蘇州市2024-2025學(xué)年第二學(xué)期初二數(shù)學(xué)期末模擬卷（二）

（范圍：八下全冊十九年級（一元二次方程+相似）考試時間：120分鐘試卷滿分：130分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

2.)

A.0B.1C.-1D.±1

3.下列各式計算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.2V3-V3=2

C.y/2xV3=D.=-2

4.若關(guān)于X的一元二次方程（加-l）Y+4x+l=0有實(shí)數(shù)解，則加的取值范圍是（）

A.m>5B.加25且加wlC.加45且加wlD.m<5

5.如圖，在V/BC中，點(diǎn)。在4C上，若AABDS^ACB,Z4=80。，ZADB=70°f則的度數(shù)為

()

A.20°B.30°C.40°D.50°

6.在四邊形45CQ中，AB//CD,/C與8。相交點(diǎn)。，下列條件不能判定四邊形45CQ是菱形的是（）

A.AB=BC,/BAD=/BCDB.AB=CD,ZAOD=90°

C.OA=OC,ZABD=ZCBDD.AC=BD,AC1BD

7.如圖，平行四邊形。NBC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)。（3,2）在對角線08上，反比例函數(shù)

>=&（后>0,x>0）的圖象經(jīng)過C、。兩點(diǎn).已知平行四邊形。的面積是18,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

X

1/32

A.（6,4）B.（4,6）C.（5,4）D.（4,5）

8.如圖，在矩形/BCD中，AD=3,AB=4,M為線段上一動點(diǎn)，MPLCD于點(diǎn)P,MQLBC于點(diǎn)

C.3D.5

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.若式子反二［在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

10.一個不透明的盒子里有〃個除顏色外其他都相同的小球，其中有6個紅球.每次摸球前先將盒子里的

球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)

定在0.3,可以估計"=.

11.一元二次方程x2-6x+9=0的根為.

12.如圖，在口N3CD中，40=3,對角線NC與8。相交于點(diǎn)。，AC+BD=10,則=0c的周長為

13.已知關(guān)于x的分式方程甘+三一1的解是正數(shù)'則0的取值范圍為—.

14.如圖，若機(jī)器狗的最快速度v(m/s)是載重后總質(zhì)量m(kg)的反比例函數(shù)，當(dāng)該機(jī)器狗載重后總質(zhì)量

機(jī)=120kg時，最快速度v=3m/s,則當(dāng)該機(jī)器狗載重后總質(zhì)量加不超過90kg時，最快速度〃不低于

____m/s.

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15.如圖，已知矩形/2C。的邊長48=8,BC=4,若將矩形/BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)9恰好

落在8。上，連接D。，則。。的長為.

16.如圖，在菱形ABC。中，48=8,ND=60。.點(diǎn)、P為邊CD上一點(diǎn),且不與點(diǎn)C,。重合，連接AP,

過點(diǎn)A作￡尸〃8尸，且EF=BP,連接BE,PF,則四邊形了的面積為.

三、解答題：本題共11小題，共82分。

17.（8分）計算:

(1)712-73+3^1；

(2)3724+

18.（8分）解方程:

(l)x2+x-3=0;

23

(2)-=―7

Xx-1

19.（5分）先化簡：1-里1/，=-然后從1,-2,2025中選擇一個合適的數(shù)代入求值.

a1〃+2a+2a）

20.（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程—+（＞+3）x+2左+2=0.

（1）求證：方程有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的有一個根是正數(shù)，求左的取值范圍.

21.（6分）科學(xué)教育是提升國家科技競爭力、培養(yǎng)創(chuàng)新人才、提高全民科學(xué)素質(zhì)的重要基礎(chǔ)，某學(xué)校計劃

在八年級開設(shè)“無人機(jī)”、“創(chuàng)客”、“AI”、“航?！彼拈T校本課程，要求每人必須參加，并且只能選擇其

3/32

中一門課程，為了解學(xué)生對這四門課程的選擇情況，學(xué)校從八年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行

問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(部分信息未給出).

請你根據(jù)以上信息解決下列問題：

(1)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，選擇“航?！闭n程的學(xué)生占%,所對應(yīng)的圓心角為.

(3)若該校八年級共有600名學(xué)生，試估計選擇“AI”課程的學(xué)生有多少名？

22.(6分)如圖，在DNBC。中，DE1AB,垂足為E,點(diǎn)尸在CD上，且=

求證：四邊形。E2尸是矩形.

