2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷常考題之二次

函數(shù)

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?廣陵區(qū)校級二模）我們常用“y隨尤的增大而增大（或減?。眮肀硎緝蓚€變量之間的變化關(guān)系.有

這樣一個情境：如圖，小王從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)以他與路燈C的距離y隨他與

點(diǎn)A之間的距離尤的變化而變化.下列函數(shù)中y與尤之間的變化關(guān)系，最有可能與上述情境類似的是（）

?f__________________

AB

3

A.y=~B.y=-x+3

C.y=（x-3）2+3D.y=-（x-3）2+3

2.（2024秋?海港區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)m2+%（機(jī)為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（°,

-6）,其對稱軸在y軸右側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值-7B.最大值-苧

C.最小值-7D.最小值-苧

3.（2025?銅山區(qū)二模）將拋物線y=-7先向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，所得拋物

線的表達(dá)式是（）

A.y=（尤-3）2+2B.y=-（x-3）2-2

C.y=（x+3）2-2D.-（x+3）2+2

4.（2024秋?鹿邑縣期末）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成“求拋物線y=2?+4x-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)”，

規(guī)則如下:每個人只能看到前一人給的式子,并進(jìn)行一步計(jì)算,再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成解答.接

力順序及每個人的計(jì)算結(jié)果如圖所示：

老師甲乙丙丁

y=2x2+4x—4—?y=x2—2x—2―?y=x2—2x+l—3—>y=（x—l）2—3—?頂點(diǎn)坐標(biāo)為（—1,—3）

接力比賽中，自己負(fù)責(zé)的一步出錯的是（)

A.只有丁B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁

5.（2024秋?銀川校級期末）對于二次函數(shù)y=2f+8無-3,下列說法錯誤的是（

A.圖象開口向上

B.對稱軸是直線x=-2

C.當(dāng)0cxW2時，y的最大值為21

D.將圖象向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-12）

6.（2024秋?譙城區(qū)期末）已知y=（a+I）%。"1+3x-6是二次函數(shù)，則a=（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

7.（2024秋?都安縣期末）如圖，某中學(xué)綜合與實(shí)踐小組要圍成一個矩形菜園A8C。，其中一邊AO靠墻，

的長不能超過25加，其余的三邊AB,BC,CO用總長為40米的柵欄圍成.有下列結(jié)論：①的長

可以為7辦②A8有兩個不同的值滿足菜園的面積為182%2；③菜園A8CO面積的最大值為200優(yōu)2.正

確結(jié)論的個數(shù)是（）

〃/〃////〃/〃///〃〃〃〃〃〃（〃

AD

BC

A.0B.1C.2D.3

填空題（共5小題）

8.（2025?通州區(qū)一模）將拋物線y=7-4x+8向下平移m個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與x

軸有公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是.

9.（2025?大豐區(qū)一模）若tWxWf+2時，二次函數(shù)＞=2/+4尤+1的最大值為31,貝卜的值為.

10.（2024秋?鹿邑縣期末）水幕電影是通過高壓水泵和特制水幕發(fā)生器，將水自下而上高速噴出，霧化后

形成水幕，然后由專用放映機(jī)將特制的錄影帶.水嘴投射在水幕上.如圖，水嘴噴出的水柱的最高點(diǎn)為

P,AB^2m,BP=9m,水嘴高AD=5m,則水柱落在地點(diǎn)C到水嘴所在墻的距離AC是m.

；水槽

I

I

11.（2025?香洲區(qū)模擬）拋物線L：y=a（尤-3）2-1過A（-2,3）,B（m,3）兩點(diǎn)，將拋物線L向左

或向右平移后得到拋物線M,設(shè)拋物線M的頂點(diǎn)為C若△ABC是以A8為斜邊的直角三角形，則點(diǎn)C

的坐標(biāo)為.

12.(2024秋?沐陽縣校級期末)如圖，直線與拋物線y=a/+6x+c交于A(-1,p),B(5,q)

兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx+n<ax1+bx+c解集是.

