第U講用空間向量研究距離、夾角問題U種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V——

會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值;會用向量法求點(diǎn)點(diǎn)、

點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.

［的基礎(chǔ)知.

---------------------IIII1III1IIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識點(diǎn)1空間距離及向量求法

點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離

設(shè)已知平面a的法向量為n,AGa,P^a,向

設(shè)“為直線，的單位方向向量，AGZ,

.量亞是向量方在平面上的投影向量，

文尸3，N?=a，向量4?在直線，上的投

--

空c—nIAP-n\

影向量為亞PQ=AP而\n\

評

嚷(亞="〃.)，注：實(shí)質(zhì)上，"是直線’的方向向量，點(diǎn)P到

口則尸方后不加=后訴平面a的距離就是力在直線,上的投影向量并

的長度.

注意點(diǎn)：

⑴兩條平行直線之間的距離：在其中一條直線上取定一點(diǎn)，則該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩

條平行直線之間的距離.

(2)如果一條直線/與一個(gè)平面a平行，可在直線/上任取一點(diǎn)P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到平

面a的距離求解.

(3)如果兩個(gè)平面a,6互相平行，在其中一個(gè)平面a內(nèi)任取一點(diǎn)P,可將兩個(gè)平行平面的距離

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到平面P的距離求解.

知識點(diǎn)2空間角及向量求法

角的分

向量求法范圍

類

(1)兩異面直線所成角的范

設(shè)兩異面直線所成的角為仇兩直線的方向向量分別圍是(°，2.

異面直

為，。，則(兩異面直線所成的角與

線所成u2)

cosgcos〈u,。〉尸鼎■其方向向量的夾角是相等或

的角

“'互補(bǔ)的關(guān)系.

⑴線面角的范圍為［o,

設(shè)直線,與平面所成的角為仇，的方向向量為

直線與au,

⑵直線與平面所成的角等于

平面a的法向量為n,則

平面所

其方向向量與平面法向量所

成的角sm'Tcos(u,n〉］一

成銳角的余角.

平面a與平面片相交，形成四個(gè)二面角，把不大于今的⑴兩,、平面的夾角的范圍是

兩平面二面角稱為這兩個(gè)平面的夾角.設(shè)平面a與平面p的0,T

乙

的夾角夾角為8,兩平面?,P的法向量分別為ni,n,則cos

2(2)兩平面的夾角是兩法向量

1cos(m,n2)的夾角或其補(bǔ)角.

思考：(1)兩個(gè)平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？

平面a與平面■的夾角：平面a與平面［相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大

于90。的二面角稱為平面a與平面夕的夾角.二面角的平面角范圍是［0,河，而兩個(gè)平面的夾

角的范圍是0,I

(2)平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？

兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角.

圈解題策略

用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟

⑴求直線的方向向量.

⑵計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.

⑶利用勾股定理求解.另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.

2、求點(diǎn)到平面的距離的四步驟

注：線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是

線面、面面平行.

3、基向量法求異面直線的夾角的一般步驟

(1)找基底.

(2)用同一組基底表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量夾角公式求出兩條直線的方向向量夾角的余弦值.

(4)結(jié)合異面直線的夾角范圍得到異面直線的夾角.

4、用空間向量法求異面直線夾角的步驟

(1)確定兩條異面直線的方向向量.

⑵確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對值.

(3)得出兩條異面直線所成的角.

5、求直線與平面所成角的思路與步驟

思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾

角(或夾角的某一三角函數(shù)值).

思路二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直

線與平面所成角的基本步驟：

①建立空間直角坐標(biāo)系；

②求直線的方向向量自；

③求平面的法向量〃；

④計(jì)算：設(shè)線面角為仇則sin，=近駕.

\n\'\AB\

6、向量法求兩平面的夾角（或其某個(gè)三角函數(shù)值）的三個(gè)步驟

求兩平面夾角的兩種方法

（1）定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩

平面的夾角.也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.

