統(tǒng)計(jì)指數(shù)習(xí)題及答案一、個(gè)體指數(shù)計(jì)算某超市銷售三種商品，2023年基期與2024年報(bào)告期的價(jià)格與銷售量數(shù)據(jù)如下：|商品類別|計(jì)量單位|基期價(jià)格（p?，元）|報(bào)告期價(jià)格（p?，元）|基期銷售量（q?）|報(bào)告期銷售量（q?）||----------|----------|--------------------|----------------------|------------------|------------------||蘋果|千克|12|15|500|600||襯衫|件|80|85|200|180||微波爐|臺(tái)|600|580|80|90|要求：計(jì)算各商品的個(gè)體價(jià)格指數(shù)（Kp）和個(gè)體銷售量指數(shù)（Kq）。解答：個(gè)體指數(shù)是反映單一事物變動(dòng)的相對(duì)數(shù)，計(jì)算公式為：個(gè)體價(jià)格指數(shù)\(K_p=\frac{p_1}{p_0}\times100\%\)個(gè)體銷售量指數(shù)\(K_q=\frac{q_1}{q_0}\times100\%\)1.蘋果：\(K_p=\frac{15}{12}\times100\%=125\%\)（價(jià)格上漲25%）\(K_q=\frac{600}{500}\times100\%=120\%\)（銷售量增長(zhǎng)20%）2.襯衫：\(K_p=\frac{85}{80}\times100\%=106.25\%\)（價(jià)格上漲6.25%）\(K_q=\frac{180}{200}\times100\%=90\%\)（銷售量下降10%）3.微波爐：\(K_p=\frac{580}{600}\times100\%\approx96.67\%\)（價(jià)格下降3.33%）\(K_q=\frac{90}{80}\times100\%=112.5\%\)（銷售量增長(zhǎng)12.5%）二、綜合指數(shù)編制（拉氏指數(shù)與帕氏指數(shù)）沿用第一題數(shù)據(jù)，要求：（1）以基期銷售量為同度量因素，計(jì)算拉氏價(jià)格指數(shù)（Lp）；（2）以報(bào)告期價(jià)格為同度量因素，計(jì)算帕氏銷售量指數(shù)（Pq）；（3）說明拉氏指數(shù)與帕氏指數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義差異。解答：綜合指數(shù)通過引入同度量因素將不能直接相加的現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為可加總體，計(jì)算公式為：拉氏價(jià)格指數(shù)\(L_p=\frac{\sump_1q_0}{\sump_0q_0}\times100\%\)（同度量因素固定在基期）帕氏銷售量指數(shù)\(P_q=\frac{\sumq_1p_1}{\sumq_0p_1}\times100\%\)（同度量因素固定在報(bào)告期）（1）計(jì)算拉氏價(jià)格指數(shù)：首先計(jì)算基期銷售額\(\sump_0q_0\)和報(bào)告期價(jià)格×基期銷售量\(\sump_1q_0\)：-蘋果：\(p_0q_0=12\times500=6000\)元；\(p_1q_0=15\times500=7500\)元-襯衫：\(p_0q_0=80\times200=16000\)元；\(p_1q_0=85\times200=17000\)元-微波爐：\(p_0q_0=600\times80=48000\)元；\(p_1q_0=580\times80=46400\)元合計(jì)：\(\sump_0q_0=6000+16000+48000=70000\)元；\(\sump_1q_0=7500+17000+46400=70900\)元拉氏價(jià)格指數(shù)\(L_p=\frac{70900}{70000}\times100\%\approx101.29\%\)（2）計(jì)算帕氏銷售量指數(shù)：首先計(jì)算報(bào)告期銷售額\(\sumq_1p_1\)和基期銷售量×報(bào)告期價(jià)格\(\sumq_0p_1\)：-蘋果：\(q_1p_1=600\times15=9000\)元；\(q_0p_1=500\times15=7500\)元-襯衫：\(q_1p_1=180\times85=15300\)元；\(q_0p_1=200\times85=17000\)元-微波爐：\(q_1p_1=90\times580=52200\)元；\(q_0p_1=80\times580=46400\)元合計(jì)：\(\sumq_1p_1=9000+15300+52200=76500\)元；\(\sumq_0p_1=7500+17000+46400=70900\)元帕氏銷售量指數(shù)\(P_q=\frac{76500}{70900}\times100\%\approx107.90\%\)（3）經(jīng)濟(jì)含義差異：拉氏指數(shù)（Lp）反映在基期銷售量結(jié)構(gòu)下，三種商品價(jià)格的綜合變動(dòng)程度（本題中價(jià)格總體上漲1.29%）；帕氏指數(shù)（Pq）反映在報(bào)告期價(jià)格結(jié)構(gòu)下，三種商品銷售量的綜合變動(dòng)程度（本題中銷售量總體增長(zhǎng)7.90%）。