23.(6分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，V/8C三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為5(-3,1),C(-3,4).

(1)平移V/3C到△44Q,其中點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(3,1),請在圖中畫出△/4G；2點(diǎn)平移后對

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)請畫出VABC繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的.

(3)若鳥G繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△44G,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為.

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24.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)7(際0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)/(d8)和點(diǎn)8(8,1).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式和。的值;

(2)若點(diǎn)C是線段N8上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作CD〃了軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)。，若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4,求

線段CD的長.

25.(8分)如圖，在平行四邊形/BCD中，點(diǎn)￡在8C邊上，點(diǎn)/在DC的延長線上，S.ZDAE=ZF.

(1)求證：LABEs^ECF；

(2)若N3=5,40=8,BE=2,求W的長.

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26.(10分)綜合與探究

反比例函數(shù)y='(x>0)和y=：(x>0)的圖象如圖所示，點(diǎn)/(1,刃)在反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象上,

4

過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)8,過點(diǎn)A作NO〃x軸，交反比例函數(shù)y=Jx>0)的圖象于點(diǎn)。，再作軸

于點(diǎn)C,連接。4,OD,OD交AB于點(diǎn)、E.

(1)求△CM3的面積；

⑵求AOEB的面積；

(3)若點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象上一個動點(diǎn)，試說明矩形N3CD的面積是一個定值.

27.(10分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形O48C的邊OC=8,邊CU=4.

(1)求B點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵把矩形O/8C沿直線。E對折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，直線DE與OC、AC,的交點(diǎn)分別為。、F、E,

求折痕DE的長；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)”在x軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使點(diǎn)尸、。、M、N構(gòu)成一個菱形？若

存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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答案與解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()

【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，要注意：軸對稱圖

形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原

圖重合.根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意;

B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意;

C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意;

D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；

故選：B.

2.若分式上1的值為0,則x的值為()

x-1

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】c

【分析】本題考查分式的值為零的條件，根據(jù)平方根解方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式的值為零的條件：分

子為零，分母不為零.據(jù)此列式解答即可.

【詳解】解：?.?分式"的值為0,

x-1

%2—1—0且x—1w0,

解得：x=-\,

即X的值為-1.

故選：C.

3.下列各式計算正確的是()

A.V2+V3=V5B.2百-百=2

C.y/2x5/3=V6D.J(—2>=—2

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【答案】c

【分析】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則以及二次根式加減運(yùn)算

法則分別判斷得出答案.正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：A.百,0無法合并計算，，故此選項(xiàng)不合題意;

B.26-6=右，故此選項(xiàng)不合題意;

C.V2xV3=V6，故此選項(xiàng)符合題意;

D.J(-2)2=2,故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

4.若關(guān)于x的一元二次方程(〃-1)/+4》+1=0有實(shí)數(shù)解，則冽的取值范圍是()

A.m>5B.>5J!Lm1C.加W5且〃D.m<5

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解不等式的解集，理解有實(shí)數(shù)解的概念，掌握判

別式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的定義得到加-I/O,由方程有實(shí)數(shù)解得到4=/-4如20,代入求解即可.

【詳解】解：關(guān)于X的一元二次方程(加-l)，+4x+l=0有實(shí)數(shù)解，

A=42-4(m-l)>0,且加一1,

二45且mW1,

故選：C.

5.如圖，在V/BC中，點(diǎn)。在/C上，若△ABDs/\4CB,44=80。，ZADB=70°,則/D8C的度數(shù)為

()

B

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NABD=30。，根據(jù)

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相似三角形的性質(zhì)求出NADB=/ABC=70°,再根據(jù)角的和差求解即可.

【詳解】解：?.?N4=80。，ZADB=70。,

??.ZABD=180?！?/—ZADB=30°,

???/\ABD^/\ACB,

??.ZADB=ZABC=70°,

???ZDBC=ZABC-ZABD=70°-30°=40°,

故選：C.

6.在四邊形/BCD中，AB//CD,ZC與5。相交點(diǎn)。，下列條件不能判定四邊形/BCD是菱形的是（）

A.AB=BC,/BAD=/BCDB.AB=CD,乙400=90。

C.OA=OC,ZABD=ZCBDD.AC=BD,AC1BD

【答案】D

【分析】本題主要考查了菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等角對等邊，熟練掌握菱形的判定方法

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)菱形的判定定理依次對各個選項(xiàng)進(jìn)行判定即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A,如圖所示，

???AB//CD,

ZBAD+ZADC=1^0°.