三.解答題(共3小題)

13.(2025?西寧二模)某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房，經(jīng)市場調(diào)查表明，該賓館每間標(biāo)準(zhǔn)房的價格在150?240

元之間(含150元，240元)浮動時，每天入住的房間數(shù)y(間)與每間標(biāo)準(zhǔn)房的價格x(元)滿足一

次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

X（元）,??190200210220

y（間）??-65605550

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并畫出圖象；

(2)求y關(guān)于x(150WxW240)的函數(shù)解析式；

(3)若不考慮其他因素，賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價格定為多少元時，客房的日營業(yè)額最大？最大為多少元？

y/間”

LLL3?J

70-4

__1_

50-r--l-■?-r--l-r--I--r-r--L-1

?m-T-i—i一■「-r--1

o|；5O170190210230250京元

14.(2025?通州區(qū)一模)已知關(guān)于x的二次函數(shù)-6〃X+5Q.

(1)若x=2時，y=-3,求該函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)。>0,2WxW6時，該函數(shù)的最大值與最小值的差為18,求〃的值；

(3)若A(xi,yi),B(%2,”)是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且對于xi=a+3,4Wx2W6,都有yi2y2,

求〃的取值范圍.

15.(2025?浙江模擬)為了響應(yīng)環(huán)保號召，某工廠開展節(jié)能減排行動.已知工廠每月的利潤y(萬元)與

每月減少的碳排放量x(噸)之間存在一定的函數(shù)關(guān)系.當(dāng)每月減少的碳排放量為0噸時，工廠利潤為

50萬元；之后每減少1噸碳排放量，工廠的生產(chǎn)成本會降低一部分，利潤隨之增加，且增加的幅度逐

漸變小.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)利潤y與減少碳排放量x之間滿足二次函數(shù)關(guān)系：y=-f+20x+50.

(1)求該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說明它們在本題中的實(shí)際意義.

(2)若該工廠計(jì)劃下個月利潤達(dá)到125萬元，則下個月需要減少多少噸碳排放量？

(3)根據(jù)環(huán)保政策要求，該工廠下個月要減少12噸碳排放量，在滿足政策要求的前提下，求該工廠下

個月利潤的最大值.

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷?？碱}之二次

函數(shù)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號1234567

答案CCDBDBB

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?廣陵區(qū)校級二模）我們常用“y隨尤的增大而增大（或減小）”來表示兩個變量之間的變化關(guān)系.有

這樣一個情境：如圖，小王從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)以他與路燈C的距離y隨他與

點(diǎn)A之間的距離尤的變化而變化.下列函數(shù)中y與尤之間的變化關(guān)系，最有可能與上述情境類似的是（）

.f________________

AB

3

A.y=-B.y=-x+3

C.y=（x-3）2+3D.產(chǎn)-（x-3）2+3

【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】根據(jù)從A到路燈的正下方前他與路燈的距離逐漸減少，經(jīng)過路燈后他與路燈的距離逐漸增加,

可得答案.

【解答】解：由題意，得

從A到路燈的正下方前他與路燈的距離逐漸減少，經(jīng)過路燈后他與路燈的距離逐漸增加.

A、y隨x的增加而減少，與題意不符，故A錯誤；

B、y隨x的增加而減少，與題意不符，故B錯誤；

C、當(dāng)x＜3時，y隨x的增加而減少；當(dāng)尤＞3時，y隨尤的增加而增加，故C正確；

D、當(dāng)尤＜3時，y隨x的增加而增大；當(dāng)尤＞3時，y隨x的增加而減少，故。錯誤；

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，熟記一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

2.（2024秋?海港區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)m2+%（機(jī)為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（°,

-6）,其對稱軸在y軸右側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值-7B.最大值-苧

C.最小值-7D.最小值-苧

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】依據(jù)題意，由二次函數(shù)根2+加（機(jī)為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-6）,可以得到m

的值，然后根據(jù)對稱軸在y軸的右側(cè)，可以得到m的值，從而可以得到二次函數(shù)的解析式，再將函數(shù)

解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到該函數(shù)的最值.

