高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2025屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合M={x|y=lg(2-x)},N=x|x2A．(0,2) B．(0,3) C．(-∞,2) D【答案】A【解析】由y=lg(2-x)，則滿足2-x>0，可得x<2，所以又由不等式x2-3x=x(x-3)<0，解得0<x<3，所以則M∩N={x|0<x<2}=(0,2).故選：A.2．已知z=1-i1+i，則A．-i B．2i C．0 D【答案】C【解析】因?yàn)閦=1-i1+所以z+故選：C3．已知2sinα=sinα-πA．34 B．12 C．-1【答案】D【解析】由2sinα=sin整理得sinα=-cosα所以sin2α+故選：D4．平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=1，且A．π3 B．2π3 C．3【答案】B【解析】平面向量a,b滿足|a所以3a→2+a設(shè)向量a,b的夾角為θ，則則向量a,b的夾角為故選：B.5．已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2=4,SA．2 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由題意得a1+d=45所以a8故選：C6．已知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，且其側(cè)面積是底面積的3倍，則此正三棱錐的體積為（

）A．3 B．233 C．223【答案】D【解析】如圖，在正三棱錐P-ABC中，設(shè)頂點(diǎn)P在底面的射影點(diǎn)為H，則H為正△ABC的中心，延長(zhǎng)CH交AB于點(diǎn)M，則M為AB的中點(diǎn)，連接PM，因?yàn)檎鰽BC的邊長(zhǎng)為2，M為AB的中點(diǎn)，則CM⊥AB，因?yàn)镻A=PB，則PM⊥AB，則CM=AS△ABC由題意可知，正三棱錐的側(cè)面積為S側(cè)=3S即3?12AB?PM=1因?yàn)镠為正△ABC的中心，則MH=1因?yàn)镻H⊥平面ABC，MH?平面ABC，則PH⊥MH，所以PH=P因此，該三棱錐的體積為VP-ABC故選：D.7．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0)，過點(diǎn)FA．3 B．5 C．7 D．3【答案】B【解析】由題意可作圖如下：易知MF1tan∠MF2在△MF1F2中，整理可得2a2=c2故選：B.8．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x+1)-2為奇函數(shù)，對(duì)任意的a∈[-3,2]，不等式f(2a+t)+fa2-1≤4恒成立，則實(shí)數(shù)A．(-∞,-5] B．(-∞,0] C．【答案】A【解析】令gx=fx+1由f(2a+t)+fa可得g2a+t-1即g2a+t-1又因?yàn)間x為奇函數(shù)，所以g因?yàn)閒x是定義在R上的增函數(shù)，所以gx也是定義在故2a+t-1≤2-a2，即t≤-因?yàn)閍∈[-3,2]，所以-a+12+4所以t≤-5，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞故選：A二、多選題9．某高中學(xué)校對(duì)一次高二聯(lián)考物理成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，記錄了學(xué)生的分?jǐn)?shù)，其中分組的區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，畫出頻率分布直方圖，已知隨機(jī)抽取的成績(jī)不低于80分的有300人，若從樣本中隨機(jī)抽取個(gè)體互不影響，把頻率視為概率，則下列結(jié)論正確的是（

）A．學(xué)生成績(jī)眾數(shù)估計(jì)為75分 B．學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)大于中位數(shù)C．此次成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生人數(shù)為120人 D．學(xué)生成績(jī)的第45百分位數(shù)為70【答案】ACD【解析】由頻率分布直方圖得，成績(jī)?cè)赱70,80)的頻率最高，所以學(xué)生成績(jī)眾數(shù)估計(jì)為70+802=75分，故學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.020+75×10×0.030+85×10×0.015+95×10×0.010=70.5，∵10×0.010+10×0.015+10×0.020=0.45，10×0.010+10×0.015+10×0.020+10×0.030=0.75，∴學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，由0.45+0.030×x-70=0.5，得到∵70.5<2153，∴學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)小于中位數(shù)，故∵成績(jī)不低于80分的頻率為10×0.015+10×0.010=0.25，又隨機(jī)抽取的成績(jī)不低于80分的有300人，∴學(xué)生總?cè)藬?shù)為3000.25∵成績(jī)?cè)赱90,100]的頻率為10×0.010=0.1，∴此次成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生人數(shù)為1200×0.1=120人，故C正確；∵10×0.010+10×0.015+10×0.020=0.45，∴學(xué)生成績(jī)的第45百分位數(shù)為70，故D正確，故選：ACD.10．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB,AD,PC的中點(diǎn)，則（

