第09講圓的有關性質(zhì)題型梳理題型梳理易錯分析易錯點一無圖形時，未分類討論致錯題型方法題型一圓的定義題型二與圓有關的概念題型三圓的對稱性題型四垂徑定理題型五垂徑定理的推論題型六圓心角的定義及計算題型七弧、弦、圓心角之間的關系題型八圓周角的定義題型九圓周角定理題型十圓周角定理的推論題型十一圓內(nèi)接多邊形知識清單知識清單知識點1.圓（重點）(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．要點詮釋：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.要點詮釋：①定點為圓心，定長為半徑；②圓指的是圓周，而不是圓面；③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.知識點2.圓的有關概念1.弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.2.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.要點詮釋：直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.3.弧的有關概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.要點詮釋：①半圓是弧，而弧不一定是半圓；②無特殊說明時，弧指的是劣弧.4.同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.5.等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.知識點3.垂直于弦的直徑（難點）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ淼哪娑ɡ?平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的逆定理2平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦。要點詮釋：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）知識點4.弧、弦、圓心角的關系（重點）1.圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．2.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對的其余各對量也相等．要點詮釋：等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；知識點5.圓周角（重點）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．知識點6.圓內(nèi)接多邊形一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。1.圓內(nèi)接四邊形的對角互補．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）易錯分析易錯分析【易錯點一】無圖形時，未分類討論致錯A． B． C．或 D．【答案】C綜上，和的距離是或．故選：C．【答案】17或7【分析】本題主要考查了圓的垂徑定理，勾股定理等知識點，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形．所以與的距離是17或7．故答案為：17或7．【答案】或，，故答案為：或．【分析】本題考查的是垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，由于與的位置不能確定，故分與在圓心O的同側(cè)和與在圓心O的異側(cè)兩種情況進行討論，然后利用垂徑定理和勾股定理求解即可．在解答此類題目時要注意進行分類討論，不要漏解．【詳解】解：當與在圓心O的同側(cè)時，如圖1所示：當與在圓心O的異側(cè)時，如圖2所示：題型方法題型方法【題型一】圓的定義【例1】（2425九年級上·云南昭通·期中）下列圖形為半圓的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查圓的基本性質(zhì)，解題的根據(jù)熟知半圓的定義：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．根據(jù)半圓的定義即可判斷．【詳解】解：半圓是直徑所對的弧，但是不含直徑，故選：C．【舉一反三】【變式1】（2425九年級上·福建福州·期中）下列說法中，正確的是（

）A．半圓是弧，弧也是半圓 B．在一個圓中，直徑是最長的弦C．弦是直徑 D．長度相等的弧是等弧【答案】B【分析】本題考查了圓的認識，了解圓中有關的概念是解答本題的關鍵，難度不大．利用圓的有關定義分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，但弧不一定是半圓，不符合題意；B、在一個圓中，直徑是最長的弦，符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，不符合題意；D、同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故不符合題意．故選：B．【變式2】（2425九年級上·甘肅張掖·期末）如圖所示，點P是上的任意一點，則以點P為端點的半徑（

）A．有1條 B．有2條 C．有無數(shù)條 D．不存在【答案】A【分析】本題考查了圓的認識，掌握與圓有關的概念是解題的關鍵；根據(jù)圓的半徑的定義求解即可．【詳解】解：以點P為端點的半徑為，有1條，故選：．【變式3】（2425九年級下·安徽安慶·階段練習）下列關于圓的說法中，正確的是（

）A．半圓是圓中最長的弧 B．圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形C．相等的圓心角所對的弧相等 D．圓的直徑是圓的對稱軸【答案】B【分析】本題主要考查圓的條件以及圓的有關性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關鍵．利用圓的有關定義以及性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】解：半圓不是圓中最長的弧，故選項A錯誤；圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，故選項B正確；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故選項C錯誤；圓的直徑所在的直線是圓的對稱軸，故選項D錯誤；故選B．【題型二】與圓有關的概念【例2】（2425九年級上·江蘇鹽城·期中）下列說法中，正確的是（

）A．在同一個圓中，直徑是最長的弦 B．長度相等的弧是等弧C．弦是直徑 D．半圓是弧，弧也是半圓【答案】A【分析】本題考查了圓的相關概念，熟練掌握圓的相關概念是解此題的關鍵．根據(jù)圓的相關概念逐項分析即可．【詳解】解：A．在同一個圓中，直徑是最長的弦，正確；

B．能夠重合的弧是等弧，故不正確；C．直徑是弦，但弦不一定是直徑，故不正確；

D．半圓是弧，弧不一定是半圓，故不正確；故選A．【舉一反三】【變式1】（2425九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）下列說法正確的是（

