.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練題組一利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解決問題1.在當(dāng)今這個5G時代,6G的研究方興未艾.有消息稱,未來6G通訊的速率有望達到1Tbps,香農(nóng)公式C=Wlog21+SN是通信理論中的重要公式,它表示:在受噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S和信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小.其中SN叫做信噪比.若不改變帶寬W,而將信噪比SN從3提升到99,則最大信息傳遞率C大約會提升到原來的(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3A.2.3倍B.3.3倍C.4.6倍D.6.6倍2.某人擁有一輛價值20萬元的轎車,已知轎車以每年8%的幅度貶值,則這個人至多幾年后賣出這輛轎車,才不會以低于15萬元的價格成交(參考數(shù)據(jù):lg75≈1.875,lg92≈1.964)()A.3年B.4年C.5年D.6年3.專家對某地區(qū)傳染病暴發(fā)趨勢進行研究發(fā)現(xiàn),從確診第一名患者開始累計時間t(單位:天)與病情暴發(fā)系數(shù)f(t)之間,滿足函數(shù)模型:f(t)=11+e-0.22(t-50),當(dāng)f(t)=0.1時,標(biāo)志著疫情將要大面積暴發(fā),則此時t約為(A.38B.40C.45D.474.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放.已知過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位:mg/L)與時間t(單位:h)的關(guān)系為P=kat(k>0,a>0且a≠1),其圖象如圖,則污染物減少60%至少需要的時間約為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)()A.23小時B.25小時C.42小時D.44小時5.(多選題)某食品的保鮮時間y(單位:h)與儲存溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(k,b為常數(shù)).若該食品在0℃時的保鮮時間是192h,在22℃時的保鮮時間是48h,則下列說法正確的是()A.k>0B.儲存的溫度越高,該食品的保鮮時間越長C.該食品在11℃時的保鮮時間是96hD.該食品在33℃時的保鮮時間是24h6.在有聲世界,聲強級是表示聲強度相對大小的指標(biāo),聲強級y(單位:dB)與聲強度I(單位:W/m2)之間的關(guān)系為y=10lgII0,其中,I0=10-12W/m2為基準(zhǔn)值.則聲強級為60dB時的聲強度I60是聲強級為40dB時的聲強度I40的7.某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率t,市場價格x(單位:千元)與市場供應(yīng)量p(單位:萬件)之間近似滿足關(guān)系式:p=2(1-kt)(x-b)2,其中k,b均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率為75%時,若市場價格為5千元,則市場供應(yīng)量約為1萬件;(1)試確定k,b的值;(2)市場需求量q(單位:萬件)與市場價格x近似滿足關(guān)系式:q=2-x.當(dāng)p=q時,市場價格稱為市場平衡價格.當(dāng)市場平衡價格不超過4千元時,求關(guān)稅稅率的最大值.8.為實施大氣污染防治行動,市環(huán)保局規(guī)定某工廠產(chǎn)生的廢氣必須過濾后才能排放.已知在過濾過程中,廢氣中的污染物含量P(單位:毫克/升)與過濾時間t(單位:小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為P(t)=P0ekt(e為自然對數(shù)的底數(shù),P0為污染物的初始含量).過濾1小時后檢測,發(fā)現(xiàn)污染物的含量為原來的45(1)求函數(shù)P(t)的關(guān)系式;(2)要使污染物的含量不超過初始值的11000,至少需過濾幾小時?(參考數(shù)據(jù):lg2≈題組二擬合函數(shù)模型解決問題9.人類已進入大數(shù)據(jù)時代,數(shù)據(jù)量已從EB(1EB=10242TB)級別躍升到ZB(1ZB=1024EB)級別,據(jù)研究結(jié)果表明:某地區(qū)的數(shù)據(jù)量y(單位:EB)與時間x(單位:年)的關(guān)系符合函數(shù)y=k·ax-2021,其中a>0,a≠1.已知2022年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.5EB,2023年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為1EB,則2024年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為()A.1.5EBB.1.75EBC.2EBD.2.25EB10.某紀(jì)念章從2021年10月1日起開始上市,通過市場調(diào)查,得到該紀(jì)念章每枚的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:上市時間x(天)41036每枚的市場價y(元)905190根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列四個函數(shù):①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y=a·logbx,④y=k·ax中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章每枚的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系并說明理由;(2)利用你選取的函數(shù),求該紀(jì)念章每枚的市場價最低時的上市天數(shù)及最低價格.