第六章：計(jì)數(shù)原理重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)

重點(diǎn)題型

題型精析

題型一兩種計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用

［例1］（2022春?河北?高二河北省文安縣第一中學(xué)校考期末）如圖，要讓電路從A處到B處

接通，不同的路徑條數(shù)為（）

B

A.5B.7C.8D.12

【答案】C

【解析】要讓電路從A處到B處接通,不同的路徑條數(shù)為2xl+2x3=8.故選：C.

【變式1-11（2022春.廣西百色.高二統(tǒng)考期末）某學(xué)校推出了《植物栽培》《手工編織》《實(shí)

用木工》《實(shí)用電工》4門校本勞動選修課程，要求每個學(xué)生從中任選2門進(jìn)行學(xué)習(xí)，則甲？

乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的選法為（）

A.16B.24C.12D.36

【答案】B

【解析】甲先從4門課程選擇1門，有4種選法，

乙再從剩下的3門中選擇1門，有3種選法，

甲乙再從剩下的2門中共同選擇1門，有2種選法，

所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：

甲?乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的選法為4x3x2=24種.故選：B.

【變式1-21（2021秋?北京?高二北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校R路上有依次編號為12,9的9

盞路燈，為節(jié)約用電，某個時段可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞，而且

兩端的燈也不能關(guān)掉，則滿足條件的不同關(guān)燈方法的種數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.6（）

【答案】B

【解析】讓兩端的兩盞燈亮著，再點(diǎn)亮中間7盞中的4盞，4盞燈有5個空格，

從5個空格中隨機(jī)的選3個空格，

因?yàn)闊羰菦]有順序的，所以共有C=種，故選：B.

【變式1-3]（2022秋?上海楊浦?高二校考期末）有8種不同型號的手機(jī)供4位顧客選購，每

人只購一臺，則共有種不同的選法.

【答案】4096

【解析】由已知得，每位顧客都有8種選法,所以共有8x8x8x8=84=4096種方法.

【變式1-4]（2022秋福建龍巖?高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從3個女生4個

男生中選取3人參加某項(xiàng)活動，男生女生都要有人參加，共有種選法.

【答案】30

【解析】分兩類L類是1男2女共有UC；=12種情況另一類是2男1女共有=18情況,

山加法原理得共有12+18=30種情況.

題型二排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算

[例2]（2022春?江蘇?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）不等式A：G2C：的解為（）

A.{/?|2<M<5,/zeN}B.{〃|3<〃<6,〃eN}C.{5}D.{5,6}

【答案】C

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【解析】由A：$】2C：，得〃(〃-|)(〃-2)(〃-3)(〃-4)-2、山；?(〃一2)且〃25,

?5X乙XI

化簡整理得〃2-7〃+10?0,解得2"<5,又因?yàn)椤?5,所以〃=5.故選：C.

【變式2-1](2022秋吉林四平?高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))(多選)已知

A?-1AJ+0!=4,則，〃的可能取值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【解析】因?yàn)锳："；A；+O!=4,所以A；Jx6+l=4,所以Af=6,

其中〃wN,〃T3,而A；=1,A；=3,A-，所以〃?的值可能是2或3.故選：CD.

【變式2-2】(2022春?江蘇蘇州?高二?？计谥?(多選)已知正整數(shù)…滿足不等式〃〉心1,

則下列結(jié)論正確的是()

A.C：=C：-mR.c：=&C.A：=//A；；'D.A；：+〃?A：T=A\

〃！

【答案】ACD

【解析】選項(xiàng)A：等號左邊=麗F，等號右邊=(〃-〃-〃)廣許而

等號左邊二等號右邊，A正確.

選項(xiàng)B:等號左邊=“=,等號右邊=,、一=7~~,B錯誤.

p〃?!(〃-〃?)！(?-/??)!'p-i*—(〃一〃?)！〃！(n-m)l'

3HA-A-r-1.>_■〃！Mr-1-1■>_■(/?—1)!/?!

選項(xiàng)c：等節(jié)左邊二正而,等節(jié)右邊=〃("i1+D廣/而，

等號左邊二等號右邊，c正確.

_._.>,〃一〃?+1/?!〃！(〃一，〃+l)x〃！mxn!(n+l)!