）A．AG⊥PDB．異面直線FG和AC所成的角為πC．平面EFG與平面ABCD所成角的正弦值為6D．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截四棱錐P-ABCD所得的截面圖形為五邊形【答案】ACD【解析】如圖，因PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，故可以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.對(duì)于A，A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),G(1則AG=(12則AG⊥PD，即A正確；對(duì)于B，因點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，故F(0,12,0),則FG=(12,0,12),則cosθ=|因α∈(0,π2]，故θ=對(duì)于C，由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量可取為m=(0,0,1)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，則E(12,0,0)，EF設(shè)平面EFG法向量為n=(x,y,z)，則n?EF=0設(shè)直線EFG與平面ABCD所成角為α，則|cosα|=|cos?m對(duì)于D，如圖，延長(zhǎng)FE與直線CB交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)EF與直線CD交于點(diǎn)J，連接NG與PB交于點(diǎn)H，連接GJ與PD交于點(diǎn)K，連接HE,KF，則平面EFG截四棱錐P-ABCD的截面為五邊形HEFKG.即D正確.故選：ACD.11．已知圓C:(x-5)2+y2=12，拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為E上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,t)時(shí)，|PF|=2，直線lA．p=2B．若M為C上一點(diǎn)，則|PM|最小值為1C．若|PC|=4，則直線PF與圓C相切D．存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于x+y-3=0對(duì)稱【答案】AC【解析】因?yàn)楫?dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,t)時(shí)，|PF|=1+p2=2，所以p=2拋物線E:y2=4x圓C:(x-5)2+y2設(shè)Pt24即|PC|最小值為4，所以|PM|最小值為4-23，故B若|PC|=4，由B選項(xiàng)可知t2=12，則故直線PF的方程為y=±3因?yàn)閳A心C5,0到直線PF的距離為d=所以直線PF與圓C相切，故C正確；假設(shè)存在直線l使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于x+y-3=0對(duì)稱，設(shè)l:x-y+m=0，由x-y+m=0y2=4x，消x得到y(tǒng)則Δ=16-16m>0，解得m<1，又y1+y則4-2m2+42-3=0，解得m=1，與故選：AC.三、填空題12．已知變量y與x線性相關(guān)，由樣本點(diǎn)1,y1,2,y2,?,5,y5【答案】12【解析】由點(diǎn)1,y1在回歸直線y=15x+a所以回歸直線方程為y=又由樣本中心(3,y)在回歸直線上，可得所以5∑故答案為：12.13．已知曲線y=m2x(m>0)與y=lnx和y=ex分別交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)曲線y=lnx在A處的切線斜率為k1【答案】6【解析】因?yàn)閥=lnx和y=e且反比例函數(shù)y=m2x(m>0)可知點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，設(shè)A(x0,設(shè)f(x)=lnx,g(x)=e由題意可得：k1+k2=1x0可得A3,ln3，代入y=m2x故答案為：6ln14．在數(shù)列an中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列an+1-an稱為an的一階差數(shù)列，記為an(1)，依此類推，an(1)的一階差數(shù)列稱為an的二階差數(shù)列，記為an(2),?．如果一個(gè)數(shù)列an的p階差數(shù)列an(p)是等比數(shù)列，則稱數(shù)列an為p階等比數(shù)列p∈N*．若數(shù)列【答案】27；n-2+【解析】因?yàn)閍1=1,an+1=3設(shè)數(shù)列bn為原數(shù)列an的一階差數(shù)列，cn為原數(shù)列則由題意可知b1又cn為等比數(shù)列，故公比q=c2c1當(dāng)n≥2時(shí)，bn將n=1代入bn=1-1所以bn=1-12n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=a將n=1代入an=n-2+2所以an=n-2+2故答案為：27；n-2+2四、解答題15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知2sin（1）求C；（2）若2(a+b)=c2，求△ABC的邊解：（1）由2sinB=sin即2sinBcosC=sin于是cosC=12，又0<C<（2）由（1）知C=π3，由余弦定理，得而2(a+b)=c2，則因此(a+b)2-2(a+b)=3ab≤3當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，則c=2(a+b)所以△ABC的邊c的最大值為4.16．隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，智能化家居讓人們的生活越來(lái)越幸福，智能門鎖就是其中之一．智能門鎖的質(zhì)量是根據(jù)其正常使用的時(shí)間來(lái)衡量，使用時(shí)間越長(zhǎng)，表明質(zhì)量越好，且使用時(shí)間大于或等于6年的為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用A，B兩種不同品牌的智能門鎖做試驗(yàn)，各隨機(jī)抽取部分產(chǎn)品作為樣本，得到試驗(yàn)結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示，以試驗(yàn)結(jié)果中各組的頻率作為相應(yīng)的概率．（1）現(xiàn)從大量的A，B兩種品牌的智能門鎖中各隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求其中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）通過多年統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，A品牌智能門鎖每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其使用時(shí)間t（單位：年）的關(guān)系如下表：使用時(shí)間t（單位：年）t<55≤t<6t≥6每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）－200200400若從大量的A品牌智能門鎖中隨機(jī)抽取兩件，其利潤(rùn)之和記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）由直方圖可知，從A品牌智能門鎖中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品的概率P(A)=0.4+0.1=1從B品牌智能門鎖中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品的概率P(B)=0.3+0.1=2所以從A,B兩種品牌智能門鎖中各隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，其中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品的概率P=C（2）由題意外，X的可能取值為-400,0,200,400,600,800．所以P(X=-400)=C22P(X=200)=C22P(X=600)=C22那么X的分布列為X－4000200400600800P933111則數(shù)學(xué)期望E(X)=-400×917．建筑學(xué)中常用體形系數(shù)S表示建筑物與室外大氣接觸的外表面積與其所包圍的體積的比值，即S=F0V0，F(xiàn)0為建筑物暴露在空氣中的外表面積（不包括地面的面積），V0為建筑物所包圍的體積．某圓臺(tái)形建筑如圖所示，圓臺(tái)O1O的軸截面A1（1）若A1（2）若S=3+927，求直線C解：（1）如圖所示，連接A1O,C1O,BO由圓臺(tái)的性質(zhì)可知BO⊥平面ACC因?yàn)锳1C?平面ACC因?yàn)锳1C⊥C1B,C1B∩BO=B，所以A1C⊥平面因?yàn)镺C1?平面BO因?yàn)锳1C1//OC又A1C⊥OC則A1O=A1C（2）由設(shè)圓臺(tái)O1O的高為h，則母線長(zhǎng)為V0故S=F0V如圖所示，以O(shè)A,OB,OO1所在的直線分別為x，y，如圖所示，則A(2,0,0),B(0,2,0),A所以AA設(shè)平面A1AB的法向量為則m?AA1=-x+z=0m?AB設(shè)直線C1B與平面A1則sinθ=故直線C1B與平面A118．已知橢圓x2a2+y（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在定直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AM,BM分別交橢圓于兩點(diǎn)P和Q（不同于A，B），證明：點(diǎn)B在以PQ為直徑的圓外；（3）在（2）的條件下，求四邊形APBQ面積的最大值．解：（1）依題意，得1a2+所以橢圓方程為x2（2）由（1）知A(-2,0),B(2,0)，顯然點(diǎn)M不在x軸上，設(shè)M(-4,t)(t≠0),Px直線AM,BM斜率分別kAM直線AM的方程為y=-t2(x+2),BM由y=-t2(x+2)x24+于是-2xP=4t即點(diǎn)P坐標(biāo)為6-2t由y=-t6(x-2)x24+于是2xQ=4t即點(diǎn)Q坐標(biāo)為2t因此BP=BQ=則BP?則有∠PBQ為銳角，所以點(diǎn)B在以PQ為直徑的圓外．（3）由（2）知，P6-3則S=不妨設(shè)λ=9+t2當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，等號(hào)成立，易知函數(shù)y=λ+12λ在[6,+∞此時(shí)S四邊形由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3)或(4,-3)時(shí)，四邊形APBQ面積最大，最大值為6．19．已知f(x)=x-ax+1(a>0),g(x)=lnx+b(x-1)（1）求g(x)；（2）若對(duì)?x∈[1,+∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)（3）若h(x)=ex-g(x)的最小值為m，證明：方程e解：（1）設(shè)直線y=x-1與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為x0g'(x)=1所以x0=1（2）由f(x)≥g(x)得