拉氏指數(shù)更強(qiáng)調(diào)基期結(jié)構(gòu)的影響，帕氏指數(shù)更關(guān)注報(bào)告期結(jié)構(gòu)的現(xiàn)實(shí)意義。三、平均指數(shù)編制（加權(quán)算術(shù)平均指數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均指數(shù)）某地區(qū)2023年（基期）與2024年（報(bào)告期）三種工業(yè)產(chǎn)品的產(chǎn)量個(gè)體指數(shù)及基期總產(chǎn)值數(shù)據(jù)如下：|產(chǎn)品類型|產(chǎn)量個(gè)體指數(shù)（Kq，%）|基期總產(chǎn)值（p?q?，萬元）||----------|-----------------------|--------------------------||鋼材|115|800||水泥|108|500||化工品|95|700|要求：（1）以基期總產(chǎn)值為權(quán)數(shù)，計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均產(chǎn)量指數(shù)；（2）若已知報(bào)告期總產(chǎn)值（p?q?）分別為鋼材980萬元、水泥560萬元、化工品665萬元，以報(bào)告期總產(chǎn)值為權(quán)數(shù)，計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均價(jià)格指數(shù)（提示：價(jià)格個(gè)體指數(shù)\(K_p=\frac{p_1}{p_0}=\frac{p_1q_1}{p_0q_1}\)，需先求\(p_0q_1\)）。解答：（1）加權(quán)算術(shù)平均指數(shù)適用于已知個(gè)體指數(shù)和基期總量的情況，公式為：加權(quán)算術(shù)平均產(chǎn)量指數(shù)\(\bar{K}_q=\frac{\sumK_q\cdotp_0q_0}{\sump_0q_0}\)計(jì)算過程：-鋼材：\(K_q\cdotp_0q_0=115\%\times800=920\)萬元-水泥：\(108\%\times500=540\)萬元-化工品：\(95\%\times700=665\)萬元合計(jì)：\(\sumK_q\cdotp_0q_0=920+540+665=2125\)萬元；\(\sump_0q_0=800+500+700=2000\)萬元加權(quán)算術(shù)平均產(chǎn)量指數(shù)\(\bar{K}_q=\frac{2125}{2000}\times100\%=106.25\%\)（2）加權(quán)調(diào)和平均指數(shù)適用于已知個(gè)體指數(shù)和報(bào)告期總量的情況，公式為：加權(quán)調(diào)和平均價(jià)格指數(shù)\(\bar{K}_p=\frac{\sump_1q_1}{\sum\frac{p_1q_1}{K_p}}\)首先需計(jì)算各產(chǎn)品的價(jià)格個(gè)體指數(shù)\(K_p\)。由于\(K_q=\frac{q_1}{q_0}\)，則\(q_1=K_q\cdotq_0\)，因此\(p_0q_1=p_0\cdotK_q\cdotq_0=K_q\cdotp_0q_0\)（基期總產(chǎn)值×產(chǎn)量個(gè)體指數(shù)）。計(jì)算\(p_0q_1\)：-鋼材：\(115\%\times800=920\)萬元-水泥：\(108\%\times500=540\)萬元-化工品：\(95\%\times700=665\)萬元價(jià)格個(gè)體指數(shù)\(K_p=\frac{p_1q_1}{p_0q_1}\)（因\(p_1q_1=p_1\cdotq_1\)，\(p_0q_1=p_0\cdotq_1\)，故比值為價(jià)格個(gè)體指數(shù)）：-鋼材：\(K_p=\frac{980}{920}\approx106.52\%\)-水泥：\(K_p=\frac{560}{540}\approx103.70\%\)-化工品：\(K_p=\frac{665}{665}=100\%\)加權(quán)調(diào)和平均價(jià)格指數(shù)：\(\bar{K}_p=\frac{980+560+665}{\frac{980}{1.0652}+\frac{560}{1.0370}+\frac{665}{1.00}}\)計(jì)算分母：-鋼材：\(