北師大版（2024）七年級下冊數(shù)學(xué)第一章整式的乘除單元測試卷

一.選擇題：（每小題3分共30分）

1.已知一個標(biāo)準大氣壓下1cn?的氫氣的質(zhì)量約為Q00009g,這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示（）

A.0.9xlO5B.0.9x105C.9X105D.9xl05

2.根據(jù)圖①的面積可以說明多項式的乘法運算（2。+。）（4+與=2/+3仍那么根據(jù)圖②的面積可以說

圖①圖②

A.(a+3Z?)(a+/?)=a2+4ab+3b2B.(a+3/?)(fl+Z?)=a2+3b2

C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2D.^a+3b)^a-b)=cr+2ab-3b1

3.下列運算正確的是()

A.尤6+/=彳2B.(aZ?2)2=aV

4.計算的結(jié)果是()

A.a6B.—a5

5.細菌的個體十分微小，大約10億個細菌堆積起來才有一顆小米粒那么大.某種細菌的直徑是0.0000025

米，用科學(xué)記數(shù)法表示這種細菌的直徑是（）

A.25義10一5米B.25X10-6米C.2.5X10T米口.2.5義10一6米

6.計算(-8/s7n+1hnri-^inn)4-(-Wri)的結(jié)果是（）

A.2mrrZnt^nB.2,nf-3njn+n

C.D.Znf-Bmn^rf

7.02T=0成立的條件是()

A.x為大于2的整數(shù)B.x為小于2的整數(shù)

C.x為不等于2的整數(shù)D.x為不大于2的整數(shù)

8.納米是一種長度單位，1納米=10-二米.已知某種植物的花粉的直徑約為45000納米，那么用科學(xué)記數(shù)法

表示該種花粉的直徑為)

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A.45104B,4.5.io-5c.4,5io-4D.4.510^

9.有〃個依次排列的整式：第1項是（x+1）,用第1項乘以（x-l）,所得之積記為小將第1項加上（q+1）

得到第2項,再將第2項乘以（》-1）得到的，將第2項加（%+1）得到第3項,再將第3項乘以（》-1）得到生，

以此類推；某數(shù)學(xué)興趣小組對此展開研究，得到4個結(jié)論:

①第5項為尤s+J+/+f+x+i；②%=f_1；③若第2023項的值為0,則出。24=-2；④當(dāng)尤=—3時,

第m項的值為1一（一3）'用.以上結(jié)論正確的個數(shù)為（）

4

A.1B.2C.3D.4

10.已知。/為實數(shù)，且滿足。人〉0,〃+人一2=0,當(dāng)a—b為整數(shù)時，曲的值為（）

A.:或JB.J或1C.2或1D.J或。

424444

二、填空題：（每小題3分共15分）

11.-1212b5c=-6。。?.

12.若a*=3,ay=5,貝llax~y=.

13.已知2"'=3,32"=5,貝1]23田1°"=

14.若（x+l）（x+a）展開是一個二次二項式，則@=.

15.已知實數(shù)x,y滿足Y+y2=i,則尤，+孫+V的最大值與最小值的和為.

三、解答題：（共55分）

16.（6分）化簡、求值：d-.iMix-j）-（3x+「）（3x-y）+5x（x-j.I,其中x=-，\=-2.

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17.（7分）觀察下列各式：（『1）（jr+1）=/-1

（尸1）（x+x+1）=x-l

（尸1）（y+y+^+i）-x-].???

（i）根據(jù)以上結(jié)果，寫出下列各式的結(jié)果，

①（『1）（x+x+x+x+1）=;

②（xT）（x9+x+x7+***+x+l）=；

③（xT）（xnJ+xn2+???+^r+1）=（刀為正整數(shù)）；

（2）（『1）?爐x”-L.則nF-；

（3）根據(jù)猜想的規(guī)律，計算:226+225+-+2+1.

18.（8分）我們知道多項式的乘法可以利用圖形的面積進行解釋，例如，3場（a物與辦3助力就能用圖

1或圖2等圖形的面積表示：

⑴請你寫出圖3所表示的一個等式:.

（2）試畫出一個圖形,使它的面積能表示成（a+6）（a+36）=才必仍+36；

bb2abab

babahb2abab

aa2abaa2ah

aQ2a1aba2a2

babb2babb2

aabaabaab

圖1圖2圖3

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19.（8分）位于太原市三給片區(qū)的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現(xiàn)代化商業(yè)、中式文化與綠色園林三位

一體的大型綜合商業(yè)體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業(yè).如圖，在園區(qū)內(nèi)有一塊長為（。+劭）

米，寬為米的長方形地塊，現(xiàn)規(guī)劃將陰影部分進行綠化，中間預(yù)留部分是邊長為米的正方形.

（1）求綠化的面積S（用含a,6的代數(shù)式表示，并化簡）；

（2）若“=3,6=2,綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元?

