PAGE1PAGE2專題06圓（55題）1．（2023·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)，，，均在直線上，點(diǎn)在直線外，則經(jīng)過其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（

）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓可得，直線上任意2個(gè)點(diǎn)加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，據(jù)此列舉所有可能即可求解．【詳解】解：依題意，；；；；，加上點(diǎn)可以畫出一個(gè)圓，∴共有6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓是解題的關(guān)鍵．2．（2024·江西·中考真題）如圖，是的直徑，，點(diǎn)C在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C的弦，將沿翻折交直線于點(diǎn)F，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時(shí)，線段的長為．【答案】或或2【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)，可得或2，利用勾股定理進(jìn)行解答即可，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：為直徑，為弦，，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時(shí)，或2，當(dāng)時(shí)，即為直徑，將沿翻折交直線于點(diǎn)F，此時(shí)與點(diǎn)重合，故；當(dāng)時(shí)，且在點(diǎn)在線段之間，如圖，連接，此時(shí)，，，，，；當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)在線段之間，連接，同理可得，，綜上，可得線段的長為或或2，故答案為：或或2．3．（2025·江西·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，以，為邊作．(1)當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)（如圖1），求的度數(shù)；(2)當(dāng)與相切時(shí)（如圖2），若的半徑為6，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出，再求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出；（2）連接、，根據(jù)切線性質(zhì)得出，證明，得出，說明垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)圓周角定理得出，最后根據(jù)弧長公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過圓心O，∴為的直徑，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴；（2）解：連接、，如圖所示：∵與相切，∴，∴，∵在中，∴，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．4．（2024·江西·中考真題）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦延長線上一點(diǎn)，連接，．(1)求證：是半圓O的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，熟知相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得，即可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）連接，證明為等邊三角形，求得，利用弧長公式即可解答．【詳解】（1）證明：是半圓O的直徑，，，，，是半圓O的切線；（2）解：如圖，連接，，為等邊三角形，，，，．5．（2023·江西·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且．

(1)求的長；(2)若，求證：為的切線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）如圖所示，連接，先求出，再由圓周角定理得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行求解即可；（2）如圖所示，連接，先由三角形內(nèi)角和定理得到，則由圓周角定理可得，再由是的直徑，得到，進(jìn)而求出，進(jìn)一步推出，由此即可證明是的切線．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵是的直徑，且，∴，∵E為上一點(diǎn)，且，∴，∴，∴的長；

（2）證明：如圖所示，連接，∵，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江西·中考真題）（1）課本再現(xiàn)：在中，是所對(duì)的圓心角，是所對(duì)的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要根據(jù)圓心O與的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明；（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖4，若的半徑為2，分別與相切于點(diǎn)A，B，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在∠ACB的內(nèi)部，作直徑，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，當(dāng)O在∠ACB的外部時(shí)，作直徑CD，同理可理結(jié)論；（2）如圖4，先根據(jù)（1）中的結(jié)論可得∠AOB=120°，由切線的性質(zhì)可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，從而得PA的長．【詳解】解：（1）①如圖2，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；如圖3，連接CO，并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；（2）如圖4，連接OA，OB，OP，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，∵OA=2，∴OP=2OA=4，∴PA=【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，圓周角定理等知識(shí)，掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關(guān)鍵．7．（2021·江西·中考真題）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若是的切線，，連接，如圖2．