[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系.2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小.知識(shí)點(diǎn)一不等關(guān)系與不等式1.不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中，不等關(guān)系主要有以下幾種類型：(1)用不等式表示常量與常量之間的不等關(guān)系，如“神舟”十號(hào)飛船的質(zhì)量大于“嫦娥”探月器的質(zhì)量；(2)用不等式表示變量與常量之間的不等關(guān)系，如兒童的身高小于或等于1.4m；(3)用不等式表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系，如當(dāng)x＞a時(shí)，銷售收入f(x)大于成本g(x)；(4)用不等式表示一組變量之間的不等關(guān)系，如購置課桌的費(fèi)用60x與購置椅子的費(fèi)用30y的和不超過2000元.2.不等式(1)不等式的定義用數(shù)學(xué)符號(hào)“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式.(2)關(guān)于a≥b和a≤b的含義①不等式a≥b應(yīng)讀作：“a大于或等于b”，其含義是a＞b或a＝b，等價(jià)于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≥b正確.②不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是a＜b或a＝b，等價(jià)于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b正確.3.不等式中常用符號(hào)語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于＞＜≥≤≤≥≥≤知識(shí)點(diǎn)二比較大小1.比較實(shí)數(shù)a，b大小的文字?jǐn)⑹?1)如果a－b是正數(shù)，那么a＞b；(2)如果a－b等于0，那么a＝b；(3)如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b，反之也成立.2.比較實(shí)數(shù)a，b大小的符號(hào)表示(1)a－b＞0?a>b；(2)a－b＝0?a＝b；(3)a－b<0?a<b.思考(1)x＞1時(shí)，x2－x____0(填“＞”或“＜”).(2)(eq\r(6)＋eq\r(2))2____10＋4eq\r(3)(填“＞”或“＜”).答案(1)＞(2)＜解析(1)x2－x＝x(x－1)，x＞1時(shí)，x－1＞0，x＞0，∴x(x－1)＞0，∴x2－x＞0.(2)(eq\r(6)＋eq\r(2))2＝8＋2eq\r(12)＝8＋4eq\r(3)＜10＋4eq\r(3).題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系例1《鐵路旅行常識(shí)》規(guī)定：一、隨同成人旅行，身高在1.1～1.4米的兒童享受半價(jià)客票(以下稱兒童票)，超過1.4米的應(yīng)買全價(jià)票，每一名成人旅客可免費(fèi)帶一名身高不足1.1米的兒童，超過一名時(shí)，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票.……十、旅客免費(fèi)攜帶物品的體積和重量是每件物品的外部長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米，桿狀物品不得超過200厘米，重量不得超過20千克……設(shè)身高為h(米)，物品外部長、寬、高尺寸之和為P(厘米)，請(qǐng)用不等式表示下表中的不等關(guān)系.文字表述身高在1.1～1.4米身高超過1.4米身高不足1.1米物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米符號(hào)表示解由題意可獲取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物體長、寬、高尺寸之和為P(厘米)；(2)題中要求用不等式表示不等關(guān)系.解答本題應(yīng)先理解題中所提供的不等關(guān)系，再用不等式表示.身高在1.1～1.4米可表示為1.1≤h≤1.4，身高超過1.4米可表示為h＞1.4，身高不足1.1米可表示為h＜1.1，物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米可表示為P≤160.如下表所示：文字表述身高在1.1～1.4米身高超過1.4米身高不足1.1米物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米符號(hào)表示1.1≤h≤1.4h＞1.4h＜1.1P≤160反思與感悟數(shù)學(xué)中的能力之一就是抽象概括能力，即能用數(shù)學(xué)語言表示出實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系.不等式是不等關(guān)系的符號(hào)表示.用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)：(1)要先讀懂題，設(shè)出未知量；(2)抓關(guān)鍵詞，找到不等關(guān)系；(3)用不等式表示不等關(guān)系.思維要嚴(yán)密、規(guī)范.如“超過”不能取等號(hào)，“不超過”可以取等號(hào).跟蹤訓(xùn)練1如下圖，在一個(gè)面積為350平方米的矩形地基上建造一個(gè)倉庫，四周是綠地.倉庫的長L大于寬W的4倍.寫出L與W的關(guān)系.解由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(L＋10W＋10＝350，,L＞4W，,L＞0，,W＞0.))