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20.(8分)閱讀理解：我們一起來探究代數(shù)式f+2尤+3的值，

探究一：當(dāng)x=l時，代數(shù)式d+2x+3的值為,

當(dāng)x=2時，代數(shù)式尤2+2尤+3的值為，

可見，代數(shù)式V+2x+3的值隨x的改變而改變.

探究二：把代數(shù)式尤2+2元+3進行變形，如：x2+2x+3=x2+2X+1+2=(x+l)2+2,

可得：當(dāng)了=時，代數(shù)式犬+2元+3取得最小值，最小值為.

請回答下列問題：

(1)請補充完成探究一、探究二，直接在橫線處填空；

(2)當(dāng)x取何值時，代數(shù)式2/一8尤+3取得最小值，最小值為多少？

(3)如圖，某中學(xué)準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個長方形花園A3。(圍墻最長

可利用25m),現(xiàn)在已備足可以砌40m長的墻的材料，問：當(dāng)A3為多少米，長方形花園ABCD的面積取得

最大值，最大值是多少？

<-----25m------?

MADN

r---------c

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21.(9分)觀察下列各個等式的規(guī)律：

92_12_1_92_1j_2_q2_1

第一個等式：~=1,第二個等式：=2,第三個等式：~=3-

222

請用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問題：

(1)直接寫出第四個等式;

(2)猜想第〃個等式(用〃的代數(shù)式表示)，并證明你猜想的等式是正確的.

22.(9分)觀察下列等式：第1個等式：1x2+1=22-1；第2個等式：2x3+2=32-1;第3個等式:

3x4+3=42-1；第4個等式：4x5+4=52-1;…按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含〃的等式表示，n>l,且〃為整數(shù))，并加以證明.

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北師大版（2024）七年級下冊數(shù)學(xué)第一章整式的乘除單元測試卷?教師版

一.選擇題：（每小題3分共30分）

1.已知一個標(biāo)準大氣壓下1cn?的氫氣的質(zhì)量約為Q00009g,這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示（）

A.0.9xlO5B.0.9x105C.9X105D.9xl05

解：0.00009=9x103.

故選：C.

2.根據(jù)圖①的面積可以說明多項式的乘法運算（24+3（4+。）=2〃+3仍+〃，那么根據(jù)圖②的面積可以說

明多項式的乘法運算是（）

圖①圖②

A.（a+3Z?）（?+/?）=a2+4ab+3b2B.（a+3/?）（fl+Z?）=a2+3b2

C.（b+3a^b+a^=b2+4ab+3a2D.^a+3b^a-b^=a2+2ab-3b2

解：長是a+3b,寬是：a+b,故選A.

3.下列運算正確的是（）

A.x6-i-x2-x2B.^ab~）=a2b4C.x2-x3=x6D.^x2）=x5

解：A、f+無2=/，故此選項不符合題意；

B、（加）2=/凡故此選項符合題意；

C、x2?x3x5,故此選項不符合題意；

D、卜］=/,故此選項不符合題意；

故選：B.

4.計算（"丫的結(jié)果是（）

A.a6B.—a5C.a5D.—a6

解：（Q2『=Q2X3=Q6,

故選A.

5.細菌的個體十分微小，大約10億個細菌堆積起來才有一顆小米粒那么大.某種細菌的直徑是0.0000025

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米，用科學(xué)記數(shù)法表示這種細菌的直徑是（

A.25X10-5米B.25X10%米C.2.5X10-5米D.2.5X10-6米

解:0.0000025=2.5X10^.

故選：D.

6.計算｛Sinn^-12mn-^nfn)-r(-4^ri)的結(jié)果是()

A.2mB.2ni-'inni

C.Im-Zinn^nD.hn-Zmn^ri

解：(-8m4n+12m3n2-4m2n3)4-(-4m2n)

=-8m4n4-(-4m2n)+12m3n24-(-4m2n)-4m2n3-r-(-4m2n),

=2m2-3mn+n2.

故選D.

7.（）2r=0成立的條件是（)

A.x為大于2的整數(shù)B.x為小于2的整數(shù)

C.x為不等于2的整數(shù)D.x為不大于2的整數(shù)

解：的任何整數(shù)次事都等于0,但是0的負指數(shù)塞沒有意義,

；.2-x>0,即x<2,

故選B.