980\div1.0652\approx920\)萬元（與\(p_0q_1\)一致，驗(yàn)證正確）-水泥：\(560\div1.0370\approx540\)萬元（同理）-化工品：\(665\div1.00=665\)萬元分母合計(jì)：\(920+540+665=2125\)萬元分子合計(jì)：\(980+560+665=2205\)萬元因此，\(\bar{K}_p=\frac{2205}{2125}\times100\%\approx103.76\%\)四、指數(shù)體系與因素分析（兩因素分析）某企業(yè)2023年（基期）與2024年（報(bào)告期）甲產(chǎn)品的產(chǎn)量、單位成本及總成本數(shù)據(jù)如下：|指標(biāo)|基期（2023年）|報(bào)告期（2024年）||------------|----------------|------------------||產(chǎn)量（q，件）|1000|1200||單位成本（z，元/件）|80|75||總成本（C=zq，元）|80000|90000|要求：利用指數(shù)體系分析總成本變動(dòng)受產(chǎn)量和單位成本變動(dòng)的影響（從相對(duì)數(shù)和絕對(duì)數(shù)兩方面）。解答：總成本指數(shù)\(K_{C}=\frac{C_1}{C_0}=\frac{z_1q_1}{z_0q_0}\)，可分解為產(chǎn)量指數(shù)\(K_q=\frac{q_1}{q_0}\)和單位成本指數(shù)\(K_z=\frac{z_1}{z_0}\)的乘積，即\(K_C=K_q\timesK_z\)；絕對(duì)數(shù)變動(dòng)滿足\(C_1-C_0=(q_1z_0-q_0z_0)+(q_1z_1-q_1z_0)\)。（1）總成本變動(dòng)：總成本指數(shù)\(K_C=\frac{90000}{80000}\times100\%=112.5\%\)總成本增加額：\(90000-80000=10000\)元（2）產(chǎn)量變動(dòng)的影響：產(chǎn)量指數(shù)\(K_q=\frac{1200}{1000}\times100\%=120\%\)產(chǎn)量變動(dòng)對(duì)總成本的影響額：\((q_1-q_0)z_0=(1200-1000)\times80=16000\)元（3）單位成本變動(dòng)的影響：?jiǎn)挝怀杀局笖?shù)\(K_z=\frac{75}{80}\times100\%=93.75\%\)單位成本變動(dòng)對(duì)總成本的影響額：\((z_1-z_0)q_1=(75-80)\times1200=-6000\)元（4）綜合驗(yàn)證：相對(duì)數(shù)：\(112.5\%=120\%\times93.75\%\)（成立）絕對(duì)數(shù)：\(10000=16000+(-6000)\)（成立）結(jié)論：2024年總成本較2023年增長(zhǎng)12.5%（增加10000元），其中產(chǎn)量增長(zhǎng)20%使總成本增加16000元，單位成本下降6.25%使總成本減少6000元，兩者共同作用導(dǎo)致總成本凈增10000元。五、多因素指數(shù)分析（三因素分析）某企業(yè)生產(chǎn)乙產(chǎn)品需消耗原材料A，2023年（基期）與2024年（報(bào)告期）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：|指標(biāo)|基期（2023年）|報(bào)告期（2024年）||---------------------------|----------------|------------------||產(chǎn)品產(chǎn)量（q，件）|500|600||單位產(chǎn)品原材料消耗量（m，千克/件）|2|1.8||原材料單價(jià)（p，元/千克）|10|12||原材料總成本（C=qmp，元）|500×2×10=10000|600×1.8×12=12960|要求：利用多因素指數(shù)體系分析原材料總成本變動(dòng)受產(chǎn)量、單位產(chǎn)品消耗量、原材料單價(jià)三個(gè)因素的影響（相對(duì)數(shù)和絕對(duì)數(shù)）。解答：多因素分析需遵循“數(shù)量指標(biāo)在前，質(zhì)量指標(biāo)在后”的順序，且相鄰因素相乘需有經(jīng)濟(jì)意義。本題中，總成本\(C=q\timesm\timesp\)，其中\(zhòng)(q\)是數(shù)量指標(biāo)（產(chǎn)量），\(m\)是單耗（可視為數(shù)量指標(biāo)，反映單位產(chǎn)品的投入量），\(p\)是單價(jià)（質(zhì)量指標(biāo)）。