統(tǒng)計基礎試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.某班級50名學生的數(shù)學考試成績中，最低分45分，最高分98分，若采用等距分組法編制頻數(shù)分布表，取組距為10分，則組數(shù)應為（）。A.5組B.6組C.7組D.8組2.對于右偏分布的數(shù)據(jù)，其均值、中位數(shù)、眾數(shù)的大小關系通常為（）。A.均值＞中位數(shù)＞眾數(shù)B.均值＜中位數(shù)＜眾數(shù)C.中位數(shù)＞均值＞眾數(shù)D.眾數(shù)＞均值＞中位數(shù)3.若兩組數(shù)據(jù)的標準差相同，但均值不同，則（）。A.均值大的組數(shù)據(jù)離散程度更大B.均值小的組數(shù)據(jù)離散程度更大C.兩組數(shù)據(jù)離散程度相同D.無法比較離散程度4.拋一枚均勻硬幣3次，恰好出現(xiàn)2次正面的概率為（）。A.1/8B.3/8C.5/8D.7/85.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ-1.96σ≤X≤μ+1.96σ)的值約為（）。A.0.90B.0.95C.0.99D.0.9976.某總體均值的95%置信區(qū)間為（12.5,15.3），則以下說法正確的是（）。A.總體均值有95%的概率落在該區(qū)間內(nèi)B.若重復抽樣100次，約有95個區(qū)間包含總體均值C.樣本均值一定等于13.9D.該區(qū)間的邊際誤差為2.87.進行單樣本t檢驗時，若總體標準差未知且樣本量n=15，則檢驗統(tǒng)計量服從（）。A.正態(tài)分布B.t分布（自由度14）C.卡方分布（自由度15）D.F分布（1,14）8.相關系數(shù)r=0.8表示兩個變量之間（）。A.高度正線性相關B.高度負線性相關C.中度正線性相關D.無線性相關9.在一元線性回歸分析中，決定系數(shù)R2=0.64意味著（）。A.自變量解釋了因變量64%的變異B.因變量解釋了自變量64%的變異C.回歸模型的預測誤差為64%D.自變量與因變量的相關系數(shù)為0.810.若卡方檢驗的自由度為3，且計算得到的卡方統(tǒng)計量為7.815（對應臨界值α=0.05時為7.81），則結(jié)論為（）。A.拒絕原假設B.不拒絕原假設C.無法判斷D.需重新計算二、填空題（每題2分，共20分）1.統(tǒng)計數(shù)據(jù)按收集方法可分為觀測數(shù)據(jù)和__________。2.反映數(shù)據(jù)集中趨勢的指標中，不受極端值影響的是__________。3.樣本方差的計算公式為__________（用符號表示）。4.若事件A與B互斥，則P(A∪B)=__________。5.中心極限定理指出，當樣本量n足夠大時，樣本均值的抽樣分布近似服從__________。6.假設檢驗中，原假設H?為“總體均值μ=50”，備擇假設H?為“μ≠50”，則這是__________檢驗（填“單側(cè)”或“雙側(cè)”）。7.某樣本容量為30，樣本均值為25，樣本標準差為4，則總體均值的95%置信區(qū)間為__________（t?.???(29)=2.045）。8.相關系數(shù)的取值范圍是__________。9.一元線性回歸模型的一般形式為__________。10.卡方檢驗主要用于檢驗__________之間的關聯(lián)性或擬合優(yōu)度。三、簡答題（每題6分，共30分）1.簡述描述統(tǒng)計與推斷統(tǒng)計的區(qū)別與聯(lián)系。2.說明為什么標準差比平均差更常用作離散程度的度量。3.解釋假設檢驗中“顯著性水平α”的含義，并說明α與β（第二類錯誤概率）的關系。4.簡述相關分析與回歸分析的區(qū)別與聯(lián)系。5.列舉使用卡方檢驗的三個注意事項。四、計算題（共30分）1.（10分）某公司10名員工的月銷售額（單位：萬元）如下：12,15,18,20,22,25,28,30,35,40。（1）計算該組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）計算該組數(shù)據(jù)的極差、方差和標準差（保留兩位小數(shù)）。2.（10分）某品牌手機電池續(xù)航時間服從正態(tài)分布，總體標準差σ=2小時。隨機抽取36塊電池，測得平均續(xù)航時間為12小時。（1）計算總體均值的95%置信區(qū)間；（2）若要求邊際誤差不超過0.5小時，至少需要抽取多少塊電池？（Z?.???=1.96）3.