第02講正弦定理和余弦定理12種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

------------------

學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V-------

通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的

三角形度量問(wèn)題.

［豳基礎(chǔ)知識(shí)

---------------------IIIII1IIIIIIIIIIII1I1II1IIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓的半徑，則

正弦定理余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其

文字在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角

他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾

語(yǔ)言的正弦的比相等.

角的余弦的積的兩倍.

a2=b2-\-c2—2bccosA,

abC

公式b2=a2-\-c2-2cacosB,

sinA=sinB=sinC-

c2=a2+b2-2〃6cosc.

⑴〃=2HsinA,b=2RsinB,c=2HsinC.

abc從十一―一

(2)sinA=2H，sinB=2R,sinC=2R(1)cosA=2bc，

⑶三角形的邊長(zhǎng)之比等于對(duì)應(yīng)角的正02+42—62

cos5=2ca，

弦比,即a：/：c=sinA:sinB:sinC.

常見(jiàn)房+左一-2

(4)asinB=Z?sinA,bsinC=csinB,asinC

變形cosC=2ab.

=csinA.

(2)b2+c2-a2=2bccosA,

大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

(5)/+Q2—b2=2accos8,

a>60A>3osinA〉sin3。cosA<cosB

a2+b2-c2=2abcosC

ocos2A<cos2B

(6)合分比:

a+b+c

sinA+sinB+sinC

a+bb+ca+c

sinA+sinBsinB+sinCsinA+sinC

=—=上=，=2R

sinAsinBsinC

2.三角形內(nèi)角和及三角形常見(jiàn)重要關(guān)系

5+C匹A

(1)AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=TV,進(jìn)而有2=2—2等式子

(2)三角函數(shù)關(guān)系：①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<^c=amsB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA4-acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

n

③斜三角形中，-tanC=tan(A+3)=’皿"+t@'。tan人+tanB+tanC=tanA?tan3?tanC

1-tanA-tanB

.,A+BCA+B.C

出sin(---)=cos—；cosz(---)=sin—

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=Z?cosA

+acosB.

(4)角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)

BDAB

成比例.即若AD為NA的角平分線，則有比例關(guān)系：~CD=AC.

3.三角形常用面積公式

1

(1)S=2。,瓦(瓦表示邊a上的高).

111

(2)5=2〃bsinC=2〃csin5=26csinA.

(3)5AABC=^=|(?+&+C)T。是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算凡兀)

4K2

(_____________________________1

(4)S=NP(p—a)(p—b)(/?—c),即海倫公式，其中p=2(a+匕+c)為△ABC的半周

長(zhǎng).

(5)S^ABC=5IX]%—I,其中—(%,％),AC=(%2,%)

4.解三角形中的常用術(shù)語(yǔ)

(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線

下方的角叫俯角(如圖①).

/

./

水

鉛

西_

自

標(biāo)

平

一

垂>

東

線

線Z

圖④

(2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如3點(diǎn)的方位角為a(如圖②).

(3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)

方向(如圖③).北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類(lèi)似.

(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角。為坡角).坡度指

坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，，為坡度，，=tan。).坡度又稱(chēng)為坡比.

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：每一項(xiàng)中都有邊(a,b,c)或sin角(sinA,sin&sinC)且次數(shù)一致，即可實(shí)現(xiàn)邊和

對(duì)應(yīng)sin角的互化

結(jié)構(gòu)示例：

(1)整式齊次式：

①邊的齊次式

-a-\-b=co—smA+smB=smC

22

ab=c2osinAsinB=sin2C

②sin角的齊次式

sin2A+sin2B—sin2C=—sinAsin5oa2+b2—c2=—ab

(2)分式齊次式：

sinB_b

sinA+sinCa+c

2、拆角合角技巧

1、化簡(jiǎn)后的式子同時(shí)含有A,3,C三個(gè)角時(shí)，解題思路是減少角的個(gè)數(shù)，方法主要有以下

兩種

①合角

出口:sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC

cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC

②拆角——拆單角(“單身狗角”)

出口:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

注：(1)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin6=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosfisinC

cosC=-cos(A+B),cosB=-cos(A+C),cosA=-cos(B+C)