???/BAD=/BCD,

ZADC+/BCD=180。，

/.AD//BC,

二.四邊形/5S是平行四邊形.

?:AB=BC,

二.四邊形Z5CQ是菱形，

二?選項(xiàng)A可以判定四邊形ABCD為菱形.

對于選項(xiàng)B,v||CD,AB=CD,

二?四邊形/BC。是平行四邊形.

-ZAOD=90°,

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四邊形是菱形，

二選項(xiàng)B可以判定四邊形Z2CO為菱形.

對于選項(xiàng)C,VAB||CD,

:.NBAC=NACD,ZABD=NBDC.

OA=OC,

.?.△/OB四ACOD（AAS）,

AB=CD,

四邊形N8CD是平行四邊形.

VZABD=ZCBD,

.-.ZBDC=ZDBC

:.CB=CD,

四邊形N5CD是菱形，

，選項(xiàng)C可以判定四邊形/BCO為菱形.

對于選項(xiàng)D,如圖滿足NC=AD,AC1BD,AB//CD,

選項(xiàng)D不可以判定四邊形ABCD為菱形.

7.如圖，平行四邊形O/3C的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)。（3,2）在對角線上，反比例函數(shù)

>=&（左>0,x>0）的圖象經(jīng)過C、。兩點(diǎn).已知平行四邊形。48c的面積是18,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

X

A.（6,4）B.（4,6）C.（5,4）D.（4,5）

【答案】A

10/32

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、

三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

求出反比例函數(shù)了=^|,設(shè)的解析式為＞=加巴由經(jīng)過。（3,2）,得出的解式為y=gx,設(shè)

（96、9

且。＞0,由平行四邊形的性質(zhì)得5C〃Q4,S口OABC=2S.0BC，則同一「，5。=——〃，代入面積公式即可

\aa）a

得出結(jié)果.

【詳解】解：；反比例函數(shù)〉=￡（左＞0,》＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)。（3,2）

?2=-

"3'

:.k=6,

反比例函數(shù)y=9,

X

Q。5經(jīng)過原點(diǎn)。，

???設(shè)05的解析式為V=

Q05經(jīng)過點(diǎn)。（3,2）,

則2=3加,

2

m=,

3

2

Q的解析式為＞=

??,反比例函數(shù)V=9經(jīng)過點(diǎn)C,

x

.,.設(shè)c（a,—],且〃〉0,

???四邊形CM5C是平行四邊形，

?1-3。II,S口OABC=2sA胸，

???點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為9,

a

2

Q05的解析式為＞=

26

-x=一,

3a

9

:.x=—

a

11/32

33

解得…瓦或--萬（舍去）,

.??點(diǎn)8的坐標(biāo)是（6,4）,

故選：A.

8.如圖，在矩形N2CD中，4D=3,AB=4,M為線段2。上一動點(diǎn)，MPLCO于點(diǎn)P,MQLBC于點(diǎn)

C.3D.5

【答案】A

【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，掌握矩形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.連接MC,首先根據(jù)勾股定理解得5。的值，證明四邊形MPC0是矩形，可得

PQ=CM,當(dāng)時CM最小，則尸。最小，然后由面積法求出CM的長，即可獲得答案.

【詳解】解：如圖，連接MC,

四邊形48cD為矩形，AD—3,AB=4,

:./BCD=90°,BC=AD=3,AB=CD=4,

???BD=NBO+CD?=V32+42=5

-MPVCD,MQVBC,

??.ZMPC=ZMQC=ZPCQ=90°,

則四邊形"PC。是矩形，

PQ=CM,

12/32

當(dāng)時CA/工助，CA/最小，則尸。最小，

此時S=-BC-CD=-BDCM,

Kcn22

即;x3x4=；x5CM,

解得CW=2.4,

.?.尸。的最小值為2.4.

故選：A.

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.若式子H萬在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

【答案】x>!

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，

根據(jù)題意可知3x-120,再求出解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得3xT20,

解得

故答案為：xzg.

10.一個不透明的盒子里有〃個除顏色外其他都相同的小球，其中有6個紅球.每次摸球前先將盒子里的

球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)

定在0.3,可以估計〃=.

