專題八概率與統(tǒng)計、算法、推理與證明、復(fù)數(shù)———————命題觀察·高考定位———————(對應(yīng)學(xué)生用書第32頁)1．(2017·江蘇高考)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________．eq\r(10)[法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，∴|z|＝eq\r(－12＋32)＝eq\r(10).法二：|z|＝|1＋i||1＋2i|＝eq\r(2)×eq\r(5)＝eq\r(10).]2．(2017·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件．18[∵eq\f(樣本容量,總體個數(shù))＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．]3．(2017·江蘇高考)圖8－1是一個算法流程圖．若輸入x的值為eq\f(1,16)，則輸出y的值是________．圖8－1－2[輸入x＝eq\f(1,16)，eq\f(1,16)≥1不成立，執(zhí)行y＝2＋log2eq\f(1,16)＝2－4＝－2.故輸出y的值為－2.]4．(2017·江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________．eq\f(5,9)[由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長度為9，定義域D的長度為5，∴P＝eq\f(5,9).]5．(2016·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．0.1[這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,5)(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，∴S2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]6．(2016·江蘇高考)復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是________．5[z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i，故z的實部是5.]7．(2016·江蘇高考)如圖8－2是一個算法的流程圖，則輸出的a的值是________.【導(dǎo)學(xué)號：】圖8－29[第一次循環(huán)：a＝5，b＝7，第二次循環(huán)：a＝9，b＝5，此時a>b循環(huán)結(jié)束a＝9.]8．(2016·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．eq\f(5,6)[點數(shù)小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).][命題規(guī)律](1)隨機事件的概率、復(fù)數(shù)、算法程序框圖、推理證明在高考中多以填空題的形式考查，并且常與統(tǒng)計知識放在一塊考查；(2)借助古典概型考查互斥事件、對立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點．在解答題中古典概型常與統(tǒng)計相結(jié)合進行綜合考查，考查學(xué)生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主；(3)考查以樣本的分布估計總體的分布(以樣本的頻率估計總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計總體的特征數(shù))．———————主干整合·歸納拓展———————(對應(yīng)學(xué)生用書第32頁)[第1步▕核心知識再整合]1．隨機事件的概率(1)隨機事件的概率范圍：0≤P(A)≤1；必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0.(2)古典概型的概率：P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(A中所含的基本事件數(shù),基本事件總數(shù))；(3)幾何概型的概率：P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積)；(4)互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；對立事件的概率減法公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．2．直方圖的三個常用結(jié)論(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(2)各長方形的面積和等于1；(3)小長方形的高＝eq\f(頻率,組距).3．統(tǒng)計中的四個數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)；(2)樣本平均數(shù)；(3)樣本方差；(4)樣本標(biāo)準(zhǔn)差．4．線性回歸方程線性回歸方程為y＝bx＋a，一定經(jīng)過樣本中心點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．5．循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種基本類型(1)當(dāng)型循環(huán)：當(dāng)給定的條件成立時，反復(fù)執(zhí)行循環(huán)體，直至條件不成立為止；(2)直到型循環(huán)：先第一次執(zhí)行循環(huán)體，再判斷給定的條件是否成立，若成立，跳出循環(huán)體；否則，執(zhí)行循環(huán)體，直至條件第一次不成立為止．循環(huán)結(jié)構(gòu)一般用于一些有規(guī)律的重復(fù)計算的算法中，如累加求和、累乘求積等問題常常用循環(huán)結(jié)構(gòu)來解決．6．合情推理(1)歸納推理；(2)類比推理．7．演繹推理直接證明：綜合法，分析法，反證法，數(shù)學(xué)歸納法．8．復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的四則運算．9．復(fù)數(shù)重要性質(zhì)i1＝i，i2＝－1,i3＝－i，i4＝1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.