§4.8正弦定理、余弦定理

【考試要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用

正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.

【知識(shí)梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，貝！J

定理正弦定理余弦定理

層=6+/一2/7CCOSA；

a_____b_____c___

內(nèi)容[2=/+42-2c4cosB；

sinAsinBsinC

修=〃2+:2-2必85C

(l)a=2RsinA,

1=2RsinB,

抉+/一層

c=27?sinC；cosA-2bc；

a

(2)sinA=詼，c2+a2~b2

變形COsB-2ac；

.b.c

sinB=2R,sinC=。2+》2一。2

COSC-2ab

(3)a:b：c

=sinA:sin5：sinC

2.三角形解的判斷

A為銳角A為鈍角或直角

cccc

ZLX

圖形

一E八、、一毒

AB4A，B

關(guān)系式a=bsinAfesinA<a<ba^ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

(1)5=3%(瓦表示邊。上的高)；

(2)5=^Z7sinC—^acsin3=*csinA；

(3)S=%(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

【常用結(jié)論】

在△ABC中，常有以下結(jié)論：

(1)ZA+ZB+ZC=K.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)?>Z?OA>BOsinA>sinB,cosA<cosB.

,.?.A+BCA+B

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=_cosC；tan(A+B)=_tanC；sin-,-=coscos-=

,C

sin

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+ACOSB.

⑹三角形中的面積S=7p(p-a)(p-b)(p-c)卜=3(a+6+c)).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.(X)

(2)在△A2C中，若sinA>sinB,貝|A>A(V)

(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.(X)

(4)當(dāng)〃+,2—。2>0時(shí)，ZiABC為銳角三角形.(X)

【教材改編題】

1.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,則/BAC等于()

A76cB73uCT27rDT57r

答案C

解析在△ABC中，

設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,

222

匚人口、日/b~\~c—a9+25—491

由余弦定理得cosZBAC=^7------=------彳---=一不，

Zbc302

因?yàn)锳BAC為/XABC的內(nèi)角，

2兀

所以ZBAC=~^~.

2.記△A3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,若AABC的面積為4,〃=2,3=30。,

則。等于()

A.8B.4

「至DM

J33

答案A

解析由SzviBC=；acsin得c=8.

3.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知8=30。，b=yf2,c=2,貝UC=.

答案45?；?35。

解析由正弦定理得sinc="2=制膏=乎，

因?yàn)閏>6,8=30°,

所以C=45°或C=135°.

題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1(12分)(2022?新高考全國(guó)I)記△ABC的內(nèi)角C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知皆黑］

sin2B

=l+cos2E

兀

(1)若。=,2，求5［切入點(diǎn)：二倍角公式化簡(jiǎn)］

層+岳

(2)求巧3的最小值.［關(guān)鍵點(diǎn)：找到角5與角C,A的關(guān)系］

思維升華解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩

個(gè)定理都有可能用到.

跟蹤訓(xùn)練1(2022?全國(guó)乙卷)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A

—8)=sinBsin(C—A).

(1)證明：2〃2=抉+°2；

25

(2)若a=5,cosA=w，求△ABC的周長(zhǎng).

⑴證明方法一

由sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A),

可得sinCsinAcosB—sinCeosAsinB

=sinBsinCeosA-sinBcosCsinA,

結(jié)合正弦定理號(hào)=-7%=-7；,

sinAsinBsinC

可得accosB—bccosA=AcosA—abcosC,

即accosB+abcosC—2bccosA(*).

由余弦定理可得

〃2+02一匕2

accosB=2，

層十左一c2

abcosC—

2

2Z?CC0SA=抉+。2—"2,

將上述三式代入(*)式整理，

得2d2=b2+cz.

方法二因?yàn)锳+5+C=m

所以sinCsin(A-B)=sin(A+B)sin(A—B)

=sin2Acos2B—cos2Asin2B

=sin2A(1—sin2B)—(1—sin2A)sin2B

=sin2A—sin2B,

同理有sinBsin(C—A)=sin(C+A)sin(C—A)=sin2C—sin2A.

又sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A),

所以sin2A—sin2B=sin2C—sin2A,

即2sin2A=sin2B+sin2C,

故由正弦定理可得2Q2=02+C2.

(2)解由(1)及層=按+理-2bccosA得，a1=2bccosA,所以2Z?c=31.

因?yàn)閎2+c1=2a1=50,

所以3+C)2=〃+C2+20C=81,

得Z?+c=9,

所以△A3C的周長(zhǎng)l—a+b-\-c—14.

題型二正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

命題點(diǎn)1三角形的形狀判斷

例2(1)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是b,c,若c—〃cos3=(2〃一b)cosA,

則△ABC的形狀為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因?yàn)閏—“cos5=(2〃一/?)cosA,

C—7i—

所以由正弦定理得sinC—sinAcosB

=2sinAcosA—sin3cosA,

所以sinAcosB+cosAsinB—sinAcosB

—2sinAcosA—sinBcosA,

所以cosA(sin8—sinA)=0,

所以cosA=0或sin5=sinA,

IT

所以A=]或B=A或2=兀一A(舍去)，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.

(2)在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，守=sin?今則△ABC的形狀為()

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

D

解析由cosB=1—2sin2^-,

,曰.1—cosB匕匕〃1—cosB

付sin2，=—5—,所以-2—，

BPcosB--.

c

“2+02—接口

方法一由余弦定理得￡=1

即〃+c2—尻=24，

所以a2+t>2=c2.

所以△ABC為直角三角形，但無(wú)法判斷兩直角邊是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=黑，

又sinA=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sinBWO,

所以cosC=0,又角。為△ABC的內(nèi)角，

冗

所以C=],所以AABC為直角三角形，但無(wú)法判斷兩直角邊是否相等.

延伸探究將本例(2)中的條件“寧usin21”改為(6+c+a)S+c—a)=3bc”，

LCLSIHc

試判斷△ABC的形狀.

解因?yàn)楹谒杂烧叶ɡ淼盟詁=c

dJ.JLX1-JCexCz

又(b+c+a)(〃+c-a)=3bc,

221

所以b+c~a=bc9

爐+/—〃2be1

所以由余弦定理得cosA=.=笠4.

TT

因?yàn)锳G(0,7i),所以A=§,

所以△ABC是等邊三角形.

思維升華判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A

+B+C=TT這個(gè)結(jié)論.

命題點(diǎn)2三角形的面積

例3(2022?浙江)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

3

已知4a=y[5c,cos。=亍

(1)求sinA的值；

(2)若b=ll,求△ABC的面積.

解⑴由正弦定理六=條，

得sinA="?C

34

因?yàn)閏os。=亍所以sin。=5，

力0更缶a.人吏sinC小

又所以sm—=*-.

(2)由(1)知sinA=坐，

因?yàn)椤?亨<。，所以0<4號(hào)

所以COSA=￥，

\[5342\[511、萬(wàn)

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCeos《二方-義叫+彳義.

因?yàn)槔?康，即蒜=,

255

所以c=44,

所以SAABC=^i>csinA=^X11X4由X害=22.

思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則

⑴對(duì)于面積公式S=^absinC=^acsinB=^bcsinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.

（2）與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

命題點(diǎn)3與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題

例4（2023?廈門模擬）如圖，已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,僅1+cos

C）=M§csin/ABC且AABC的外接圓面積為警.

⑴求邊c的長(zhǎng)；

（2）若〃=5,延長(zhǎng)C3至使得cosNAMC==廠，求3M.

49TI7s

解（1）設(shè)AA3c的外接圓半徑為R,由題意兀叱=咪，解得尺=等.

由題意及正弦定理可得sinZABC（l+cosC）

=y/3sinCsinZABC,

因?yàn)閟inZABC^O,所以1+cosC=/sinC,

即2sin（。一看）=1,

因?yàn)?<C<兀，所以c—5G（*,第）,故C-即C=E

故c=2RsinC=2X^^X坐=7.

e、,7i>,125+Z?2—49日

(2)因?yàn)椤?5,c=7,C=R故cosC===。，仔護(hù)―5力—24=0,

D乙ZAJAA?