【解答】解：?..二次函數(shù)機(jī)2+機(jī)（機(jī)為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-6）,

??-6--m+m.

.*.m=3或m=-2.

???對稱軸在y軸的右側(cè)，。=1>0,

對稱軸是直線尤=-卞>0.

.,.加<0.

'.m—~2,

.,.二次函數(shù)-lx-6=（x-1）2-7.

該函數(shù)的最小值為-7.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出m的值，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

3.（2025?銅山區(qū)二模）將拋物線y=先向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，所得拋物

線的表達(dá)式是（）

A.y=(x-3)2+2B.y=-(x-3)2-2

C.尸(x+3)2-2D.y=-(x+3)~+2

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律，即得答案.

【解答】解：將拋物線y=先向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，所得拋物線的表

達(dá)式為y=_（x+3）2+2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的平移，正確理解二次函數(shù)的平移規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2024秋?鹿邑縣期末）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成“求拋物線y=2f+4x-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)”，

規(guī)則如下:每個人只能看到前一人給的式子,并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人,最后完成解答.接

力順序及每個人的計(jì)算結(jié)果如圖所示：

老師甲乙丙T

22

y=2x2+4x—4—?y=x—2x—2―?2aH-l—3—>y=（x—\）—3—?頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,一3）

接力比賽中，自己負(fù)責(zé)的一步出錯的是（）

A.只有丁B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】觀察每一項(xiàng)的變化，發(fā)現(xiàn)甲將老師給的式子等式右邊縮小兩倍，到了丁處根據(jù)丙的式子得出了

錯誤的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：老師：J=2X2+4X-4,

—1（7+2x）-4

=2（/+2x+l）-6

=2（無+1）2-6

可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-6）.

根據(jù)題中過程可知從甲開始出錯，按照此步驟下去到了丁處可得頂點(diǎn)應(yīng)為（1,-3）,所以錯誤的只有

甲和丁.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了把二次函數(shù)一般解析式化成頂點(diǎn)式，以及二次函數(shù)頂點(diǎn)式的圖象和性質(zhì)，掌握

配方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2024秋?銀川校級期末）對于二次函數(shù)y=2f+8無-3,下列說法錯誤的是（）

A.圖象開口向上

B.對稱軸是直線x=-2

C.當(dāng)0cxW2時，y的最大值為21

D.將圖象向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-12）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的最值；二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項(xiàng)中的說法是否正確，從而可以

解答本題.

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=2/+8x-3=2（x+2）2-11,

，函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-2,頂點(diǎn)為（-2,-11）,

當(dāng)x>-2時，y隨x的增大而增大，

.?.在0<xW2中，x=2時，有最大值為y=2（2+2）2-11=21,

故A、B、C選項(xiàng)正確，不合題意；

:頂點(diǎn)為（-2,-11）,

...將圖象向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-10）,

故。選項(xiàng)不正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2024秋?譙城區(qū)期末）已知y=缶+1）/2+1+3%-6是二次函數(shù)，則。=（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得/+1=2且。+1/0,從而可得答案.

【解答】解：由條件可知。2+1=2,

解得。1=-1或6/2=1,

Va+17^0,

??aW-1,

??tz=1.

故選：B,

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義.熟練掌握定義是關(guān)鍵.

7.（2024秋?都安縣期末）如圖，某中學(xué)綜合與實(shí)踐小組要圍成一個矩形菜園ABC。，其中一邊AD靠墻，

的長不能超過25處其余的三邊A3,BC,8用總長為40米的柵欄圍成.有下列結(jié)論：①A2的長

可以為7〃”②A8有兩個不同的值滿足菜園的面積為182m2；③菜園A8C。面積的最大值為200切2.正

確結(jié)論的個數(shù)是（）

〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃（〃

AD

BC

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】B

40—%

【分析】設(shè)AD邊長為xm則邊長為一廠血，根據(jù)AB=7列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x

取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積=182,解方程求出x的值可以判斷②；設(shè)矩形菜園的面積為Y能2,

根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值可以判斷③.