8.納米是一種長度單位，1納米=10，米.已知某種植物的花粉的直徑約為45000納米，那么用科學(xué)記數(shù)法

表示該種花粉的直徑為()

A.45104B.4.510-5C.4510-4D.45-10^

解:任何一個數(shù)都可用科學(xué)記數(shù)法表示為axlO",”時<10,因為1納米=10-米，所以45000納米=4§x10-1

米

9.有〃個依次排列的整式：第1項是（X+1）,用第1項乘以（X-1）,所得之積記為q,將第1項加上（q+1）

得到第2項,再將第2項乘以（》-1）得到的，將第2項加（%+1）得到第3項,再將第3項乘以（》-1）得到生，

以此類推；某數(shù)學(xué)興趣小組對此展開研究，得到4個結(jié)論：

①第5項為尤s+J+/+f+x+i；②%=f_l；③若第2023項的值為0,則出。24=-2；④當(dāng)x=—3時，

第4項的值為1一（一3）'用.以上結(jié)論正確的個數(shù)為（）

4

A.1B.2C.3D.4

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2

解：第1項為x+1,a{=(x+l)(x-l)=x-l,

223

???第2項為x+l+q+1=x+x+1fa2=(x-l)(x+x+l)=x-1,

第3+X+1+a2+1=d+―+%+],%=(%-1)(d+%2+%+])=%?！?,

n+1

???可以推出第〃項為V+%〃T+L+田+元+1,an=x-1,

6

???第5項為/+%4+%3+%2+%+1,a5=x-1,故結(jié)論①、②正確；

2023202222024

??,第2023項為”23+%2。22++f+x+i,^2023=(X-1)(X+X++X+X+1)=X-1,

2024_

AX2O23+X2O22++/+%+1=^^.1=0,

x-1

???12。24一1=0,

J姆24=1,

.'.%=-1或1

當(dāng)％=1時，。2024=^2025一1=1一1二。

當(dāng)犬=―]時，“2024=X2025-1=-1-1=-2,

???若第2023項的值為0,則%。24=-2或0,故結(jié)論③錯誤；

機+i_1

同理可得：第0項為^—

X—1

...當(dāng)x=-3時，第三項的值為.(一3)-1=1一(-3),故結(jié)論④正確，

-3-14

綜上可得：結(jié)論正確的個數(shù)為3個.

故選：C

10.已知。/為實數(shù)，且滿足外〉0,〃+6—2=。，當(dāng)a—b為整數(shù)時，曲的值為()

A.:或;B.；或1C.2或1D.；或:

424444

解：(〃+匕)2=〃2+21匕+加=4；=a2-2ab+b2=t,貝!]4〃8=4一，，

???a-6為整數(shù)，ab>0,

，力為?；?,

當(dāng)1=0時，ab=l；

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3

當(dāng)，=1時，ab=—-

4

3

???他的值為1或丁.

4

故選：C

二、填空題：（每小題3分共15分）

11.-126Z2Z?5C=-6ab??

解：由題意得：另一單項式為：-12〃外。+（_6ab）=2〃0％.

故答案為2ab4c.

12.若優(yōu)=3,6/'=5,則ax~y=.

解：Va^=3,aj=5,

axy

:ax.ay

=3+5

二g

一M，

3

故答案為：—.

13.已知2%=3,32〃=5,則23加+1M=

解:V32"=5,

5n232

.?.23zn+ion=（2”了.（2）=3x5=27x25=675,

故答案為：675

14.若（尤+1）（尤+。）展開是一個二次二項式，則a二.

解：原式=x?+（a+1）x+a,

根據(jù)x2+（a+1）x+a是一個關(guān)于x的二次二項式，得到a+1=0或a=0,

則a=-l或a=0.

故答案為：-1或0.

15.已知實數(shù)x,y滿足/+V=i,則/+孫+,4的最大值與最小值的和為

解：???一+y2=i,

第10頁共16頁

???(/+>2)2=1,

即x4+2x2y2+y'=1,

x4+y4=1-2x2y2,

設(shè)S=/+孫+y4,

S=l-2x2y2+xy=+g，

,:x,y為實數(shù)，

(x-y)2>0,

BPx2+y2-2xy>0,

x2+y2=l,

1-2xy>0,

.J

..xy<—,

又二(x+y)2NO,

BPx2+y2+2xy>0,

*/x2+y2=l,

1+2xy>0,

xy>,

11

?——《孫?一,

22

（1AQ1Q

???對于S=-2盯當(dāng)孫=：時，S有最大值了,

{4848

當(dāng)孫=_1時，s有最小值5=_2（_工_工］+2=0,

2124）8

9

一+孫+V的最大值與最小值的和為J.

O

、9

故答案為：—.

O

三、解答題：（共55分）

第11頁共16頁

16.(6分)化簡、求值：(2x->)(2x->)-(3x+j)(3x-_y)+5x(x-j),其中x=■—,j=-2.

解：先用整式乘法法則化簡，然后把X,y的值代入即可.

試題解析：原式=4%2-4xy+j2~(9x2-y2)+5x2-5xy=9x2-9xy+y2-9x2+y2=-9xy+2y2；

當(dāng)X———,二—二時，原式二—9x(―x(―2)+2x(―2)2二—1.