解得匕=83=—3舍去).

1

52+72—§2-

在△ABC中，由余弦定理可得cosZABC=7

ZAJA/

所以sin/ABC=4*.

由cosNAMC=^^得sinZAMC=^y^.

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)

=sinZABCcosZAMC-cosZABCsin/AMC=￥￡,

在△MM中,由正弦定理可得高梟T嬴瑞M則8加=赤義喀=5.

7

思維升華在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問(wèn)

題時(shí)，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過(guò)運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具

體問(wèn)題時(shí)，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出

來(lái)，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函數(shù)思想.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（多選）（2023?合肥模擬）已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若acosA=bcos8,則△ABC一定是等腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,則△ABC是等腰三角形

C.若」nh-cF，則△A5C一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

D.若3=60。，tr=ac,則△ABC是直角三角形

答案BC

解析對(duì)于A,若acosA=bcos2,則由正弦定理得sinAcosA=sinBcos3,

Asin2A=sin2B,則2A=2B或2A+23=180。，即或A+B=90。，則△ABC為等腰三

角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若bcosC+ccosB=b,則由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sin（B+C）=sinA=

sinB,即A=B,則△ABC是等腰三角形，故B正確；

〃二abc十一EsinAsinBsinC八〃

對(duì)于C,T=p-7,貝!]由正弦定理侍~7=p=7、,貝ItanA=tanB=tanC,

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

即A=B=C,即△ABC是等邊三角形，故C正確；

對(duì)于D,由于2=60。，b1=ac,由余弦定理可得匕2=改=02+,2—ac,可得（。一。2=0,解得

a=c,可得A=C=B,故△ABC是等邊三角形，故D錯(cuò)誤.

⑵在①加+會(huì)團(tuán)二層+洛②cosB=bcosA；③sinB+cos8=表這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在

下面的橫線中，并解決該問(wèn)題.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,，A=$b=y/2,求△ABC的

面積.

解若選①，則由b2+y[2ac=a2+c2,

得小ac=a2+c2—b2.

a2+c2—Z?2y12ac也

由余弦定理得COsB=~狼~=2ac=2-

因?yàn)锽W(0,7i),

所以3=今

由正弦定理得焉=磊,

即盤=多，解得。=小.

singsin

e、/_兀兀57r

因?yàn)椤?兀-4_5=兀一1=記，

“..5兀,f71.71、

所以sinC=siny^=sing+aJ

.兀it,兀.兀y[6+yf2

=sinTCOS7?cosTsin7=―L-,

04o44

所以S^ABC—^absinC=：X小X也x*：&=3~^^

若選②，因?yàn)閏osB=bcosA,A=*b=y[2,

兀f2

所以cos3=Z?cosA=45COS^=2'

因?yàn)锽￡(0,71),

所以B=^.

由正弦定理得嘉=磊，

即一解得a=小.

singsin

ri\)_7T7T5兀

因?yàn)镃=7T—A—3=兀_§一^=五，

所以sinC=sin^=sin(5+E)

.兀7i,兀.兀y[6+yf2

=sinTCOS7+cosTsin7=―,

o4o44A

3

所以S^ABC=^absinC=^X^/3X^/2-^V^

若選③，則由sinB+cosB=y129

得立sin,十習(xí)=也,

所以sin(3+9=l.

因?yàn)?￡(0,兀)，

所以8+；=宗所以3=；.

