濰坊市外國語中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)和幾何綜合專題一、二次函數(shù)壓軸題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC及拋物線的解析式，并求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動點(diǎn)，過P作直線1∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．小明對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究.已知當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為；當(dāng)自變量的值為或時(shí)，函數(shù)值都為．探究過程如下，請補(bǔ)充完整．（1）這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象并寫出這個(gè)函數(shù)的--條性質(zhì)：；（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問題：①直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則；②已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出不等式的解集：．3．在數(shù)學(xué)拓展課上，九（1）班同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對新函數(shù)y=x2﹣2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下：（初步嘗試）求二次函數(shù)y=x2﹣2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（類比探究）當(dāng)函數(shù)y=x2﹣2|x|時(shí)，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，下表為y與x的幾組對應(yīng)值．x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…30﹣10﹣103…①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分；②根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)．（深入探究）若點(diǎn)M（m，y1）在圖象上，且y1≤0，若點(diǎn)N（m+k，y2）也在圖象上，且滿足y2≥3恒成立，求k的取值范圍．4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，BC，過點(diǎn)O作直線l∥BC，點(diǎn)P，Q分別為直線l和拋物線上的點(diǎn)．試探究：在第四象限內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△BPQ∽△CAB．若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．5．綜合與探究．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P是線段OA上的一個(gè)動點(diǎn)，沿OA以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)P作DP⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，連接BE．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，運(yùn)動時(shí)間為何值時(shí)，EC＝ED？（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，△EBP的周長是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．已知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），①試確定拋物線的解析式；②若當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若M點(diǎn)是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM≥3，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA＝PO，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，將拋物線y＝x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，試探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．8．定義：如果一條直線把一個(gè)封閉的平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條中分線．如三角形的中線所在的直線是三角形的一條中分線．（1）按上述定義，分別作出圖1，圖2的一條中分線．（2）如圖3，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．①求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②探究在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以A，C，D，P為頂點(diǎn)的平行四邊形的一條中分線經(jīng)過點(diǎn)O．若存在，求出中分線的解析式；若不存在，請說明理由．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)D是拋物線上第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，連接CD，BD，BC，AC，當(dāng)△BCD的面積等于△AOC面積的2倍時(shí)，求m的值；（3）如圖2，若點(diǎn)N為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，探究拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個(gè)函數(shù)．下面是小云對其探究的過程，請補(bǔ)充完整：（1）當(dāng)時(shí)，對于函數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，隨的增大而，且；對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而，且；結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而．（2）當(dāng)時(shí)，對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，與的幾組對應(yīng)值如下表：012301綜合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．在平面直角坐標(biāo)系中，畫出當(dāng)時(shí)的函數(shù)的圖象．（3）過點(diǎn)(0，m)（）作平行于軸的直線，結(jié)合（1）（2）的分析，解決問題：若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的最大值是．二、中考幾何壓軸題11．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則．12．折紙是一種許多人熟悉的活動．近些年，經(jīng)過許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問題解決）請?jiān)趫D3中解決下列問題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請說明理由．13．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)、分別在線段、上，．（1）觀察猜想：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，的延長線交于點(diǎn)．當(dāng)?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，①的值為______；②∠BEC的度數(shù)為______度；（2）類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；（3）拓展延伸：若．，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請你直接寫出線段的長．14．綜合與實(shí)踐動手實(shí)踐：一次數(shù)學(xué)興趣活動，張老師將等腰的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點(diǎn)在邊上，連接．則可證：______，______三點(diǎn)共線；發(fā)現(xiàn)問題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動點(diǎn)，，交的延長線于，連結(jié)交于點(diǎn)．若，則______，______；嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當(dāng)______時(shí)，為的6倍（直接寫結(jié)果，不要求證明）．15．（1）問題提出：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作對角線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．可知的形狀為______；（2）深人探究：如圖②，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請判斷的形狀是否變化，并說明理由；（提示：延長到，使；延長到，使，連接，，，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明）（3）拓展延伸：如果，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，請直接寫出的長．16．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長．