第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市青浦高級中學高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設e1、e2是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是(

)A.e1和e1+2e2 B.e1+2e2與3e2.用數(shù)學歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3…(2n?1)，從kA.2k+1 B.2(2k+1) C.2k+1k+1 D.3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若2bcsin2A=b2+c2?A.π6 B.π3 C.π24.已知D為△ABC所在平面內(nèi)的一點，則下列命題中正確的個數(shù)為(

)

①若DA+DB+DC=0，則D為△ABC內(nèi)心

②若(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，則△ABC為等腰三角形

③A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.設全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，則A?=______．6.不等式?2x2+3x+5>07.已知扇形的圓心角α=120°，半徑為4，則該扇形的面積為______．8.計算n=1+∞13n9.已知角α的終邊經(jīng)過點P(?3,4)，則cos(π2+α)=10.在復數(shù)范圍內(nèi)，?4的所有平方根為______．11.已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4+12.若α，β都是銳角，且cosα=55，sin(α?β)=13.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log214.已知向量b=(1,2)，向量a在b方向上的投影向量為?12b，則a15.已知函數(shù)f(x)=sinπx3，數(shù)列{an}滿足a1=1，且a16.已知A1，A2，A3，A4，A5五個點，滿足AnAn+1?An+1An+2三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知i為虛數(shù)單位，m∈R，復數(shù)z=(m2?8m+15)+(m2?4m+3)i．

(1)若z是實數(shù)，求m的值；

(2)18.(本小題14分)

已知O為坐標原點，OA=(2,3)，OB=(4,2)，OC=(x,4)．

(1)若A、B、C三點共線，求x的值；

(2)若AB與OC夾角為鈍角，求19.(本小題14分)

已知復數(shù)z1=1?i，z2=1?2i，i是虛數(shù)單位．

(1)若z2是實系數(shù)一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，求實數(shù)a和b的值；

(2)當20.(本小題14分)

某工廠去年12月試生產(chǎn)新工藝消毒劑1250升，產(chǎn)品合格率為90%，從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將正式生產(chǎn)這款消毒劑，今年1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，此后每個月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4%．

(1)求今年1月到12月該消毒劑的總產(chǎn)量；

(2)從第幾個月起，月產(chǎn)消毒劑中不合格的量能一直控制在120升以內(nèi)(不含120升)？

參考公式：月產(chǎn)消毒劑中不合格的量=月產(chǎn)量×(1?月產(chǎn)品合格率)

參考數(shù)據(jù)：1.0510≈1.6，1.0511≈1.721.(本小題14分)

定義：若非零向量OM=(a,b)，函數(shù)f(x)的解析式滿足f(x)=asinx+bcosx，則稱f(x)為OM的“線性函數(shù)”，OM為f(x)的“線性向量”，

(1)若向量OM為函數(shù)f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x?π2)的“線性向量”，求|OM|；

(2)若函數(shù)f(x)為向量OM=(3,?1)的“線性函數(shù)”，在△ABC中，BC=23,f(A)=1，且cosBcosC=?18，求AB+AC答案解析1.【答案】C

【解析】解：A，令e1=λ(e1+2e2)，∵e1、e2不共線，∴λ=1且λ=0，∴λ不存在，∴e1與e1+2e2不共線，∴能作為基底，

B，令e1+2e2=λ(3e1?e2)，∵e1、e2不共線，∴λ=13且λ=?2，∴λ不存在，∴e1+2e2與3e2.【答案】B

【解析】解：當n=k時，左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，

當n=k+1時，左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)，

故選：B．

分別求出n=k時左端的表達式，和n=k+1時左端的表達式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式．

本題考查用數(shù)學歸納法證明等式，體現(xiàn)了換元的思想，分別求出n=k時左端的表達式和n=k+1時左端的表達式，是解題的關鍵．3.【答案】B

【解析】解：由余弦定理得b2+c2?a2=2bccosA，

結合2bcsin2A=b2+c2?a2，可知cosA=sin2A，

所以cos2A=sin22A，即1+cos2A2=1?cos22A，

整理得2cos22A+cos2A?1=0，解得cos2A=?1或12，

當cos2A=?1時，結合2A∈(0,2π)，可得2A=π，所以A=π2；

當cos2A=14.【答案】B

【解析】解：對于①：如圖，在△ABC中，取AB中點E，連接CE，D為△ABC平面內(nèi)一點，連接DA，DB．

因為E為AB的中點，由向量加法的平行四邊形法則知DA+DB=2DE，

又因為DA+DB+DC=0，所以2DE+DC=0，

所以可知點D在線段CE上，且點D為線段CE的靠近點E的三等分點，即CDDE=21，

又因為E為AB的中點，所以點D為△ABC重心，故①錯誤；

對于②：由(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0得AB?BC|AB|+AC?BC|AC|=0，