由正弦定理得品=品，

即當(dāng)，解得心小

sinsin

E、，一，c兀兀571

因?yàn)镃=71—A—8=兀-]—1二萬(wàn),

5K_.他_L0

所以sinC=sin12—si晦+/

.7171,兀.兀#+也

=sin^cosa十cosgSin4

所以SAABC=^absm0=3義小義也義"?也='今^

⑶(2022?重慶八中模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,在①c(sinA—

sinC)=(a—Z?)(sinA+sinB)；②25cosA+a=2c；③學(xué)Nicsin8=〃2+。2—。2三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

①若.,求角3的大小;

②求sinA+sinC的取值范圍;

③如圖所示，當(dāng)sinA+sinC取得最大值時(shí)，若在△A3C所在平面內(nèi)取一點(diǎn)0（。與3在AC

兩側(cè)），使得線段OC=2,D4=l,求△5CZ）面積的最大值.

解①若選①,

因?yàn)閏(sinA-sinC)=(a—Z?)(sinA+sinB),

由正弦定理得C(Q—c)=(〃-Z?)(Q+Z?),

整理得次+廿一力2=〃c,

八層+。2—尻ac1

所以8sB=一詬―=赤=5,

TT

又0<3<兀，所以B=y

若選②，

因?yàn)?0cosA+〃=2c,

從十02—〃2

由余弦定理得2b￡+a=2c,

loc

化簡(jiǎn)得，a2-\-c2—b2=ac,

1

21

cr+cr—b-

所以cosB=2

lac

TT

又0<B<7i,所以B=y

若選③，

因?yàn)橐?，〃csinB—cP+c2—^,

2\f3

由余弦定理得acsinB=2〃ccosB,

化簡(jiǎn)得tanB=小，

TT

又0<B<7i,所以B—y

2兀

②由①得，A+C=y,

2兀

則0<A<y,

...._.<2TTA3..,V3

sinA+sinC=sinA+sinlAI=^smA+2cosA="\/3sinlA+

、兀.71571

又不人4+不可，

所以g<sin（A+&）Wl,

則sinA+sinC的取值范圍是小］

TTjr

③當(dāng)sinA+sinC取得最大值時(shí)，A+4=］，

解得A=1,

JT

又5=?所以△A3C為等邊三角形，

令/ACD=e,ZADC—a,AB—AC—BC—a,

則由正弦定理可得就=焉,

所以sina=〃sin9.

又由余弦定理得，^2=22+l2-2X2X1Xcosa,

所以ti2cos20=a2—?2sin2^=cos2a—4cosa+4,

所以acos0=2—cosa.

SABCD=^XaX2sin停+0

V3?小

—24cos"十2"sin”

當(dāng)且僅當(dāng)a=NA0C=w時(shí)等號(hào)成立,

所以△BCD面積的最大值為小+1.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.在△ABC中，C=60。，a+2b=8,sinA=6sinB,則c等于()

A.V35B.V31C.6D.5

答案B

解析因?yàn)閟inA=6sin8,

則由正弦定理得。=6b,

又a+2b=8,所以a=6,6=1,

因?yàn)镃=60°,

所以由余弦定理c2=q2+b2_2a6cosC,

即C2=62+12-2X6X1X1,

解得。=弧.

2.在△A2C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA—sin2)=(b+c)sinC,

a=7,則△ABC外接圓的直徑為()

A.14B.7C.茅

答案D

解析已知(〃+/?)(sinA-sinB)=(/?+c)sinC,

由正弦定理可得(〃+/?)(〃-Z?)=(b+c)c,化簡(jiǎn)得b2+c2—a2=—be,

按+。2一〃2—be1

所以cosA=-赤一=2bc=一］,

2冗

又因?yàn)锳W(0,7i),所以A=丁，

2兀、后

所以sinA=sin竽=竽，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,

由正弦定理可得2R=1=a呼，

2

所以△ABC外接圓的直徑為粵鄉(xiāng)

3.(2022?北京模擬)在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，若小asinB=bcosA,

且b=2小,c=2,則a的值為()

A.2小B.2

C.2-\/3-2D.1

答案B

解析由已知及正弦定理得，小sinAsinB=sin3cosA且sinBWO,可得tanA=3，又0<A<兀,

所以4=季，又。=2小，C—2,

所以由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA=16—12=4,解得a=2.