[第2步▕高頻考點細突破]古典概型與幾何概型【例1】(1)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測試)現(xiàn)有4名學(xué)生A，B，C，D平均分乘兩輛車，則“A，B兩人恰好乘坐在同一輛車”的概率為________．(2)(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知Ω1是集合{(x，y)|x2＋y2≤1}所表示的區(qū)域，Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的區(qū)域，向區(qū)域Ω1內(nèi)隨機的投一個點，則該點落在區(qū)域Ω2內(nèi)的概率為________．[解析](1)4名學(xué)生A，B，C，D平均分乘兩輛車共有六種坐法：(AB，CD)，(AC，BD)，(AD，BC)，(BC，AD)，(BD，AC)，(CD，AB)，其中“A，B兩人恰好乘坐在同一輛車”包含兩種坐法，因此所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)不等式x2＋y2≤1表示的平面區(qū)域為Ω1，面積為π；Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的區(qū)域，對應(yīng)的面積為eq\f(3,4)π，∴所求概率為eq\f(3,4).[答案](1)eq\f(1,3)(2)eq\f(3,4)[規(guī)律方法](1)解決古典概型問題，關(guān)鍵是弄清楚基本事件的總數(shù)n以及某個事件A所包含的基本事件的個數(shù)m，然后由公式P(A)＝eq\f(m,n)來求概率；(2)幾何概型解決的關(guān)鍵在于把所有基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域；(3)對于較復(fù)雜的互斥事件可先分解為基本事件，然后用互斥事件的概率加法公式求解．[舉一反三](江蘇省南京市2017屆高考三模)甲盒子中有編號分別為1,2的兩個乒乓球，乙盒子中有編號分別為3,4,5,6的四個乒乓球．現(xiàn)分別從兩個盒子中隨機地各取出1個乒乓球，則取出的乒乓球的編號之和大于6的概率為________.【導(dǎo)學(xué)號：】eq\f(3,8)[分別從每個盒子中隨機地取出1個乒乓球，可能出現(xiàn)以下情況：(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、共8種情況，其中編號之和大于6的有：1＋6＝7,2＋5＝7,2＋6＝8，共3種情況，∴取出的乒乓球的編號之和大于6的概率為eq\f(3,8).]抽樣方法【例2】(江蘇省揚州市2017屆高三上學(xué)期期末)某學(xué)校共有師生3200人，先用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本．已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師人數(shù)是________．[解析]∵學(xué)校共有師生3200人，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本，∴每個個體被抽到的概率是eq\f(160,3200)＝eq\f(1,20)，∴eq\f(10,總體中的教師數(shù))＝eq\f(1,20)，∴學(xué)校的教師人數(shù)為10×20＝200.[答案]200[規(guī)律方法]類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成(1)當(dāng)總體中的個體數(shù)較多，并且沒有明顯的層次差異時，可用系統(tǒng)抽樣的方法，把總體分成均衡的幾部分，按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本．(2)在利用系統(tǒng)抽樣時，經(jīng)常遇到總體容量不能被樣本容量整除的情況，這時可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除．[舉一反三](無錫市普通高中2017屆高三上學(xué)期期中基礎(chǔ)性檢測)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計1200件，已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品的數(shù)量之比為1∶2∶4∶5，現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取60件，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為________．10[由題設(shè)乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為eq\f(2,1＋2＋4＋5)×60＝10.]用樣本估計總體【例3】(2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到頻率分布直方圖(如下圖8－3所示)，則分數(shù)在[70,80)內(nèi)的人數(shù)是________．圖8－3[解析]由頻率分布直方圖知小長方形面積為對應(yīng)區(qū)間概率，所有小長方形面積和為1，因此分數(shù)在[70,80)內(nèi)的概率為1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3，人數(shù)為0.3×100＝30.[答案]30[規(guī)律方法](1)利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征①中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值．②平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．③眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點的橫坐標(biāo)．(2)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．[舉一反三](江蘇省南京市2017屆高考三模)如圖8－4是甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則在這五場比賽中得分較為穩(wěn)定(方差較小)的那名運動員的得分的方差為________．