趙福波24.1.2垂直于弦的直徑一、教材分析1.作為《圓》這章的第一個重要性質(zhì),它研究的是垂直于弦的直徑和這弦的關(guān)系。2、該性質(zhì)是圓的軸對稱性的演繹,也是今后證明圓中線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù),同時為后面圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù),所以它在教材中處于非常重要的作用。二、教學(xué)目標(biāo)1.知識目標(biāo):(1)充分認(rèn)識圓的軸對稱性。（2)利用軸對稱探索垂直于弦的直徑的有關(guān)性質(zhì),掌握垂徑定理。(3)運用垂徑定理進(jìn)行簡單的證明、計算和作圖。2.能力目標(biāo):讓學(xué)生經(jīng)歷“實驗—觀察—猜想—驗證—歸納”的研究過程,培養(yǎng)學(xué)生動手實踐、觀察分析、歸納問題和解決問題的能力。讓每個學(xué)生動手、動口、動眼、動腦,培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力。3.情感目標(biāo):通過實驗操作探索數(shù)學(xué)規(guī)律,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。4.法制教育目標(biāo):讓學(xué)生了解相關(guān)的文物保護(hù)知識和法律。三、教學(xué)關(guān)鍵圓的軸對稱性的理解四、教學(xué)重點垂直于弦的直徑的性質(zhì)與其應(yīng)用。五、教學(xué)難點1.垂徑定理的證明。2.垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論的區(qū)分。六、教學(xué)輔助多媒體、可折疊的圓形紙板。七、教學(xué)方法本節(jié)課采用的教學(xué)方法是"主體探究式"。整堂課充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,注重學(xué)生探究能力的培養(yǎng),鼓勵學(xué)生認(rèn)真觀察、大膽猜想、小心求證。令學(xué)生參與到"實驗觀察猜想驗證歸納"的活動中,與教師共同探究新知識最后得出定理。學(xué)生不再是知識的接受者,而是知識的發(fā)現(xiàn)者,是學(xué)習(xí)的主人。八、教學(xué)過程:教學(xué)環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情境回顧舊識引入新課揭示課題師生互動探求新知概念辨析運用新知拓展升華快速判定歸納小結(jié)分層作業(yè)教學(xué)時間3分鐘5分鐘9分鐘20分鐘4分鐘4分鐘教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計目的情景創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)(1分鐘)情景問題:趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m,你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎?讓學(xué)生了解趙州橋的歷史,了解文物的相關(guān)知識,滲透《文物保護(hù)法》（第三條古文化遺址、古墓葬、古建筑、石窟寺、石刻、壁畫、近代現(xiàn)代重要史跡和代表性建筑等不可移動文物,根據(jù)它們的歷史、藝術(shù)、科學(xué)價值,可以分別確定為全國重點文物保護(hù)單位,省級文物保護(hù)單位,市、縣級文物保護(hù)單位?！谄邨l一切機關(guān)、組織和個人都有依法保護(hù)文物的義務(wù)。）（）把一些實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題思考:若用直角三角形解決,那么E是否為中點?從實際出發(fā),充分發(fā)現(xiàn)問題的存在,再帶著問題去思考它們之間的關(guān)系,有助于定理的得出?；仡櫯f識回顧舊識(2分鐘)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過對稱的有關(guān)概念,下面復(fù)習(xí)兩道問題1)什么是軸對稱圖形?2）我們學(xué)習(xí)過的軸對稱圖形有哪些?