1.3

集合的基本運算知識點1

并集與交集知識清單破

文字語言符號語言圖形語言運算性質(zhì)并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,

或x∈B}

(①屬于A不屬于B;②屬于B不屬于A;③既屬于A又屬于B)A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪?=?∪A=A,A?(A∪B),B?(A∪B),A?B?A∪B=B交集由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”)A∩B={x|x∈A,

且x∈B}

(公共元素)A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩?=?∩A=?,(A∩B)?A,(A∩B)?B,A?B?A∩B=A1.全集一般地,如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通

常記作U.知識點2

全集與補集文字語言對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集,記作?UA符號語言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形語言

運算性質(zhì)?UA?U,?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A,A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?2.補集知識拓展

德·摩根定律1.?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);2.?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).知識辨析1.并集概念中的“或”與生活用語中的“或”表示“選擇”時的含義是否相同?2.求集合A的補集時是否一定要明確全集?3.若A∪B=A,則集合A與集合B有什么關(guān)系?一語破的1.不相同.生活用語中的“或”是“二者選一”,而并集中的“或”還包括“二者皆選”.2.是.對于集合A,全集不同時求出的補集也不盡相同.3.由“越并越大”知B?A.同理,若A∩B=A,則由“越交越小”知,A?B.定點1并集、交集、補集運算關(guān)鍵能力定點破1.根據(jù)集合中元素特征選擇適當?shù)姆椒ㄟM行集合的并集、交集、補集運算(1)有限集(或可以列舉的無限集)的運算,運用列舉法,按照運算的定義進行運算;(2)與不等式有關(guān)的無限集的運算,常借助數(shù)軸,按照運算的定義進行運算;(3)與函數(shù)相關(guān)的點集的運算,借助直觀圖形,按照運算的定義進行運算;(4)抽象集的運算,利用Venn圖,借助直觀圖形,按照運算的定義進行運算.2.集合并集、交集、補集的混合運算,根據(jù)題中運算次序依次進行運算求解,也可準確運用運

算律求解.3.集合運算的注意事項(1)與集合的交、并、補集運算有關(guān)的參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解,涉及集合間的關(guān)系時,不

要漏掉空集的情形.(2)注意不等式中的等號在補集中能否取到,還要注意補集是全集的子集.典例(1)設(shè)全集U=R,M={x|-3<x<0},N={x|x<-1},則M∩(?UN)=(

)A.{x|-1≤x<0}

B.{x|x≥-1}C.{x|-3<x<0}

D.{x|x≤-3}(2)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},則圖中陰影部分所表示的集合為

(

)A.{1}

B.{0,1}

C.{1,2}

D.{0,1,2}(3)已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=x},則集合A∩B中元素的個數(shù)為(

)A.3

B.2

C.1

D.0AAB解析

(1)∵U=R,N={x|x<-1},∴?UN={x|x≥-1},∴M∩(?UN)={x|-1≤x<0},故選A.(2)易知題圖中陰影部分表示的集合中的元素在集合A中,但不在集合B中,故該集合為A∩(?RB).∵B={x∈R|x≥2},∴?RB={x∈R|x<2}.又A={1,2,3,4,5},∴題圖中陰影部分所表示的集合為A∩(?RB)={1}.故選A.(3)聯(lián)立

解得

或

所以A∩B={(0,0),(1,1)}.故選B.

利用集合的運算關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍

由集合的運算關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍的思路(1)將集合中的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(或多個)集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能被一一列

舉,則可用觀察法處理集合之間的關(guān)系;與不等式有關(guān)的集合,可利用數(shù)軸處理集合之間的關(guān)

系.(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組).(3)解方程(組)或不等式(組)來確定參數(shù)的值或取值范圍.

定點

2典例已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4}.(1)當a=2時,求A∪B;(2)若

,求實數(shù)a的取值范圍.在①A∩B=A,②A∩B=?,③A∩(?RB)=A這三個條件中任選一個,補充在(2)中的橫線上,并解

答.解析

(1)當a=2時,集合A={x|1<x<7},又B={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x<7}.(2)若選擇①A∩B=A,則A?B.當A=?時,a-1≥2a+3,即a≤-4,滿足題意;當A≠?時,由A?B得

解得-1≤a≤

.綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為

a

a≤-4或-1≤a≤

.若選擇②A∩B=?,則當A=?時,a-1≥2a+3,即a≤-4,滿足題意;當A≠?時,由A∩B=?得

或

解得-4<a≤-

或a≥5.綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為

a

a≤-

或a≥5

.若選擇③A∩(?RB)=A,則A?(?RB),進而可得A∩B=?.以下同②.

“補集思想”的運用

1.補集思想一般適用于正面考慮的情況較多、較復雜的問題,或含有至多、至少、存在唯

一、不存在等的問題.2.用補集思想解含參問題的步驟(1)否定已知條件,考慮問題的反面;(2)求問題的反面對應的參數(shù)的集合;(3)取(2)中集合的補集,注意全集的范圍.

定點

3典例已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三個集合中至少有一

個集合不是空集,求實數(shù)a的取值范圍.思路點撥

先分析“至少