17．綜合與實(shí)踐背景閱讀：“旋轉(zhuǎn)”即物體繞一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)軸做圓周運(yùn)動．在中國古典專著《百喻經(jīng)·口誦乘船法而不解用喻》中記載：“船盤回旋轉(zhuǎn)，不能前進(jìn)．”而圖形旋轉(zhuǎn)即：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．綜合實(shí)踐課上，“睿智”小組專門探究了正方形的旋轉(zhuǎn)，情況如下：在正方形中，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對應(yīng)點(diǎn)）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作猜想：（1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，連接，，，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_______；線段與的數(shù)量關(guān)系是________．探究驗(yàn)證：（2）如圖2，在（1）的條件下，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，順次連接點(diǎn)，，，，．判斷四邊形的形狀，并說明理由．拓展延伸：（3）如圖3，若，在正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn)．連接，并過點(diǎn)作于點(diǎn)．請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出的值．18．（1）（操作）如圖，請用尺規(guī)作圖確定圓的圓心，保留作圖痕跡，不要求寫作法；（2）（探究）如圖，若（1）中的圓的半徑為2，放入平面直角坐標(biāo)系中，使它與軸，軸分別切于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與圓有唯一公共點(diǎn)（與不重合）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）（拓展）如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向上運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（），過點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓，交第一象限角平分線于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，求出此時(shí)，并探索在變化過程中的值有變化嗎？為什么？19．綜合與實(shí)踐（1）問題發(fā)現(xiàn)：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)F在AB上，連接AE、CF，則AE、CF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）類比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤360°)，請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請就圖②說明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若AB=2BF=4，在等腰直角△BEF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CF為最大值時(shí)，請直接寫出DE的長．20．如圖1，在中，，點(diǎn)P在斜邊上，點(diǎn)D?E?F分別是線段??的中點(diǎn)，易知是直角三角形．現(xiàn)把以點(diǎn)P為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中．連接??．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，可以發(fā)現(xiàn)____________；（2）類比探究如圖3，中，于點(diǎn)P，請判斷與的大小，結(jié)合圖2說明理由；（3）拓展提高在（2）的條件下，如果，且，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)C?D?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形與以點(diǎn)B?E?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形都是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段??的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、二次函數(shù)壓軸題1．D解析：（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）四邊形PMAC的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【分析】（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC及拋物線的解析式，把拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為p，然后根據(jù)S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四邊形PMAC與p的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）由題意得PQ∥AC且PQ=AC，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出x，進(jìn)而可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，同樣的方法求解即可．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1(k1≠0)．∵點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，3)，∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=3x+3．∵拋物線y=﹣ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．∵點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)D(1，4)，∴，得，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6．∵P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p，﹣2p+6)．∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，∴S四邊形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，∵1＜p＜3，∴當(dāng)p時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；（3）∵直線l∥AC，以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PQ∥AC且PQ=AC．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，此時(shí)，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，此時(shí)，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，整理得：x2﹣4x﹣3=0，解得：x1=2，x2=2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，﹣3)或(1，﹣3)，綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和一元二次方程的解法等知識，綜合性強(qiáng)、具有一定的難度，屬于中考壓軸題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（1）；（2）如圖所示，見解析；性質(zhì)：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；或：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有最小值；（3）①；②或．【分析】（1）將，；，；，代入，得到：，，，即可求解析式為；（2）描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，函數(shù)關(guān)于對稱；（3）①從圖象可知：當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)；②與的交點(diǎn)為或，結(jié)合圖象，的解集為．【詳解】解：（1）將，；，；，代入，得到：，解得，故答案為．（2）如圖：函數(shù)關(guān)于直線對稱，（3）①當(dāng)時(shí)，，時(shí)直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為1；②與的交點(diǎn)為或或x=3，結(jié)合圖象，的解集為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題類比函數(shù)探究過程探究絕對值函數(shù)與不等式組關(guān)系；能夠準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．3．【初步嘗試】（0，0），（2，0）；【類比探究】①如圖所示：②函數(shù)圖象的性質(zhì)：1．圖象關(guān)于y軸對稱；2．當(dāng)x取1或﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值﹣1；【深入探究】k≤﹣5或k≥5．