（電腦上直觀的動畫演示,運用幾何畫板演示沿上述圖形對稱軸對折圖形的動畫）(電腦上直觀的動畫演示，運用幾何畫板演示沿上述圖形對稱軸對折圖形的動畫）（電腦上直觀的動畫演示，運用幾何畫板演示沿上述圖形對稱軸對折圖形的動畫)（電腦上直觀的動畫演示，運用幾何畫板演示沿上述圖形對稱軸對折圖形的動畫）學(xué)生觀察一些圖形:如果一個圖形沿一條直線對折,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫軸對稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。通過復(fù)習(xí),強化學(xué)生本節(jié)課所需要的相關(guān)知識,為學(xué)生自主探索垂徑定理做奠基。引入新課引入新課(4分鐘)問:(1)我們所學(xué)的圓是不是軸對稱圖形?（2）如果是,它的對稱軸是什么?拿出一張圓形紙片,沿著圓的任意一條直徑對折,重復(fù)做幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？：(1)圓是軸對稱圖形。(2)對稱軸是過圓點的直線(或任何一條直徑所在的直線)(3）圓的對稱軸有無窮多條實驗:把圓形紙片沿著圓的任意一條直徑對折,重復(fù)做幾次觀察：兩部分重合,發(fā)現(xiàn)得出圓的對稱性的結(jié)論觀察:兩部分重合，發(fā)現(xiàn)得出圓的對稱性的結(jié)論觀察：兩部分重合，發(fā)現(xiàn)得出圓的對稱性的結(jié)論培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,觀察能力,通過比較,運用舊知識探索新問題培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，觀察能力，通過比較，運用舊知識探索新問題揭示課題揭示課題(1分鐘)電腦上用幾何畫板上作圖:(1)做一圓(2)在圓上任意作一條弦;(3)過圓心作的垂線的直徑且交于E。(板書課題:垂直于弦的直徑)在圓形紙片上作一條弦,過圓心作的垂線的直徑且交于E在圓形紙片上作一條弦，過圓心作的垂線的直徑且交于E師生互動師生互動(4分鐘)運用幾何畫板展示直徑與弦垂直相交時圓的翻折動畫讓學(xué)生觀察,討論(1)圖中圓可能會有哪些等量關(guān)系?（2）弦與直徑除垂直外還有什么性質(zhì)?實驗:將圓沿直徑對折觀察：圖形重合部分,思考圖中的等量關(guān)系猜想:、弧弧、弧弧(電腦顯示))垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧?引導(dǎo)學(xué)生通過“實驗觀察猜想”,獲得感性認(rèn)識,猜測出垂直于弦的直徑的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生通過“實驗觀察猜想"，獲得感性認(rèn)識，猜測出垂直于弦的直徑的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生通過"實驗觀察猜想”，獲得感性認(rèn)識，猜測出垂直于弦的直徑的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生通過“實驗觀察猜想”，獲得感性認(rèn)識，猜測出垂直于弦的直徑的性質(zhì)探求新知探求新知(5分鐘)提問：這個結(jié)論是同學(xué)們通過演示觀察猜想出來的,結(jié)論是否正確還要從理論上證明它,下面我們試著來證明它已知:是⊙O的直徑,是弦,⊥證明:、弧弧、弧弧(<板書與電腦顯示>垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧。<進(jìn)一步也可推知>垂徑定理的逆定理：平分弦的直徑垂直于弦,并且垂直于弦所對的兩條弧）探索：證明:連結(jié)、,則＝,又⊥∴△≌△則∴所在的直線垂直平分弦當(dāng)把⊙O沿著直徑折疊時,A點和B點重合所以、弧弧、弧弧讓學(xué)生自主探究,大膽求證猜想發(fā)展思維能力,歸納結(jié)果讓學(xué)生自主探究，大膽求證猜想發(fā)展思維能力，歸納結(jié)果概念辨析概念辨析(2分鐘)（電腦顯示）練習(xí)1嗎?(1)(2)(3)注意：直徑,垂直于弦,缺一不可！注意:直徑，垂直于弦，缺一不可！注意：直徑，垂直于弦，缺一不可!注意：直徑，垂直于弦，缺一不可！圖(1)直徑不垂直弦圖(2）垂直弦的不是直徑圖（3）為弦,為直徑,⊥滿足垂徑定理圖(3）為弦，為直徑，⊥滿足垂徑定理圖（3)為弦，為直徑，⊥滿足垂徑定理圖（3）為弦，為直徑，⊥滿足垂徑定理運用定理變式練習(xí)揭示定理本質(zhì)屬性,強調(diào)垂徑定理兩個條件運用定理變式練習(xí)揭示定理本質(zhì)屬性，強調(diào)垂徑定理兩個條件運用新知運用新知(18分鐘)練習(xí)1:(5分鐘)一條排水管的截面如圖所示。已知排水管的半徑10,水面寬16。求截面圓心O到水面的距離。