1先項(xiàng)D,等號左i力=-------x-------------Fm---------------=----------------------1-----------------=----------------

心以?可亨工也n-m+\{n-m)\(/?-/?+!)!(M-/H+1)!(W-ZM+1)!(〃-〃Z+I)!

等號右邊=痣*，D正確.故選：ACD.

【變式2-3】(2022.高二課時練習(xí))若C；r<N),貝此的取值范圍是______.

【答案】{4,5,6,7,8,9,10,11}

【解析】由題意可得0必-4<"2VL-1410,

()<k-4

k-4<k-2",

即〃I，解得"ZKll,

K-2<K-1

1410

故答案為:{4,5,6,7,8,9,10,11}.

【變式2-4](2022?高二課時練習(xí))(1)若A1=140A；.則“=

（2）不等式A：>6A；“的解集為.

【答案】3{2,3,4,567}

【解析】（1）原方程可化為（2%+程2”（2X-1）.（2A2）=140*.（A1）.（A2）,

化簡得（4/-35x+69）（x-l）x=。,解得x=3或戶子或戶1或戶0.

2x4-1>4

2v+1eN*

由；之3，得“I，且xcN，所以x=3?

NX

9?6x5

（2）原不等式可化為日F>（9-x+2）!，其中2。工9,XGK,

整理得F-2Lr+104>0,gp（x-8）（x-13）>0,所以x<8或x>13.

因?yàn)?JW9所以24<8所以原不等式的解集為{2,345,6,7}.

題型三排列組合之排數(shù)問題

［例3］（2022秋?甘肅蘭州?高二蘭州一中?？计谥校?張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1,2；

L3；4,5；6,7.將這4張卡片排成一排,可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為（）

A.288B.336C.368D.412

【答案】B

【解析】當(dāng)四位數(shù)不出現(xiàn)1時,排法有：C；xC；xA：=96種；

當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)一個1時,排法有：2xC；xC；xA：=192種;

當(dāng)四位數(shù)出現(xiàn)兩個1時,排法有:?、（2-6=48種；

所以不同的四位數(shù)的個數(shù)共有：96+192+48=336.故選：B.

【變式3-1】（2022春.廣東清遠(yuǎn).高二統(tǒng)考期末）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，它是用回文形

式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀,不僅意思不變,而且頗具趣味.相傳，清代北京城里

有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺,

寺佛大過人在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的正整數(shù),被稱為“回文數(shù)"

如22,575,1661等?那么月數(shù)字1,2,3,4,5可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（）

A.25B.20C.30D.36

【答案】A

【解析】1,2,3,4,5可以組成的4位“回文數(shù)”中,

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由1個數(shù)字組成的4位回文數(shù)有5個，

由2個數(shù)字組成的4位回文數(shù)有Y=20個，

所以由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為20+5=25.故選：A

【變式3-2](2022春?山西呂梁?高二?？茧A段練習(xí))用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成無

重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，求滿足下列條件的數(shù)各有多少個.

(1)六位奇數(shù)；

(2)能被5整除的四位數(shù).

【答案】(1)288；(2)108

【解析】(1)先排個位，個位數(shù)字只能從1,3,5中選，有3種方法；

再排首位，首位不能為0,故還有4個數(shù)字可選，有4種方法；

最后排中間四位，沒有其他附加條件，排列數(shù)為4!.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有不同的排法種數(shù)為3x4x4!—288.

(2)能被5整除，個位只能是0或5,個位是0時，沒有其他附加條件，

其他三個數(shù)位的排法有7種；

個位是5時，首位排法有4種，再排十位與百位，有6種，

所以個位是5的排法有4A；種.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有A；+4A”108種排法.

【變式3-31(2022春?江蘇蘇州?高二星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?從1至！J7的7個數(shù)字中取出兩

個偶數(shù)和兩個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

(1)求包含3和6的四位數(shù)的個數(shù)；

(2)求兩個奇數(shù)排在一起的四位數(shù)的個數(shù)；

(3)求奇數(shù)和偶數(shù)均不相鄰的四位數(shù)的個數(shù).

(注：所有結(jié)果均用數(shù)值表示)

【答案】(1)144；(2)216；(3)144

【解析】(1)N=C；C；A：=144

(2)N=C：C；A；A；=216

(3)若奇數(shù)排在排在千位和十位,則M=A：A；=72

若奇數(shù)排在排在百位和個位，則M='A；=72

所以，奇數(shù)和偶數(shù)均不相鄰的四位數(shù)的個數(shù)為N=乂+M=144

【變式34】(2021秋江蘇南京高二南京市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合人,2,3,

4,5,6).