40—%

【解答】解：設(shè)邊長為x機(jī)，則A3邊長為‘一瓶，

,,40-%

當(dāng)A8=7時，-----=7,

2

解得x=26,

'：AD的長不能超過25m,

；.xW25,

故①不正確；

:菜園ABCD面積為182能2,

?40—x（

??%----—=18O2Q,

整理得：x2-40x+364=0,

解得％=26或x=14,

Vx<25,

，x=14,

：.AB的長只有一個值滿足菜園ABCD面積為182n?,

故②錯誤；

設(shè)矩形菜園的面積為

根據(jù)題意得：y-x-片”--^（x2-40%）=-1（x-20）2+200,

1

V-i<0,20<25,

...當(dāng)x=20時，y有最大值，最大值為200.

故③正確；

.?.正確的有1個，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出

二次函數(shù)解析式或一元二次方程.

二.填空題（共5小題）

8.（2025?通州區(qū)一模）將拋物線y=/-4x+8向下平移m個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與x

軸有公共點(diǎn)，則知的取值范圍是八24.

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】機(jī)》4.

【分析】先根據(jù)平移的規(guī)律寫出拋物線y=/-4x+8向下平移m個單位長度后的拋物線的表達(dá)式，再根

據(jù)平移后得到的拋物線與無軸有公共點(diǎn)可得A20,由此列不等式即可求出m的取值范圍.

【解答】解：平移相個單位長度得y=?-4x+8-m,

由題意可得：

ANO,

即（-4）2-4（8-機(jī)）20,

.,.771^4,

故答案為：加24.

【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，以及拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，利用拋物線解析

式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵.

9.(2025?大豐區(qū)一模)若WxWf+2時，二次函數(shù)y=2/+4x+l的最大值為31,貝卜的值為-5或1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】將標(biāo)準(zhǔn)式化為頂點(diǎn)式為yuZW+M+luZ(x+1)2-1,由fWxWf+2時，y最大值=2(x+1)2-1,

結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)解答.

【解答】解：y=2，+4尤+1=2(x+1)'-1,

:二次函數(shù)y=2x2+4x+l的最大值為31,

①當(dāng)-1-r>r+3,即l<-2時,2a+4什1=31

解得11—-5,(2—3(舍去).

②當(dāng)-1-r<r+3,即r>-2時，2G+2)2+4G+2)+1=31,

解得ti=-7(舍去)，及=1；

③當(dāng)t>-1時，2(什2)2+4(/+2)+1=31,

解得ti=-7(舍去)，Z2=l;

綜上所述，,的值是-5或1.

故答案為：-5或1.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值，難度較大，關(guān)鍵是判斷出當(dāng)x2-1時，y隨x的增大而增大，由

此此解決這類題.

10.(2024秋?鹿邑縣期末)水幕電影是通過高壓水泵和特制水幕發(fā)生器，將水自下而上高速噴出，霧化后

形成水幕，然后由專用放映機(jī)將特制的錄影帶.水嘴投射在水幕上.如圖，水嘴噴出的水柱的最高點(diǎn)為

P,AB=2m,BP=9m,水嘴高A￡)=5加，則水柱落在地點(diǎn)C到水嘴所在墻的距離AC是5m.

p

;水槽

I

I

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】5.

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，易得點(diǎn)

。和點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-2)2+9,代入點(diǎn)。的坐標(biāo)求得函數(shù)的解析式，再求

出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得到AC的長度.