■2

17.(7分)觀察下列各式：(『1)(x+1)

(尸1)(*+x+l)=x-l

(『1)(,x+x+x+1)

(1)根據(jù)以上結(jié)果，寫出下列各式的結(jié)果，

①(『1)(y+y+y+^+i)=；

②(『1)(加/+/+,??+戶1)=;

(3)(才-1)(xn~1+xn~2+???+1)=(〃為正整數(shù))；

(2)(『1)?貝！JZZF；

(3)根據(jù)猜想的規(guī)律，計算：226+225+-+2+1.

解：(1)根據(jù)等式變化規(guī)律可得：

①(『1)(V+x3+y+x+l)=x-l；

②(xT)(才'+/+/+…+x+l)=x°~\\

(3)(矛-1)(Xn-1+xn-2+***+^+l)=Xn-1(77為正整數(shù))；

故答案為：①義-1；②x"T；③X”-].；

(2)*.*(r1)(/+xV+???+x+l)=

：.n^x10+x+x+…+x+],

故答案為：x°^x+,,,+x+1;

(3)(2-1)(226+225+-+2+1)=227-l,

.?.226+225+---+2+l=227-l.

18.(8分)我們知道多項式的乘法可以利用圖形的面積進行解釋，例如，(2石場(a物與d3加力就能用圖

1或圖2等圖形的面積表示：

⑴請你寫出圖3所表示的一個等式:.

(2)試畫出一個圖形,使它的面積能表示成(打班)(a+36)=/弘劭+3層.

第12頁共16頁

bb2abab

bababb2abab

aa1cibaa2ab

aa2a2ab出a2

babb2bahb2

aababab

圖1圖2圖3

解：（1）:長方形的面積=長><寬,

.?.圖3的面積=(>26)(2a+Z?)=2/+5aZ/4-2^,

故圖3所表示的一個等式：（a+26）（2a+Z））=2a"+5aZri-2y,

故答案為(a+26)(2a+6)=2/+5aM2^；

(2)..,圖形面積為：(a+6)(a+36)=/+4dZrt"3況

，長方形的面積=長義寬=（a+6）（a+36）,

由此可畫出的圖形為:

babb2b2b2

a2ababab

abbb

19.（8分）位于太原市三給片區(qū)的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現(xiàn)代化商業(yè)、中式文化與綠色園林三位

一體的大型綜合商業(yè)體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業(yè).如圖，在園區(qū)內(nèi)有一塊長為（。+46）

米，寬為S+6）米的長方形地塊，現(xiàn)規(guī)劃將陰影部分進行綠化，中間預(yù)留部分是邊長為（。-6）米的正方形.

a+4b

a+b

⑴求綠化的面積S（用含a,6的代數(shù)式表示，并化簡）；

⑵若，=3,。=2,綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元?

(1)解：S=(Q+4Z?)(a+Z?)-(Q-Z?)2

=a2+ab+A-cib+4b2一4+一

=（3〃+7"）平方米;

(2)當(dāng)。=31=2時，7。。+3必=7x3x2+3x22=54,

第13頁共16頁

54x100=5400（元）.

20.（8分）閱讀理解：我們一起來探究代數(shù)式V+2X+3的值，

探究一：當(dāng)x=l時，代數(shù)式f+2x+3的值為，

當(dāng)尤=2時，代數(shù)式Y(jié)+2x+3的值為,

可見，代數(shù)式f+2x+3的值隨x的改變而改變.

探究二：把代數(shù)式Y(jié)+2x+3進行變形，如：X2+2X+3=X2+2X+1+2=（X+1）2+2,

可得：當(dāng)尤=時，代數(shù)式Y(jié)+2X+3取得最小值，最小值為.

請回答下列問題：

（1）請補充完成探究一、探究二，直接在橫線處填空；

⑵當(dāng)x取何值時，代數(shù)式2/—8尤+3取得最小值，最小值為多少？

（3）如圖，某中學(xué)準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個長方形花園ABCD（圍墻最長

可利用25m）,現(xiàn)在已備足可以砌40m長的墻的材料，問：當(dāng)48為多少米，長方形花園ABC。的面積取得

最大值，最大值是多少？

<----------25m-----------?

MADN

----------------C

解（1）探究一：當(dāng)尤=1時，代數(shù)式/+2；1+3=1+2+3=6,

當(dāng)尤=2時，代數(shù)式/+2*+3=4+4+3=11,

究—.：,廠+2x+3=+2x+1+2=（x+1）+2,

.?.當(dāng)x=-l時,代數(shù)式d+2尤+3取得最小值,最小值為2,

故答案為：6、11、-1、2；

（2）2--8尤+3

=2（d-4x+4）-5

=2（尤-2）2-5

當(dāng)x=2時，2/一8x+3取得最小值，最小值為-5；

（3）設(shè)=x米，則3c=（40—2力米

長