三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【知識(shí)儲(chǔ)備】1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ題型一：五點(diǎn)法描圖1．用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)在長(zhǎng)度一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖：(1)y=1(2)y=sin(3)y=2sin【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）y=13sinx的周期為T=2π，取x∈0,2π內(nèi)的五點(diǎn)，列表描點(diǎn)可畫出簡(jiǎn)圖；（2）y=sin13x的周期為T=6π，取13x∈【詳解】（1）解：函數(shù)y=13列表如下；x0π2π3π22πsinx01010y0130?10y=13sin（2）函數(shù)y=sin1列表如下；x03π3π9π26π130ππ3π2πy01010y=sin13（3）函數(shù)y=2sin1列表如下；x0π2π3π4π120ππ3π2πy02020y=2sin122．作出下列函數(shù)的大致圖像：(1)y=sinx，(2)y=1?cos【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合正弦曲線、余弦曲線的“五點(diǎn)法”，可作出函數(shù)圖象.【詳解】（1）因?yàn)閥=sinx的定義域?yàn)閟in?x=?又sinπ+x=?sin列表x0ππy=010y=|010作圖：先作出0,π的圖象，又原函數(shù)是偶函數(shù)，且周期為π，將圖象向兩邊延伸，即可得函數(shù)y=sinx（2）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0ππ32cos10?1011?01210描點(diǎn)，并將它們用光滑的曲線連接起來（如圖）：3．已知函數(shù)f(x)=請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；2x?02xf(x)【答案】作圖見解析【分析】根據(jù)五點(diǎn)作圖法，分別令2x?π【詳解】令2x?π2x?0ππ32xππ7513f(x)010?10畫出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期的圖象，如圖，4．已知函數(shù)fx(1)請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)fx在0,2(2)由圖象直接寫出：當(dāng)x∈0,2π時(shí)，函數(shù)fx與直線y=m【答案】(1)答案見解析(2)交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，1,3【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)fx（2）根據(jù)（1）種函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得fx列表如下：x0ππ32cos10?101f30103在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線，如圖所示：（2）由圖象可知當(dāng)x∈0,2π時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)時(shí)，m的范圍是1,3∪題型二：三角函數(shù)的定義域5．求下列函數(shù)的定義域．(1)y=2(2)f(x)=【答案】(1)π(2)?【分析】（1）根據(jù)根號(hào)下大于等于0得到不等式，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)解出即可，（2）根據(jù)根號(hào)下大于等于0得到不等式，再結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)解出即可.【詳解】（1）要使得函數(shù)有意義，則2sinx?3解得π3+2kπ故函數(shù)定義域?yàn)棣校?）要使得函數(shù)有意義，則2cosx?1，即解得?π3+2k故函數(shù)定義域?yàn)?6．函數(shù)y=lgsinx【答案】2kπ,2kπ+π,k∈Z【解析】解不等式sinx>0【詳解】要使函數(shù)有意義,需sinx>0,即2kπ<x<2kπ+π,k∈Z故定義域?yàn)?kπ,2kπ+π,k∈Z.故答案為：2kπ,2kπ+π,k∈Z.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域問題，是基礎(chǔ)題.7．函數(shù)y=sinx的定義域?yàn)閇a,b]，值域?yàn)?1,12【答案】2π【分析】根據(jù)y=sinx的圖像，求得b?a的最大值和最小值，由此求得【詳解】根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)?1,12，由圖像可知，b?a的最大值為13π6?5π6=8π6【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8．“x<π4”是“tanx<1A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由x<π4推不出tanx<1，如x=?即充分性不成立，由tanx<1也推不出x<π4，如tan所以“x<π4”是“故選：D9．函數(shù)y=2tan【答案】x【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由2tanx?π4則kπ≤x?π所以函數(shù)y=2tanx?故答案為：xπ題型三：三角函數(shù)的單調(diào)性10．函數(shù)fx=sinA．?π,?π2 C．π,3π2 【答案】D【分析】由y=sinx的圖象與性質(zhì)得【詳解】由y=sinx的圖象與性質(zhì)，f(x)=sinx的單調(diào)減區(qū)間為故選：D.11．函數(shù)y=sin2x?πA．2kπ?πC．kπ+π【答案】B【分析】根據(jù)整體代換法求單調(diào)區(qū)間即可求解.【詳解】因?yàn)閥=sin2x?π6，令解得kπ?π所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ故選：B12．已知函數(shù)fx(1)求fx(2)求fx在0,【答案】(1)?(2)?1,2【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.（2）由x的取值范圍求出2x+π【詳解】（1）fx=2cos解得?2所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為?2（2）fx=2cos2x+π可得cos2x+π3即函數(shù)fx在0,π213．