條件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③eq\f(AC,CD)＝eq\f(AB,BC)；④AC2＝AD·AB.其中單獨(dú)能夠判定△ABC∽△ACD的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：①由∠B＝∠ACD，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個三角形相似；②由∠ADC＝∠ACB，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個三角形相似；③eq\f(AC,CD)＝eq\f(AB,BC)，而夾角不一定相等，所以兩個三角形不一定相似；④AC2＝AD·AB可得eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，再加上公共角∠A＝∠A，可得兩個三角形相似．答案：C6.如圖，DE∥BC，S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，則AD∶DB的值為()A．1∶4 B．1∶3C．1∶2 D．1∶5解析：由S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴(eq\f(AD,AB))2＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,9).∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AD,DB)＝eq\f(1,2).答案：C7．△ABC和△DEF滿足下列條件，其中不一定使△ABC與△DEF相似的是()A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝eq\r(a)，EF＝eq\r(b)，DF＝eq\r(c)D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°解析：A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，∴△ABC∽△DEF；B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；∴△ABC∽△EFD；D中eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF)，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF；而C中不能保證三邊對應(yīng)成比例．答案：C8．在Rt△ACB中，∠C＝90°.CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，則tan∠BCD的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．2解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶4.令BD＝x，則AD＝4x(x>0)，∴CD2＝4x2，∴CD＝2x，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(x,2x)＝eq\f(1,2).答案：C9.在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE∶CE＝2∶3，連接AE、BE、BD且AE、BD交于點(diǎn)F，則S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝()A．4∶10∶25 B．4∶9∶25C．2∶3∶5 D．2∶5∶25解析：∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF.∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5).∴eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(2,5))2＝eq\f(4,25).又△DEF和△BEF等高．∴eq\f(S△DEF,S△EBF)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5)＝eq\f(4,10).答案：A10．如圖，已知a∥b，eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,5)，eq\f(BC,CD)＝3.則AE∶EC＝()A.eq\f(12,5) B.eq\f(5,12)C.eq\f(7,5) D.eq\f(5,7)解析：∵a∥b，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AG,CD)，eq\f(AF,BF)＝eq\f(AG,BD).∵eq\f(BC,CD)＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.又eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(AG,BD)＝eq\f(AF,BF)＝eq\f(3,5).∴eq\f(AG,4CD)＝eq\f(3,5).∴eq\f(AG,CD)＝eq\f(12,5).∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AG,CD)＝eq\f(12,5).答案：A二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)11．如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周長∶△ABC的周長等于________．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵BD＝2AD，∴AB＝3AD.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).∴eq\f(△ADE的周長,△ABC的周長)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，則BF＝________.解析：∵DE∥BC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴BC＝DE·eq\f(AC,AE)＝6×eq\f(5,3)＝10，又DF∥AC，∴DE＝FC＝6.∴BF＝BC－FC＝4.答案：413．如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)O，直線AO與DE、BC分別交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，則NE∶BM＝________，AE∶EC＝________.解析：eq\f(OD,OC)＝eq\f(DN,MC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(OE,OB)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4).∴eq\f(NE,BM)＝eq\f(OE,OB)＝eq\f(1,4).又eq\f(DE,BC)＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,4).∴AE∶EC＝1∶3.答案：1∶41∶314．陽光通過窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)(如圖所示)，已知亮區(qū)一邊到窗下的墻角距離CE＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，那么窗口底邊離地面的高BC等于________m.解析：∵BD∥AE，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(CD,DE).∴BC＝eq\f(AB·CD,DE).∵AB＝1.8m，DE＝2.7m，CE＝8.7m，∴CD＝CE－DE＝8.7－2.7＝6(m)．∴BC＝eq\f(1.8×6,2.7)＝4(m)．答案：4三、解答題(本大題共4個小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)如圖，△ABC中，BC的中點(diǎn)為D，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.求證：MN∥BC.證明：∵M(jìn)D平分∠ADB，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AM,MB).∵ND平分∠ADC，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(AN,NC).∵BD＝DC，∴eq\f(AM,MB)＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(AN,NC).∴MN∥BC.16．(本小題滿分12分)如圖，已知：△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F，求證：BP2＝PE·PF.證明：連接PC，∵AB＝AC，AD是中線，∴AD是△ABC的對稱軸，故PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP，故∠PCE＝∠PFC，∵∠CPE＝∠FPC，∴△EPC∽△CPF，故eq\f(PC,PF)＝eq\f(PE,PC)，即PC2＝PE·PF，∴BP2＝PE·PF.17．(本小題滿分12分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是BD上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線分別交AB、DC于E、F，交DA、BC的延長線于G、H.(1)求證：PE·PG＝PF·PH；(2)當(dāng)過P點(diǎn)的直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到F、H、C重合時，請判斷PE、PC、PG的關(guān)系，并給出證明．解：(1)證明：∵AB∥CD，∴eq\f(PE,PF)＝eq\f(