(1)從集合A中任取4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，共有多少個偶數(shù)？

(2)從集合A中任取3個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，共有多少種不同的取法？

(3)從集合A中任取2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，可構(gòu)成多少個奇數(shù)字相鄰的四位數(shù)？

(4)從集合A中任取4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一

個數(shù)列，則這個數(shù)列中第135項(xiàng)是多少？

【答案】(1)180；(2)10；(3)108；(4)3216

【解析】(1)先從3個偶數(shù)中任選一個放在個位，進(jìn)而從剩余的5個數(shù)中選擇3個進(jìn)行排列，

故有A；=3x60=180個；

(2)一是選擇3個偶數(shù),其和為偶數(shù)，有?種，

二是選擇?個偶數(shù)，選擇2個奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，此時有種取法，

綜上共有C；+C：?C；=3+3x3=IO種；

(3)從3個奇數(shù)中選出2個，從3個偶數(shù)中選出2個，

把兩個奇數(shù)看為一個整體，有用種情況，

兩個偶數(shù)和奇數(shù)組成的整體進(jìn)行全排列，故共有用A：=3x3x2x6=108個.

(4)千位數(shù)為1的四位數(shù)共有&=60個，干位數(shù)為2的四位數(shù)共有8=60個，

千位數(shù)為3的四位數(shù)共有8=6。個，所以第135項(xiàng)的千位數(shù)字為3；

千位數(shù)為3且百位數(shù)為1的四位數(shù)共有看=12個，

千位數(shù)為3且百位數(shù)為2的四位數(shù)共有否=12個，

所以第135項(xiàng)是千位數(shù)字為3,百位數(shù)為2的四位數(shù)中的第3項(xiàng)，

所以數(shù)列中的第135項(xiàng)是3216.

題型四排列組合之排隊(duì)問題

[例4](2023秋?北京?高二北京市十一學(xué)校?？计谀?某晚會有三個唱歌節(jié)目，兩個舞蹈節(jié)

目，要求舞蹈節(jié)目不能相鄰，有()種排法？

A.72B.36C.24D.12

【答案】A

【解析】先排三個唱歌節(jié)目這有：A；=6種情況，

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然后四個空排兩個舞蹈節(jié)目這有：A：」2種情況，

所以舞蹈節(jié)目不能相鄰的情況有：6x12=72情況.故選：A.

【變式4-1]（2022秋?河南南陽?高二?？茧A段練習(xí)）甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯

演，若甲不站在兩端?丙和丁相鄰的不同排列方式有（）

A.24種B.36種C.48種D.144種

【答案】A

【解析】將丙和丁看作一個整體，有8=2種方法；

將乙、戊和丙丁的整體首先安排到兩端，

則有后=6種方法，再安排甲和剩余的人，有8=2種方法；

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的排列方式有：2x6x2=24種.故選：A.

【變式4-2】（2022春.廣東潮州.高二饒平縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）A、B、C、D、

五五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（）

A.若A、8兩人站在一起有48種方法B.若A、〃不相鄰共有12種方法

C.若A在“左邊有60種排法D.若A不站在最左邊,“不站最右邊，有72種方

法

【答案】AC

【解析】對于A,先將A,8排列，再看成一個元素，和剩余的3人，

一共4個元素進(jìn)行全排列，由分步原理可知共有A；A：=48種，所以A正確；

對于B,先A,B之外的3人全排列，產(chǎn)生4個空，再將A,8兩元素涌空,

所以共有A；A：=72種，所以B不正確；

對于C,5人全排列，而其中A在B的左邊和A在8的右邊是等可能的，

所以A在B的左邊的排法有:A；=60種，所以C正確；

對于D，對4分兩種情況:一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列有人：=24種，

另一個是A不在最左邊也不在最右邊，則A從中間的3個位置中任選1個，

然后B從除最右邊的3個位置中任選1個，最后剩下3人全排列，

即A；A；A；=54,由分類加法原理可知共有24+斗=78種，所以D不正確,故選：AC.

【變式4-3]（2022秋?福建龍巖?高二福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）3名男生，4名女

生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法數(shù).