①請判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由；②當(dāng)AB=2時(shí)，求AD，AC與圍成陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCO是菱形，理由見解析；（3）陰影部分的面積為．【分析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得∠D=∠EBC，再利用圓周角的性質(zhì)證得∠D+∠CAD=，即可證明∠CAD=∠ECB；（2）①利用切線的性質(zhì)得到OC⊥EC，從而證明OC∥AE，再證明∠BAO=∠EBC=60°，推出BC∥AO，即可證明四邊形ABCO是菱形；②先計(jì)算，再利用扇形的面積公式計(jì)算，即可求得陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D+∠ABC=，∵∠EBC+∠ABC=，∴∠D=∠EBC，∵AD為⊙O直徑，∴∠ACD=，∴∠D+∠CAD=，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四邊形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=，∴∠OCE+∠E=18，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，∴∠BAO=∠EBC=60°，∴BC∥AO，∴四邊形ABCO是平行四邊形，∵OA=OC，∴四邊形ABCO是菱形；②∵四邊形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，∵∠CAD=30°，∴CD=AD=2，AC=2，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∴CF=，∴，∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．一、單選題8．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，正六邊形的邊長是，連接，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，．若的值是整數(shù)，則點(diǎn)的位置有（

）A．3處 B．5處 C．7處 D．9處【答案】A【分析】本題考查了正多邊形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合，掌握正多邊形，勾股定理的運(yùn)用是關(guān)鍵．根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)得到點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍為，由此即可求解．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，如圖所示，連接，交于點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，∴，，，∴，，∴，，，∴，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍為，∵，∴整數(shù)值為，共3個(gè)，故選：A．9．（2025·江西撫州·二模）如圖，邊長為4的正方形中，半徑為1的⊙在正方形內(nèi)平移（⊙可以與該正方形的邊相切），設(shè)點(diǎn)到⊙上的點(diǎn)的距離為，且是整數(shù)，則的值所有情況有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】C【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解；當(dāng)與AB，BC相切時(shí)，連接，證明出是正方形，利用性質(zhì)求解；當(dāng)與，相切時(shí)，切點(diǎn)分別為G，H，連接，，利用同樣的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)與，相切時(shí)，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接．由題意易得四邊形是正方形，．的半徑為1，，∴點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最小值為．如圖2，當(dāng)與，相切時(shí)，切點(diǎn)分別為G，H，連接，，由題意易得四邊形是正方形，．，∴點(diǎn)B，O，D三點(diǎn)共線．的半徑為1，∴，，∴點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最大值為．，，∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5種，故選：C．10．（2025·江西贛州·二模）阿基米德不僅是物理學(xué)家，還是偉大的數(shù)學(xué)家，阿基米德折弦定理就是圓中關(guān)于弦的一個(gè)定理，其條件大致如下：如圖，，為的兩條弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)以上條件，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．B．連接、，則C．D．作射線交于點(diǎn)，則平分【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理、弦與弧的關(guān)系、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一等知識(shí)，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．先求出，再根據(jù)即可判斷A正確；連接，，，先證出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，由此即可判斷B錯(cuò)誤；在上截取點(diǎn)，使得，連接，，，，先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，由此即可判斷C正確；先求出，再根據(jù)圓周角定理可得，由此即可判斷D正確．【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，則選項(xiàng)A正確；如圖，連接，，，∵，∴，∵，∴，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如圖，在上截取點(diǎn)，使得，連接，，，，由圓周角定理得：，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，則選項(xiàng)C正確；由題意，畫出圖形如下：∵是的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴平分，則選項(xiàng)D正確；故選：B．11．（2025·江西宜春·一模）一張直徑為的半圓形卡紙，過直徑的兩端點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種裁剪圖中，所標(biāo)數(shù)據(jù)（單位：）長度不合理的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)成三角形的條件，三線合一定理，如選項(xiàng)A中圖實(shí)所示，過點(diǎn)C作于D，設(shè)直線與半圓交于E，連接，設(shè)，則，由勾股定理可得方程，解方程求出，，；再證明，得到，則可證明，則此時(shí)滿足點(diǎn)C在圓內(nèi)，據(jù)此可判斷A；同理可判斷B、D；如選項(xiàng)C中圖所示，過點(diǎn)C作于D，利用勾股定理求出的長，可證明，則點(diǎn)C在圓外，據(jù)此可判斷C．