【答案】20

【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，關(guān)鍵在于理解頻率與概率的關(guān)系，并通過已知條件建立方程求

解未知數(shù).本題通過頻率估計概率，核心是將頻率等同于概率，代入比例關(guān)系求解總球數(shù).最終答案需為

整數(shù)，計算時需注意單位一致性.

【詳解】解：根據(jù)頻率穩(wěn)定性的原理，紅球出現(xiàn)的概率近似為0.3,

紅球的概率計算公式為紅球數(shù)量除以總球數(shù)，即9=0.3,

n

解得：n=—=20.

0.3

故答案為：20.

11.一元二次方程6x+9=0的根為.

【答案］演=々=3

13/32

【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：x2-6x+9=0，

,?.（X-3）2=0,

???x—3=0,

/々=3.

故答案為：X,=x2=3.

12.如圖，在口/BCD中，/。=3,對角線/C與AD相交于點(diǎn)。，4C+10,則ASOC的周長為.

【答案】8

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，圖形的周長，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平

行四邊形的性質(zhì)，得80+C0=g（/C+50）=5,BC=AD=3,利用周長的定義計算即可.

【詳解】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

;.BO=LBD,CO=-AC.

22

'：AC+BD=10,

.-.BO+CO=^（AC+BD）=5,

又BC=AD=3,

??.△5OC的周長為BO+CO+3C=5+3=8.

故答案為：8.

13.已知關(guān)于x的分式方程生=+=1的解是正數(shù)，則。的取值范圍為

JC-33-x

3

【答案】:且分3

2

【分析】本題主要考查解分式方程，根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)的范圍，掌握解分式方程的一般步驟是

解題的關(guān)鍵.先根據(jù)解分式方程的一般步驟求出x=2a-3,然后根據(jù)分式方程的解為正數(shù)列不等式求解即

可.

14/32

【詳解】解：?.?生等+/=1,

x-33-x

???2x+Q-3。=x-3,

解得：x=2。-3,

%T2A.八—、工口2X+Q3a12A々刀口十叱%

??,關(guān)于1xt的分式方程-—+-=1的1t解是正數(shù)，

x-33-x

**?2〃—3〉012。—3w3,

3

解得：?！狄磺襛w3,

2

_3

故答案為：且“W3.

2

14.如圖，若機(jī)器狗的最快速度v(m/s)是載重后總質(zhì)量機(jī)(kg)的反比例函數(shù)，當(dāng)該機(jī)器狗載重后總質(zhì)量

〃z=120kg時，最快速度v=3m/s,則當(dāng)該機(jī)器狗載重后總質(zhì)量加不超過90kg時，最快速度口不低于

______m/s.

【答案】4

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再

將代入加=90計算即可，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)"=工(左片0),

m

當(dāng)該機(jī)器狗載重后總質(zhì)量％=120kg時，最快速度v=3m/s,

:.3=k,

120

k=360,

360

/.v=,

m

,/360>0,

.,.加>0時，v隨加的增大而減小，

當(dāng)加=90時，v==4,

90

當(dāng)該機(jī)器狗載重后總質(zhì)量加不超過90kg時，最快速度》不低于4m/s.

故答案為：4.

15/32

15.如圖，已知矩形/2C。的邊長48=8,BC=4,若將矩形/BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)9恰好

落在8。上，連接D。，則。。的長為.

D'

【答案］"立

5

［分析］過點(diǎn)C作尊18。于點(diǎn)￡,先求出CE=述，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明ABCBSDCD，，得至I」黑=^,

5J-Jj-yL

然后由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得至I」3B'=23E=半，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CEL8。于點(diǎn)E,

...矩形A8CD的邊長/3=8,BC=4,

CD=AB=8,ZBCD=90°,

BD=y/BC2+CD2=475，

■.■S=-CDBC=-BD-CE,

A2R>CrZ7n22

??8x48石

CE=-—=-----,

465

在Rt2\BEC中，BE=4BC1-CE1=—,

5

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=BC,CD=CD,/BCB'=/DCD',

.BC_B'C

"CD~CD19

:ABCB'S公DCD',

.BB'_BC_1

,DD'-CD-2'

vBC=CB',CE1BD,

，…E#

:.DD'=2BB'=]^-

5

故答案為：至5.

5

16/32

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

16.如圖，在菱形N3C。中，48=8,40=60。.點(diǎn)P為邊CD上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)C,。重合，連接區(qū)P,

過點(diǎn)人作￡尸〃且EF=BP,連接BE,PF,則四邊形BEF尸的面積為.