【詳解】【分析】【初步嘗試】利用配方法將y=x2﹣2x化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；【類比探究】①根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線，即可得到該函數(shù)圖象的另一部分；②根據(jù)畫出的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；【深入探究】根據(jù)圖象可知y1≤0時(shí)，﹣2≤m≤2；y2≥3時(shí)，m+k≤﹣3或m+k≥3，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出k的取值范圍.【詳解】【初步嘗試】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）；令y=0，則x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2，∴此拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（2，0）；【類比探究】①如圖所示：②函數(shù)圖象的性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對稱；當(dāng)x取1或﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值﹣1；【深入探究】根據(jù)圖象可知，當(dāng)y1≤0時(shí)，﹣2≤m≤2，當(dāng)y2≥3時(shí)，m+k≤﹣3或m+k≥3，則k≤﹣5或k≥5，故k的取值范圍是k≤﹣5或k≥5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.4．A解析：（1）；（2）的最大值為；（3）或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）構(gòu)造出△AGE∽△DEH，可得，而DE和AG都可以用含自變量的式子表示，最后用二次函數(shù)最大值的方法求值．（3）先發(fā)現(xiàn)△ABC是兩直角邊比為2：1的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，構(gòu)造出△BPQ，表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解即可．【詳解】解：（1）分別將C（0，1）、A（﹣，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c中得，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）過A作AG∥y軸交BC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH∥y軸交BC于點(diǎn)H，∵B（2，0）C（0，1），∴直線BC：y＝x+1，∵A（-，0），∴G（-，），設(shè)D（），則H（），∴DH＝（）﹣（），＝﹣m2+2m，∴AG=，∵AG∥DH，∴，∴當(dāng)m＝1時(shí)，的最大值為．（3）符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（）．∵l∥BC，∴直線l的解析式為：y＝-x，設(shè)P（n，-n），∵A（-，0），B（2，0），C（0，1），∴AC2＝，BC2＝5，AB2＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∵△BPQ∽△CAB，∴，分兩種情況說明：①如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，∠NBP+∠MBQ＝90°，∠MQB+∠MBQ＝90°，∴∠NBP＝∠MQB．∴△NBP∽△MQB，∴，∵，∴，∴BN＝2﹣n，∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，∴OM＝OB+BM＝2+n，∴Q（2+n，2n﹣4），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，2n2+9n﹣8＝0，解得：∴P()．②如圖4，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于N，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于M．∵△PNB∽△BMQ，又∵△BPQ∽△CAB，∴，∵，∴Q（2﹣n，4﹣2n），將Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，化簡得：2n2﹣9n+8＝0，解得：，∴P()．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行線分線段成比例，利用二次函數(shù)求線段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定與性質(zhì)，拋物線與一元二次方程的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．A解析：（1）直線AC的表達(dá)式為y＝x+4；（2）運(yùn)動時(shí)間為0或（4﹣）秒時(shí)，EC＝ED；（3）【分析】（1）由拋物線的解析式中x，y分別為0，求出A，C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式；（2）設(shè)出運(yùn)動時(shí)間為t秒，然后用t表示線段OP，CE，AP，DE的長度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代換求出△EBP的周長為AB+BE，由于AB為定值，BE最小時(shí)，△EBP的周長最小，根據(jù)垂線段最短，確定點(diǎn)E的位置，解直角三角形求出OP，點(diǎn)P坐標(biāo)可求．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸分別交于A，B，交y軸于點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4．∴C（0，4）．當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣3x+4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0）．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴解得：∴直線AC的表達(dá)式為y＝x+4．（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，∴OP＝t．∴P（﹣t，0）．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4．∴Rt△AOC為等腰直角三角形．∴∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝OA＝4．∵DP⊥x軸，在Rt△APE中，∠CAP＝45°，∴AP＝PE＝4﹣t，AE＝AP＝（4﹣t）．∴EC＝AC﹣AE＝t．∵E，P的橫坐標(biāo)相同，∴E（﹣t，﹣t+4），D（﹣t，﹣t2+3t+4）．∴DE＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．∵EC＝DE，∴﹣t2+4t＝t．解得：t＝0或t＝4﹣．∴當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為0或（4﹣）秒時(shí)，EC＝ED．（3）存在．P的坐標(biāo)為（﹣，0）．在Rt△AEP中，∠OAC＝45°，∴AP＝EP．∴△AEB的周長為EP+BP+BE＝AP+BP+BE＝AB+BE．∵AB＝5，∴當(dāng)BE最小時(shí)，△AEB的周長最?。?dāng)BE⊥AC時(shí)，BE最?。赗t△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，AB＝5，BE⊥AC，∴PB＝AB＝．∴OP＝PB﹣OB＝．∴P（﹣，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．A解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）；（2）存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【分析】(1)解方程，可求得A、B的坐標(biāo)，令，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)利用勾股定理計(jì)算出，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為，可設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），分三種情況討論：當(dāng)CQ＝AC時(shí)，當(dāng)AQ＝AC時(shí)，當(dāng)AQ＝QC時(shí)，然后分別解方程求出m即可得到對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】(1)當(dāng)，，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以，，x＝0時(shí)，y＝﹣8，∴；(2)設(shè)直線BC的解析式為，把，代入解析式得：，解得，∴直線BC的解析式為，設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），當(dāng)CQ＝CA時(shí)，，解得，，（舍去）；∴Q，當(dāng)AQ＝AC時(shí)，，解得：（舍去），m2＝0（舍去）；當(dāng)QA＝QC時(shí)，，解得，∴Q．綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會利用勾股定理表示線段之間的關(guān)系，會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．7．A解析：（1）①，②；（2）；（3）四邊形OABC是矩形，證明見詳解．