即|BC|cos(π?B)+|BC|cosC=0，

得cos(π?B)=?cosC，根據(jù)誘導公式可知cos(π?B)=?cosB，

又B，C∈(0,π)，所以可知B=C，所以△ABC為等腰三角形，故②正確；

對于③：由DA?DB=DB?DC得DB?(DA?DC)=DB?CA=0?DB⊥AC，

同理得DC⊥AB，5.【答案】{1,3,5}

【解析】解：全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，

則A?={1,3,5}．

故答案為：{1,3,5}．

結合補集的定義，即可求解．6.【答案】(?1,5【解析】解：不等式?2x2+3x+5>0等價于(2x?5)(x+1)<0，則不等式?2x2+3x+5>0的解集為(?1,52)7.【答案】163【解析】解：因為120°=2π3，所以扇形面積S=12×42×2π8.【答案】12【解析】解：由無窮等比數(shù)列的求和公式可得n=1+∞13n=n→+∞lim139.【答案】?4【解析】解：角α的終邊經(jīng)過點P(?3,4)，由題意可得sinα=4(?3)2+42=45，

10.【答案】±2i

【解析】解：?4=4i2，

則?4的所有平方根為±2i．

故答案為：±2i．

根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，即可求解．11.【答案】4

【解析】解：等差數(shù)列{an}滿足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，

∴由題意有a2+a6=2a4，a3+a7=2a512.【答案】π4【解析】解：∵α，β都是銳角，且cosα=55，sin(α?β)=1010，∴α?β還是銳角，

∴sinα=1?cos2α=255，cos(α?β)=1?13.【答案】an【解析】解：由log2(Sn+1)=n+1，得Sn+1=2n+1，當n=1時，a1=S1=3；

當n≥2時，an=Sn?Sn?1=2n，

所以數(shù)列14.【答案】?5【解析】解：因為向量a在b方向上的投影向量為?12b，

所以a?b|b|2=?12，

因為b=(1,2)，所以|b|=5，

15.【答案】?【解析】解：由an+1=(1+1n)an+1n，可得nan+1=(n+1)an+1，

有an+1n+1=ann+1n(n+1)=ann+1n?1n+1，

16.【答案】2【解析】解：由題意，AnAn+1?An+1An+2=0，

|AnAn+1|?|An+1An+2|=2n?1，其中n=1，2，3，

故可設|A1A2|=x，則|A2A3|=1x，|A3A4|=3x，|A4A5|=53x17.【答案】1或3；

5．

【解析】(1)若z是實數(shù)，則m2?4m+3=0，解得m=1或3；

(2)若z是純虛數(shù)，則m2?8m+15=0m2?4m+3≠0，解得m=5．

(1)由z是實數(shù)，則m2?4m+3=0解出即可；18.【答案】0；

(?∞,?8)∪(?8,2)．

【解析】(1)因為OA=(2,3)，OB=(4,2)，OC=(x,4)，

所以AB=OB?OA=(2,?1),BC=OC?OB=(x?4,2)，

因為A、B、C三點共線，所以AB與BC共線，

所以2×2+(x?4)=0，解得x=0；

(2)由(1)知AB=(2,?1)，

因為AB與OC夾角為鈍角，所以AB?OC=2x?4<0，解得x<2，

若AB與OC平行，則2×4?(?1)x=0，解得x=?8，

因為AB與OC不平行，所以19.【答案】a=?2，b=5；

α=π3【解析】(1)若z2是實系數(shù)一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則z2?=1+2i也是x2+ax+b=0的另一個根，

由根與系數(shù)的關系的關系知，?a=z2+z2?=(1?2i)+(1+2i)=2，b=z2z2?=(1?2i)(1+2i)=5，

所以a=?2，b=5；

(2)由x2?(tanα?z1+1)x?(z2+3+3i)=0，得x2?(tanα+1)x?(1+3+i)=0，

所以x20.【答案】20000升；

第12個月，不合格的量能一直控制在120升以內(nèi)．

【解析】(1)根據(jù)題意，設從今年1月起，各月的產(chǎn)量構成數(shù)列{an}，

因為此后每個月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎上提高5%，則有an+1an=1.05，且a1=1250，

可知數(shù)列{an}是首項為1250，且公比為1.05的等比數(shù)列，

所以今年1月到12月該消毒劑的總產(chǎn)量為S12=1250(1?1.0512)1?1.05≈1250(1?1.8)1?1.05=20000升．

(2)根據(jù)題意，設從今年1月起，各月不合格率構成數(shù)列{bn}，

則an=1250×1.05n?1，

由于產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4%，則bn=1?[90%+0.4%(n?1)]=0.104?0.004n，

則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量是anbn=1250×1.05n?1×(0.104?0.004n)，

因為an+1bn+1?anbn=1250×1.0521.【答案】23；

30；

(1,3]∪(4，【解析】(1)由題意得f(x)=3sinx+cosx?4cosx=3sinx?3cosx，

可得OM=(3,?3)，故|OM|=(3)2+(?3)2=23；

(2)若函數(shù)f(x)為向量OM=(3,?1)的“線性函數(shù)”，則f(x)=3sinx?cosx，

由f(A)=3sinA?cosA=2sin(A?π6)=1，可得sin(A?π6)=12，

結合0<A<π，可得A?π6=π6，所以A=π3，

在△ABC中，B+C=π?A，所以cos(B+C)=cosBcosC?sinBsinC=?cosA=?12，

將cosBco