【答案】32百

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識，

熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

連接/C,AP,由菱形的性質(zhì)可知V48C是等邊三角形，過點(diǎn)C作CGL48于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作尸于

點(diǎn)、H,可得CG=/W,繼而得出S~BP=S-BC，根據(jù)勾股定理求出CG長度，再證明四邊形8￡燈是平行四

邊形,依據(jù)S平行四邊形BE"=$菱形A8C0進(jìn)行求解即可?

【詳解】解：連接NC,AP,如圖:

???四邊形4BCD是菱形，ZZ)=60°,

：.AB=BC=8,ZD=ZABC=60°,AB//CD,

:△ABC是等邊三角形，

過點(diǎn)C作CGL/3于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)

17/32

則CG=PH,

???S.ABP=|ABPH,S〃=|ABCG,

一??Q”BP-=3QABC，

???CGIAB,

：.BG=AG=lAB=4,

2

CG=^BC2-BG2=A/82-42=473，

■：EF\\BP,EF=BP,

???四邊形BEFP是平行四邊形，

$平行四邊形BEFP=2S：，

,。菱形一乙Q“BC，

$平行四邊形BE抄=S菱形亞1o=ABCG=8x4A/3=32G；

故答案為：32AA

三、解答題：本題共U小題，共82分。

17.(8分)計算：

(l)V12-V3+3

【答案】(1)273

(2)184

【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟知運(yùn)算法則，熟練計算是解題的關(guān)鍵.

(1)先化簡各項(xiàng)，再加減即可解答;

(2)先計算乘法和平方，再化簡，最后加減即可.

【詳解】⑴解:V12-V3+3A

=2g-G+5

=2V3;

18/32

(2)解：3724+

=676+--V6+3+6-6V6+9,

2

-18-—.

2

18.（8分）解方程:

(1)X2+X-3=0;

23

⑵廠二I

【答案】（1）再=二1h3-1-V13

2

⑵尤=-2.

【分析】本題綜合考查了一元二次方程與分式方程的解法.解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于：一元二次方程通過通過判

別式判斷根的情況并運(yùn)用公式求解；分式方程需通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，同時必須檢驗(yàn)解是否使原分

式有意義.

（1）直接通過判別式判斷根的情況并運(yùn)用公式求解即可;

（2）通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)解的合理性即是否為增根.

【詳解】（1）解：X2+X-3=0,

二次項(xiàng)系數(shù)。=1,一次項(xiàng)系數(shù)6=1,常數(shù)項(xiàng)。=-3,

判別式A=62-4ac=12-4xlx(-3)=l+12=13,

A>0,方程有兩個不等實(shí)根，由求根公式得:

-1-V13

2

2_3

（2）解:

xx-\

兩邊同乘x(x-1)得：2(%-1)=3%,

展開并整理得2x-2=3x,

移項(xiàng)后得工=-2,

將x=-2代入原方程分母x和x-1,均不為零,

故％=-2是方程的解.

19.（5分）先化簡：-然后從1,-2,2025中選擇一個合適的數(shù)代入求值.

a1Q+2a+2aJ

【答案T，1

2026

19/32

【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算及求值，熟練掌握異分母分式的加減法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.先把

括號內(nèi)的式子通分，再把除法化為乘法，從而把原式化簡，從數(shù)值中選取一個合適的數(shù)代入即可.

a\_a+2〃(a+2)

,a-la2-I

=］一s

aQ(〃+2)

1a-la(a+2)

=l----x---------

a+

a+2

二I—

a+1

_l

a+l'

,ra貢I,-2,0,

20.（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程/+（左+3）x+2左+2=0.

（I）求證：方程有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的有一個根是正數(shù)，求后的取值范圍.

【答案】（I）見解析

（2）左<-1

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式和解

一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）只需要證明△=（左+3）2-4（2無+2）20即可;

（2）利用十字相乘法把原方程左邊分解因式，進(jìn)而求出方程的兩個解，再根據(jù)方程有一個解是正數(shù)進(jìn)行求

解即可.