（10分）為檢驗某新藥是否能降低高血壓患者的收縮壓，隨機選取20名患者，治療前收縮壓（X）和治療后收縮壓（Y）數(shù)據(jù)如下（單位：mmHg）：治療前（X）：150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230,235,240,245治療后（Y）：140,145,150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230,235（1）計算治療前后收縮壓的差值d=X-Y，并計算d的均值和標準差；（2）假設差值d服從正態(tài)分布，檢驗新藥是否有效降低收縮壓（α=0.05，t?.??(19)=1.729）。---答案與解析一、單項選擇題1.B解析：組數(shù)=（最大值-最小值）/組距+1（向上取整）。本題中（98-45）=53，53/10=5.3，故組數(shù)為6組。2.A解析：右偏分布中，均值受右側(cè)極端值影響較大，因此均值＞中位數(shù)＞眾數(shù)。3.D解析：標準差是絕對離散程度指標，均值不同時需用離散系數(shù)（標準差/均值）比較離散程度，僅標準差相同無法判斷。4.B解析：二項分布概率P=C(3,2)×(1/2)2×(1/2)1=3×1/8=3/8。5.B解析：正態(tài)分布中，μ±1.96σ覆蓋約95%的概率（對應Z=1.96）。6.B解析：置信區(qū)間的含義是“重復抽樣中，約95%的區(qū)間包含總體均值”，而非總體均值有概率落在區(qū)間內(nèi)。7.B解析：單樣本t檢驗中，總體標準差未知且小樣本（n＜30）時，檢驗統(tǒng)計量服從t分布，自由度為n-1=14。8.A解析：相關系數(shù)絕對值0.8-1.0為高度相關，正值表示正相關。9.A解析：決定系數(shù)R2表示因變量變異中被自變量解釋的比例，R2=0.64即64%的變異可由自變量解釋。10.A解析：計算得到的卡方統(tǒng)計量7.815＞臨界值7.81（α=0.05），故拒絕原假設。二、填空題1.實驗數(shù)據(jù)2.中位數(shù)3.s2=Σ(x?-x?)2/(n-1)4.P(A)+P(B)5.正態(tài)分布6.雙側(cè)7.25±(4/√30)×2.045≈25±1.49，即（23.51,26.49）8.[-1,1]9.?=β?+β?x+ε（或?=a+b?x）10.分類變量三、簡答題1.區(qū)別：描述統(tǒng)計主要通過圖表、統(tǒng)計量（如均值、標準差）描述數(shù)據(jù)特征；推斷統(tǒng)計基于樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征（如參數(shù)估計、假設檢驗）。聯(lián)系：描述統(tǒng)計是推斷統(tǒng)計的基礎，推斷統(tǒng)計需依賴描述統(tǒng)計的結(jié)果進行分析。2.標準差更常用的原因：①數(shù)學性質(zhì)優(yōu)良，便于代數(shù)運算（如方差可分解）；②標準差與均值單位一致，更直觀；③平均差需取絕對值，數(shù)學處理不便，實際應用中較少使用。3.顯著性水平α是原假設為真時拒絕原假設的概率（第一類錯誤概率）。α與β的關系：在樣本量固定時，α減小會導致β增大，二者此消彼長；增大樣本量可同時降低α和β。4.區(qū)別：相關分析衡量變量間線性關聯(lián)程度（無方向）；回歸分析研究變量間因果關系（有方向），并建立預測模型。聯(lián)系：均研究變量間關系，相關系數(shù)是回歸分析的基礎，回歸模型可用于解釋相關關系的具體形式。5.注意事項：①分類變量的類別需互斥且窮盡；②每個單元格的期望頻數(shù)不宜過小（通?！?，否則需合并類別或使用精確檢驗）；③卡方檢驗只能檢驗關聯(lián)性，不能推斷因果；④樣本量需足夠大（一般n≥40）。四、計算題1.（1）均值=（12+15+…+40）/10=245/10=24.5萬元；中位數(shù)：第5、6個數(shù)的平均值=（22+25）/2=23.5萬元；眾數(shù)：無重復值，故不存在眾數(shù)（或記為“無”）。（2）極差=40-12=28萬元；方差s2=Σ(x?-24.5)2/(10-1)=[(12-24.5)2+(15-24.5)2+…+(40-24.5)2]/9計算得：(156.25+90.25+42.25+20.25+6.25+0.25+12.25+30.25+110.25+240.25)/9=708.5/9≈78.72；標準差s=√78.72≈8.87萬元。2.（1）已知σ=2，n=36，x?=12，Z?.???=1.96置信區(qū)間=x?±Z×(σ/√n)=12±1.96×(2/6)=12±0.65，即（11.35,12.65）小時。（2）邊際誤差E=Z×(σ/√n)≤0.5，解得n≥(Z×σ/E)2=(1.96×2/0.5)2=(7.84)2≈61.47，故至少需62塊電池。3.（1）差值d=X-Y=10（每個數(shù)據(jù)