(3)AABC中sinA=sinJB①A=_B(2)A+B=TI(舍去)

sin2A=sin25①2A=25=4=5?2A+2B=7r<^A+B=-

2

,77JT

sinA=cosB,則A+_B=—或A—_B=—

22

(4)射影定理

a=bcosC+ccosB,b-acosC+ccosA;c=acosB+bcosA

3、三角形最值問(wèn)題

三角形中角度是最基礎(chǔ)的要素之一，圍繞角度展開(kāi)的范圍問(wèn)題主要有兩大考查內(nèi)容:一方面

對(duì)角度大小范圍做出考查;另一方面對(duì)角度的正余弦值范圍進(jìn)行提問(wèn).解題難度系數(shù)并不大，但

準(zhǔn)確高效地解題還取決于對(duì)三角形內(nèi)角和特點(diǎn)是否考慮周到.

(一)角度范圍問(wèn)題

求解三角形的角度范圍問(wèn)題，常見(jiàn)解題思路為：(1)對(duì)所給條件做出分析，根據(jù)條件特點(diǎn)選擇

合適定理表達(dá)所求角度,若已知邊長(zhǎng)值較多則考慮余弦定理，已知角度大小則考慮正弦定理;(2)

根據(jù)角度的具體表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，討論有關(guān)變量的具體定義域;(3)選擇三角函數(shù)求值域或基本

函數(shù)求值域方式，在所求定義域內(nèi)求得對(duì)應(yīng)值域,即可得到問(wèn)題所求的角度相關(guān)范圍大小.

(二)邊長(zhǎng)范圍問(wèn)題

邊長(zhǎng)是組成三角形的另一重要元素，因此與三角形邊長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題也十分常見(jiàn).由于這

一類(lèi)范圍問(wèn)題求解并不復(fù)雜，故以選擇形式或填空形式出現(xiàn)較為多見(jiàn).求解這類(lèi)與邊長(zhǎng)有關(guān)的范

圍問(wèn)題，正余弦定理的靈活運(yùn)用成為解題的關(guān)鍵步驟,常見(jiàn)的解答思路一般表現(xiàn)為:(1)根據(jù)已知

條件的特點(diǎn)，選擇合適的定理并代人具體值,得到與問(wèn)題所求的對(duì)應(yīng)關(guān)系等式;(2)根據(jù)關(guān)系等式

以及三角形三邊之和、內(nèi)角和關(guān)系特點(diǎn)，得到具體關(guān)系等式或不等式;(3)通過(guò)運(yùn)算,求出問(wèn)題所求

邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)具體取值范圍.

(三)面積范圍問(wèn)題

針對(duì)三角形面積進(jìn)行提問(wèn)的取值范圍問(wèn)題，屬于中等難度的一類(lèi)解三角形問(wèn)題，可在選擇填空或

解答題中遇見(jiàn)其“身影”.解答這類(lèi)問(wèn)題,主要思路在于借助公式將面積問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值

域或基本不等式求最值，進(jìn)而對(duì)問(wèn)題作出具體完整的解答，這些解題思路在解題過(guò)程中具體可表

現(xiàn)為：(1)對(duì)所求三角形大致形狀做出分析，明確選擇面積求解公式;(2)運(yùn)用正余弦定理，取得三角

形邊長(zhǎng)、角度具體值，將其代人面積公式中得到具體表達(dá)式;(3)根據(jù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用函數(shù)求

值域思路或基本不等式求臨界值思路,得到具體的范圍大小，即對(duì)應(yīng)問(wèn)題所求的面積范圍值.

考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：利用正弦、余弦定理解三角形

1.在AABC中，若ZA=45。，NB=30。，BC=3及,則AC=(

A.3B.2A/3C.6D.正

變式1：AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=l,A=^,B=貝ljc=()

o12

A.1B.V2C.V3D.372

變式2：在銳角“BC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是a、b、c,若C=45。，b=4石，sin8=竽,

則°=

［、］例2.在AASC中，BC=2,AC=^3,ZB=60°,則ZA=.