）A．直徑是圓中最長的弦 B．弧是半圓C．半圓是圓中最長的弧 D．弦是直徑【答案】A【分析】本題主要考查了圓的相關概念，正確的了解有關概念及性質(zhì)是解題的關鍵．利用圓的有關概念及性質(zhì)逐項判斷即可解答．【詳解】解：A、直徑是圓中最長的弦，故正確，符合題意；B、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故錯誤，不符合題意；C、半圓是小于優(yōu)弧而大于劣弧的弧，故錯誤，不符合題意；D、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故錯誤，不符合題意．故選：A．【變式2】（2425九年級上·江蘇連云港·期中）下列說法：①三點確定一個圓；②圓的直徑是圓的對稱軸；③三角形的外心到三個頂點的距離相等．其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】本題考查三角形的外心，圓的性質(zhì)，確定圓的條件；①根據(jù)確定一個圓的條件即可判斷．②根據(jù)對稱軸為直線即可判斷；③根據(jù)三角形外心的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：①不共線三點確定一個圓，故該選項不正確，不符合題意；②圓的直徑所在直線是圓的對稱軸，故該選項不正確，不符合題意；③三角形的外心到三個頂點的距離相等，故該選項正確，符合題意，∴正確的有1個，故選：B．【變式3】（2425九年級下·上?！るA段練習）下列語句中正確的是（）A．直徑是經(jīng)過圓心的直線 B．經(jīng)過圓心的線段是半徑C．半圓是弧 D．以直徑為弦的弓形是半圓【答案】C【分析】本題考查了圓的相關概念，掌握直徑、半徑、半圓和弧、弓形的定義是解題關鍵．由直徑是線段不是直線，可判斷A選項；根據(jù)經(jīng)過圓心的線段兩個端點不一定在圓和圓心上，可判斷B選項；根據(jù)半圓是直徑所對的弧，弓形是由弦及其所對的弧組成，可判斷C、D選項．【詳解】解：A、直徑是經(jīng)過圓心的弦，選項錯誤；B、經(jīng)過圓心的線段不一定是半徑，選項錯誤；C、半圓是弧，選項正確；D、以直徑為弦的弓形不是半圓，選項錯誤；故選：C．【題型三】圓的對稱性【例3】（2223八年級上·北京海淀·期中）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：由題意可知該圖的對稱軸如圖所示：由圖可知該圖形的對稱軸有5條；故選D．【點睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2223七年級下·河北張家口·期末）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義確定即可．【詳解】該圖形有3條對稱軸，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的對稱軸，正確理解軸對稱圖形是解題的關鍵．【變式2】（2023八年級上·江蘇·專題練習）如圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．【詳解】解：由題意可知，該圖形的對稱軸條數(shù)為6．故選：C．【點睛】此題考查了軸對稱圖形，熟記軸對稱圖形的定義是解答本題的關鍵．【變式3】圖中的圖形是軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數(shù)是（

）．

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，據(jù)此求解．【詳解】解：這是一個組合圖形，它的外部是一個正五邊形，內(nèi)部是一個圓，再根據(jù)它的組合特點，有5條對稱軸，故答案選：B．【點睛】本題主要考查求對稱軸的條數(shù)，熟練掌握如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，是解題的關鍵，找組合圖形的對稱軸時，注意觀察各部分圖形的對稱性，再結合它的組合特點進行分析．【題型四】垂徑定理【例4】（2223九年級上·吉林松原·期中）如圖、已知為的直徑，點為的中點．則下列結論中一定正確的是（

）【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理及其推論，根據(jù)垂徑定理中“知二推三”進行推理論證，即可解題．【詳解】解：為的直徑，點為的中點．故選：B．A．8 B．10 C．16 D．20【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．∴的直徑為20．故選：D【答案】2∴的半徑為2，故答案為：2．【答案】的直徑為26設的半徑為，∴的半徑為13，∴的直徑為26．【題型五】垂徑定理的推論【例5】（2425九年級上·山東聊城·期中）如圖，的直徑與弦交于點，若為的中點，則下列說法錯誤的是（