（2）法向量法：

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求出兩個(gè)半平面的法向量“1,“2；

③設(shè)兩平面的夾角為仇則cos，=|cos（H1,“2〉|.

（當(dāng)（ni,“2〉0,j時(shí)）或“一（m,“2〉（當(dāng)（ni,“2〉e俘兀時(shí)）

［注意］若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量

求解.

7、立體幾何中的探索性問題

立體幾何中的探索性問題，在命題中多以解答題的一步出現(xiàn)，試題有一定的難度.

這類題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答

這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行

推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性.

Q考點(diǎn)剖析

---------------------llllllllllllllillllllllllllllllllllllllll-----------------------

考點(diǎn)一：求點(diǎn)到直線的距離

例L（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）已知空間三點(diǎn)A（2,l,0）,3（2,l,-l）,C（l,0,l）,則

點(diǎn)C到直線AB的距離為.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）矩形A3CD中，404=30。，AC=20,PA,平面A3CD,且

24=5,則尸至UBC的距離為.

變式2.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體ABCD-A4GA中，以頂點(diǎn)A為

端點(diǎn)的三條棱長都是a,且ZAAB=ZAAD=60%E為CG的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線&G的

距離為（）

D.今

變式3.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考三模）四面體OWC滿足

/4。8=/86^=/。。4=90",04=1,08=2,。。=3,點(diǎn)。在棱0c上，且OC=3O。，點(diǎn)G為AABC的

重心，則點(diǎn)G到直線AD的距離為（）

A.變B.4C.立D.-

2233

變式4.（2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1,在等腰梯形ABCD中，

AB〃CD,AB=AD=l,CD=2,DE=EC,沿AE將VADE折成VAPE,如圖2所示，連接改PC,得

到四棱錐尸-ABCE.

（1）若平面PAEA平面PBC=/,求證：1//BC-

⑵若點(diǎn)T是PC的中點(diǎn)，求點(diǎn)T到直線￡B的距離的取值范圍.

變式5.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）在梯形A5CD中，AB//CD,?D90?,AB=2插，AD=DCf,

如圖L現(xiàn)將人針。沿對角線AC折成直二面角尸-AC-3,如圖2,點(diǎn)M在線段3尸上.

⑵若點(diǎn)M到直線AC的距離為手，求翳的值.

考點(diǎn)二：求點(diǎn)到平面的距離

△J例2.（2023春?浙江溫州?高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。-A46。

中E為線段?！ǖ闹悬c(diǎn).

⑴求證：平面A瓦〃平面ACCW；

⑵求A到平面的距離.

變式1.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，即，底面ABCD,

底面ABCD是矩形，48=24。=4,尸。=￥，￡是外的中點(diǎn)，F(xiàn)B=2PF,則點(diǎn)C到平面DEF的距

離為（）

J

A亞B2屈C萼D

,5,5f

變式2.（2023春?福建龍巖?高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓。的直徑,

SO=AB=4,AC=BC,。為SO的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面SBC的距離為（）

C.1D.2

變式3.（2023秋?重慶長壽?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平面ABCD,底面ABCD為矩形,

PA=AD=2,AB=4,M、N分別為A3、PC的中點(diǎn).

⑴求證：肱V//平面PAD；

（2）求點(diǎn)D到平面PMC的距離.

變式4.（2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐尸-ASCD的底面是正方形，PD1

底面A5CD,E為PC的中點(diǎn)，PD=DC=2.

⑴證明：私〃平面3DE;

⑵求點(diǎn)E到平面R4B的距離.

變式5.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,

PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn)，且PSLAVf.

p

A&

⑴求先；

⑵求點(diǎn)B到平面PAM的距離.

變式6.（2023春?云南楚雄?高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，E是線段BG上

靠近點(diǎn)8的一個(gè)三等分點(diǎn)，。是&G的中點(diǎn).

（1）證明：4?！ㄆ矫?月￡；

⑵若AA=AB=6,求點(diǎn)A到平面偌￡的距離.