【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖所示，

則A(0,0),D(0,5),P(2,9),

:點(diǎn)尸是最高點(diǎn)，

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(%-2)2+9,

將點(diǎn)。坐標(biāo)代入，可得：5=4a+9,

解得：a=-1,

；.y=-(x-2)2+9,

令y=0,貝!J-(x-2)2+9=0,

解得：XI=5,X2=-1,

.,.點(diǎn)C(5,0),

??AC=5根，

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

11.(2025?香洲區(qū)模擬)拋物線L：y=a(x-3)2-1過A(-2,3),B(m,3)兩點(diǎn)，將拋物線L向左

或向右平移后得到拋物線M,設(shè)拋物線M的頂點(diǎn)為C.若△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，則點(diǎn)C

的坐標(biāo)為(0,-1)或(6,-1).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；勾股定理的逆定理；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】(0,-1)或(6,-1).

【分析】由拋物線的對稱性求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，由拋物線的平移表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理列

方程即可求解.

【解答】解：由拋物線L的解析式可知拋物線L的對稱軸為直線x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),

由條件可得-2+/M=2X3,

??771=8,

???A(-2,3),B(8,3),AB=8-(-2)=10,

?拋物線L向左或向右平移后得到拋物線M,

.,.設(shè)拋物線M的頂點(diǎn)C(",-1),

：.AC2=(n+2)2+(-1-3)2=滔+4〃+20,BC2=(?-8)2+(-1-3)2=n2-16?+80,

「△ABC是以為斜邊的直角三角形，

...層+4〃+20+〃2-16n+80=102=100,

整理得層-6/1—0)

解得“1=0,〃2=6,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-1)或(6,-1)

故答案為：(0,-1)或(6,-1).

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，勾股定理等.熟練掌握以上知識點(diǎn)是

關(guān)鍵.

12.（2024秋?沐陽縣校級期末）如圖，直線y=7nx+w與拋物線>=以2+6尤+c交于A（-Lp）,B（5,q）

兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式解集是-1<尤V5.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）.

【專題】數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象得出不等式iwc+n<a^+bx+c的解集.

【解答】解：,直線與拋物線y=a/+Zzx+c交于A（-1,p）,B（5,q）兩點(diǎn)，

二.關(guān)于x的不等式mx+n<ax1+bx+c解集是-1<尤<5

故答案為：-l<x<5

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

13.（2025?西寧二模）某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房，經(jīng)市場調(diào)查表明，該賓館每間標(biāo)準(zhǔn)房的價格在150?240

元之間（含150元，240元）浮動時，每天入住的房間數(shù)y（間）與每間標(biāo)準(zhǔn)房的價格x（元）滿足一

次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

X（元）???190200210220???

y（間）?.?65605550???

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并畫出圖象；

（2）求y關(guān)于x（150WxW240）的函數(shù)解析式；

（3）若不考慮其他因素，賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價格定為多少元時，客房的日營業(yè)額最大？最大為多少元?

y/間

80--I---

70--I----I--fc-J--I--4

-T-r-i--i--r-n--i--r-T--i--i

-_L_J--l__J

50-r--L-■十■i-r-十■r-r--i-■

--i--r"T-i--r-T-r-r-T-r-i

01：50170190210230250■元

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】⑴作圖見解析；(2)尸一加160(150WxW240)；(3)賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價格定為160元時,

客房的日營業(yè)額最大，最大為12800元.

【分析】(1)依據(jù)題意，描點(diǎn)、連線即可得;

(2)依據(jù)題意，待定系數(shù)法求解可得;

(3)依據(jù)題意，由營業(yè)額=入住房間數(shù)量X房價得出函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

(220,50)代入,

.(200/c+b=60

??1220/c+b=50'

5=160

i

??.尸一分+160(150?240).

11

(3)由題意得，w=xy=%(—x+160)=-+160%,

h

，對稱軸為直線第=--y-=160,

1

Va=<0,

.?.當(dāng)x=160時，w有最大值，最大值為12800元.

答：賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價格定為160元時，客房的日營業(yè)額最大，最大為12800元.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值問題，由

營業(yè)額=入住房間數(shù)量X房價得出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.(2025?通州區(qū)一模)已知關(guān)于尤的二次函數(shù)yuax2-6ax+5a.

