試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁華東師大二附中2024學(xué)年第二學(xué)期期末考試卷高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘卷面滿分：150分）一、填空題（共54分，1-6題每題4分，7-12每題5分）1．已知是第四象限的角，則點(diǎn)在第象限．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為．3．已知，則．（數(shù)字作答）4．記，在用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意正整數(shù)，的過程中，從到時(shí)，不等式左邊的比增加了項(xiàng).5．已知平面向量，，則在方向上的投影向量為．6．已知等比數(shù)列中，，則等比數(shù)列的公比．7．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．已知方程的兩個(gè)虛根為、，且，則實(shí)數(shù)．9．已知復(fù)數(shù)，滿足，其中i為虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，則．10．正方形的邊長為4，點(diǎn)是正方形的中心，過中心的直線與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，滿足，則的最小值為．11．如圖，、是某水域的兩直線型岸邊，，是的角平分線，且．某養(yǎng)殖戶準(zhǔn)備經(jīng)過點(diǎn)安裝一直線型隔離網(wǎng)（、分別在、上），圍成△養(yǎng)殖區(qū)．若、都不超過，則隔離網(wǎng)長度的取值范圍是．12．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．二、選擇題（共18分，13-14題每題4分，15-16每題5分）13．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B． C． D．14．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．已知復(fù)數(shù)，若，則 B．已知復(fù)數(shù)，若，則C．若，則與共線 D．若，則15．設(shè)均是非零向量，且，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．16．設(shè)函數(shù)，其中、、、為已知實(shí)常數(shù)，，有下列四個(gè)命題：（1）若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；（2）若，則函數(shù)為奇函數(shù)；（3）若，則函數(shù)為偶函數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，若，則（）；則上述命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)三、解答題（共78分）17．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值．18．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．19．已知數(shù)列滿足，且，在數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列和的所有公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．如圖所示，在中，在線段BC上，滿足，是線段的中點(diǎn)．(1)延長交于點(diǎn)Q（圖1），求的值；(2)過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（圖2），設(shè)，．（i）求證為定值；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值．21．若實(shí)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則稱項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列為的一個(gè)“配對(duì)和”數(shù)列，其中為的一個(gè)排列，即．例如：數(shù)列1，2，3，4，5，6的一個(gè)“配對(duì)和”數(shù)列為．(1)若為等差數(shù)列，求的所有常值“配對(duì)和”數(shù)列；(2)若為公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且存在一個(gè)常值“配對(duì)和”數(shù)列，求等比數(shù)列的公比；(3)若數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為6且各項(xiàng)均非零，問：是否存在兩個(gè)“配對(duì)和”數(shù)列和，使得和分別是數(shù)列的前3項(xiàng)和后3項(xiàng)？若存在，求出所有的配對(duì)和；若不存在，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．二【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)確定即可.【詳解】因?yàn)槭堑谒南笙薜慕?，所以，故點(diǎn)在第二象限.故答案為：二2．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)的概念得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則z的虛部為，故答案為：3．【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式、二倍角的正切公式計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)?所以，所以，故答案為：4．3【分析】根據(jù)給定條件，分析從到時(shí)式子的變化即可作答.【詳解】因?yàn)椋?，所以不等式左邊的比增加了，?項(xiàng).故答案為：35．【分析】利用投影向量的意義求解即可.【詳解】平面向量，，則，所以在方向上的投影向量為.故答案為：6．2或【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)椋?，故，即，化簡得，解得或，故答案為?或7．【分析】已知，則它們數(shù)量積小于0且兩向量不為相反向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量的坐標(biāo)表示，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：已知，則它們數(shù)量積小于0且兩向量不為相反向量，所以，若為相反向量,則兩向量共線，有，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是且.故答案為：.8．【分析】由于方程為實(shí)系數(shù)方程，故，互為共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)，可得，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理，構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意，，互為共軛虛根，則，，，由，得，，因?yàn)闀r(shí)，，不合題意，所以．故答案為：．9．2025【分析】由知，，依題意得，，進(jìn)而可得.【詳解】由得，所以，，由知，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以；數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，所以，故.故答案為：.10．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于，即可求出其最小值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過且平行于的直線為軸，以過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,所以，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則（），所以，所以，所以當(dāng)，且時(shí)，取得最小值，故答案為：