在學(xué)生發(fā)表見解的情況下總結(jié)歸納:(1)圓中有關(guān)弦、半徑的計算問題通常利用垂徑定理來解決。(2)重要的輔助線:過圓心做弦的垂線構(gòu)造直角三角形,結(jié)合垂徑定理與解直角三角形的有關(guān)知識解題。總結(jié)口訣：半徑半弦弦心距,化為勾股最容易,另外加上弓形高,Ｒｔ三角形少不了學(xué)生總結(jié)歸納解題思路,在練習(xí)本作,電腦顯示解::作⊥于C,由垂徑定理得:×16=8由勾股定理得:答:截面圓心O到水面的距離為6.這是一道計算題,是垂徑定理的簡單應(yīng)用,可調(diào)動學(xué)生積極性,讓學(xué)生通過歸納探究,使知識點有機的結(jié)合在一起,使其更深入地掌握定理的內(nèi)涵,培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性,提高分析和歸納的能力。練習(xí)2(5分鐘)（情景問題）趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m,你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？(練習(xí)本做、電腦顯示)解：如圖,設(shè)半徑為R在Ｒt⊿中,由勾股定理,得解得R≈27.9(m)答:趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m練習(xí)上一結(jié)束后,返回情景問題,解決這道之前不能完成的題目,體會成功的樂趣,發(fā)展思維能力,富有成就感。練習(xí)3:(3分鐘)已知：如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦交小圓于C,D兩點。求證:＝。注意:作輔助線注意：作輔助線(學(xué)生識圖、練習(xí)本做、電腦顯示)證明：過O作⊥,垂足為E,則＝,＝。－＝－。所以，＝這是證明線段相等的變式題,增強學(xué)生的識圖能力,揭示解決問題的方法——過圓心向弦做垂線,利用垂徑定理來解決一系列類似問題。練習(xí)4(5分鐘)出示分層訓(xùn)練:１.如圖1,已知、是圓O的兩條弦,、分別為、的弦心距,如果,則可得出什么結(jié)論(至少寫出兩個)?并證明。２.已知如圖2：在⊙O中,、為互相垂直的兩條相等的弦,⊥,⊥,D、E為垂足。求證：四邊形為正方形。３．如圖3,不過圓心的直線L交⊙O于,是⊙O直徑。、分別垂直于L,垂足是E、F。⑴求證：⑵若與相交,⑴的結(jié)論還成立嗎?圖1圖2圖3全班同學(xué)分層完成,每組同學(xué)完成自己題目后可做高一層的題目調(diào)整難度和梯度,讓所有學(xué)生均有所收獲,讓學(xué)生充分認(rèn)識到垂徑定理是證明線段相等的依據(jù)。拓展升華(3分鐘)如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧)結(jié)論與題設(shè)交換或交換一條,命題是真命題嗎？(1)過圓心(2)垂直于弦(3)平分弦(4）平分弦所對的優(yōu)弧(5）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論學(xué)生自主探證通過問題,引導(dǎo)學(xué)生拓展思維,發(fā)現(xiàn)新目標(biāo)快速判斷快速判斷(1分鐘)(1)垂直于弦的直線平分弦,并且平分弦所對的弧………..()（2)弦所對的兩弧中點的連線,垂直于弦,并且經(jīng)過圓心………………..()(3)圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分……...()（4）平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弦………()(5)圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分()鞏固拓展知識歸納小結(jié)歸納小結(jié)(3分鐘)由學(xué)生小結(jié),電腦顯示知識總結(jié):這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了兩個問題：一是圓的軸對稱性(學(xué)生回答),它是理解和證明定理的關(guān)鍵;二是垂徑定理(學(xué)生回答),它是這節(jié)課的重點要求大家分清楚定理的條件和結(jié)論,并熟練掌握定理的簡單應(yīng)用,還推知它的里定理。另外它的其他推論級應(yīng)用我們下節(jié)課探討。講評總結(jié):1學(xué)習(xí)垂徑定理后,你認(rèn)為應(yīng)該注意哪些問題？2應(yīng)用垂徑定理如