12

變式1：在△ABC中，2A,NB,2C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中a=4,c=6,cosA=—,

則sinC=()

變式2：在中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為處b,c,若〃=4"4百厚=30。，貝Ij5=()

A.30°B.30?；?50。C.60°D.60。或120。

、［例3.若“IBC中，a=5,b=4,sinC=|,貝ljc=.

內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是“，b,c,若cosA=g,a=2@,c=3,

變式1:在AABC中,

貝1」6=

3

變式2：在AABC中,已知sinA=（，cosA+cosB<0,a=345,b=5,則c

JT

變式3：在AABC中,若Qc=8,〃+c=7,3=m，貝（Jb=（）

A.25B.5C.4D.75

4.在AABC中，a=1,b=4&=岳,則AABC的最小角為（）

A兀

A-1B-7c-iD-H

變式1:在AABC中，a:6:c=3:2:4,則cosC的值為（）

A2BC

A，3---0D.；

變式2：已知AASC中，a:b:c=l:布：2,則ZA:/3:NC等于（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:2

5.在AABC中，已知8=120。,6=g,a+c=4,則。

變式1:AABC的三個(gè)內(nèi)角A5,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為。也c,已知c=3,C=j,a=2b,則6的值

為

變式2：在AASC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若"屈呢=12,A=。，則6+c=（）

A.6B.7C.8D.9

考點(diǎn)二：判斷三角形解的個(gè)數(shù)

6.在&旬C中，內(nèi)角A氏C所對(duì)的邊分別為。也。，則下列條件能確定三角形有兩解的

是

_..7C

A.〃=5,bT=4,A=一

6

B.a=4,b=5,A=—

4

_,..57r

C.Q=5,/?=4,A=——

6

.,—.TC

D.4=46=5A=—

3

變式1:【多選】在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C,根據(jù)下列條件判斷三

角形的情況，則正確的是（）

A.6=19,A=45。，C=30。，有兩解

B.,6=26，A=45。，有兩解

C.a=3,6=2亞，A=45。，只有一解

D.a=7,6=7,A=75。，只有一解

變式2：中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知下列條件：①b=3,c=4,3=30。；

②a=5,b—4,A—30°；③c=2,b=也,B=60°；④c=12,6=12,C=120。.其中滿足上述條

件的三角形有唯一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

△I例7.在44BC中，已知a=3,A=j,b=X,滿足此條件的三角形只有一個(gè)，則x滿足（）

A.x=2&B.xe（O,3）

C.xe{2百}。（0,3）D.xe（2>/3}u（O,3]

變式1:AABC中，角A8,C的對(duì)邊分別是a，6，c,A=60。，a=6.若這個(gè)三角形有兩解，則匕的

取值范圍是（）

A.^3<b<2B.V3<Z?<2

C.1<<2-73D.\<b<2

變式2：在AABC中，A=a[o<e<j，b=m.分別根據(jù)下列條件，求邊長(zhǎng)a的取值范圍.

⑴44BC有一解；

⑵AASC有兩解；

（3）AABC無(wú)解.

考點(diǎn)三：正弦定理的應(yīng)用

8.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且V^acosBSsinA,

則人（）

AUUDf

變式1:已知〃，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角AB,。的對(duì)邊，且75asinC-ccosA=0,貝!JA為（）

A兀717171

A.—B.-C.-D.-

2346

JT

變式2：記AASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知角C=w，

7.兀J-asi唱+Bj=c,則角B=()

psinU—+

A，86C，83

9.AASC的內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為4&c,且。=l/=cosC-csinA,則AASC的外接圓

半徑為

變式1：已知朗5c的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、。、c,且2"cosC=2a+c.若方=4,則AABC

的外接圓半徑為

變式2：在44BC中，角A,5,C所對(duì)的邊分別為。，b,A/5(C—6cosA)=a,6=3后貝!IAABC

的外接圓面積為（）

A.4兀B.6萬(wàn)C.D.9萬(wàn)

考點(diǎn)四：余弦定理的應(yīng)用

例10.在44BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且/=/_。2,則角臺(tái)的大

小是（）

A.45°B.60°C.120°D.150°

變式1：【多選】在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若（〃+c?—從川建二代叫

則3的值為（）

AA-￡6B—3C，-6UD,—3

變式2：在AASC中，（a+6+c）（a+6-c）=3a"則邊c所對(duì)的角等于（）

A.45°B.60°C.30°D.150°

d］例11.在"RC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b2-c2=2a2,cosB=-1,則:=

（）

A.1B.2C.3D.4

變式1:在AABC中，已知三條邊是連續(xù)自然數(shù)，且最大角為鈍角，求三角形三條邊的長(zhǎng).