圖8－4eq\f(34,5)[根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計算甲的平均數(shù)為eq\x\to(x)1＝eq\f(1,5)×(7＋7＋9＋14＋18)＝11，乙的平均數(shù)為eq\x\to(x)2＝eq\f(1,5)×(8＋9＋10＋13＋15)＝11；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知乙的成績波動性小，較為穩(wěn)定(方差較小)，計算乙成績的方差為：s2＝eq\f(1,5)×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝eq\f(34,5).]程序框圖的執(zhí)行【例4】(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖8－5是一個算法的流程圖，則輸出的n的值為________．圖8－5[解析]當(dāng)n＝1，a＝1時，滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)后，a＝5，n＝3；滿足進行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)后，a＝17，n＝5；不滿足進行循環(huán)的條件，退出循環(huán)，故輸出n值為5.[答案]5[規(guī)律方法]此類問題的一般解法是嚴(yán)格按照程序框圖設(shè)計的計算步驟逐步計算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束．要注意初始值的變化，分清計數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)．識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．[舉一反三](江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)如圖8－6是一個算法流程圖，則輸出的x的值是________．【導(dǎo)學(xué)號：】圖8－69[第一次循環(huán)：x＝5，y＝7，第二次循環(huán)：x＝9，y＝5，結(jié)束循環(huán)，輸出x＝9.]偽代碼的執(zhí)行【例5】(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)根據(jù)如下所示的偽代碼，輸出S的值為________．[解析]模擬執(zhí)行程序，可得S＝1，I＝1，滿足條件I≤8，S＝2，I＝3；滿足條件I≤8，S＝5，I＝5；滿足條件I≤8，S＝10，I＝7；滿足條件I≤8，S＝17，I＝9；不滿足條件I≤8，退出循環(huán)，輸出S的值為17.[答案]17[規(guī)律方法]讀懂偽代碼的關(guān)鍵是正確理解五種語句的功能及執(zhí)行過程，特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)中的條件．注意“While”語句與“For”語句的區(qū)別．[舉一反三](江蘇省南京市2017屆高考三模)執(zhí)行如下所示的偽代碼，若輸出的y值為1，則輸入x的值為________．－1[由程序語句知：算法的功能是求f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0,2－x2，x＜0))的值，當(dāng)x≥0時，y＝2x＋1＝1，解得x＝－1，不合題意，舍去；當(dāng)x＜0時，y＝2－x2＝1，解得x＝±1，應(yīng)取x＝－1；綜上，x的值為－1.]歸納推理【例6】用火柴棒擺“金魚”，如圖8－7所示：圖8－7按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)是________．[解析]由題意得：“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，首項為8，公差為6，因此第n項為6n＋2.[答案]6n＋2[規(guī)律方法]歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認知功能，所得的結(jié)論未必是正確的，但是對于數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)、科學(xué)家的發(fā)明，歸納推理卻是十分有用的，通過觀察、實驗對有限的資料作出歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想.歸納推理也是數(shù)學(xué)研究的獨特方法之一．[舉一反三]一個非空集合中的各個元素之和是3的倍數(shù)，則稱該集合為“好集”．記集合{1,2,3，…，3n}的子集中所有“好集”的個數(shù)為f(n)．(1)求f(1)，f(2)的值；(2)求f(n)的表達式．[解](1)當(dāng)n＝1時，集合{1,2,3}的子集中“好集”有{3}，{1,2}，{1,2,3}，共3個，∴易得f(1)＝3；當(dāng)n＝2時，集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有：單元集：{3}，{6}共2個，雙元集：{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5個，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8個，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}共5個，五元集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2個，還有一個全集．故f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23.(2)首先考慮f(n＋1)與f(n)的關(guān)系．集合{1,2,3，…，3n,3n＋1,3n＋2,3n＋3}在集合{1,2,3，…，3n}中加入3個元素3n＋1,3n＋2,3n＋3.故f(n＋1)的組成有以下幾部分：①原有的f(n)個集合；②含有元素3n＋1的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合計是23n；③含有元素是3n＋1與3n＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n＋2與3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n＋1與3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合計是23n；④含有元素是3n＋1,3n＋2,3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中“好集”與它的并集，再加上{3n＋1,3n＋2,3n＋3}．