題型二比較實(shí)數(shù)(式)的大小例2(1)比較x6＋1與x4＋x2的大小，其中x∈R；(2)設(shè)x，y，z∈R，比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大小.解(1)∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.∴當(dāng)x＝±1時(shí)，x6＋1＝x4＋x2；當(dāng)x≠±1時(shí)，x6＋1＞x4＋x2.綜上所述，x6＋1≥x4＋x2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±1時(shí)取等號(hào).(2)∵(5x2＋y2＋z2)－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)且z＝1時(shí)取等號(hào).反思與感悟比較大小的方法(1)作差法：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，可以根據(jù)它們的差的符號(hào)進(jìn)行判斷，一方面注意題目本身提供的字母的取值范圍，另一方面通常將兩代數(shù)式的差進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為多個(gè)因式相乘，或通過配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和，然后判斷正負(fù).作差法的一般步驟：作差——變形——判號(hào)——定論.(2)作商法：作商比較通常適用于兩代數(shù)式同號(hào)的情形，然后比較它們的商與1的大小.作商法的一般步驟：作商——變形——與1比較大小——定論.(3)單調(diào)性法：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，通常先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用單調(diào)性進(jìn)行判斷.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a＞0，b＞0，且a≠b，比較aabb與abba的大小.解eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜eq\f(a,b)＜1，a－b＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，即eq\f(aabb,abba)＞1，又∵aabb＞0，abba＞0，∴aabb＞abba.忽視性質(zhì)成立的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤例3已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范圍.錯(cuò)解1≤a－b≤2，①2≤a＋b≤4，②由①＋②，得3≤2a≤6，∴eq\f(3,2)≤a≤3，③由②＋①×(－1)，得0≤2b≤3，∴0≤b≤eq\f(3,2)，④由③×4＋④×(－2)，得3≤4a－2b≤12.正解令a＋b＝u，a－b＝v，則2≤u≤4,1≤v≤2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝u，,a－b＝v，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(u＋v,2)，,b＝\f(u－v,2).))∴4a－2b＝4·eq\f(u＋v,2)－2·eq\f(u－v,2)＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.∵2≤u≤4,3≤3v≤6，∴5≤u＋3v≤10.∴5≤4a－2b≤10.易錯(cuò)警示錯(cuò)誤原因糾錯(cuò)心得由上述解題過程可知，當(dāng)a＝eq\f(3,2)且b＝eq\f(3,2)時(shí)，3≤4a－2b才取等號(hào)，而此時(shí)a－b＝0，不滿足①式，因此4a－2b是不能等于3的.同理可驗(yàn)證4a－2b也不能等于12.出現(xiàn)上述錯(cuò)誤的原因是“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向”這一性質(zhì)是單向的，用它來作變形，是非同解變形，因此結(jié)論是錯(cuò)誤的.把條件中的a－b和a＋b分別看做一個(gè)整體，采用整體代入法，并結(jié)合不等式的性質(zhì)求解，可以得到正確的結(jié)論.1.完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是________.答案5x＋4y≤200解析據(jù)題意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.2.設(shè)x<a<0，則下列不等式一定成立的是________.①x2<ax<a2； ②x2>ax>a2；③x2<a2<ax； ④x2>a2>ax.答案②解析∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>xa>a2.3.設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是________.答案M＞N解析M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0.∴M＞N.4.若x∈R，則eq\f(x,1＋x2)與eq\f(1,2)的大小關(guān)系為________.答案eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)解析eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0.∴eq\f(x,