〕例12.若銳角三角形三邊長(zhǎng)分別為2,3,x,貝也的范圍是（）.

A.y/5<x<s/viB.l<x<5

C.1<X<45D.y/13<x<5

變式1:在鈍角AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,若。=1,b=2,則最大邊c的

取值范圍是（）

A.(V5,+oo)B.(2,5/5)

C.（A/5,A/8）D.（后3）

考點(diǎn)五：判斷三角形的形狀

［、］例13.已知443C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是。，b,c,若（a+Z?+c）S+c-o）=3A,

且sinA=2sinBcosC,那么AABC是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

變式1:在“BC中內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為若!=包當(dāng)當(dāng)，則AABC的形狀為（）

bsinBcosA

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

變式2：在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若考=2=0,則該三角形一定

cos3a

是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

變式3:【多選】已知。，b,。分別是44BC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確

的是（）

A.若tanA+tan3+tanC>0,則AABC是銳角三角形

B.若acos4=8cos3,則AABC是等腰三角形

C.若6cosC+ccosB=b,則AABC是等腰三角形

考點(diǎn)六：正余弦定理的綜合應(yīng)用

N例14.在AABC中，2sin2A+cosA=2sin2B+2sin2C—cos(B—C),則A=()

A兀2兀5兀

A.-B-7c-—L).—

636

變式1：在AABC中，已知（a+Z?+c）（a+/?—c）=3",且/=反，貝［J――=___________.

asmA

在中，角的對(duì)邊分別為,且電業(yè)粵角等于（）

變式2：A/4BCA,B,Ca,%,c0=”.A

smCb-a

A兀2兀5兀

A-7B-7c-——D.——

36

變式3：已知“BC的三個(gè)內(nèi)角A、BC的對(duì)邊分別是a、0、c,且滿足a2sinBsinC=6（"+"-c2）

sinA2

⑴求角c的值;

⑵若a=2,b=5,<AD=1AB,求8的長(zhǎng)度.

考點(diǎn)七：與角度、邊長(zhǎng)有關(guān)的最值問(wèn)題

15.記AASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知

2蚓!15=（20+4w11。+（24+<?內(nèi)1114.則$11必+5111（7的最大值為（）

AiB.1C.1D.2

3z

變式1：在銳角AA3c中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為Q,b,c.已知bcosA-acos3=〃，則

A/^sinB+Zsin2A的取值范圍是（)

A.(0,^+1)B.(2,6+1)C.(1,3]D.(2,3]

變式2：在AABC中，角4氏C所對(duì)的邊分別為。也c,面積為S,且6s=入：皿1+人in5.當(dāng)*取

C

得最大值時(shí)，cosC的值為（）

-iB.jC.|D.|

16.銳角三角形ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果B=2A,則

2的取值范圍是（）

a

A.(—2,2)B.(0,2)C.(0,73)D.(0,2)

變式1:在,中,個(gè)斥=2'則■-4B的最小值（）

A.-4B.-V3C.2D.2上

變式2：銳角AABC中，已知。=石,A=（,則/+。2+3反取值范圍是（）

A.(5,15]B.(7,15]C.(7,11]D.(11,15]

考點(diǎn)八：三角形的面積的計(jì)算及應(yīng)用

17.在AASC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若A=60。，6=1,———二空

sinB+sinC3

則A/IBC的面積為（）

D?:

B.c

A?乎-I

變式1：在AABC中，角AB.C的對(duì)邊分別為a，b，c,且滿足（c+2b）cosA+acosC=0.

⑴求角A的值;

⑵若。=14,°=6,求^/15。的面積.

變式2：記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知acos3=b（l+cosA）.

⑴證明：A=2B；

(2)若c=2b,a=下,求AABC的面積.