考點(diǎn)三：求兩平行平面的距離

金］例3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體AB。-44GA的棱長為4,設(shè)〃、N、E、

F分別是AR，A綜D￡，Bg,的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離.

變式1.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）兩平行平面8夕分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)4（1,2,3）,且兩平

面的一個(gè)法向量而=（T，。』），則兩平面間的距離是（）

A.V2B.乎C.73D.3&

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正

方形，OAJ_底面ABC。，OA=2,M、N、R分別是OA、BC、AD的中點(diǎn).求：

o

⑴直線MN與平面OCD的距離；

⑵平面MNR與平面OCD的距離.

變式3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）直四棱柱ABCD-A4GR中，底面ABCD為正方形，邊長為2,

側(cè)棱AA=3,"、N分別為A耳、AA的中點(diǎn)，區(qū)/分別是CQWG的中點(diǎn).

（1）求證：平面AAW〃平面EFBD；

（2）求平面AAW與平面EFBD的距離.

變式4.【多選】（2023春?福建福州?高二校聯(lián)考期中）已知正方體ABCD-ABG。的棱長為1,

__.a__.1__.O__.

點(diǎn)E。分別是A穌AG的中點(diǎn)，尸滿足Q=a通+］而+耳離，則下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)A到直線班的距離是半

B.點(diǎn)。到平面ABG2的距離為正

4

C.平面A3。與平面間的距離為了

D.點(diǎn)尸到直線A5的距離為,

考點(diǎn)四：求兩條異面直線的距離

例4.【多選】（2023?遼寧朝陽?校聯(lián)考一模）如圖，在棱長為1正方體ABCO-AgCQ中,

加為4G的中點(diǎn)，E為AC與2M的交點(diǎn)，產(chǎn)為2M與B的交點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.AG與W垂直

B.所是異面直線AC與BC的公垂線段，

C.異面直線AG與BC所成的角為;

D.異面直線AG與瓦c間的距離為g

變式1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形PABC中，AC=BC=2,ZACB=90。,

AP=BP=AB,PCLAC.

（1）求證：PC1AB；

（2）求異面直線PC與AB的距離；

⑶求二面角3-AP-C的大小.

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正四棱錐P-ABCD的棱長均為2,點(diǎn)E為側(cè)棱PD

的中點(diǎn).若點(diǎn)〃，N分別為直線A3,CE上的動點(diǎn)，則MN的最小值為.

變式3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，多面體ABC-ABG是由長方體一分為二得到的，AA=2,

AB=BC=1,ZABC=90。，點(diǎn)。是眼中點(diǎn)，則異面直線與的距離是

變式4.（2023秋?遼寧沈陽?高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形ABCD,

NB=60°,BE=EC=l.沿著AE將折起到,使得/“0=90。，如圖②所示.

圖①圖②

⑴求異面直線AB1與8所成的角的余弦值;

⑵求異面直線AB,與8之間的距離.

考點(diǎn)五：求異面直線所成的角

例5.（2023春?四川宜賓?高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在棱長為1

的正方體ABCD-ABGA中，E,F,G分別為。2,BD,8月的中點(diǎn)，則與RG所成的角的

余弦值為.

變式1.（2023春?陜西漢中?高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體ABCD-ABGA中，P為體對角線

上一點(diǎn)，且DP=2P耳，則異面直線A2和CP所成角的余弦值為（）

A.0B.-C.-D.@

552

變式2.（2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐尸-ABCD中，PA^AB^2,M

為棱PC的中點(diǎn)，則異面直線AC,3M所成角的余弦值為（）

A.正B.?C.—D.逅

2356

變式3.（2023春?高二單元測試）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,底面ABCD是

菱形，AB=2,ZBAD=60\

⑴求證：8D2平面PAC；

⑵若叢=AB,求PB與AC所成角的余弦值.

變式4.（2023春?江西贛州?高二江西省尋烏中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱ABC-ABC

中，AB=AC=AA,=2,ZBAC=90°,E,R依次為GCBC的中點(diǎn).