【詳解】（1）證明：由題意得，A=（左+3）2-4（2左+2）

=k2+6k+9-8k-S

=左2-2左+1

20/32

>0,

A>0,

??.方程有兩個實(shí)數(shù)根;

(2)角牟：?：/+(左+3)x+2左+2=0,

(x+2)(x+左+1)=0,

解得x=—2或％=—左—1,

???方程的有一個根是正數(shù),

**?—k—1〉0,

***k—1.

21.（6分）科學(xué)教育是提升國家科技競爭力、培養(yǎng)創(chuàng)新人才、提高全民科學(xué)素質(zhì)的重要基礎(chǔ)，某學(xué)校計劃

在八年級開設(shè)“無人機(jī)”、“創(chuàng)客”、“AI”、“航?！彼拈T校本課程，要求每人必須參加，并且只能選擇其

中一門課程，為了解學(xué)生對這四門課程的選擇情況，學(xué)校從八年級全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行

問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖（部分信息未給出）.

調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計圖

請你根據(jù)以上信息解決下列問題:

（1）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，選擇“航?！闭n程的學(xué)生占%,所對應(yīng)的圓心角為.

（3）若該校八年級共有600名學(xué)生，試估計選擇“AI”課程的學(xué)生有多少名？

【答案】（1）見解析

(2)10；36

(3)240名

【分析】本題主要考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體等知識點(diǎn)，熟知扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計

圖的特征是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)選擇無人機(jī)課程的人數(shù)除以占比可求出參加問卷調(diào)查的人數(shù)為50名，再求得“AI”課程的學(xué)生數(shù),

21/32

然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；

（2）直接列式計算求得“航模”課程所占的百分比，再乘以360。即可求得其對應(yīng)的圓心角的度數(shù);

（3）用學(xué)生數(shù)乘以樣本中“AI”課程所占的百分比即可解答.

【詳解】（1）解：參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為"+30%=50名，

選擇“AI”課程的學(xué)生人數(shù)為50-（15+10+5）=20名.

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖所示:

所以選擇“航模”課程的學(xué)生占10%.

因?yàn)?0%x360°=36°o

所以扇形統(tǒng)計圖中選擇“航?！闭n程的學(xué)生部分所對的圓心角的度數(shù)為36。.

故答案為：10,36.

20

（3）解：600X—=240（名）.

答：估計選擇“AI”課程的學(xué)生有100名.

22.（6分）如圖，在DNBC。中，DE1AB,垂足為￡,點(diǎn)尸在CD上，且CF=4E.

求證：四邊形。班廠是矩形.

【答案】詳見解析

【分析】先證四邊形。協(xié)尸是平行四邊形，再證/?！?=90。，即可得出結(jié)論.

本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：???四邊形是平行四邊形

AB=DC,ABHDC

22/32

AE=CF

AB-AE=DC-CF,BPDF=EB

XvAB//DC,

???四邊形DEBF是平行四邊形

DEVAB,

ZDEB=90°

???DDEBF矩形.

23.（6分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中,V/BC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為5（-3,1）,C（-3,4）.

（1）平移V/BC到耳G，其中點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（3』），請在圖中畫出△/4G；8點(diǎn)平移后對

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；

（2）請畫出VABC繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△446.

（3）若繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到4G，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為

【答案】⑴圖見解析；（U）,

（2）見解析;

⑶（2,-2）

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)畫出三角形，算出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可解答；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義畫出圖形即可；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心的特點(diǎn)，是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)，畫出即可；

【詳解】（1）解：根據(jù)平移的性質(zhì)和題意可知，V/5C向右平移4個單位得到△其耳G，如圖,

23/32

-.B點(diǎn)平移后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)；

故答案為：。，1)

(3)解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心的特點(diǎn)，借助網(wǎng)格畫出，如圖所示,

...旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)尺(2,-2),

故答案為：(2,-2)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)圖形和旋轉(zhuǎn)中心的定義，垂直平分線的定義等知

識點(diǎn)，解決此題的關(guān)鍵是能找到旋轉(zhuǎn)中心.

24.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)〉=勺(際0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)8)和點(diǎn)3(8,1).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和。的值；

⑵若點(diǎn)。是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)。，若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4,求

線段CD的長.