(1)若尤=2時，y=-3,求該函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)a>0,2WxW6時，該函數(shù)的最大值與最小值的差為18,求a的值；

(3)若A(xi,yi),B(x2,>2)是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且對于xi—a+3,4Wx2W6,都有

求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求

二次函數(shù)解析式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】(1)y=7-6x+5；

(2)a=2；

(3)a23或-lWa<0.

【分析】(1)把x=2,y=-3,分別代入yuax2-6av+5a,得出a=l,即可作答.

(2)先整理y=a(x-3)2-4a,故圖象的對稱軸為直線x=3,結(jié)合a>0,2WxW6.故當(dāng)尤=3時，y

最小=-4a,當(dāng)尤=6時，y最大=5。，列式5a-(-4a)=18,即可作答.

(3)進(jìn)行分類討論，即①若a>0,則函數(shù)圖象開口向上.②若。<0,則函數(shù)圖象開口向下，再結(jié)合二

次函數(shù)的圖象性質(zhì)，進(jìn)行分析列式，即可作答.

【解答】解：(1)'：y=aj?-6ax+5a,

當(dāng)x=2時,y=-3,

「?4〃-12〃+5〃=-3,

??1.

，該函數(shù)的解析式為-6x+5.

(2)配方得-6av+5〃=〃(X-3)2-4a,

，圖象的對稱軸為直線x=3.

由條件可知當(dāng)％=3時，y最小=-4m

V|6-3|=3>|2-3|,

當(dāng)％=6時，y—a(6-3)2-^a=9a-^a=5a,

??y最大=5〃?

.\5a-(-4a)=18.

??q=2；

(3)①若a>0,則函數(shù)圖象開口向上.

又???對稱軸為直線x=3,

當(dāng)尤>3時，y隨x的增大而增大.

：xi=a+3>3,

...點(diǎn)A在對稱軸的右側(cè).

又,對于xi=a+3,4WX2W6,都有

a+326,

；.a23.

②若a<0,則函數(shù)圖象開口向下，

：xi=a+3<3,

...點(diǎn)A在對稱軸的左側(cè).

:對稱軸為直線尤=3,

???當(dāng)x=2或x=4時函數(shù)值相等.

由條件可知2Wa+3<3,

-lWa<0.

綜上：a23或-IWtzCO.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

15.(2025?浙江模擬)為了響應(yīng)環(huán)保號召，某工廠開展節(jié)能減排行動.已知工廠每月的利潤y(萬元)與

每月減少的碳排放量x(噸)之間存在一定的函數(shù)關(guān)系.當(dāng)每月減少的碳排放量為0噸時，工廠利潤為

50萬元；之后每減少1噸碳排放量，工廠的生產(chǎn)成本會降低一部分，利潤隨之增加，且增加的幅度逐

漸變小.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)利潤y與減少碳排放量x之間滿足二次函數(shù)關(guān)系：y=-f+20x+50.

(1)求該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說明它們在本題中的實(shí)際意義.

(2)若該工廠計(jì)劃下個月利潤達(dá)到125萬元，則下個月需要減少多少噸碳排放量？

(3)根據(jù)環(huán)保政策要求，該工廠下個月要減少12噸碳排放量，在滿足政策要求的前提下，求該工廠下

個月利潤的最大值.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)尤=10,(10,150),當(dāng)減少碳排放量等于10噸時，最大利潤為150萬元；

(2)當(dāng)利潤達(dá)到125萬元時，需要減少5噸或15噸；

(3)滿足政策要求的前提下，該工廠下個月利潤的最大值146萬元.

【分析】(1)由二次函數(shù)解析式，根據(jù)對稱軸直線的計(jì)算公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法，頂點(diǎn)坐標(biāo)表示的

含義計(jì)算即可求解；

(2)當(dāng)y=125時，代入計(jì)算即可求解；

(3)根據(jù)題意圖象開口向下，當(dāng)xW10時，y隨x的增大而增大，當(dāng)無。10時，y隨尤的增大而減小,

當(dāng)x=12時，確定最大值，代入計(jì)算即可求解.