（1）求異面直線48、ER所成角的余弦值;

⑵求點(diǎn)4到平面AEF的距離.

變式5.（2023春?浙江寧波?高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┰谡襟wABCD-AgGR中，加為棱8的

中點(diǎn)，N為直線CG上的異于點(diǎn)C的動點(diǎn)，則異面直線AB與MN所成的角的最小值為9,則sin0=

()

CWwn2M

A.LJ.----------

"w"■105

變式6.（2023春?江蘇連云港?高二校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知總,平

JT

面ABQ）,且四邊形A3CD為直角梯形，ZABC=ZBAD=-PA=AD=6，AB=3C=1.點(diǎn)。是線

段3P上的動點(diǎn)，當(dāng)直線C。與DP所成的角最小時(shí)，則線段8。的長為

考點(diǎn)六：已知線線角求其他量

例6.（2023秋?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐尸-ABC中，PAL底面4BC,

/B4C=90。，點(diǎn)￡>,E,N分別為棱PC,BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4,

AB=2.

⑴求證：肱V〃平面應(yīng)）E.

⑵已知點(diǎn)H在棱以上，且直線而與直線班所成角的余弦值為求線段四的長.

變式1.（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD,PA=PD,

AD=2CD^2BC=2,CDIBC,BC//AD,E,R分別為AD,PC的中點(diǎn).

⑴證明：PELCD-

⑵若與CD所成的角為60。，求平面3ER和平面ABE夾角的余弦值.

變式2.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習(xí)）如圖,在三棱錐尸-ABC中，PA=PB,

AB=BC=2,ZAPB=ZABC=90°,平面平面ABC,點(diǎn)E是線段上的動點(diǎn).

⑴證明：平面APCL平面P3C；

⑵若點(diǎn)。在線段3C上，BQ=個(gè),且異面直線皿與尸8成30。角，求平面EBC和平面ABC夾角的

余弦值.

變式3.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，如，底面ABCD,底面ABCD

為矩形，9=。。=3,4）=4,"是線段叢的中點(diǎn)，N是線段PC上一點(diǎn)（不與P,C兩點(diǎn)重合），

且麗=2元.若直線肱V與即所成角的余弦值是酒，貝廠=（）

21

變式4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱ABC。-A?。四中，的，底面"CD,且

底面ABCD為菱形，M=3,AB=2,ZABC=120°,尸為2C的中點(diǎn)，M在人吊上，。在平面ABCD

內(nèi)運(yùn)動（不與P重合），且PQ工平面AAGC,異面直線P。與8陽所成角的余弦值為手，貝IJ

tanZAQM的最大值為__________.

考點(diǎn)七：求直線與平面所成的角

0rl例7.（2023春?江蘇宿遷?高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸4,平面ABCD,

/BAD=9。。,PA=AB=BC=^AD=1,BC//AD,已知Q是棱尸。上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，貝|CQ

與平面PAB所成角的正弦值為（）.

A.與B還C2萬

,29

變式1.（2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中）在正四棱柱A3CD-A耳6。中，AB=2,M=4,

E在線段CG上，且CE=；cq.

⑴求證：AC，平面D3E；

（2）求直線B}E與平面DBE所成角的正弦值.

變式2.（2023春?江蘇淮安?高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱

ABCO-AAG，中，AD//BC,ZBAD=90°,AB=6,BC=1,AD=AAl=3.

⑴證明：AC±BtD.

⑵求直線4G與平面AC2所成角的正弦值.

變式3.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）如圖，正三棱錐P—ABC的所有側(cè)面都是直角三

角形，過點(diǎn)P作尸。，平面ABC,垂足為。，過點(diǎn)。作DE2平面PAB,垂足為E,連接PE并延

長交A2于點(diǎn)

⑴證明：尸起AB的中點(diǎn).

⑵求直線上與平面3CE夾角的正弦值.