24/32

【答案】⑴y=§,”=1

X

(2)CQ=3

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的

關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可;

(2)設(shè)N8的表達(dá)式為：歹=丘+6,利用待定系數(shù)法確定的表達(dá)式為：y=-x+9,然后分別確定。(4,2),

C(4,5)即可求解.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)8(8,1)在＞=幺的圖像上，

???代入得上二8,

Q

???反比例函數(shù)關(guān)系式為y=9,

X

?.?點(diǎn))(見8)在了=心的圖像上,

X

???代入得4=1,

o

綜上，反比例函數(shù)關(guān)系式為y=9,。=1；

X

(2)設(shè)48的表達(dá)式為：y=kx+b,

」/、/X伏+6=8

將」(1,8),2(8,1)代入得:&左+6=1，

解得1\k=9-\'

??.N8的表達(dá)式為：y=-x+9,

Q

??,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4,把X。=4代入＞一得％=2.

.-.￡>(4,2),

25/32

■.■CD//y^,

?*-=xD=4,x。=4彳弋y——x+9彳導(dǎo)=5,

.-.C(4,5),

:.CD=3.

25.(8分)如圖，在平行四邊形48CA中，點(diǎn)￡在2C邊上，點(diǎn)歹在。C的延長線上，S.ZDAE=ZF.

(1)求證：LABEsAECF；

(2)若/3=5,40=8,BE=2,求包)的長.

【答案】(1)見解析

37

⑵M

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形的性質(zhì)可知48〃CD,4D〃BC.所以/B=NECF,ZDAE=ZAEB，又因?yàn)镹ZUE=N廠,

進(jìn)而可證明△48ES&ECF；

(2)由(1)可知：AABES^ECF,得出四=些，由平行四邊形的性質(zhì)可知3C=40=8,進(jìn)而得到EC,

ECCF

代入鄉(xiāng)=經(jīng)計算求出CF，即可解題.

ECCr

【詳解】(1)(1)證明：??,四邊形45。。是平行四邊形，

AB//CD,AD//BC,CD=AB,

/.NB=ZECF,/DAE=ZAEB.

又???ZDAE=ZF,

/.ZAEB=ZF.

/\ABES^ECF；

(2)解：*/Z\ABE^/\ECF,

.ABBE

ECCF

26/32

V四邊形45C0是平行四邊形,

ABC=AD=S.CD=AB=5,

/.EC=BC—BE=8—2=6.

.5_2

''6~~CF

CF=—,

5

37

，F(xiàn)D=CD+CF=—.

5

26.(10分)綜合與探究

反比例函數(shù)》=：(x>0)和>=，(x>0)的圖象如圖所示，點(diǎn)”(1,冽)在反比例函數(shù)》=：(x>0)的圖象上,

4

過點(diǎn)A作48_L軸于點(diǎn)3,過點(diǎn)A作4D〃x軸，交反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象于點(diǎn)。，再作CD_Lx軸

于點(diǎn)C,連接。4,OD,OD交AB于點(diǎn)、E.

(1)求△0/3的面積；

⑵求的面積；

(3)若點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖象上一個動點(diǎn)，試說明矩形/5CQ的面積是一個定值.

【答案】⑴g

娛

(3)見解析

【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)與面積的關(guān)系等知識.解題的關(guān)鍵：

(1)先求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；

(2)先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，然后證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出5E,最后根據(jù)三角形的

面積公式求解即可；

27/32

(3)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為〃，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為工，結(jié)合已知可求出點(diǎn)。進(jìn)而求出oc

4n,CD=~,

nvnJn

OB=n,則5C=3〃，最后根據(jù)矩形的面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)在反比例函數(shù)＞=：的圖象上，

m=1.

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,1).

OB=AB=l.

(2)解：?.?點(diǎn)且/D〃x軸，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為,

?.?點(diǎn)。(0,1)在反比例函數(shù)y=±的圖象上，

X

4

1=—,解得Q=4.

a

0C=4.

AB_Lx軸，CD_Lx軸，

/.ZABO=/DCO=90。,

???ZEOB=ZDOC,

/.AOBEsAOCD,

:.BE:CD=OB:OC=1:4,

BE=',

4

SAOEB=20B,BE=2、1義4=8；

(3)解：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為〃，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為」.

n

???4D〃1軸,

.??點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為

n

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4+!=4〃.

n

.?.點(diǎn)

OC=4n,CD=-.

n

28/32

:點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為〃，

/.OB=n.

BC=OC—OB=4n—n=3n,

?，-S矩形/BC。=CD.8C=',3"=3.

n

，矩形ABC。的面積是一個定值.

27.(10分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形O4BC的邊OC=8,邊。4=4.

(1)求3點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)把矩形O48C沿直線。E對折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，直線。E與OC、