【分析】（1）利用頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)求出b=-2,然后把b=-2和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式；（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出直線AB的解析式，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x+3），根據(jù)S△ABM=3列出方程，并解方程，從而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S△ABM≥3求出M橫坐標(biāo)的范圍即可；（3）根據(jù)拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標(biāo)，利用拋物線與直線相交求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后拋物線的解析式，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出BC的長度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據(jù)∠AOC=90得出四邊形OABC是矩形.【詳解】解：（1）①依題意,,解得b=-2，將b=-2及點(diǎn)B(3,6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，解c=3，所以拋物線的解析式為，②當(dāng)，解得，當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，∴；（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0,3)，∵B(3,6)，可得直線AB的解析式為，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，），過M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N,則N(x,x+3).(如圖)，∴，∴，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(2,3)，∵S△ABM≥3，；（3）結(jié)論是：四邊形OABC是矩形，理由如下：如圖，由PA=PO,OA=c,可得，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴拋物線，A（0，），P（，）,D（，0），∴直線OP的解析式為，∵點(diǎn)B是拋物線與直線的圖象的交點(diǎn)，令，解得，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，），由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,可設(shè)平移后的拋物線解析式為，將點(diǎn)D(，0)的坐標(biāo)代入，得，∴平移后的拋物線解析式為，令y=0,即，解得，依題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0），∴BC=，∴BC=OA，又BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形，∵∠AOC=90，∴四邊形OABC是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并與幾何圖形相結(jié)合的綜合題，難度較高，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法，并注重點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的互相轉(zhuǎn)化．8．（1）見解析；（2）①，；②存在，或或【分析】（1）對角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線；（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②根據(jù)拋物線解析式求出，，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，過對角線的交點(diǎn)的直線將該平行四邊形分成面積相等的兩部分，所以平行四邊形的中分線必過對角線的交點(diǎn)．Ⅰ．當(dāng)為對角線時(shí)，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為；Ⅱ．當(dāng)為對角線時(shí)，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)．中分線解析式為；Ⅲ．當(dāng)為對角線時(shí)，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為．【詳解】解：（1）如圖，對角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線，（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②將代入拋物線解析式，得，解得或4，，，令，則，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，過對角線的交點(diǎn)的直線將該平行四邊形分成面積相等的兩部分，所以平行四邊形的中分線必過對角線的交點(diǎn)．Ⅰ．當(dāng)為對角線時(shí)，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為；Ⅱ．當(dāng)為對角線時(shí)，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即．中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為；Ⅲ．當(dāng)為對角線時(shí)，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為，綜上，中分線的解析式為式為或?yàn)榛驗(yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．A解析：（1）；（2）1或2；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)D作y軸平行線交BC于點(diǎn)E，由題意易得C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），然后可得直線BC的解析式，然后可表示點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)鉛垂法進(jìn)行表示△BCD的面積，最后問題可進(jìn)行求解；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，y），點(diǎn)N（1，s），點(diǎn)B（3，0）、C（0，2），根據(jù)題意易得當(dāng)以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可分①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，②當(dāng)BC為對角線時(shí)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解．【詳解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）過點(diǎn)D作y軸平行線交BC于點(diǎn)E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），又∵B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝x+2，∵點(diǎn)D（m，），∴E（m，m+2），∴DE＝（）﹣（m+2）＝m2+2m，由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC，∴（m2+2m）×3＝2××1×2，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值為1或2；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，y），y＝，則有點(diǎn)N（1，s），點(diǎn)B（3，0）、C（0，2），①當(dāng)BC是平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到B，同樣點(diǎn)M（N）向右平移3個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位N（M），故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s，解得：x＝﹣2或4，故點(diǎn)M坐標(biāo)為：（﹣2，）或（4，）；②當(dāng)BC為對角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：x+1＝3，y+s＝2，解得：x＝2，故點(diǎn)M（2，2）；綜上，M的坐標(biāo)為：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)解析式，然后利用平行四邊形的存在性問題可進(jìn)行分析．10．（1）減小，減小，減??；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案；（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，進(jìn)行描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，在函數(shù)中，∵,∴函數(shù)在中，隨的增大而減小；∵，∴對稱軸為：，∴在中，隨的增大而減小；綜合上述，在中，隨的增大而減小；故答案為：減小，減小，減??；（2）根據(jù)表格描點(diǎn)，連成平滑的曲線，如圖：（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，無最大值；由（1）可知在中，隨的增大而減??；∴在中，有當(dāng)時(shí)，，∴m的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出函數(shù)圖像，并求函數(shù)的最大值．二、中考幾何壓軸題11．（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長度，即可求出BE的長度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時(shí)：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．13．（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（解析：（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖，當(dāng)CE⊥AD于O時(shí)，如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長CE交AD于O．