變式4.(2023春?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí))在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為正方形，AP±

(1)求證：平面ABCD1平面ADP；

⑵若。是。尸中點(diǎn)，求直線3尸與平面8CQ所成角的正弦值.

變式5.(2023?廣東梅州?大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖①，在Rt^ABC中，3為直角,

AB=BC=6,EF//BC,AE=2,沿ER將△的折起，使=得到如圖②的幾何體，點(diǎn)

。在線段AC上.

c

(1)求證：平面AEF1■平面A3C；

(2)若AE〃平面3DR求直線AR與平面所成角的正弦值.

變式6.(2023春?福建龍巖?高二校聯(lián)考期中)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面防CC為

菱形，且AC=A,

（1）證明：AB1BtC.

⑵若AClABj,ZCBB,=1,AS=3C,點(diǎn)M在直線網(wǎng)上，求直線A3與平面M旦G所成角的正

弦值的最大值.

考點(diǎn)八：已知線面角求其他量

在口例8.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考二模）已知正方體ABCD-ABCR,點(diǎn)E為AQ

中點(diǎn)，直線與G交平面CDE于點(diǎn)

⑵若點(diǎn)M為棱A片上一點(diǎn)，且直線與平面CDE所成角的正弦值為吟，求記的值.

變式1.（2023春?上海寶山?高二統(tǒng)考期末）已知E、歹分別是正方體ABCD-4月。肉的棱8C、

。的中點(diǎn)，求：

⑴4。與石尸所成角的大??；

⑵二面角C-Z）4-￡的大?。?/p>

⑶點(diǎn)M在棱8上，若AM與平面4GCB所成角的正弦值為雪，請判斷點(diǎn)加的位置，并說明

理由.

變式2.（2023春?福建寧德?高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形A3CO為梯形，

其中AB//CZ）,ZBCD=60°,AB=23C=2CD=4,ADLPB.

p

⑴證明：平面依平面ABCD；

Q）若PB=PD,且與平面ABC。所成角的正弦值為T，點(diǎn)E在線段”上滿足尸石=2EC,求二

面角C-aD-E的余弦直

變式3.（2023春?廣西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱4BC-ABC中，。為A3的

中點(diǎn)，取=2束（0＜力＜1）,&A=6AB=26

⑵若直線BG與平面A瓦E所成角為三，求彳的值；

變式4.（2023春?湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐A-BCZ）中,

NBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中點(diǎn)為G.

⑴證明：直線AGL平面BCD；

（2）若6￡＞=2,8C=1,當(dāng)直線AB與平面ACD所成的角最大時(shí)，求三棱錐38的體積.

變式5.（2023春?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐PA3CD

中，底面ABCD是邊長為2的菱形，以，平面ABCD,ZABC=60°,E為3c的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊

PC上的一個(gè)點(diǎn).

（1）求證:平面平面FAD；

（2）若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面心。所成角的正切值的最大值為4，求平面必3與平面

PCD夾角的余弦值.

變式6.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，AD〃3c且AD=23C,ADLCD,EG〃AD

且EG=?1D,CD〃/G且CD=2FG.DG_L平面ABCD,ZM=L>C=OG=2.

⑴求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；

（2）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線8尸與平面ADGE所成的角為60。，求線段OP的長.

考點(diǎn)九：求兩平面的夾角（二面角）

|例9.（2023?吉林四平?四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC中，PAL

底面4BC.PC=2AC=2AB=4,。為PC中點(diǎn)，且8D_LAC.

p

⑴求2C的長；

（2）求銳二面角A-BD-C的余弦值.

變式1.（2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，AB=2,正四棱

Q

錐尸-ABCD的體積為“點(diǎn)/為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn).

⑴求證：肱V〃平面PAD；

⑵求二面角P-BM-N的余弦值.

變式2.（2023?北京?北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱ABC-A與G中，及尸分別是棱外,即

上的點(diǎn)，AE=8尸=

⑴證明：平面CEF_L平面ACC/,；

⑵若AC=AE=2,求二面角E-C尸-G的余弦值.