所以，f(n＋1)＝2f(n)＋2×23n兩邊同除以2n＋1，得eq\f(fn＋1,2n＋1)－eq\f(fn,2n)＝4n＋eq\f(1,2n＋1)，所以eq\f(fn,2n)＝4n－1＋4n－2＋…＋4＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n－1)＋…＋eq\f(1,22)＋eq\f(3,2)＝eq\f(4n－1,3)＋1－eq\f(1,2n)，即f(n)＝eq\f(2n4n－1,3)＋2n－1.類比推理【例7】在平面幾何里，有勾股定理“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出正確的結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A－BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ABD[解析]根據(jù)平面幾何與空間幾何中相應(yīng)量的類比特點，將三棱錐A－BCD的三個兩兩相互垂直的側(cè)面ABC、ACD、ABD類比為平面幾何中直角△ABC的直角邊AB、AC，將三棱錐A－BCD的底面BCD類比為直角△ABC的斜邊BC，在勾股定理中，用相應(yīng)的三棱錐的面積替換直角三角形的邊長得Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ABD)＝Seq\o\al(2,△BCD).[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al(2,△ACD)＋Seq\o\al(2,△ABD)＝Seq\o\al(2,△BCD)[規(guī)律方法]類比推理主要是找出兩類事物的共性，一般的類比有以下幾種：①線段的長度——平面幾何中平面圖形的面積——立體幾何中立體圖形的體積的類比；②等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，等差數(shù)列中兩數(shù)相加類比到等比數(shù)列中兩數(shù)相乘，等差數(shù)列中兩數(shù)的差類比到等比數(shù)列中兩數(shù)相除．在類比的時候還需注意，有些時候不能將式子的結(jié)構(gòu)改變，只需將相應(yīng)的量進行替換．[舉一反三]對于命題：如果O是線段AB上一點，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up12(→))))·eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up12(→))))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝0；將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點，有S△OBC·eq\o(OA,\s\up12(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up12(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up12(→))＝0；將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有________.【導(dǎo)學(xué)號：】VO－BCD·eq\o(OA,\s\up12(→))＋VO－ACD·eq\o(OB,\s\up12(→))＋VO－ABD·eq\o(OC,\s\up12(→))＋VO－ABC·eq\o(OD,\s\up12(→))＝0[根據(jù)線性幾何中的長度、平面幾何中平面圖形的面積以及立體幾何中相應(yīng)幾何體體積的類比特點以及題中等式的特點，得到在立體幾何中：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有VO－BCD·eq\o(OA,\s\up12(→))＋VO－ACD·eq\o(OB,\s\up12(→))＋VO－ABD·eq\o(OC,\s\up12(→))＋VO－ABC·eq\o(OD,\s\up12(→))＝0.]間接證明【例8】設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和．(1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？[證明](1)假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則Seq\o\al(2,2)＝S1S3；即aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因為a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，這與公比q≠0矛盾，所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列．(2)當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列，否則2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2得q＝0，這與公比q≠0矛盾．綜上，當(dāng)q＝1時，數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列．[規(guī)律方法]用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板：第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定﹁q；第三步：由p和﹁q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于所作的假設(shè)﹁q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題．[舉一反三]直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C兩點，O是坐標(biāo)原點．(1)當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；(2)當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．