4.（2023?棗莊模擬）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A=60°,b=l,SAABC

=小'則sinA+sinB+sinC寸于（）

A.醇B.亭C.華D.2小

答案A

解析由三角形的面積公式可得以A8c=/sin解得c=4,

由余弦定理可得a=N按+。2—2》ccosA=冊(cè)5,

設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,由正弦定理得焉=白=看=2廠，

Sill/ISillDSillL

〃+>+0_______2r（sinA+sin3+sinC）aVT5

sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC”sinA-^33,

2

5.（2023?馬鞍山模擬）已知3c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,設(shè)（sinB+sinC）2

=sin2A+（2—陋）sinBsinC,也sinA—2sin3=0,則sinC等于（）

A.|B.當(dāng)

J622/2A/6+A/2

O4D4

答案c

解析在△ABC中，由6畝2+5布02=$山24+(2一也為出外i11(7及正弦定理得(6+(?)2=42+

(2—gbc,

即b2+c2—a1=—y[2bc,由余弦定理得cosA=----zv-----=一半，而0。<4<180。，解得A=

vZbc2

135°,

由也sinA—2sin3=0得sinB=^sinA=',顯然0。<8<90。，則5=30。，C=15°,

、后—*\/2

vv

所以sinC=sin(60°-45°)=sin60°cos450-cos60°sin45°=4.

6.(2023?衡陽(yáng)模擬)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知2cosB(acosC

+ccosA)=Z?,1gsinC=^lg3—1g2,則△ABC的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析2cosB(acosC+ccosA)=b,

???根據(jù)正弦定理得，

2cosB(sinAcosC+cosAsinC)=sin8,

2cos&in(A+C)=sinB,

2cosBsin(兀-3)=sinB,

即2cosBsinB=sinB,

VBe(0,兀)，???sinBW0,

.1.冷71

??cosD..B=w

VlgsinC=1lg3—1g2,

?i.「i41,?r吏

..lgsmC—lg2???smC—，

VC^(0,7i),???。=鼻或牛，

兀2兀71

B=q?#-C=§，

Jr

.?.A=3=C=w，即△A3C為等邊三角形.

7.(2022?全國(guó)甲卷)已知△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，乙408=120。，AD=2,CZ)=2B。.當(dāng)言

取得最小值時(shí)，BD=.

答案V3-1

解析設(shè)BD=k(k>0),則CD=2左

根據(jù)題意作出大致圖形，如圖.

A

2

BDC

在△ABO中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB=22+A:2-2X

+2Z+4.

在△AC。中，由余弦定理得4?=4。2+82—2ADCDCOS/ADC=22+(2Z)2-2X2X2A4=

4產(chǎn)一4k+4,

AC24產(chǎn)一41+4

川市=N+24+4

4停+2左+4)-12左一12

=R+2—+4

_.12(^+1)_12-+1)

=4―3+2左+4=4—6+1)2+3

33

,?*k~\-1+.?^2^3(當(dāng)且僅當(dāng)％+1—7V7?

KI1KI1

即k=y[3-l時(shí)等號(hào)成立)，

‘票力一景=『25=(5—1)2,

.,.當(dāng)船取得最小值小一1時(shí)，BD=k=^3—\.

8.(2023?宜春模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知AinC+csinB=4asin

BsinC,Z?2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

姣案

口木3

解析fesinC+csinB=4asinBsinC,sinBsin00,

結(jié)合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

/.sinA=3,<。2+/-〃2=8,

結(jié)合余弦定理tz2=Z?2+c2—2/?ccosA,

可得20ccosA=8,

???A為銳角，且cosA=?,從而求得歷=怨，

...△ABC的面積為S=，?csinA=^X理^><3=耳±

9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,且灰:osC=(2Q—C)COSA

⑴求&

(2)若Z;=3,sinC=2sinA,求AABC的面積.

解(1)由正弦定理，得sin3cosC=2sinAcosB—cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,

sin(B+C)=2sinAcosB,

sinA=2sinAcosB,

sinA^O,cosB=g,

jr

???3為三角形內(nèi)角，???5=§.