變式3.（2023秋?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐P-A3CD的底面是直角梯形,

NADC=NBCD=90。,AD=2BC=2CD=CPA=?PD=4,二面角尸—AD—5的大小為120。，石是B4

中占

?八、、?

⑴求證：3E〃平面PCD；

⑵求二面角E-3D-A的余弦值.

變式4.（2023春?四川瀘州?高二瀘縣五中?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上,

且滿足AD=DE=0,CE=^,將VADE沿AE向上翻折，使點(diǎn)。到點(diǎn)P的位置，構(gòu)成四棱錐

2

P-ABCE.

⑴若點(diǎn)尸在線段"上，且所〃平面P3C,試確定點(diǎn)戶的位置；

（2）若尸2求銳二面角P-EC-A的大小.

變式5.（2023春?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABCD,

P3與底面所成的角為45。，底面ABC。為直角梯形，ZABC=ZBAD=9O°,AD=2,PA=BC=1.

⑴求直線PC與平面所成角的正弦值；

⑵求平面與平面PCD所成的銳二面角的余弦值.

考點(diǎn)十：已知面面角求其他量

?1例10.（2023春?高二單元測試）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD

為正三角形，AD=2,AB=3,平面皿）JL平面ABC。，E為棱P8上一點(diǎn)（不與R8重合），平面

4汨交棱PC于點(diǎn)F.

⑴求證：ADHEF-

（2）若二面角E-AC-8的余弦值為吧,求點(diǎn)B到平面AEC的距離.

變式1.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）如圖，在直四棱柱ABC。-A耳62中,

AB//CD,AB±AD,AAl=AB=2AD=2CD=4,E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段CE上，且兩=入屋.

⑴證明：B^ICE.

⑵若二面角4-8片-"的余弦值為平，求2的值.

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD-4BCQ中，AB=2,A4,=4.點(diǎn)

4，不（2，。2分另1」在棱9，84，。6,。2上，M=1，BB?=DD?=2,CG=3.

⑴證明：B2C2//AA；

⑵點(diǎn)尸在棱3耳上，當(dāng)二面角尸-4C2-2為150。時(shí)，求星尸.

變式3.（2023春?湖南郴州?高二?？计谀┱庵?8C-A瓦G中，BC=CG=2,D為BC的中

⑴證明：平面4人。；

⑵若二面角\-DE-G大小為30。，求以A，E，QG為頂點(diǎn)的四面體體積.

變式4.（2023?全國?高二假期作業(yè)）如圖1,在平行四邊形A3CD中，ZA=60°,AD=2,AB=4,

將△ABD沿3。折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,如圖2.

⑴證明：平面友力，平面必￡）；

⑵當(dāng)二面角O-B4-5的平面角的正切值為新時(shí)，求直線3。與平面P3C夾角的正弦值.

考點(diǎn)十一：立體幾何中的探索性問題

在口例11.（2023秋?福建福州?高二校聯(lián)考期末）已知直三棱柱ABCVUB/。中，側(cè)面A4

為正方形，AB=BC=2,^.ABIBC,E,R分別為AC和C。的中點(diǎn)，。為棱A耳上的點(diǎn).

⑴證明：BF±DE；

⑵在棱451上是否存在一點(diǎn)使得異面直線MR與AC所成的角為30。？若存在，指出M

的位置；若不存在，說明理由.

變式1.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）在三棱柱ABC-A4G中，平面A型抽，平面ABC,側(cè)面

JT

A耳BA為菱形，NABB、,ABt1AC,AB=AC=2,E是AC的中點(diǎn).

40

Bi

5"

⑴求證：AB_L平面AB。

qrkP

⑵確定在線段4E上是否存在一點(diǎn)P,使得AP與平面A由E所成角為：，若存在，求出村的

值;若不存，說明理由.

