高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省錢塘聯盟2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為等比數列，若，公比，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為為等比數列，，公比，則.故選：D.2.已知函數，則等于（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B3.某同學逛書店，發(fā)現本喜歡的書，決定至少買其中兩本，則不同的購書方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題意可知，該同學可買其中的本書、本書、本書，因此，不同的購書方法種數為種.故選：B.4.若,則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，令可得.故選：C.5.從1-9這9個數字中任意取出3個數，組成一個沒有重復數字的三位數，從百位到個位數字依次增大，則滿足條件的三位數的個數是（）A.84 B.120 C.504 D.720【答案】A【解析】從9個數字中選擇3個不同的數，無需再排序，故.故選：A.6.已知可導函數的部分圖象如圖所示，，為函數的導函數，下列結論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數圖象可知：恒成立，且，當時，單調遞減，，所以當時，單調遞增，，所以f'3>0,f當時，取得極小值，所以，所以成立，成立，故A、B一定成立；由的幾何意義為函數圖象分別在處的切線斜率，由函數圖象可知，函數圖象在上升越來越快，可判斷，故D一定成立；而對于的大小，由現有條件無法判斷.故選：C.7.已知函數，，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設直線切函數的圖象于點，則，切線斜率為，所以切線的方程為，即，聯立可得，，整理可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，故方程的根為，因此，直線的方程為，即.故選：D.8.設數列的前項和為，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為數列的前項和為，，當時，，解得，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，整理可得，等式兩邊同時除以可得，所以，數列是首項為，公差為的等差數列，故，所以，故，，故，A錯B對；由題意可得，所以，CD都錯.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知，則B.C.4個人排成一排，則甲不站首位的排法有18種D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，則甲、乙不相鄰共有12種排法【答案】ACD【解析】對于選項A，排列數公式,,解得（舍去），故選項A正確；對于選項B，，，相加得，而，顯然不相等，故選項B錯誤；對于選項C，4人排成一排的總排法為種，甲在首位的排法有種，因此甲不在首位的排法為種，故選項C正確；對于選項D，4人排成一排的總排法為種，甲乙相鄰的排法可視甲乙為一個整體，共有種（3個元素排列后內部交換甲乙），因此甲乙不相鄰的排法為種，故選項D正確.故選：ACD.10.已知無窮數列的前3項分別為2，4，8，則下列敘述正確的是（）A.數列為遞增數列B.若為等比數列，則C.若滿足，則D.若滿足，則【答案】BCD【解析】選項A：僅前三項遞增，無法保證無窮數列后續(xù)項的單調性，故A錯誤；選項B：若數列為等比數列，因數列的前三項2、4、8的公比為2，通項公式為

，故B正確；選項C：若數列滿足

，則為周期為3的數列.2025除以3余0，對應第3項

，故C正確；選項D：遞推式

,,,,,累加法求得：,所以，,驗證時成立，故D正確.故選：BCD.11.已知函數，定義集合，對于任意，都有，則的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因為集合，對于任意，都有，即，由題意函數在定義域上單調遞增或為常值函數，則在定義域上恒成立，即，當時，則有，合乎題意；當時，則，令，其中，則，故函數在上單調遞增，且當時，，當時，，所以；當時，則，令，其中，則.由可得，由可得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，.綜上所述，.故選：ABC.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為等差數列，其前項和為，若，，則等于______.【答案】【解析】因為為等差數列，其前項和為，，，則數列的公差為，因此，.故答案為：.13.若函數有兩個零點，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】因為函數有兩個零點，所以方程有兩個實根，所以函數與函數的圖象有且僅有兩個交點，函數的定義域為，函數的導函數為，當時，，函數上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，又，當時，，當時，，畫出函數與函數的圖象，觀察圖象可得實數的取值范圍是．故答案為：.14.一個項數為的正整數數列滿足，且，若為不大于的偶數，則符合條件的數列共有_________個.【答案】【解析】由題意，且，當時，，則可以取或，且逐項不減小，此時滿足條件的數列的個數有個；當，，則可以取或或或，且逐項不減小，此時滿足條件的數列的個數有個；當，，則可以取或或或或或，且逐項不減小，此時滿足條件的數列的個數有個；當，，則可以取或或或或或或或，且逐項不減小，此時滿足條件的數列的個數有個；綜上，滿足條件的數列共有.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數列前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求的前項和.解：（1）設公差為，由題意可得，，解得：，所以（2）由（1）可得則是首項，公比為2的等比數列則16.在二項展開式中，所有項的二項式系數之和為.（1）求展開式中的系數；（2）求展開式中二項式系數最大的項.解：（1）由題意可得，二項式系數解得，所以該二項式為.則通項公式為，令，解得，所以該二項式的展開式中的的系數為.（2）因為，易知展開式中第三項和第四項二項式系數最大，即，，所以展開式中二項式系數最大的項是，.17.已知函數，，且滿足處取得極值，（1）求實數的值；（2）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）因為，所以，令，解得，經檢驗合乎題意.綜上所述，.（2）由（1）知，所以，令，即，解得或，列表如下：

++

增減增當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以有極大值，有極小值，而，，所以函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18.記為數列的前項積，已知.（1）證明：數列是等差數列；（2）求數列的通項公式；（3）若，求數列的前項和.解：（1）因為記為數列的前項積，所以.由，得，即，所以是首項，公差為的等差數列；（2）由（1）得，所以，，所以，即；（3），①②由①②得，，.19.已知函數.（1）當時，求函數在上的最大值；（2）若函數有兩個極值點.（i）求的取值范圍；（ii）設的兩個極值點為、，證明：.解：（1）因為時，，所以，令，其中，則，即函數在上單調遞增，故當時，，所以在上單調遞增，所以的最大值為.（2）（i）由，則，求導可得，令，由題意可得函數存在兩個不同的變號零點，則，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增，所以，由，令，求導可得，令，解得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增，所以，則，由，則當時，函數存在兩個不同的變號零點，可得，解得.（ii）由（