【詳解】解：如選項(xiàng)A中圖實(shí)所示，過點(diǎn)C作于D，設(shè)直線與半圓交于E，連接，設(shè)，則，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，；∵是半圓的直徑，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，∴此時(shí)滿足點(diǎn)C在圓內(nèi)，故A不符合題意；同理可得B、D兩個(gè)選項(xiàng)中圖形的裁剪合理；如選項(xiàng)C中圖所示，過點(diǎn)C作于D，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C在圓外，故C選項(xiàng)中長度不合理，符合題意；故選：C．12．（2025·江西南昌·一模）如圖，點(diǎn)，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理及其應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，可得四邊形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂徑定理可得，則可得，利用勾股定理可得，即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵的半徑為，∴，∴，∴，∴，故選：D．二、填空題13．（2025·江西九江·一模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，則的度數(shù)為．【答案】/69度【分析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則由三角形內(nèi)角和定理可得，則可得到．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．14．（2025·江西新余·三模）如圖，在矩形中，．點(diǎn)在邊上，且，分別是邊，上的點(diǎn)，且，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為．【答案】或或【分析】先證明，，①如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，證明四邊形為矩形，②如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，③如圖3，以為直徑作圓，與交于點(diǎn)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)構(gòu)造矩形，且與交于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，可得，設(shè)，則，再進(jìn)一步解答即可.【詳解】解：∵在矩形中，，∴，，，∵，∴，∴，①如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，∵是直角三角形時(shí)，∴∵∴四邊形為矩形，∴，，為等腰直角三角形，∴是直角三角形，，∴，②如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，∴，∴，∴，而，則，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∵，∴，解得，∴．③如圖3，以為直徑作圓，與交于點(diǎn)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)構(gòu)造矩形，且與交于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，同理可得：，而，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴，綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為或或．故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，畫出圖形，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.15．（2025·江西南昌·二模）在中，，以點(diǎn)B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】此題考查了扇形面積公式、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．求出，作于點(diǎn)H，則得到，根據(jù)扇形面積減去三角形面積即可得到答案．【詳解】解：∵中，∴，∵以點(diǎn)B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接，∴，∴，∴，作于點(diǎn)H，則∴是等腰直角三角形，∴∴圖中陰影部分的面積為，故答案為：16．（2025·江西撫州·二模）如圖，以為邊作等腰三角形，，若的半徑為，弦的長為，點(diǎn)D在上，若，則的長為．【答案】或或【分析】首先確定點(diǎn)共有兩個(gè)位置，當(dāng)在處時(shí)，連接，易知；當(dāng)在處時(shí)，此時(shí)分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先證明，結(jié)合勾股定理解得，再證明，由直角三角形的性質(zhì)可得；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖，連接，交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，連接，然后計(jì)算的值．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵的半徑為，弦的長為，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即點(diǎn)其中一個(gè)位置與點(diǎn)重合，延長交于點(diǎn)，連接，則有，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴以為邊作等腰三角形，，點(diǎn)共有兩個(gè)位置，如圖，當(dāng)在處時(shí)，連接，則；當(dāng)在處時(shí)，此時(shí)分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖，連接，交于點(diǎn)，則，∴，∵，∴，在上取一點(diǎn)，使得，連接，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴．綜上所述，的長為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線并分類討論是解題關(guān)鍵．17．（2025·江西新余·二模）如圖，以為邊作等腰三角形，，若的半徑為，弦的長為，點(diǎn)D在上，若，則的長為．