（1）選5名同學(xué)排成一排：

(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端：

(3)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；

(4)全體站成一排，男生彼此不相鄰；

【答案】(1)2520；(2)24()0；(3)288；(4)1440

【解析】(1)無條件的排列問題,排法有與=2520種.

(2)先在中間五個位置選兩個位置安排甲，乙，

然后剩余5個人在剩余五個位置全排列，所以有=24。。種

(3)相鄰問題，利月捆綁法,共有A；A：A；=288種.

(4)即不相鄰問題?先排好女生共有A：種排法，

男生在5個空中安插，共有A；種排法，所以共有A：A；=144。種.

題型五排列組合之涂色問題

[例5](2022.高二單元測試)用紅、黃、藍(lán)3種顏色給如圖所示的6個相連的圓涂色，若每

種顏色只能涂2個圓，且相鄰2個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為()

CXXXXX)

A.24B.3()C.36D.42

【答案】B

【解析】分2類(先涂前3個圓，再涂后3個圓.)：

第1類，前3個圓月3種顏色,后3個圓也用3種顏色,有A；C?=24種涂法；

第2類，前3個圓月2種顏色,后3個圓也用2種顏色，有CC=6種涂法.

綜上，不同的涂法和數(shù)為24+6=30.故選：B.

【變式5-1](2022春?黑龍江齊齊哈爾?高二統(tǒng)考期末)學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力,更能

提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四

個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共

有種不同的涂色方法.

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【解析】當(dāng)選擇兩種顏色時I因?yàn)闄炀G與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，

所以共有C：-1=5種選法，因此不同的涂色方法有5x2=10種,

當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則有2種方法選法，

因此不同的涂色方法有2x2x2=8種，

當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中，則有2種方法選法，

因此不同的涂色方法有2x3x2x（2+l）=36種，

當(dāng)選擇四種顏色時，不同的涂色方法有2x2x2+2x2=12種，

所以共有1。+8+36+12=66種不不同的涂色方法.

【變式5-2】（2022秋?遼寧沈陽.高二沈陽二中校考期中）如圖所示的五個區(qū)城中，現(xiàn)要求在

五個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)城所涂顏色不

同，則不同的涂色方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【解析】設(shè)這四個顏色分別為123,4,先給區(qū)域E涂色，有4種涂法；

假設(shè)區(qū)域2涂的是顏色I(xiàn),再給區(qū)域A涂色，可以是顏色2,3,4.有3種涂法；

假設(shè)區(qū)域A涂的是顏色2,再給區(qū)域小涂色,可以是顏色工4,有2種涂法；

假設(shè)區(qū)域8涂的是顏色3,如果區(qū)域。涂的是顏色2,

則區(qū)域?？梢酝款伾?或顏色4,有2種涂法；

如果區(qū)域C涂的是顏色4,那么區(qū)域。可以涂顏色3,有1種涂法.

所以不同的涂色方法種數(shù)為4X3X2X（2+1）=72（種）

【變式5-3】（2022.高二課時練習(xí)）如圖，用5種不同的顏色給圖中的A、B、C、D、E、F

6個不同的點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂1種顏色，旦圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同的顏色，則

不同的涂色方法共有種.

【解析】依題意，完成涂色問題，至少用3種顏色，

則計(jì)算不同的涂色方法種數(shù)可以有3類辦法：

用5種顏色涂，有一組2點(diǎn)同色，在點(diǎn)。工了中任取1點(diǎn)，

與其同色的點(diǎn)有2種情況,不同涂色方法種數(shù)為2C；A1

用4種顏色涂，有兩組2點(diǎn)同色，在點(diǎn)D,E,卜中任取2點(diǎn)，

與其同色的點(diǎn)有3種情況，不同涂色方法種數(shù)為3C；A；,

用3種顏色涂，有三組2點(diǎn)同色，點(diǎn)DE尸全部取出,

與其同色的點(diǎn)有2種情況,不同涂色方法種數(shù)為2C；A1

由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方法種數(shù)共有：

2c閨+3C：A；+2C>j=720+1080+120=1920.

【變式5-4]（2022秋?遼寧沈陽?高二同澤高中?？茧A段練習(xí)）給圖中A,B,C,D,E,F六

個區(qū)域進(jìn)行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有5種顏色可供選擇，

則共有種不同的染色方案.