指數(shù)體系為：總成本指數(shù)\(K_C=K_q\timesK_m\timesK_p\)絕對(duì)數(shù)變動(dòng)：\(C_1-C_0=(q_1m_0p_0-q_0m_0p_0)+(q_1m_1p_0-q_1m_0p_0)+(q_1m_1p_1-q_1m_1p_0)\)（1）總成本變動(dòng)：總成本指數(shù)\(K_C=\frac{12960}{10000}\times100\%=129.6\%\)總成本增加額：\(12960-10000=2960\)元（2）產(chǎn)量變動(dòng)的影響：產(chǎn)量指數(shù)\(K_q=\frac{q_1}{q_0}=\frac{600}{500}=120\%\)影響額：\((q_1-q_0)m_0p_0=(600-500)\times2\times10=2000\)元（3）單位產(chǎn)品消耗量變動(dòng)的影響：?jiǎn)魏闹笖?shù)\(K_m=\frac{m_1}{m_0}=\frac{1.8}{2}=90\%\)影響額：\(q_1(m_1-m_0)p_0=600\times(1.8-2)\times10=600\times(-0.2)\times10=-1200\)元（4）原材料單價(jià)變動(dòng)的影響：?jiǎn)蝺r(jià)指數(shù)\(K_p=\frac{p_1}{p_0}=\frac{12}{10}=120\%\)影響額：\(q_1m_1(p_1-p_0)=600\times1.8\times(12-10)=600\times1.8\times2=2160\)元（5）綜合驗(yàn)證：相對(duì)數(shù)：\(129.6\%=120\%\times90\%\times120\%\)（計(jì)算：120%×90%=108%；108%×120%=129.6%，成立）絕對(duì)數(shù)：\(2960=2000+(-1200)+2160\)（2000-1200=800；800+2160=2960，成立）結(jié)論：2024年原材料總成本較2023年增長(zhǎng)29.6%（增加2960元），其中產(chǎn)量增長(zhǎng)20%使成本增加2000元，單位產(chǎn)品消耗量下降10%使成本減少1200元，原材料單價(jià)上漲20%使成本增加2160元，三者共同作用導(dǎo)致總成本凈增2960元。六、平均指標(biāo)指數(shù)分析（可變構(gòu)成指數(shù)、固定構(gòu)成指數(shù)、結(jié)構(gòu)影響指數(shù)）某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車間，2023年（基期）與2024年（報(bào)告期）的職工人數(shù)及平均工資數(shù)據(jù)如下：|車間|基期（2023年）|報(bào)告期（2024年）||--------|-------------------------------|---------------------------------|||人數(shù)（f?，人）|平均工資（x?，元）|人數(shù)（f?，人）|平均工資（x?，元）||一車間|80|5000|100|5500||二車間|120|4000|150|4500|要求：計(jì)算可變構(gòu)成指數(shù)、固定構(gòu)成指數(shù)和結(jié)構(gòu)影響指數(shù)，分析總平均工資變動(dòng)受各車間工資水平和人數(shù)結(jié)構(gòu)變動(dòng)的影響。解答：平均指標(biāo)指數(shù)體系包括：可變構(gòu)成指數(shù)\(K_{可變}=\frac{\bar{x}_1}{\bar{x}_0}\)（反映總平均水平的綜合變動(dòng)）固定構(gòu)成指數(shù)\(K_{固定}=\frac{\sumx_1f_1}{\sumf_1}\div\frac{\sumx_0f_1}{\sumf_1}=\frac{\sumx_1f_1}{\sumx_0f_1}\)（消除人數(shù)結(jié)構(gòu)影響，反映各車間工資水平的變動(dòng)）結(jié)構(gòu)影響指數(shù)\(K_{結(jié)構(gòu)}=\frac{\sumx_0f_1}{\sumf_1}\div\frac{\sumx_0f_0}{\sumf_0}\)（消除工資水平影響，反映人數(shù)結(jié)構(gòu)的變動(dòng)）（1）計(jì)算基期與報(bào)告期總平均工資：基期總平均工資\(\bar{x}_0=\frac{\sumx_0f_0}{\sumf_0}=\frac{5000\times80+4000\times120}{80+120}=\frac{400000+480000}{200}=\frac{880000}{200}=4400\)元報(bào)告期總平均工資\(\bar{x}_1=\frac{\sumx_1f_1}{\sumf_1}=\frac{5500\times100+4500\times150}{100+150}=\frac{550000+675000}{250}=\frac{1225000}{250}=4900\)元（2）可變構(gòu)成指數(shù)：\(K_{可變}=\frac{4900}{4400}\times100\%\approx111.36