【答案】或或【分析】首先確定點(diǎn)共有兩個(gè)位置，當(dāng)在處時(shí)，連接，易知；當(dāng)在處時(shí)，此時(shí)分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先證明，結(jié)合勾股定理解得，再證明，由直角三角形的性質(zhì)可得；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖，連接，交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，連接，然后計(jì)算的值．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵的半徑為，弦的長為，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即點(diǎn)其中一個(gè)位置與點(diǎn)重合，延長交于點(diǎn)，連接，則有，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴以為邊作等腰三角形，，點(diǎn)共有兩個(gè)位置，如圖，當(dāng)在處時(shí)，連接，則，即；當(dāng)在處時(shí)，此時(shí)分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖，連接，交于點(diǎn)，則，∴，∵，∴，在上取一點(diǎn)，使得，連接，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴．綜上所述，的長為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線并分類討論是解題關(guān)鍵．18．（2025·江西宜春·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，且，則圓的半徑為．【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理，圓的基本性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，連接，設(shè)，則，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴圓的半徑為5，故答案為：5．三、解答題19．（2025·江西南昌·三模）在正方形網(wǎng)格中，圓經(jīng)過格點(diǎn)A，B，請僅用無刻度的直尺作圖：(1)在圖1中，作圓的直徑；(2)在圖2中，在圓上找一點(diǎn)D，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查網(wǎng)格中作圖，涉及圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，利用轉(zhuǎn)化的思想得到作圖依據(jù)是解答的關(guān)鍵．（1）利用90度的圓周角（即）所對(duì)的弦是直徑可畫出直徑；（2）取格點(diǎn)C、T，連接延長交圓于點(diǎn)D，連接，證明，得到，根據(jù)等腰三角形的判定可得．【詳解】（1）解：如圖1中，直徑即為所求；（2）解：如圖2中，點(diǎn)D即為所求．20．（2025·江西南昌·三模）如圖，在中，以為直徑作，交于點(diǎn)P，是的切線，且，垂足為點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則可判斷，所以，然后利用可得到結(jié)論；（2）連接，先利用勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)圓周角定理得到，接著證明，則利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可計(jì)算出，然后利用得到，從而得到的半徑．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

是的切線，，，，，，，；（2）解：連接，如圖，

在中，，則，，為直徑，，，，，，∴，即，解得，，，的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問題；21．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）如圖，在中，O為上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，長為半徑作圓，與相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)D，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定、切線長定理、全等與相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用．（1）作，先由求得，再由及求得，最后證得，依據(jù)切線的判定可得；（2）先求得，在中求得、，由切線長定理知、、，繼而得，再證，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作邊上的垂線，并交于點(diǎn)，，，，，，，又∵是的切線，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴是的切線；（2）∵，，又∵，，，∵，，，，，，即的半徑為，，，，∵，，，，．22．（2025·江西新余·三模）如圖，在中，是的直徑，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，連接，且．(1)求證：為的切線．(2)若的半徑為4，，連接，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，可得，證明，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）先求解，證明，可得，即，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，而為的半徑，∴為的切線；（2）解：∵的半徑為4，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定，熟練的證明切線與相似三角形是解本題的關(guān)鍵.23．（2025·江西九江·三模）如圖，是的直徑，四邊形是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，點(diǎn)與點(diǎn)重合，請作出的中點(diǎn)．(2)在圖2中，請作出的中點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了復(fù)雜作圖，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的性質(zhì)是作圖的關(guān)鍵．（1）連接并延長交于，連接交于M，則根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得到，根據(jù)平分弦（不是直徑）的直徑且垂直于弦,平分弦所對(duì)的兩條弧可得平分；（2）由（1）可作的中點(diǎn)，由中位線定理的圓周角定理定理得到，同（1）理．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)即為的中點(diǎn)；（2）解：如圖2，點(diǎn)即的中點(diǎn)．24．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）追本溯源題（1）來自課本中的練習(xí)，請你完成解答，并完成變式訓(xùn)練題（2）．