【解析】由題意可知，若滿足相鄰區(qū)域不同色，最少需要三種顏色，最多需要五種顏色.

當(dāng)有3種顏色時，則8。同色，氏同色，質(zhì)同色，此時的涂色種類為CCG=60種.

當(dāng)有4種顏色時，則有三種情況：

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①，。不同色，EC同色，"'同色，此時涂色種類為2*/0&=120種；

②8。同色,卬不同色，瓶同色，此時涂色種類為2%（21?=120種；

③相同色,EC同色,"不同色,此時涂色種類為2女汜?=120種；

即當(dāng)有4種顏色時，總的涂色種類為120+120+120=360種.

當(dāng)有5種顏色時，則有三種情況：

①8。不同色，改不同色，加，同色,此時涂色種類為4xC；C；C；=120種；

②及）同色，玄不同色,所不同色,此時涂色種類為4xC；C；C=120種;

③3。不同色，尾同色,質(zhì)不同色，此時涂色種類為4乂^<3工；=120種；

即當(dāng)有5種顏色時?總的涂色種類為120+120+120=3^）種.

綜上，總的共有60+360+360=780種不同的方案.

題型六排列組合之分組分配問題

［例6］（2023秋?安徽宿州?高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？计谀閷W(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，

某宣講小分隊(duì)將5名宣講員分配到3個社區(qū)，每個宣講員只分配到1個社區(qū)，每個社區(qū)至少

分配1名宣講員，則不同的分配方案共有（）

A.360種B.240種C.150種D.90種

【答案】C

【解析】5名宣講員分配到3個社區(qū)，每個社區(qū)至少1人，

則分配方式為二，3，或122兩種情況.

先分組箋4+與落=25,再將分好組人員分配到3個社區(qū)有A”6,

所以不同的分配方案共有25x6=150.故選：C.

【變式6-1］（2022秋?甘肅慶陽?高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)將9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三個

社區(qū)做宣傳活動.

（1）若甲、乙、丙同去一個社區(qū)，且每個社區(qū)都需要3名志愿者，求不同安排方法的總數(shù)；

（2）若每個社區(qū)至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的總數(shù).

【答案】（1）60；（2）11508

【解析】（1）依題意可得不同安排方法的總數(shù)為娶=60.

（2）根據(jù)題意，這9名志愿者人數(shù)分配方案共有三類：

第一類是3,3,3,第二類是2,2,5,第三類是2,3,4.

故不同安排方法的總數(shù)為號+券+C；C“A；=11508.

【變式6-2](2023.高二課時練習(xí))6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法?

(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；

(2)分為三份，每份兩本；

(3)分為三份,一份一本,一份兩本，一份三本；

(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；

(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

【答案】(1)9()；(2)15；(3)60；(4)360；(5)540

【解析】(1)先從6本書中選2本給甲，有C：種方法；

再從剩余4本書中選2本給乙，有C：種方法；

最后從余下的2本書中選2本給丙，有C；種方法.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有C；C；C；=90種不同分法.

(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程可以分兩步完成：

第一步分為三份，每份兩本,設(shè)有x種方法；

第二步將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)，有A；種方法.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,可得,

c2c2c2

所以、二比==15,即共有15種不同分法.

(3)這是“不均勻分組”問題，一共有CCC=60種不同分法.

(4)在(3)的基礎(chǔ)上進(jìn)行全排列，一共有C；CC；A；=360種不同分法.

(5)可以分為三類情況：

①22、2型唧(1)中的分配情況,有C泣C”90種分法;

②力、2、3型唧(4)中的分配情況，有C?C；A：=360種分法;

③力、1、4型”，有或A；=90種分法.

所以一共有90+360+90=540種不同分法.

【變式6-3](2023?高二課時練習(xí))將四個小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，根據(jù)

下列條件求不同放法的種數(shù).

(1)四個小球不同，每個盒子各放一個；

12/29

(2)四個小球相同，每個盒子各放一個；

(3)四個小球不同，四個盒子恰有一個空著；

(4)四個小球相同，四個盒子恰有一個空著.