變式2.（2023春?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）如圖，圓臺的下底面圓a的直徑為AB,圓臺的上

底面圓Q的直徑為尸Q,C是弧AB上一點(diǎn)，^PA=AC=PC=BC=2.,PB=2y/2.

⑵若點(diǎn)M是線段O,Q上一動點(diǎn)，求直線AP與平面BCM所成角的取值范圍.

變式3.（2023春?江蘇常州?高二統(tǒng)考期中）如圖，直角梯形A3CD與等腰直角三角形A3P所

在的平面互相垂直，且AB〃CD,ABJ.BC,AP±PB,AB=2,BC=CD=1.

⑵求直線PC與平面A3P所成角的余弦值；

⑶線段以上是否存在點(diǎn)E,使得PC〃平面E3D?若存在，求出嘿的值；若不存在，請說明

理由.

變式4.（2023春?貴州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1,已知是直角梯形，EF//AB,

ZABF=90°,ZBAE=60°,C、。分別為3R、AE的中點(diǎn)，AB=5,EF=1,將直角梯形ABRE沿

CD翻折，使得二面角尸-DC-3的大小為60。，如圖2所示，設(shè)N為的中點(diǎn).

⑵若“為AE上一點(diǎn)，且籌則當(dāng)彳為何值時(shí),直線與平面ADE所成角的正弦值為等.

變式5.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在底面A3CD為梯形的多面體中.AB〃CD,

AB=2CD=2^2,NCBD=45。,BC=AE=DE,且四邊形3DEN為矩形.

⑴求證：BDLAE；

⑵線段EN上是否存在點(diǎn)。，使得直線BE與平面@4。所成的角為60。？若不存在，請說明理

由.若存在，確定點(diǎn)Q的位置并加以證明.

變式6.（2023.山東荷澤?山東省鄴城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥比庵鵄BC-A與G中,

其中為期的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是CG上靠近G的四等分點(diǎn)，個(gè)與底面ABC所

成角的余弦值為冬

⑴求證：平面AFCL平面4所；

⑵在線段A/上是否存在一點(diǎn)N,使得平面A/C與平面NBC所成的銳二面角的余弦值為半,

若存在，確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請說明理由.

變式7.（2023秋?福建三明?高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱ABC-A片G中，VAB。為等邊三

角形，四邊形抽48為菱形，AC1BC,AC=4,BC=3.

B

⑴求證：平面AC4；

⑵線段CG上是否存在一點(diǎn)處使得平面42聲與平面ABC的夾角的正弦值為巫？若存在，求

4

出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由.

［域真題演練f

----------------------lllllllllllllllllllllllilllllllllllllllll------------------------

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐尸-MC中，尸4,平面ABC,

⑴求證：BC_Z平面

⑵求二面角A-PC-3的大小.

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐A-3CD中，DA=DB=DC,BDVCD,

ZADB=ZADC=60°,E為BC的中點(diǎn)、.

⑴證明：BCrDA；

⑵點(diǎn)R滿足面=正，求二面角D-AB-b的正弦值.

3.（2022.天津.統(tǒng)考高考真題）直三棱柱ABC-A與G中，AAi=AB=AC=2,AAi±AB,AC±AB,

。為4月的中點(diǎn)，E為AA的中點(diǎn)，R為8的中點(diǎn).

s

⑴求證：班7/平面ABC；

⑵求直線班與平面cep所成角的正弦值;

⑶求平面ACZ）與平面CCQ夾角的余弦值.

4.（2022.浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知ABCO和CDE歹都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角的平面角為60。.設(shè)M,N分別

為AE,8c的中點(diǎn).

⑴證明：FN±AD；

⑵求直線BM與平面所成角的正弦值.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB

的中點(diǎn).

⑴證明：OE〃平面PAC；

（2）若ZABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AE-3的正弦值.

6.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）在四棱錐尸-ABCD中，PD_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=布.

P

⑴證明：BJD±R4；

⑵求PD與平面上鉆所成的角的正弦值.