(1)如圖1，與相切于點(diǎn)．若的直徑為，求的長．(2)如圖2，與相切于點(diǎn)．若的直徑為，求的長．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形．（1）連接，利用切線的性質(zhì)求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，最后利用勾股定理求解即可；（2）連接，作于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，得到，求得，利用勾股定理求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，再由，結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：連接，∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵的直徑為，∴，∴；（2）解：連接，作于點(diǎn)，∵的直徑為，∴，∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．25．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在中，為銳角，其頂點(diǎn)，都在上，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖中，的頂點(diǎn)在上，作頂點(diǎn)為的的余角．(2)在圖中，的頂點(diǎn)在內(nèi)，作頂點(diǎn)在直線上的的余角．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查了無刻度直尺畫圖，圓周角定理，互余定義，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)圓周角定理畫圖即可；（）根據(jù)圓周角定理畫圖即可．【詳解】（1）解：如圖，連接延長交上于點(diǎn)，連接，所以即為所求；理由：∵為直徑，∴，∴，∵，∴，故即為所求；（2）解：如圖，連接，延長交上于點(diǎn)，連接，所以即為所求；理由：∵為直徑，∴，∴，故即為所求．26．（2025·江西撫州·二模）如圖是的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格邊長為1，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．已知的外接圓，請僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成作圖，保留作圖痕跡．(1)作的外接圓的直徑；(2)過點(diǎn)B作的外接圓的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了無刻度直尺作圖，三角形的外接圓，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為，結(jié)合網(wǎng)格的特征，取格點(diǎn)，則，即交圓于點(diǎn)D，連接即可；（2）由（1）知為的外接圓的直徑，利用網(wǎng)格的特征，取中點(diǎn)，即為的外接圓的圓心，連接，再利用網(wǎng)格的特征，取格點(diǎn)E，作直線，可得，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，直徑即為所求．（2）解：如圖，切線即為所求．AI27．（2025·江西撫州·二模）如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，，求證：為的切線；(2)如圖2，若為的切線，，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，扇形面積，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．（1）由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出，結(jié)合時(shí)半徑即可證明；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，由圓周角定理求出，易證為等邊三角形，求出，利用即可求解．【詳解】（1）解：，，，，．是的直徑，為的切線；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．為的切線，，，．，為等邊三角形，，．28．（2025·江西新余·三模）如圖，是的一條弦，將平移后得一線段（A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，），且，兩點(diǎn)落在上．為的中點(diǎn)，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查圓的性質(zhì)、矩形的判定以及弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用圓中弦、弧、角的關(guān)系以及矩形的判定條件進(jìn)行推理計(jì)算．（1）通過平移性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再利用圓的性質(zhì)和已知平行關(guān)系證明有一個(gè)角是直角，從而證得矩形；（2）先證明四邊形為平行四邊形，得到，再利用圓的半徑關(guān)系求出圓心角，再利用弧長公式計(jì)算弧長．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意可得，，，四邊形為平行四邊形，，又，，四邊形是矩形；（2）為的中點(diǎn)，，，又，四邊形為平行四邊形，，如圖，連接，，為等邊三角形，，的長為．29．（2025·江西新余·一模）如圖1，是的外接圓，是的直徑，于點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線．(2)如圖2，連接，若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）如圖，連接．根據(jù)，得出．根據(jù)得出，等量代換得出，結(jié)合，即可得，即可證明．（2）如圖，連接，根據(jù)垂徑定理得出，，，結(jié)合，得出，即可得，求出，．在中，解直角三角形求出，即可得出的半徑長．【詳解】（1）證明：如圖，連接．，．于點(diǎn)，，，．，，．是的半徑，是的切線．（2）解：如圖，連接，，，，，，又，，．，，，，，∵，．在中，，的半徑長為4．【點(diǎn)睛】該題考查了切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，解直角三角形，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．30．（2025·江西贛州·二模）如圖，已知半圓的直徑的長為6，、是半圓的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在上，以為直徑作．(1)設(shè)的弧長為，半圓（即）的弧長為，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)連接，若與相切，請求出的長．