【答案】(1)24；(2)1；(3)144；(4)12

【解析】(1)四個小球不同，每個盒子各放一個，屬于全排列問題廁不同的放法有《=24種；

(2)四個小球相同,每個盒子各放一個,每個小球放入彳到可一個盒子，

都為同1種情況，故不同的放法有1種；

(3)四個小球不同,四個盒子恰有一個空著，則有一個盒子放入了2個小球，

先將四個不同的小球分為3組,有鬟C=6種情況，

選出一個空盒，有C；=4種情況，再將分好的3組小球，

與對應(yīng)的3個盒子進(jìn)行全排列，共有A；=6種選擇，

綜上：四個小球不同,四個盒子恰有一個空著，選擇方法有6x4x6=144種；

(4)四個小球相同1四個盒子恰有一個空著，則有一個盒子放入了2個小球，

先將四個不同的小球分為3組，則只有1種分法，即2,I,1,

選出一個空盒?有C；=4種情況，將分好的3組小球，放入3個盒子中，

選出放入2個小球的盒子，有C=3種情況，

綜上：四個小球相同，四個盒子恰有一個空著，一共有4*3=12種選擇.

題型七排列組合之定序問題

[例7](2022.全國?高三專題練習(xí))某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前

又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同

插法的種數(shù)為()

A.6B.12C.15D.30

【答案】D

【解析】因?yàn)樵黾恿藘蓚€新節(jié)目.將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，

所以原來5個節(jié)目形成6個空，新增的2個節(jié)目插入到6個空中，

共有6=6x5=30種插法故選：D.

【變式7-112022春.湖北.高二安陸第一高中校聯(lián)考期中屎班10名同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競賽,

賽后老師為這10名同學(xué)拍合影留念，前排站4人后排站6人，后來老師決定從后排6人中抽

出兩名同學(xué)站到前排，其他同學(xué)的相對順序不變，則共有多少種調(diào)整方法（）

A.150B.300C.450D.225

【答案】C

【解析】先從后排6人中抽出兩名同學(xué)，有C種方法，然后與前排4人排列，有父種排法,

因?yàn)橥瑢W(xué)的相對順序不變，則前排4人不要再排，

所以共有戲.§=450種調(diào)整方法.故選：C.

【變式7-2］（2022.高二課時練習(xí)）某公司為慶祝年利潤實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，計(jì)劃舉行答謝聯(lián)歡會，原

定表演6個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目的順序

不變，那么不同排法的種數(shù)為（）.

A.42B.56C.30D.72

【答案】B

【解析】增加2個互動節(jié)目后，一共有8個節(jié)目，這8個節(jié)目的不同排法有父種，

而原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法共有《種，

所以不同的排法有'=56（種）.故選：B.

【變式7-3】（2022春?安徽滁州?高二?？茧A段練習(xí)）某公司為慶祝年利潤實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，計(jì)劃舉

行答謝聯(lián)歡會，原定表演6個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個歌唱節(jié)目和I個

舞蹈節(jié)目如果保持原節(jié)目的順序不變，且要求增加的兩個歌唱節(jié)目相鄰那么不同排法的種數(shù)

為—?

【答案】H2

【解析】將增加了2個歌唱節(jié)目和I個舞蹈節(jié)目與原定表演6個節(jié)目進(jìn)行排列，

將新增加的兩個歌唱節(jié)目捆綁為一個“大元素、與其它7個節(jié)目進(jìn)行排列，

但考慮原定表演6個節(jié)目的順序不變，

A2A8

由倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為黃=2x7x8=112種.

題型八排列組合之多面手問題

［例8］（2022.高二課時練習(xí)）某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語,

4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻

14/29

譯，則共有（）種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類.

①“2人既會英語又會法語“不參加，這時有CC種；

②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，

這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能,因此有c；c*+c；c；C種；

③“2人既會英語又會法語”中兩個均入選，

這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，

因此有c也C+汨C種.

綜上分析,共可開出^^+&盤。：十仁。?+/。汨+^。2+以&匕匕=185種故選：B.

【變式8-1]（2022?高二課時練習(xí)）有8名學(xué)生，其中2名學(xué)生會下象棋但不會下圍棋，3名

學(xué)生會下圍棋但不會下象棋，3名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從這8名學(xué)生中選出2名學(xué)

生，其中一名學(xué)生參加象棋比賽，另一名學(xué)生參加圍棋比賽，則不同的選派方法有（）

A.18B.24C.27D.30

【答案】C

【解析】3名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選取。人時，方法數(shù)有=6種.