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是A．y=?2x B．y=x3 C．【答案】B【詳解】試題分析：C選項(xiàng)不具備奇偶性；A,D選項(xiàng)是奇函數(shù)但在定義域上不是增函數(shù)；所以應(yīng)選B.考點(diǎn)：函數(shù)及其性質(zhì).題型四：三角函數(shù)的周期性14．函數(shù)y=3tanπ6A．2π B．6π C．4π D．π【答案】C【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式即可求解.【詳解】函數(shù)y=3tanπ6故選：C．15．求下列函數(shù)的周期：(1)y=2cos(2)y=|cos【答案】(1)T=3(2)T=【分析】（1）由周期公式直接計(jì)算即可；（2）由f(x+π【詳解】（1）由周期公式得T=2（2）因?yàn)閒(x+πfx所以函數(shù)f(x)的周期為π.16．下列函數(shù)中，以2為最小正周期且是偶函數(shù)的為（

）A．fx=sinπC．fx=sin【答案】B【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的周期性和奇偶性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閒?x所以函數(shù)fx對(duì)于B，函數(shù)fx=cosπ因?yàn)閒?x所以函數(shù)fx對(duì)于C，因?yàn)閒?x所以函數(shù)fx對(duì)于D，函數(shù)fx=cos故選：B.17．下面關(guān)于正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)中，錯(cuò)誤的是（A．最小正周期是2π； B．值域是[?1C．是偶函數(shù)； D．定義域是實(shí)數(shù)集R．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷【詳解】根據(jù)y=sinT=2根據(jù)圖象，可得y=sinx的定義域?yàn)橹涤蚴荹?1所以ABD正確，C錯(cuò)誤．故選：C．題型五：三角函數(shù)的奇偶性18．判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說理.(1)f(x)=cos(2)y=x?cos(3)y=3sin【答案】(1)偶函數(shù)，理由見解析(2)奇函數(shù)，理由見解析(3)非奇非偶函數(shù)，理由見解析【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性【詳解】（1）fx∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，且f?x∴fx（2）fx∵fx的定義域?yàn)镽，且f∴fx（3）fx∵fπf?故f?π4∴fx19．已知函數(shù)fx=1A．fx是最小正周期為πB．fx是最小正周期為2C．fx是最小正周期為πD．fx是最小正周期為2【答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期性和奇偶性即可得解.【詳解】f(x)定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閒?x所以函數(shù)fx又T=2所以fx是最小正周期為π故選：A.20．函數(shù)y=sin3πA．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】B【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的奇偶性即可得解.【詳解】因?yàn)閥=sin故選：B.題型六：三角函數(shù)的對(duì)稱性21．函數(shù)f(x)=sin3x?πA．x=5π12 B．x=π3 C．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得對(duì)稱軸方程為3x?π【詳解】令3x?π4=kπ+顯然當(dāng)k=?1時(shí)，x=?π其余選項(xiàng)均不存在整數(shù)k滿足的條件．故選：C．22．已知A≠0，若π4和π是函數(shù)fx=Asin【答案】4【分析】依題意可得T2【詳解】因?yàn)棣?和π是函數(shù)fx=A所以T2=π?π4=故答案為：423．函數(shù)fx=sinA．kπ2,0C．kπ2+【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用整體法求對(duì)稱中心即可.【詳解】令2x?π3=kπ，k∈Z所以fx=sin2x?故選：D．24．已知f(x)=2sinx?14，x∈(0,π)恰有兩個(gè)零點(diǎn)x【答案】?14【分析】由零點(diǎn)的定義，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得x1【詳解】由題意知，f(x得sinx又函數(shù)y=sinx圖象在(0,π所以x1所以f(x故答案為：?25．函數(shù)fx=3cosA．π8,?0 B．3π8【答案】B【分析】利用余弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出函數(shù)fx【詳解】由2x?π4=即函數(shù)fx=3cos結(jié)合各選項(xiàng)，可知僅3π故選：B.26．已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ),θ∈(?π,π)，若函數(shù)f(x)在A．?34π B．?π4 【答案】D【分析】由題可知π4+θ=π【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=π∴π又θ∈(?π,π故選：D．題型七：三角函數(shù)的值域27．已知函數(shù)fx(1)寫出函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在區(qū)間?2π3,π(3)x∈π3,11π【答案】(1)T=2π；2kπ,2k(2)當(dāng)x=?2π3時(shí)，f(3)?2,【分析】結(jié)合余弦函數(shù)y=cos【詳解】（1）函數(shù)fx=2cos由2kπ≤x≤2kπ得函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為：2kπ,2k（2）因?yàn)閤∈?2π3,π6所以當(dāng)x=?2π3時(shí)，f（3）當(dāng)x∈π3,11π方程fx=m有解，所以即函數(shù)gx=fx28．已知函數(shù)y=3cos2x的定義域?yàn)?π4,π4A．－6 B．－3 C．?332【答案】B【分析】求得復(fù)合三角函數(shù)值域即可得解.【詳解】因?yàn)閤∈?π4,πy=3cos2x∈0,3∴b=0，a=3故選：B．29．函數(shù)y=?3cosx+2的值域?yàn)椋ˋ．[?1,5]