【答案】(1)，理由見解析(2)4.5【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，弧、圓心角的關(guān)系，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）連接，弧、圓心角的關(guān)系可得出，然后根據(jù)弧長公式求出和即可；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)得出，求出，即可求解．【詳解】（1）解：．理由：連接，、是半圓的三等分點(diǎn)，，，，．（2）解：連接，與相切，，由（1）知，，，，即，31．（2025·江西宜春·一模）如圖，是的一條對(duì)角線，且，的外接圓與邊交于點(diǎn)．連結(jié)．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若的半徑為5，且，求的長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)6【分析】（1）連接、，連接并延長交于點(diǎn)，可得垂直平分，則，由三角形內(nèi)角和定理得出，由等邊對(duì)等角以及圓周角定理得出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步即可得出是的切線．（2）由等邊對(duì)等角，平行四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，即可證明．（3）連接過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知，由，設(shè)，，得出，最后根據(jù)勾股求解即可．【詳解】（1）證明：連接、，連接并延長交于點(diǎn)，∵，，∴垂直平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，即，∵為的半徑，∴是的切線．（2）證明：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵四邊形是內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴．∴；（3）解：連接、，連接并延長交于點(diǎn)，由（1）可知，垂直平分，∴，，∵，∴，∴設(shè)，，∴，在中，，∴，即，解得：（舍去）或，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正切的定義，相似三角的判定，圓切線的判定，等腰三角形三線合一等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2025·江西南昌·二模）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．(1)求證：為的切線；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住切線的判定方法；（1）根據(jù)角平分線、等邊對(duì)等角得出，證明，結(jié)合，即可得證；（2）過點(diǎn)作，垂足為．可得四邊形為矩形．進(jìn)而求得．設(shè)的半徑為，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：連接．平分，．，．．．，．．為的切線．（2）過點(diǎn)作，垂足為．四邊形為矩形．．設(shè)的半徑為．，．在直角三角形中，，∴，解得，的半徑為．33．（2025·江西吉安·一模）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，弦的延長線與過點(diǎn)C的直線互相垂直，垂足為D，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，則，所以，而，則，由為的直徑，得，可推導(dǎo)出，即可證明是的切線；（2）連接，由，，求得，，而，所以，則，即可根據(jù)弧長公式求得的長是．【詳解】（1）證明：連接．是的直徑，．

，，，，又，，即，

為上一點(diǎn)，是的切線．（2）解：如上圖，連接．，，，

，，，，，，，，

，的半徑為1，

的長為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、圓周角定理、弧長公式等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．34．（2025·江西新余·二模）如圖，是的弦（非直徑），點(diǎn)C是半徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與線段兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作的垂線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交的垂直平分線于點(diǎn)F，連接．(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，且點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了切線的判定、垂徑定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線的判定、垂徑定理是關(guān)鍵．（1）連接，證明．即可證明結(jié)論成立；（2）連接，交于點(diǎn)H．證明，，得到，在中，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：證明：如圖1，連接，則．∵垂直平分，∴∴．∵∴，∵，∴∴，即．∵是的半徑，∴是的切線．（2）如圖2，連接，交于點(diǎn)H．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∵垂直平分，∴，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴在中，，∴．35．（2025·江西撫州·一模）如圖，是的直徑，為圓上兩點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，弧長公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用圓周角定理得到，得出，即可得到結(jié)論；（2）連結(jié)，得到，求出，求出的長．【詳解】（1）證明：，，，，是的直徑，是的切線；（2）解：連結(jié)，∵AB是的直徑，垂直平分CD，，，，，的長．36．（2025·江西九江·二模）如圖，在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，以為半徑作，交于點(diǎn)．(1)判斷與的位置關(guān)系，并證明；(2)當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長．當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請直接寫出來．【答案】(1)與相切，見解析；(2)；．【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)．連接，根據(jù)等邊對(duì)等角可得：、，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，可得：，從而可得，所以可知與相切；當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，可知是的直徑，所以，根據(jù)，可得，從而可知，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于線段的一半可知；根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，，又因?yàn)?