能力提升練題組利用函數(shù)模型解決問題1.我們知道二氧化碳是溫室性氣體,是全球變暖的主要元兇.在室內(nèi)二氧化碳含量的多少也會給人體健康帶來影響.下表是室內(nèi)二氧化碳濃度與人體生理反應(yīng)的關(guān)系:室內(nèi)二氧化碳濃度(單位:ppm)人體生理反應(yīng)不大于1000空氣清新,呼吸順暢1000~2000空氣渾濁,覺得昏昏欲睡2000~5000感覺頭痛,嗜睡,呆滯,注意力無法集中大于5000可能導(dǎo)致缺氧,造成永久性腦損傷,昏迷甚至死亡《室內(nèi)空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》和《公共場所衛(wèi)生指標(biāo)及限值要求》給出的室內(nèi)二氧化碳濃度的國家標(biāo)準(zhǔn)為:室內(nèi)二氧化碳濃度不大于0.1%(0.1%即為1000ppm),所以室內(nèi)要經(jīng)常通風(fēng)換氣,保持二氧化碳濃度水平不高于標(biāo)準(zhǔn)值.經(jīng)測定,某中學(xué)剛下課時,一個教室內(nèi)的二氧化碳濃度為2000ppm,若開窗通風(fēng)后二氧化碳濃度y%與時間t(單位:分鐘)的關(guān)系式為y=0.05+λe-t9(λ∈R),要使該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標(biāo)準(zhǔn),則需要開窗通風(fēng)的時間至少約為(參考數(shù)據(jù):ln3≈1.099,lnA.10分鐘B.11分鐘C.12分鐘D.20分鐘2.中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型及水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明,有一種茶用90℃的水泡制,再等到茶水溫度降至60℃時飲用,可以產(chǎn)生最佳口感.某研究人員在室溫下,每隔1min測一次茶水溫度,得到數(shù)據(jù)如下表:放置時間/min01234茶水溫度/℃90.0084.0078.6273.7569.39為了描述茶水溫度y℃與放置時間xmin的關(guān)系,現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇:①y=kax+30(k∈R,0<a<1,x≥0);②y=mx+b(m,b∈R,x≥0).選擇最符合實際的函數(shù)模型,可求得剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置的時間大約為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)()A.5.5minB.6.5minC.7.5minD.8.5min3.2023年10月26日神舟十七號載人飛船在長征二號F遙十七運載火箭的托舉下點火升空,成功進入預(yù)定軌道.我國在航天領(lǐng)域取得的巨大成就,得益于我國先進的運載火箭技術(shù).根據(jù)火箭理想速度公式v=v0·lnMm可以計算理想狀態(tài)下火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是噴流相對速度,m(kg)是火箭(除推進劑外)的質(zhì)量,M(kg)是推進劑與火箭質(zhì)量的總和,Mm稱為總質(zhì)比.已知甲型火箭噴流相對速度為2000(1)當(dāng)總質(zhì)比為9時,甲型火箭的最大速度為m/s;

(2)若經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進后,甲型火箭的噴流相對速度提高到原來的32倍,總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?2.若要使火箭的最大速度至少增加1000m/s,則在材料更新和技術(shù)改進前總質(zhì)比的最小值為(所有結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):ln3≈1.1,e≈2.72)4.物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設(shè)物體的初始溫度為T0(單位:℃),經(jīng)過一段時間t(單位:分鐘)后的溫度為T(單位:℃),則T-Tc=(T0-Tc)·at,其中Tc為環(huán)境溫度(單位:℃),a為參數(shù).某日室溫為20℃,上午8時小王使用電熱養(yǎng)生壺?zé)?假設(shè)加熱時水溫隨時間的變化為一次函數(shù),且初始溫度與室溫一致),8分鐘后水溫達到100℃,8時18分時,壺中熱水自然冷卻到60℃.(1)求8時起壺中水溫T(單位:℃)關(guān)于時間t(單位:分鐘)的函數(shù)T=f(t);(2)若當(dāng)日小王在水沸騰(水溫達到100℃)時,恰好有事出門,于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫狀態(tài),已知保溫時養(yǎng)生壺會自動檢測壺內(nèi)水溫,當(dāng)壺內(nèi)水溫高于臨界值50℃時,設(shè)備不加熱,當(dāng)壺內(nèi)水溫不高于臨界值50℃時,開始加熱至80℃后停止,加熱速度與正常燒水一致,問養(yǎng)生壺(在保溫狀態(tài)下)多長時間后開始第二次加熱?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)5.某校數(shù)學(xué)建模小組的同學(xué)想研究:假如沒有雜交水稻的推廣,沒有合理的人口、土地政策,僅以新中國成立時的自然條件為前提,我國年人均糧食占有量會如何變化?根據(jù)馬爾薩斯的理論,自然狀態(tài)下人口增長模型為y=y0ert①,其中t表示經(jīng)過的時間,y0表示t=0時的人口數(shù),r表示人口的年平均增長率,y(單位:萬)表示t年后的人口數(shù).根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù),我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬.該小組同學(xué)根據(jù)這兩個數(shù)據(jù),以1950年末的數(shù)據(jù)作為t=0時的人口數(shù),求得①式人口增長模型.