南平市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，是虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是A．的虛部為 B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C． D．2．已知向量，則A． B． C． D．3．設(shè)，是空間中兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．如圖，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài)．圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)．根據(jù)所給圖示作出判斷，則下列結(jié)論正確的是A．圖（1）中平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù) B．圖（2）中平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)C．圖（2）中眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù) D．圖（3）中平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)5．已知三棱錐，，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，且，則異面直線與所成的角是A． B． C． D．6．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，且的面積為，則A． B． C． D．7．已知的外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．8．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，若截面面積的最大值為，則該圓錐底面半徑的取值范圍是A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某影院連續(xù)天的觀影人數(shù)（單位：百人）依次為，，，，，，，，，，則下列關(guān)于這天觀影人數(shù)的結(jié)論正確的是A．眾數(shù)為 B．平均數(shù)為 C．中位數(shù)為 D．第百分位數(shù)為10．若平面向量滿足，則A． B．與的夾角為C． D．11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是四邊形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)在線段上時(shí)，三棱錐的體積是定值B．當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)是C．當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的體積是D．當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量與共線，則實(shí)數(shù)__________．13．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．將，，分別沿，，折起，使，，三點(diǎn)重合于點(diǎn)．若三棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_________．14．研究人員從某公司員工的體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名女工員、20名男員工的體重?cái)?shù)據(jù)，計(jì)算得到10名女員工的平均體重為52（單位：kg），方差為6；20名男員工的平均體重為64（單位：kg），方差為3．則這30名員工體重的平均數(shù)是__________，方差是__________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知復(fù)數(shù)，,是虛數(shù)單位．（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)，的值．16．（15分）從某次測(cè)試中隨機(jī)抽取份測(cè)試卷進(jìn)行成績(jī)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)抽取的測(cè)試卷的成績(jī)分?jǐn)?shù)都在之間，將抽取的測(cè)試卷按成績(jī)分成六組：，，，，，，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值和抽取測(cè)試卷的成績(jī)的第百分位數(shù)；（2）對(duì)成績(jī)?cè)诤偷某槿y(cè)試卷，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取份，再?gòu)倪@份測(cè)試卷中隨機(jī)抽取份了解答題情況，寫出這份測(cè)試卷所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間，并求這份測(cè)試卷成績(jī)都在的概率．17．（15分）某高校“強(qiáng)基計(jì)劃”自主招生的面試中有三道不同的題目，每位面試者依次作答．若答對(duì)兩道題目，則面試通過(guò)，結(jié)束面試；若答錯(cuò)兩道題目，則面試不通過(guò)，結(jié)束面試．已知李明答對(duì)第一道題目的概率為，答對(duì)第二道題目的概率為，答對(duì)第三道題目的概率為，假設(shè)每道題目是否答對(duì)是獨(dú)立的．（1）求李明第二次答題后結(jié)束面試的概率；（2）求李明最終通過(guò)面試的概率．18．（17分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）若是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一個(gè)截面，使得該截面與平面平行，請(qǐng)畫出截面，并寫出作圖過(guò)程（無(wú)需證明）；（2）證明：平面；（3）求二面角的余弦值．19．（17分）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)是的外心．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）對(duì)于任意的，，，，用向量方法證明不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）；（3）若，求的最大值．

數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．C2．C3．A4．D5．A6．B7．B8．C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．BC10．ACD11．ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13．14．60；36（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．【解】（1）由題可得，，且，解得或．又，故．（2）當(dāng)時(shí)，，代入關(guān)于的方程，得，整理得，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得，故實(shí)數(shù)的值分別為4，1316．（15分）【解】（1）由頻率分布直方圖可得，，解得，．又由頻率分布直方圖可得，[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的頻率依次為：，所以前4組的頻率為，前5組的頻率為，故第80百分位數(shù)在區(qū)間上，因此第80百分位數(shù)為．（2）采用比例分配的分層抽樣從[40，50）和[50，60）抽取5份測(cè)試卷，由于，故成績(jī)?cè)赱40，50）的測(cè)試卷中抽取數(shù)為，記作；成績(jī)?cè)赱50，60）的測(cè)試卷中抽取份數(shù)為，記作，則從抽取的5份測(cè)試卷中隨機(jī)抽取2份測(cè)試卷的所有可能構(gòu)成的樣本空間為：，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件“這2份測(cè)試卷成績(jī)都在[50，60）”，則，所以，從而．因此，這2份測(cè)試卷成績(jī)都在[50，60）的概率是．17．（15分）【解】設(shè)，表示“李明答對(duì)第道題目”，．（1）設(shè)表示“李明第二次答題后結(jié)束面試”，則，且，互斥．因?yàn)槊康李}目是否答對(duì)是獨(dú)立的，所以與．相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，于是．（2）設(shè)表示“李明最終通過(guò)面試”，則且互斥，所以．因此，李明最終通過(guò)面試的概率是．18．（17分）（評(píng)分說(shuō)明：若本題第（2）、（3）小問(wèn)利用空間坐標(biāo)法求解，不給分．）【解】（1）如圖，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，則截面與平面平行．（評(píng)分說(shuō)明：畫出正確的截面圖得2分，作圖過(guò)程說(shuō)明得2分，共4分．注意虛實(shí)線是否作圖正確，若有錯(cuò)誤，扣1分．）（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以．在矩形中，平面，平面，故平面．又平面，故．在中，，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，平面，故平面，而平面，于是．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）由（2）知平面，于是，所以即為二面角的平面角．在中，，故，從而．在中，，故，從而．又在中，，故由余弦定理得，，所以二面角的余弦值為．19．（17分）【解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的外心，所以點(diǎn)在邊的中垂線上．如圖設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則為向量在向量上的投影向量，設(shè)與的夾角為，所以．（