[解](1)因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．所以可設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))，代入橢圓方程得eq\f(t2,4)＋eq\f(1,4)＝1，即t＝±eq\r(3).所以|AC|＝2eq\r(3).(2)證明：假設(shè)四邊形OABC為菱形．因為點B不是W的頂點，且AC⊥OB，所以k≠0.設(shè)AC的方程為y＝kx＋m，k≠0，m≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4,y＝kx＋m))消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,1＋4k2)，eq\f(y1＋y2,2)＝k·eq\f(x1＋x2,2)＋m＝eq\f(m,1＋4k2).所以AC的中點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4km,1＋4k2)，\f(m,1＋4k2))).因為M為AC和OB的交點，且m≠0，k≠0，所以直線OB的斜率為－eq\f(1,4k).因為k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4k)))≠－1，所以AC與OB不垂直，所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．所以當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形.復(fù)數(shù)【例9】(江蘇省南京市2017屆高考三模)若復(fù)數(shù)z滿足z＋2eq\x\to(z)＝3＋2i，其中i為虛數(shù)單位，eq\x\to(z)為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為________．[解析]設(shè)z＝a＋bi，則eq\x\to(z)＝a－bi，由z＋2eq\x\to(z)＝3＋2i，得3a－bi＝3＋2i，∴a＝1，b＝－2，∴|z|＝eq\r(12＋－22)＝eq\r(5).[答案]eq\r(5)[規(guī)律方法]處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實數(shù)問題來處理．(1)復(fù)數(shù)相等是一個重要概念，它是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的重要工具，通過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，借助兩個復(fù)數(shù)相等，可以列出方程(組)來求未知數(shù)的值．(2)復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法．對于復(fù)數(shù)概念、幾何意義等相關(guān)問題的求解，其核心就是要將復(fù)數(shù)化為一般形式，即z＝a＋bi(a，b∈R)，實部為a，虛部為b.(1)復(fù)數(shù)的概念：①z為實數(shù)?b＝0；②z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0；③z為虛數(shù)?b≠0.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義：①z＝a＋bi?z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a，b)?z在復(fù)平面對應(yīng)向量eq\o(OZ,\s\up12(→))＝(a，b)；②復(fù)數(shù)z的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).(3)共軛復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)z＝a＋bi與eq\x\to(z)＝a－bi互為共軛復(fù)數(shù)．[舉一反三](2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且eq\f(z1,z2)＝1＋i，則y＝________.1[∵復(fù)數(shù)z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且eq\f(z1,z2)＝1＋i，∴eq\f(3＋yi,2－i)＝1＋i，化為：3＋yi＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴y＝1.][第3步▕高考易錯明辨析]1．忽視判別式Δ適用的前提求實數(shù)m的取值范圍，使方程x2＋(m＋4i)x＋(1＋2m[錯解]由于方程x2＋(m＋4i)x＋(1＋2mi)＝0至少有一根，則Δ＝(m＋4i)2－4(1＋2mi)＝m2－20≥0，解得m≤－2eq\r(5)或m≥2eq\r(5)，故實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－2\r(5)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(5)，＋∞)).[錯解分析]忽略了Δ≥0判斷一元二次方程使用的情形，利用Δ的符號來判斷一元二次方程是否存在實根的前提是實系數(shù)一元二次方程．[正解]設(shè)x2＋(m＋4i)x＋(1＋2mi)＝0的一個實數(shù)根為a(a∈R)，則a2＋(m＋4i)a＋(1＋2mi)＝0，即(a2＋am＋1)＋(根據(jù)復(fù)數(shù)相等得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋ma＋1＝0，,4a＋2m＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,a＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,a＝1，))故m＝±2.2．忽視對循環(huán)結(jié)構(gòu)的合理分析如果執(zhí)行如圖8－8所示的程序框圖，那么輸出的S＝________.圖8－8[錯解]S＝1＋2＋3＋…＋100＝5050.[錯解分析]缺乏對循環(huán)結(jié)構(gòu)的合理分析，沒有注意到循環(huán)結(jié)構(gòu)中變量S的計算公式S＝S＋2k，沒有注意到每次加上的2k為偶數(shù)，從而對算法程序框圖的理解錯誤，導(dǎo)致運算錯誤．[正解]由程序框圖可知，算法表示的是計算100以內(nèi)所有正偶數(shù)的和，即S＝2＋4