【解答】解：(1)-/+20尤+50,

對稱軸直線為x=--0口=10,

當(dāng)x=10時，-IO2+2OX10+50=150,

.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(10,150),

V-1<0,即圖象的開口象限，

當(dāng)減少碳排放量等于10噸時，最大利潤為150萬元；

(2)當(dāng)>=125時，-7+20X+50=125,

.'.X2-20x+75=0,

(x-5)(x-15)=0,

??xi=5,X2=15,

當(dāng)利潤達(dá)到125萬元時，需要減少5噸或15噸；

(3),,>=-/+20元+50=-(x-10)2+150,

V-1<0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(10,150),

圖象開口向下，當(dāng)xW10時，y隨x的增大而增大，當(dāng)尤210時，y隨x的增大而減小，

由題意可得：當(dāng)x=12時，確定最大值，

/.y=-(12-10)2+150=146,

???滿足政策要求的前提下，該工廠下個月利潤的最大值146萬元.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握頂點(diǎn)式，二次函數(shù)函數(shù)值、自變量值的計(jì)算是關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢

驗(yàn)和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為。，十位數(shù)是6,則這個兩位數(shù)表示為10b+G

（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是0,每次增長的百分率為x,則第一

次增長后為。（1+尤）；第二次增長后為。（1+無）2,即原數(shù)X（1+增長百分率）2=后來數(shù).

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，

列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程.

（4）運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角

形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹U：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.

6.答：寫出答案.

2.二次函數(shù)的定義

（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y="2+bx+c（°、b、c是常數(shù)，aWO）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其

中x、y是變量，a、b、c是常量，。是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).y=ax1+bx+c（a、b、c

是常數(shù)，aWO）也叫做二次函數(shù)的一般形式.

判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后

再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件.

（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對實(shí)際問題，自變

量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義.

3.二次函數(shù)的性質(zhì)

c.h4ac—b2hc

二次函數(shù)y=Q/+bx+c（〃WO）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一丁，-------），對稱軸直線％=-〒，二次函數(shù)yuaW+bx+c

乙a4a/Q

（〃W0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)40時，拋物線尸—+加葉。（〃wo）的開口向上，xV—之時，y隨x的增大而減??；垓■時，

乙Lv乙（X

y隨x的增大而增大；x=-與時，y取得最小值？一一1；即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn).

②當(dāng)。<0時，拋物線yu'+fcv+c（〃#0）的開口向下，xV—4時，y隨x的增大而增大；x>—4時，

乙vv4vv

y隨x的增大而減??；尤=-叁時，y取得最大值,一一次，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).

③拋物線y=a/+6x+cQW0）的圖象可由拋物線>=辦2的圖象向右或向左平移|-白|個單位，再向上或向

4-CLC—b^

下平移|「一|個單位得到的.

4.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)y=a/+bx+c（aWO）

①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；⑷還可以決定開口大小，⑷越大開口就越小.

②一次項(xiàng)系數(shù)6和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.

當(dāng)a與6同號時（即a6>0）,對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與6異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右側(cè).（簡

稱：左同右異）

③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于（0,c）.

④拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù).

△=/-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=廬-4改=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；-

4ac<0時，拋物線與無軸沒有交點(diǎn).

5.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

二次函數(shù)y=a/+bx+c（aWO）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（―g,-------）.

乙a4a

①拋物線是關(guān)于對稱軸x=-名成軸對稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系

式.頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).

②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析式中的C值.

③拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點(diǎn)分別是（尤1,0）,（垃,0）,則其對稱軸為工=42

6.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出

原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求

出解析式.

7.二次函數(shù)的最值

(1)當(dāng)。＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨尤的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)?/p>

2

圖象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=