11．【分析】設(shè)，，，利用結(jié)合三角形的面積公式可得出，由，，求出的取值范圍，可求出的取值范圍，利用余弦定理結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，即為所求.【詳解】設(shè)，，，由題意可得，且，因?yàn)?，即，可得，由題意可知，，，所以，，由，解得，所以，，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，則，由余弦定理可得，故，因此，的長的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.12．【分析】構(gòu)造復(fù)數(shù)，將已知條件轉(zhuǎn)化為，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義與三角形式求解輻角主值的關(guān)系，進(jìn)而利用等比數(shù)列求通項(xiàng)，進(jìn)而求（即）.【詳解】由，且數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，定義復(fù)數(shù)，則，則有，又，其對(duì)應(yīng)輻角主值；如圖，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的實(shí)軸上的點(diǎn)，且，由，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知，故四邊形為菱形，即復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)輻角主值；故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，且，故，則，當(dāng)時(shí)，又也適合上式.所以，.故答案為：.13．D【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，求出對(duì)稱中心的表達(dá)式，結(jié)合題意驗(yàn)證值即可求解.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱中心為：，即，因?yàn)闉楹瘮?shù)的對(duì)稱中心，令，解得，當(dāng)時(shí)，.故選：D14．B【分析】設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得到兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部的關(guān)系，即可判斷A，設(shè)，計(jì)算出，即可判斷B；設(shè)的夾角為，根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式，由，推出或，即可判斷C；根據(jù)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，,則，.若，即，則有，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，但是，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的夾角為，因?yàn)?，若，則，即或，所以與共線，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，若，則，故D正確.故選：B15．B【分析】由有實(shí)根，可得，再結(jié)合向量的夾角公式和可求得，從而可求出兩向量的夾角范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，所以，所以，因?yàn)榫欠橇阆蛄?，且，所以，因?yàn)?，所以，故選：B.16．C【分析】利用兩角和的余弦公式化簡表達(dá)式.對(duì)于命題（1），將化簡得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出（1）選項(xiàng)的真假；對(duì)于命題（2）選項(xiàng)，將化簡得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為奇函數(shù)，由此判斷出（2）選項(xiàng)的真假；對(duì)于命題（3）選項(xiàng)，將化簡得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為偶函數(shù)，由此判斷出（3）選項(xiàng)的真假；對(duì)于命題（4）選項(xiàng)，根據(jù)、，求得的零點(diǎn)的表達(dá)式，進(jìn)而判斷出（4）選項(xiàng)的真假.【詳解】不妨設(shè)．為已知實(shí)常數(shù).若，則得；若，則得．于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即命題（1）是真命題；當(dāng)時(shí)，，它為奇函數(shù)，即命題（2）是真命題；當(dāng)時(shí)，，它為偶函數(shù)，即命題（3）是真命題；當(dāng)時(shí)，令，則，上述方程中，若，則，這與矛盾，所以．將該方程的兩邊同除以得，令（），則，解得（）．不妨取，（且），則，即（），所以命題（4）是假命題．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差公式，三角函數(shù)零點(diǎn)，三角函數(shù)性質(zhì)，重點(diǎn)考查讀題，理解題和推理變形的能力，屬于中檔題型.17．(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法化簡，再由復(fù)數(shù)的類型求解即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡，再由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限列出不等式組求解.【詳解】（1）為純虛數(shù)，，解得，故，則．（2），，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的計(jì)算公式求得參數(shù)的值，結(jié)合特殊角三角函數(shù)值，可得答案；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.【詳解】（1）由函數(shù)的最小正周期為，則，解得，所以，故.（2）由的單調(diào)遞減區(qū)間為，且為增函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.19．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式采用兩式相減的方法可得，再結(jié)合等比數(shù)列定義即可得的通項(xiàng)公式，由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，可得，結(jié)合等差數(shù)列定義可得的通項(xiàng)公式；（2）由題意可得，結(jié)合等比數(shù)列與等差數(shù)列求和公式分組計(jì)算即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，又，，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，即，又，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以；（2）因?yàn)槭撬械恼紨?shù)，又，所以，所以.20．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)題意，將作為基底表示，由三點(diǎn)共線可知，的系數(shù)之和為1，即可求出的值；（2）（i）根據(jù)題意，將，作為基底表示，由三點(diǎn)共線可知，，的系數(shù)之和為1，即可求出為一定值；（ii）根據(jù)題意，，，，由可將化為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求的最小值即可.【詳解】（1）依題意，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則有，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，即，所以，所以；（2）（i）根據(jù)題意,同理可得：，由（1）可知，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，化簡得，即為定值，且定值為3；（ii）根據(jù)題意，，，所以，由（i）可知，則，所以，易知，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí).21．(1)有且只有一個(gè)常值“配對(duì)和”數(shù)列：；(2)1(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)新定義及為等差數(shù)列分析即可得解；（2）分類討論當(dāng)時(shí)，，，同理可分析當(dāng)時(shí)，也有得解；（3）根據(jù)新定義，列舉不同情況，逐一驗(yàn)證，可得出結(jié)論?！驹斀狻浚?）一方面，數(shù)列的任意“配對(duì)和”數(shù)列的各項(xiàng)之和等于的各項(xiàng)之和，所以若有兩個(gè)常值“配對(duì)和”數(shù)列b，b，…，b以及c，c，…，c，則，即，即只存在一個(gè)常值“配對(duì)和”數(shù)列．另一方面，由等差數(shù)列的性質(zhì)，為的一個(gè)“配對(duì)和”數(shù)列，因此，有且只有一個(gè)常值“配對(duì)和”數(shù)列：；（2）若，且，則遞增，所以的常值“配對(duì)和”數(shù)列只能是：，否則必有兩項(xiàng)不相等．注意到若，則，由此可知，即，矛盾．同理，若此時(shí)，也矛盾．因此，時(shí)有．同理，當(dāng)時(shí)，也有．綜上，等比數(shù)列的公比．（3）由題意，此時(shí)，由于改變各項(xiàng)順序不影響“配對(duì)和”數(shù)列的存在與否，故不妨設(shè)的各項(xiàng)按照從小到大順序依次為：．注意到數(shù)列的任意“配對(duì)和”數(shù)列的各項(xiàng)之和等于的各項(xiàng)之和．因此，若假設(shè)存在兩個(gè)“配對(duì)和”數(shù)列和，使得和分別是數(shù)列的前3項(xiàng)和后3項(xiàng)，那么數(shù)列的各項(xiàng)之和為0，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均非零，故．由于數(shù)列和構(gòu)成數(shù)列，所以存在．因?yàn)榇藭r(shí)是數(shù)列中最小的項(xiàng)，故且；同理，存在，其中且．由此可知，數(shù)列的大小排序