）【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，在5個條件中：①1平分弦所對的一條弧，②平分弦所對的另一條弧，③平分弦，④垂直于弦，⑤經(jīng)過圓心(或者說直徑)，只要具備任意兩個條件，就可以推出其他的三個結論．【詳解】解：∵為的中點，的直徑與弦交于點，故選B．【答案】D圓心在上，設圓心為O點，連接，如圖，故選：D．【答案】8【詳解】解：如圖，連接，故答案為：8．【答案】見解析【題型六】圓心角的定義及計算【例6】（2324九年級上·福建泉州·期中）下列圖形中的角是圓心角的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了圓心角的定義，能熟記圓心角的定義（頂點在圓心上，并且兩邊與圓相交的角，叫圓心角）是解此題的關鍵．根據(jù)圓心角的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A．頂點在圓心上，是圓心角，故本選項符合題意；B．頂點在圓上，是圓周角，故本選項不符合題意；C．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；D．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；故選：A．【舉一反三】【變式1】（2022九年級上·全國·專題練習）下列說法正確的是（）A．如果一個角的一邊過圓心，則這個角就是圓心角C．圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角D．圓心角就是在圓心的角【答案】C【分析】由圓心角的定義：圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，即可求得答案．【詳解】解：∵圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，∴A、D錯誤，C正確；∴B錯誤．故選：C．【點睛】此題考查了圓心角的定義，解題的關鍵是熟練掌握圓心角的定義．【答案】【分析】的度數(shù)即為所對圓心角的度數(shù)；【詳解】解：的度數(shù)即為所對圓心角的度數(shù)；故答案為：【點睛】本題考查了弧與圓心角的關系；正確理解圓心角的定義是解題的關鍵．【變式3】（2021七年級上·河南鄭州·期末）若將一個圓等分成三個扇形，則其中一個扇形圓心角的度數(shù)為．【答案】120【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)計算，即可得到答案．故答案為：120．【點睛】本題考查了圓的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓和圓心角的性質(zhì)，從而完成求解．【題型七】弧、弦、圓心角之間的關系【答案】C∵是直徑，故選：C【答案】B【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系．根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系得出即可．故選：B．【答案】【詳解】解：取的中點D，連接，，如圖所示：故答案為：．【答案】【詳解】解：為的直徑，點C、D是的三等分點故答案為【題型八】圓周角的定義【例8】（2425九年級上·河南商丘·期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題主要考查了圓周角與圓心角的識別，掌握圓周角和圓心角的定義是解答本題的關鍵．頂點在圓周上，角的兩邊與圓相交的角是圓周角；圓心角的定義：頂點在圓的角是圓心角．根據(jù)圓周角和圓心角的定義解答即可．【詳解】解：A．圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項不符合題意；B．圖中既有圓心角，也有圓周角，選項符合題意；C．圖中圖中只有圓周角，沒有圓心角，選項不符合題意；D．圖中只有圓心角，沒有圓周角，選項不符合題意；故選：B．【答案】B【分析】本題考查了圓周角的定義，掌握圓周角的定義是解題的關鍵．直接運用圓周角的定義進行判斷即可.故選：B．【答案】D【分析】此題考查了圓周角定義．頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，此題比較簡單，解題的關鍵是理解圓周角的定義．根據(jù)由圓周角的定義逐項判定即可．故選：D．【變式3】（2324九年級上·全國）如圖，所對的圓周角是，所對的圓周角是．

【分析】根據(jù)圓周角的定義即可解答．【詳解】解：如圖，【點睛】本題考查了圓周角，頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．【題型九】圓周角定理A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理，解答即可．本題考查了圓周角定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．【詳解】解：連接，故選：A．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同圓或等圓中，同弧上的圓心角是圓周角的2倍，解答即可．本題考查了圓周角定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．故選：D．【變式2】（2425九年級上·青海西寧·期中）如圖，的半徑為8，直角三角板角的頂點落在，兩邊與分別交于，兩點，則弦的長為．【答案】8【詳解】解：如圖所示，連接，，故答案為：8．【答案】見詳解【題型十】圓周角定理的推論A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵是的直徑，故選：CA． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，圓周角定理等知識．熟練掌握的圓周角所對的弦為直徑，圓周角定理是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，記的中點為，連接，故選：A．【答案】40【分析】本題考查了圓周角定理，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵．【詳解】解：∵是直徑，故答案為：40．【答案】【詳解】解：如圖，連接，【題型十一】圓內(nèi)接多邊形A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出∠B的度數(shù)是解題關鍵．故選：A．【答案】A故選：A．【答案】/70度【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可．故答案為∶．【答案】【詳解】解：如圖，延長并延長交于點．好題必刷好題必刷一、單選題【答案】A故選：．2．（2425九年級下·寧夏吳忠·期中）如圖，圓弧形石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯x為，橋拱半徑OC為，則水面寬AB為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，垂徑定理．【詳解】解：連接，∵橋拱半徑為，故選：B．3．（2425九年級上·陜西渭南·期末）淘氣沒有圓規(guī)，用如圖所示方法成功畫出了圓，他畫圓時（

）A．保持圓心位置不變 B．保持圓的半徑不變C．保持圓心位置和圓的半徑不變 D．圓心的位置可以改變【答案】C【分析】本題考查了圓的定義．圓是到定點的距離等于定長的所有的點的集合，定點就是圓心，定長就是半徑，確定圓的兩個要素是圓心和半徑，