經(jīng)檢驗,1950~1959年的實際人口數(shù)與此模型基本吻合,如圖.(1)若你是該小組成員,請求出①式的人口增長模型,并利用該模型計算從1950年末開始,大約多少年后我國人口總數(shù)達到13億;(2)根據(jù)馬爾薩斯的理論,該小組同學(xué)把自然狀態(tài)下糧食增長模型近似看成直線型模型,通過查閱我國1950年末至1959年末的糧食產(chǎn)量,得到糧食增長模型近似為y=600t+13600(其中t表示經(jīng)過的時間,y表示第t年的糧食年產(chǎn)量,單位:萬噸).f(t)=600t+13600y0ert(t∈N)表示從1950年末開始第t(i)求滿足f(k)f((ii)按此模型,我國年人均糧食占有量能達到400千克嗎?試說明理由.參考數(shù)據(jù):ln67207-ln55196≈9×0.02188,ln130000-ln55196≈39.15×0.02188,e0.02188≈1.022,55196×1.02223≈91050.答案與分層梯度式解析4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練1.B2.A3.B4.D5.CD9.C1.B依題意得C1=Wlog2(1+3)=2W,C2=Wlog2(1+99)=2Wlog210,因此C2C1=2Wlog2102W=log2.A由題意知,轎車價格y(萬元)與年份x(年)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20(1-8%)x,令20(1-8%)x≥15,得0.92x≥0.75,故x≤lg0.75lg0.92=lg75?2lg92?2≈1.875?21.964?2=因此這個人至多3年后賣出這輛轎車,才不會以低于15萬元的價格成交.故選A.3.B由題意得11+e-0.22(t-50)=0.1,即1+e-0.22(t-50)而e-0.22(t-50)=e1.1×(-0.2)(t-50)=(e1.1)-0.2(t-50),又e1.1≈3,∴3-0.2(t-50)=9,∴-0.2(t-50)=2,得t-50=-10,即t=40.故選B.4.D依題意得P0=k·所以污染物減少60%至少需要的時間約為44小時.故選D.5.CD根據(jù)題意,將(0,192),(22,48)分別代入y=ekx+b,得192=eb,48=e22k+b,故儲存的溫度越高,該食品的保鮮時間越短.易得e11k=14=12,故該食品在11℃時的保鮮時間是e11k+b=e11k×eb=12×192=96(h),該食品在33℃時的保鮮時間為e33k+b=(e11k)3×eb=1236.答案100解析由題意可得60=10lgI60I0,40=10lg因此60-40=10lgI60I0-10lgI40I0故I607.解析(1)由已知可得1=∴(1-0.75k)(2)由(1)得p=2(1-t)(x-5)2.當(dāng)∴(1-t)(x-5)2=-x,∴t=1+x(x-5)2=1+易知y=x+25x在(0,4]上單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=4時,x+25x有最小值,為此時t=1+1x+故當(dāng)x=4時,關(guān)稅稅率取得最大值,為500%.8.解析(1)根據(jù)題意,得45P0=P0ek,解得ek=4∴P(t)=P045(2)由P(t)=P045t≤11000P0,得4兩邊取以10為底的對數(shù),并整理,得t(2lg2-lg5)≤-3,又lg5=1-lg2,∴t(3lg2-1)≤-3,即t(1-3lg2)≥3,∴t≥30.因此,至少需過濾30小時.9.C由題意可得0.5=k·∴y=14×2x-2021∴當(dāng)x=2024時,y=14×22024-2021即2024年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為2EB.故選C.10.解析(1)選?、趛=ax2+bx+c.理由如下:由題表數(shù)據(jù)知隨著x的增加,y的值先減后增,而函數(shù)y=ax+b,y=a·logbx及y=k·ax都是單調(diào)函數(shù),不滿足題意,∴選取函數(shù)y=ax2+bx+c.(2)把點(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,得16a+4∴y=14x2-10x+126=14(x-20)∴當(dāng)x=20時,y有最小值,為26.故該紀(jì)念章每枚的市場價最低時的上市天數(shù)為20,最低價格為26元.能力提升練1.A由題意知2000ppm=0.2%,當(dāng)t=0時,y=0.2,則0.2=0.05+λe0,解得λ=0.15,要使教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標(biāo)準(zhǔn),則0.05+0.15e-t9≤0.1,得e∴t≥9ln3≈9.891,∴至少需要開窗通風(fēng)的時間約為10分鐘,故選A.2.B由題表中數(shù)據(jù)可得,每分鐘茶水溫度的減少值呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢,故選用模型①,由x=0時,y=90,代入y=kax+30,得90=k+30,解得k=60,所以y=60ax+30,由x=1時,y=84,可得84=60a+30,解得a=910即y=60910x+30,令60所以910x=12,lg910x=xlg解得x=lg12lg910=-lg22lg3?1即剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置的時間約為6.5min.故選B.3.答案(1)4400(2)22解析(1)由題得甲型火箭的最大速度v=2000×ln9=4000ln3≈4400(m/s).(2)由題意得,v0=2000×32=3000(m/s),原甲型火箭的最大速度v=2000lnM材料更新和技術(shù)改進后,甲型火箭的最大速度v'=3000lnM2所以3000lnM2m≥2000lnMm即lnMm≥1+3ln2,可得Mm≥e1+3ln2=8e4.解析(1)當(dāng)0≤t≤8時,設(shè)T=kt+20,代入t=8,T=100,解得k=10,則T=10t+20,將T=60,Tc=20,T