，所以可知，所以可得．【詳解】?）解：與相切，證明：如下圖所示，連接，，，，，，，，，即，又是的半徑，與相切；（2）解：如下圖所示，由題意得是的直徑，，，，，，，，，．四邊形是正方形，，，又，，，，當(dāng)滿足時(shí)，四邊形是正方形．37．（2025·江西新余·二模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，交于點(diǎn)，的切線交的延長線于點(diǎn)，，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)是的切線，得到，再根據(jù)，得到，根據(jù)是的直徑，得到，得到是的垂直平分線，即可解答；（2）證明，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可求出的長，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，最后證明，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）證明：∵是的切線，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴是的垂直平分線，∴；（2）解：∵，，，，∵是的直徑，∴∴∵，∴，∴，∴，∴，∵是的切線，是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．38．（2025·江西吉安·一模）如圖，是三角形的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，且滿足．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)，得出，從而可證得，再由切線的性質(zhì)得出，則，從而可得，即可由切線的判定定理得出結(jié)論；（2）設(shè)的半徑為，則，，然后在中，由勾股定理，得，即，求解即可．【詳解】（1）證明：連接，，，，，，是的切線，，，，，又是的半徑，是的切線．（2）解：設(shè)的半徑為，則，又，，，在中，由勾股定理，得，即，解得：，的半徑為．39．（2025·江西吉安·一模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，是的角平分線，請僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留畫圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖（1）中，過點(diǎn)作的平行線；(2)在圖（2）中，當(dāng)點(diǎn)作的垂線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查基本作圖、圓周角定理、平行線的判定、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用圓周角定理正確作出圖形是解答的關(guān)鍵．（1）延長交于M，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓周角定理得到，則可得；（2）延長交于M，連接并延長交于N，連接，由，可得．【詳解】（1）解：如圖1，直線即為所求作；（2）解：如圖2，直線即為所求作：40．（2025·江西撫州·一模）如圖，菱形的邊長是的直徑，與交于點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先由圓周角定理得，再結(jié)合菱形的性質(zhì)證明，則，又因?yàn)槭堑闹睆?，故是的切線．（2）先設(shè)，再得，運(yùn)用勾股定理列式，代入數(shù)值計(jì)算，得，再結(jié)合，得，則，即可作答．【詳解】（1）證明：如圖，連接．是的直徑，．四邊形是菱形，．．在和中，，．，．又是的直徑，是的切線．（2）解：設(shè)，．由（1）可知，．在中，由勾股定理得，，即，解得，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．41．（2025·江西·二模）如圖，是的直徑，直線與相切于點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，延長，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留）【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了切線判定和性質(zhì)、扇形面積等知識(shí)，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）連接，，證明，推出，即可證明結(jié)論成立；（2）作于點(diǎn)F，連接，證明是等邊三角形，得到，求出，，則，，據(jù)此計(jì)算即可求出答案．【詳解】（1）證明：連接，，∵為的切線，∴，∵，，，∴，∴，即，∵點(diǎn)B在上，∴是的切線；（2）解；如圖，作于點(diǎn)F，連接，，由可得：是斜邊的中線，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，又∵，，∴，，∴，，∴．42．（2025·江西·一模）如圖，內(nèi)接于，為直徑，點(diǎn)D在上，過點(diǎn)D作切線與的延長線交于點(diǎn)E，，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線、構(gòu)造直角三角形或平行線是解題的關(guān)鍵．（1）如圖：連接，由為的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，由為的直徑，得到，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，又因?yàn)榈玫?，最后根?jù)等量代換即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接，則，由勾股定理得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，由求解即可．【詳解】（1）解：如圖：連接，∵為的切線，∴，∵為的直徑，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴．（2）解：如圖：連接，則，∵，∴，∵，∴，在中，．43．（2025·江西宜春·一模）如圖是由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，經(jīng)過、兩個(gè)格點(diǎn)．以及格線上的點(diǎn)，僅用無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)如圖1，過點(diǎn)作的垂線；(2)如圖2，過點(diǎn)作弦．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，圓周角定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）根據(jù)網(wǎng)格，取與格線的交點(diǎn)，作直線即可；（2）連接，交于，連接并延長，交于，連接即可．【詳解】（1）解：取與格線的交點(diǎn)，作直線，直線即為求作的；理由：取格點(diǎn)，，連接，，，，，，；（2）解：連接，交于，連接并延長，交于，連接，即為所求作的；理由：直線是的對(duì)稱軸，點(diǎn)在上，，，，，．