7.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體A5CD中，ADYCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為

AC的中點(diǎn).

⑴證明：平面3EDJL平面ACD；

⑵設(shè)加=3。=2,4。=60。，點(diǎn)R在上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求b與平面的所成的

角的正弦值.

i]1過關(guān)檢￡）

-------------------lllllllllilllllllllllllllllllllllllllllll------------------------

一、單選題

1.（2022春.四川綿陽.高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知正方體

ABCD-^Cfi,,E,歹分別是正方形AMGR和的中心，則所和8所成的角是（）

A.60°B.45°C.30°D.135°

2.（2022秋.河南洛陽.高二洛寧縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-AB?

中，ZBAC=~,AB=AC=AAl=l,已知G與E分別為A耳和cq的中點(diǎn)，。與尸分別為線AC和

A3上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若GDLEF、則線段O尸長度的取值范圍為（）

A.[%1)B.[?$C.[字⑸D.[應(yīng)⑸

3.（2022秋?重慶渝北?高二重慶市兩江育才中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在正方體ABCD-AgGR中,

棱長為2,0是底面正方形"CD的中心，點(diǎn)/在上，N是A4上靠近A的三等分點(diǎn)，當(dāng)直

線ON與AM垂直的時(shí)候，DM的長為（）

4.（2022秋.安徽六安.高二?？茧A段練習(xí)）在正方體ABCD-44GA中，。是8。中點(diǎn)，點(diǎn)P在

線段可2上，直線。尸與平面A3。所成的角為a,則sina的取值范圍是（

正叵6

T'T

5.（2022秋.山東濟(jì)南.高二校考期中）已知向量流萬分別是直線/與平面a的方向向量、法向

量，若cos〈西為〉=#，則/與a所成的角為（）

B.60°C.150°D.120°

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在三棱錐尸-MC中，PA,AB,AC兩兩垂直，。為棱PC上

一動點(diǎn)，PA=AC=2,AB=3.當(dāng)與平面PAC所成角最大時(shí)，AD與平面P3C所成角的正弦值

為（）

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知四面體A5CD中，AB,BC,兩兩垂直，BC=BD=42,

AB與平面AC。所成角的正切值為則點(diǎn)B到平面ACD的距離為（）

A.BB.正C.—D.—

2355

8.（2022秋.河北保定.高二定興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面a的一個(gè)法向量為菊=（-2,1,7）,

向量麗=（O,T2）,AC=（1-1,0）,則平面a與平面ABC夾角的正切值為（）

A.y/2B.2C.75D.76

9.（2022秋.廣西欽州.高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）已知向量e=（-2,0,-2）,%=（2,2,0）分別為平

面a和平面夕的法向量，則平面。與平面尸的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

二、多選題

10.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？计谀┰诶忾L為1的正方體ABCD-ABCA中，E

為線段的中點(diǎn)，歹為線段B片的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

A?點(diǎn)4到直線耳E的距離是在B.直線尸G到直線AE的距離是我

35

C.點(diǎn)A到平面AgE的距離是|D.直線FG到平面A4E的距離是:

11.（2022秋?福建廈門?高二統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為正方形，EAIIBF,叢，平面ABC。,

AB=AE=2BF=2,點(diǎn)M在棱EC上，且屈=入比，則（）

B.當(dāng)彳=；時(shí)，MF_L平面以C

C.當(dāng)幾=；時(shí)，點(diǎn)/到平面3c歹的距離為1

1____JT

D.當(dāng)2=］時(shí)，平面與平面A8CD的夾角為I

12.（2022秋?河北保定?高二定興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL平

面A3CD,底面A3CD是正方形，且B4=AB=2,E,F分別為PD,依的中點(diǎn)，則（）

P

A.EF工平面以C

B.AB〃平面ERC

C.點(diǎn)R到直線CD的距離為"

D.點(diǎn)A到平面ERC的距離為坪

13.（2022.全國.高三專題練習(xí)）在棱長