分別求出EC，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖（2）中，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，∴=，∴△DAB∽△EAC，∴=；②由△DAB∽△EAC，∴∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠EOC，∴∠BAO=∠CEO=45°，∴∠CEB=45°，故答案為：，45；（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，=，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠FOC，∴∠BAO=∠CFO=45°，∴=，∠BFC=45°；（3）如圖（4）-1中，當(dāng)CE⊥AD于O時(shí)，∵AE=DE=，AC=BC=，∠AED=∠ACB=90°，∴AD=AE=2，∵EO⊥AD，∴OD=OA=OE=1，∴OC==3，∴EC=OE+OC=4，∵BD=EC，∴BD=4；如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長CE交AD于O．同法可得OD=OA=OE=1，OC=3，EC=3-1=2，∴BD=EC=2，綜上所述，BD的長為4或2．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．14．動手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得解析：動手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠D=90°，則∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可證出△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得BG=CE=AB，即可得出，根據(jù)三角形的面積公式分別表示S△AGE和S△BGF，即可得出S△AGE和S△BGF的比值；（2）若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得4BG=CE=AB，可得出BG==AB，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AG為GB的6倍得AG=6GB，則AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，則，可得出BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，由DE=BF，BC=CD可得x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，n=3+或3-．【詳解】解：動手實(shí)踐：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，∴∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線，故答案為：ABF，F(xiàn)、B、C；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△FBG∽△FCE，∴，∴BG=CE=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴，∵S△AGE=AG?BC=×AB×AB=AB2，S△BGF=BG?BF=×AB×AB=AB2，∴，故答案為：5，10；（2）證明：若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴4BG=CE=AB，∴BG=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴AG=5GB；（3）∵AG為GB的6倍，∴AG=6GB，∴AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，∵DE=BF，BC=CD，∴x（a+x）=（x-a）a，整理得：x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，∴n=3+或3-．故答案為：3+或3-．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．15．（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后解析：（1）等邊三角形；（2）的形狀不變，理由見解析；（3）或．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、解直角三角形可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）如圖（見解析），先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理證出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，，從而可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出答案；（3）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況，再利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出的長，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、線段的和差即可得．【詳解】解：（1）在矩形中，，，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，同理可得：，，，，，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）的形狀不變，理由如下：如圖，延長到，使；延長到，使，連接，其中相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，垂直平分，，同理可得：，，即，在和中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，同理可得：，，是等邊三角形；（3）由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，，，在中，，，在中，，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，同理可得：，，，，綜上，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．16．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點(diǎn)在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：4；（2）若點(diǎn)在右側(cè)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點(diǎn)在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．17．（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=O解析：（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=OD，利用SAS可證明△AOA′≌△DOD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AA′=DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOB′=，根據(jù)可得△OAA′∽△OBB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)即可得出，根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)平角的定義及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得，利用AAS可證明△ABM≌△A′B′N，可得AM=A′N，利用AAS可證明△APM≌△A′PN，可得，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A′OP=∠AOA′=，∠QOB′=，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠POQ=∠A′OB′，即可證明△OQP∽△OB′A′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，∵將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，∴△AOA′≌△DOD′，∴AA′=DD′，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴OB=，∴OA=，∵將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴∠BOB′=∠AOA′=，∵，∴△OAA′∽△OBB′，∴=，∴，故答案為：；（2）四邊形是矩形；理由如下：∵正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，∴，，，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．（3）如圖，補(bǔ)全圖形如下：連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，∵，∴AB=BC=，∴OA′=OA==，∵∠OB′A′=90°，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴△ABM≌△A′B′N，∴AM=A′N（AAS），∵，，∴△APM≌△A′PN，∴AP=A′P，∵OA=OA′，∴∠A′OP=∠AOA′=，∵OB=OB′，OQ⊥BB′，∴∠QOB′=，∴∠QOB′+∠B′OP=∠A′OP+∠B′OP，即∠POQ=∠A′OB′，∵∠OQP=∠OB′A′=90°，∴△OQP∽△OB′A′，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形及相似三角形的判定定理并正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形及相似三角形是解題關(guān)鍵．18．（1）見解析；（2）；（3