44．（2025·江西上饒·一模）如圖，這是的方格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，并畫出了的外接圓，請僅用無刻度的直尺在給定的方格中按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中的上作點(diǎn)D，使得．(2)在圖2中的上作點(diǎn)E，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是∶（1）取格點(diǎn)D，連接即可；（2）取格點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)即可．【詳解】（1）解∶如圖，點(diǎn)D即為所求，根據(jù)勾股定理得，，，，∴，，，∴是等腰直角三角形，∴；（2）解∶如圖，點(diǎn)E即為所求，根據(jù)勾股定理得，，，，∴，，，∴是直角三角形，∴．45．（2025·江西上饒·一模）如圖，內(nèi)接于，，AD是的直徑，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，交AB的延長線于點(diǎn)F，連接BD．(1)求證：DF是的切線．(2)若，，求BD的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由圓周角定理得，即，再由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得，，則，然后由平行線的性質(zhì)得，則，即，即可得出結(jié)論；（2）證，得，則，即可求解．【詳解】（1）證明：是的直徑，，即，，，，，，，，即，，又是的半徑，是的切線；（2）∵是的切線；∴，是的直徑，，，，∴，，，∴，．46．（2025·江西南昌·一模）如圖，四邊形是菱形，是對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓交于點(diǎn)，邊與相切于點(diǎn)．(1)①判斷點(diǎn)和的位置關(guān)系，并說明理由；②求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的周長．【答案】(1)①點(diǎn)在上，理由見解析；②見解析(2)【分析】（1）①連接，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)求解；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和切線的判定來求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和圓周角定理求出，再利用含角的直角三角形性質(zhì)求出，由勾股定理求出的長度，利用弧長公式求解．【詳解】（1）解：①點(diǎn)在上，理由如下：連接，，在菱形中，，∴，∴．又是半徑，∴點(diǎn)在上；②∵，∴．又與相切，切點(diǎn)為，∴，是半徑，∴，∴，∴是的切線．（2）解：∵，∴，在菱形中，，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，，，即，∴，，∴，∴弧長，∴．【點(diǎn)晴】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，切線的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．47．（2025·江西宜春·一模）如圖，是的直徑．四邊形內(nèi)接于，，對(duì)角線與交于點(diǎn)E，在的延長線上取一點(diǎn)F，使，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由，，證明得，然后求出即可證明是的切線；（2）連接，，先證明得，，證明是等邊三角形得，再證明是等邊三角形得，然后證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出的值．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，．又∵，，，∴，∴．∵，∴，∴，∴．∵是的直徑，∴是的切線．（2）解：如圖，連接，．由（1）可知，．∵，∴，∴，∴，，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，理解圓周角定理，熟練掌握切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．48．（2025·江西新余·一模）如圖，是的直徑，為的弦，于點(diǎn)E，連接并延長到點(diǎn)M，連接，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，得，結(jié)合，可以證明，于是即可得證；（2）根據(jù)，，，得，，根據(jù)，解答即可．【詳解】（1）證明：根據(jù)圓周角定理，得，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，，，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形內(nèi)角和定理，余弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．49．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）請僅用無刻度直尺按下列要求作圖，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中，已知矩形的頂點(diǎn)在圓上，請找出圓心．(2)在圖②中，弦上兩點(diǎn)滿足，以為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)在圓上，請找出圓心．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長交圓于兩點(diǎn)，交于點(diǎn)O，根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合直徑所對(duì)圓周角為，即可得到點(diǎn)O為所求；（2）延長交圓于兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連接，作射線交于點(diǎn)P，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合直徑所對(duì)圓周角為，即可得到點(diǎn)P為所求；【詳解】（1）解：如圖所示，圓心為所求：（2）解：如圖所示，點(diǎn)P為所求：理由：連接，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴，∵，∴，∴∴∴∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，為圓的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，即∴，∵∴，即∴，∴，∴，∴點(diǎn)P為圓心．【點(diǎn)睛】本題考查無刻度直尺作圖，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，整我圓周角定理是解題的關(guān)鍵．50．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線是直徑，延長邊，交于