(2)VsinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

由余弦定理得b2—a2+c2—2accosB—a2+4a2—2a1—9,即3d1—9,

；?a=小,c=2小，

:?△A3c的面積為S=3acsinB=；X小X2小X坐

10.(2023?湖州模擬)在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，已知小6sin(T+A)=

〃sinB.

(1)求角A的大小；

(2)若4〃，c成等比數(shù)列，判斷3c的形狀.

解⑴二?小。sinC+A)=asinB,由誘導(dǎo)公式得小bcosA=〃sinB,

由正弦定理得〈5sinBcosA—sinAsinB,

VsinB^O,.*.-\/3cosA=sinA,即tanA=^/3,

71

?A￡(0,7t),??A=].

⑵YZ?,a,c成等比數(shù)列，a2=bc,

按+02—〃2

由余弦定理得cosA=

工Zbc

fe2+c2-Z?c1

=-2bc-=29

即b2+c2—bc—bc,

(。一c)2=0,:?b=c,

TT

又由(1)知A=q,

???△ABC為等邊三角形.

綜合提升練

11.（多選）對(duì)于△ABC,有如下判斷，其中正確的是（）

A.若cosA=cosB,則△ABC為等腰三角形

B.若A>8,貝!|sinA>sinB

C.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的△ABC有兩個(gè)

D.若sidA+siMBvsi/C,則△ABC是鈍角三角形

答案ABD

解析對(duì)于A,若cosA=cosB,則A=B,所以△ABC為等腰三角形，故A正確；

ah

對(duì)于B,若A>B,貝1〃>匕，由正弦定理1口X=sin豆=2&得2HsinA>2Rsin5,BPsinA>sinB

成立，故B正確；

對(duì)于C,由余弦定理可得6=482+1。2—2X8X10X：=q麗，只有一解，故C錯(cuò)誤；

層+按—

對(duì)于D,若sin2A+sin2B<sin2C,則根據(jù)正弦定理得?2+Z?2<c2,cosC=----7--------<0,所以C

lab

為鈍角，所以△A8C是鈍角三角形，故D正確.

12.在△A2C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sinAsinBsinC=1,ZkABC的面

o

積為2,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.ctbc=16^2

B.若a=小,則

C.△ABC外接圓的半徑R=2w

D?舄I+高>32sinC

答案B

,14

解析由題可得/bsinC=2,貝?。輘inC=F，

2ab

代入sinAsinBsinC=1,

1

1

4smAsmB_

得o

abo

即R2=8,gpR=2y[2,C正確；

abc=8R3sinAsinBsinC=128^/2X-=16A/2,A正確；

若a=巾,則$布A此時(shí)4蘭，B錯(cuò)誤;

因?yàn)閟inA>0,sinB>0,

所以(sinA+sinB)2^4sinAsinB,

grp,(sinA+sin8)2〉4

(sinAsinB)2'sinAsinB'

1/4

由sinAsinBsinC=7，得^~~~~^=32sinC,

8sinAsinB

所—以(看sinZAM+#sin283)22sinC,即(匕1/+.商1萬(wàn)Y＞32sinC,D正丁確以.

13.(2023?嘉興模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知csinA=45acosC,

c=2小,ab=8,則a+6的值是.

答案6

解析csinA=y[3acosC,根據(jù)正弦定理得sinCsinA=〈§sinAcosC,

：sinAWO,故tanC=/,VCE(0,兀),.\C=1,

層+按一(〃+份2—2QZJ一。21

再由余弦定理得COSC=_7=~i

T

代入0=2仍，ab—8,得a+6=6.

7

14.在△ABC中，已知AB=4,AC=7,8c邊的中線AO=5，那么BC=.

答案9

BD2+AD2—AB2

解析在△A3。中,結(jié)合余弦定理得cosNADB=

2BDAD

CQ2+A￡)2—AP

在△AC。中,結(jié)合余弦定理得cosZ