3名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選取1人時，方法數(shù)C；X（G+C）=I5種.

3名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選取2人時方法數(shù)6=6種.

故總的方法數(shù)有6+15+6=27種.故選：C

【變式8-2]（2022春?黑龍江高二大慶市東風(fēng)中學(xué)?？计谥校┠除堉坳?duì)有9名隊(duì)員，其中3

人只會劃左舷，4人只會劃右舷,2人既會劃左舷又會劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷

的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有

【答案】92

【解析】不妨設(shè)既會劃左舷又會劃右舷的2人為A、8,

①若A和8兩人均不去參加比賽,則選派方法有GC：種；

②若A和“兩人只去一人參加比賽，

⑴若只會劃左舷的去兩人,則選派方法為種；

（ii）若只會劃右舷的去兩人，則選派方法為GCC：種；

③若A和。兩人均去參加比賽，

⑴若只會劃左舷的去1人，則A和6兩人均去劃左舷,則選派方法為C；C：種；

（ii）若只會劃左舷的去2人，貝」AI和。兩人中有一人去劃左舷，另一人去劃右舷，

則選派方法為種；

（iii）若只會劃左舷的去3人，則A和3兩人均去劃右舷，則選派方法為CC種，

綜上所述,不同的選派方法共有c；c：+c；c；c：+c；c；c：+c；c：+c；c；c；+c；C=92種.

【變式8-3]（2022秋?河南南陽?高二?？茧A段練習(xí)）我校去年11月份，高二年級有9人參加

了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)

要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法

【答案】216

【解析】根據(jù)題意可按照只會跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.

第一類：2個只會跳舞的都不選，有=16種；

第二類：2個只會跳舞的有1人入選，有CCC=120種；

第三類：2個只會跳舞的全入選，有CC.C：=8。種，

所以共有216種不同的選法.

題型九二項(xiàng)展開式的正用與逆用

【例9】（2022.高二課時練習(xí)）求，+已）的展開式的中間項(xiàng).

【答案】?=30618、,-=10206x3.

【解析】1+若展開式的通項(xiàng)為J=6片傳；=C；3"9T,r=0,1,2,,9,

所以展開式共有1（）項(xiàng)，中間項(xiàng)為第5,6兩項(xiàng).

7；=舄35f=30618/,7；=C：3k=]（）206.1.

/17\6

【變式9-1]（2023?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)2x2--+M+出產(chǎn)+L+《產(chǎn)，則

kx）

+/%+???+”6=（）

A.21B.64C.78D.156

【答案】A

【解析】,的展開式的通項(xiàng)為“CWT7）'.產(chǎn)應(yīng)，U2,…,6,

16/29

所以叫+町+嗎+'+/H6=12x7-3x(14-2++6)=84一3x|十；=21.故選：A.

753642

【變式9-2】(2022?高二課時練習(xí))igA=34-C5x3+C；x3+C；x3,5=Clx3+C5x3+C?x34-1,

則的值為()

A.128B.129C.47D.0

【答案】A

【解析】A-B=C^X37-C^X36+C^X35-C>34+C>33-C^X32+C^X3,-C>3°=(3-1)7=27=128,

故選：A

【變式9-3](2021.全國高二專題練習(xí))已知卜-J的展開式中第3項(xiàng)、第4項(xiàng)、第5項(xiàng)之

和大于25,則j的取值范圍是()

A.(1,-Hx>)B,(8,+<c)C.(27,e)D.(343,田)

【答案】A

【解析】因?yàn)椴?的展開式中第3項(xiàng)、第4項(xiàng)、第5項(xiàng)之和大于25,

所以4-C^f--+C**--=15(/+與-20>25,

kX)kX)<x)Vx~)

即丁+千>3,所以卜一力、丁+?一2>1,所以1―Tj>l,古嬤：A.

【變式9-4](2022春山東煙臺.高二統(tǒng)考期中)在二項(xiàng)式(x+3)”(〃wN)的展開式中，只有第

六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

(1)求其展開式的第四項(xiàng)；

s2

(2)求產(chǎn)-29C?o+2Co+…+2,C：o-2y+22C；0的值.

【答案】(1)3240/；(2)0

【解析】(1)因?yàn)槎?xiàng)式(》3)“("N)的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以展開式中共11項(xiàng)，所以〃=1。，所以第四項(xiàng)4=C。?”咒3、=3240/;

,0982

(2)(2-1)'°=2C?O-2C；O+2C?O+...+2C?O-2C?O+C!；,

2

所以21°-":。++…+2C?O-2C；。+C：。=1,

102，o

所以2-2y+2y+….+2V-2y+2C；O-2C；O=(2-I)-I=o.

題型十二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)

【例10］（2023秋?浙江?高三期末）二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.-15B.15C.2（）D.-20

【答案】B

【解析】展開式通項(xiàng)為：心=C仁廠卜產(chǎn)］

令12-3Z=0nk=4,常數(shù)項(xiàng)為（T）4c=15.故選：B

【變式10-1］（2022秋.甘肅慶陽.高二統(tǒng)考期末）在［向'-套;的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)

的項(xiàng)是（）

A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第6項(xiàng)

【答案】C

【解析】在叵2—矗［的展開式中，根據(jù)通項(xiàng)九=&（行尸（-裝］可知,

k=4時系數(shù)為有理數(shù)，即第五項(xiàng)為加=Z=C；|：儂2）［-矗J.故選：C

【變式10-2】（2022春.江蘇?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（1+疔+（1+4+（1+"++（1+外的展開式中

V的系數(shù)為（）

A.《B.C；C.「D.C

【答案】D

【解析】由題意可知，（1+q展開式中/的系數(shù)為c.

所以原式的展開式的系數(shù)為：

c；+c；+.+c)=c；+c；+..+c；o=c：+c；++c[=C+c；++c；o=

【變式10-3］（2022秋.浙江高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）在跖+—（〃=?）的展開式中，

有理項(xiàng)恰有兩項(xiàng)，則〃的可能取值為（）

A.8B.12C.13D.15

【答案】AC

2n-S，

曲+舒（〃€N"）展開式通項(xiàng)為小

【解析】=C：?x"1—)

對于A,展開式通項(xiàng)為，所以由呼wZ可得『2或8,

所以此時有兩個有理項(xiàng)，故正確；

18/29

對于B,展開式通項(xiàng)為乙=/.華，所以由"衿＜=Z可得,-=0或6或12,

所以此時有三個有理項(xiàng),故錯誤；

對于C,展開式通項(xiàng)為,所以由歿豆eZ可得〃=4或10,

所以此時有兩個有理項(xiàng)，故正確；

對于D,展開式通項(xiàng)為力「品尸手，所以由竺哀cZ可得〃=0或6或12,

所以此時有三個有理項(xiàng)，故錯誤；故選：AC

【變式10-4］（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）若

展開式中V的系數(shù)為30,則….

【答案】1

【解析】（1+4展開式通式為小=〃則晨/,?+?）=〃%，+/嗚產(chǎn)，

.?.〃C+mC：=30,解得用=1,故答案為：1.

【變式10-5］（浙江省嘉興市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）（17）R+2），）3的展開

式中盯2的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-48

【解析】dr）析+2?的展開式中孫2的系數(shù),

是（1-"的展開式中x的系數(shù)與（1+2），）3的展開式中/的系數(shù)之積，

即C；（-l）xC；"=-48.

故答案為：-48

【變式10-6］（2023秋?浙江?高二浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考期末）已知

（X-1）4+2.V5=4）+q（X+1）+〃2（八+1）2+…+4（X+1），,貝!］。3=.

【答案】12

【解析】令x+l=l,貝！Jx=，T,故。一》+2/二。-2）"+2（，一戶=%+卬+生產(chǎn)+,+a5r,

（^-2）4^r3a＜）^^C；（-2）'=-8,2（—I），中/的系數(shù)為2C：（一4=2。，

所以%=-8+20=12，故答案為：12.

【變式10-7］（2022春重慶沙坪壩?高二重慶八中校考期中）在（丁7+2行的展開式中,xV

的系數(shù)為.

【答案】T2O

【解析】（Jr+2），/表示5個因式f7+2），的乘積，

在這5個因式中，有2個因式選2)，,其余的3個因式中有一個選t,

剩下的兩個因式選/,即可得到含W的項(xiàng)，

故含xV的項(xiàng)系數(shù)是C；x22xC；x(-l)xC^=-120

題型十一二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)和問題

【例11](2022春?北京?高二東直門中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)(2-i+a,則

40+6+%+。3+4的值為()

A.1B.0