18.在AASC中，A=60°,b=l,其面積為6，則。等于（）

A.4B.V23C.V13D.721

變式1:已知b,。分別為ZkABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，c=J3asinC-ccosA.

⑴求A;

⑵若4=2,AABC的面積為求6,c

變式2：已知AABC的內(nèi)角ABC所對(duì)的邊分別為。，瓦c,且滿足分TanA=百.

力cosA

⑴求角3的大小;

（2）若sinAsinC=\,設(shè)疑。的面積為S,滿足S=3石，求6的值.

19.在AA3c中，若sinAsinB=cosAcosB,AB=2,則AABC面積的最大值為

變式1:AABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,。，c,滿足(sinB-sinC)2=sin2A_sinBsinC.若44BC

為銳角三角形，且。=3,則AABC面積最大為（）

A.|B.|C.乎D.竽

變式2：在AA3c中，內(nèi)角A,B,C對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,C,且匕=acoscg

⑴求角A；

⑵若a=白，求&4BC面積的最大值.

變式3:已知AASC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為44。，且cos%-cos2C=sinA-(sinA-sinB).

⑴求角C的大小;

（2）若CDLAB于。,CO=VL求AA3C的面積的最小值.

考點(diǎn)九：三角形周長(zhǎng)的計(jì)算及應(yīng)用

例20.在AASC中，若a=2,6=4,cosC=；,則AABC的周長(zhǎng)等于（）

A.8B.16C.10D.20

Q3

變式1：在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若COSA=F，COSB=-,且&鉆C外

接圓的周長(zhǎng)為10兀，則的周長(zhǎng)為（）

A.20B.—C.27D.—

1717

變式2：在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,cosB=；,且AASC的周長(zhǎng)和面

積分別是10和,貝!）6=.

例21.已知在銳角AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且A=60。，BC=4,

則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為（）

A.（473+4,12]B.（8,12]C.146+4,12）D.（10,12]

變式1:三角形ABC的三邊〃也c所對(duì)的角為A氏C,1-（sinA-sinB）2=sinAsinB+cos2C,則下列

說(shuō)法不正確的是（）

A.C=jB.若AABC面積為46，則AABC周長(zhǎng)的最小值為12

C.當(dāng)6=5,c=7時(shí)，a=9D.若＞=4,8=:,則AASC面積為6+26

Ast-C

變式2：在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,已知加in（B+C）=asin^^,

且△ABC的面積為則△ABC周長(zhǎng)的最小值為（）

A.20B.6C.6A/2D.6+2A/3

考點(diǎn)十：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

例22.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最

后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,3兩點(diǎn)間的距

離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CD=35m,NAD3=135。，NBDC=NDCA=15。,ZACB=120°,

則A、3兩點(diǎn)的距離為m.

:變式1：喜來(lái)登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測(cè)量其高度，在遠(yuǎn)處選取了與

該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與￡>,現(xiàn)測(cè)得4cD=45。，ZBDC=105°,

CD=100米，在點(diǎn)C處測(cè)得酒店頂端A的仰角ZACB=28。，則酒店的高度約是（）

（參考數(shù)據(jù)：向L4,76?2.4,tan28°?0.53）

A.91米B.101米C.Ill米D.121米

變式2：【多選】某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。，距離為12#nmile;在A處看燈塔C

在貨輪的北偏西30。，距離為8后〃加.貨輪由A處向正北航行到。處時(shí)，再看燈塔B在南偏東

60。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmileB.燈塔C與。處之間的距離是86nmile

C.燈塔C在。處的西偏南60。D.。在燈塔B的北偏西30。

變式3：寶塔山是延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，也是中國(guó)革命的搖籃，見(jiàn)證了中國(guó)革命的

進(jìn)程，在中國(guó)老百姓的心中具有重要地位.如圖，在寶塔山的山坡A處測(cè)得NC4T>=15。，從A

處沿山坡直線往上前進(jìn)85nl到達(dá)3處，在山坡B處測(cè)得NCBD=30。，ZBCD=45°,則寶塔CD的

高約為m.（0=1.41,布。2.45,結(jié)果取整數(shù)）

考點(diǎn)十一：正、余弦定理解決幾何問(wèn)題

23.如圖所示，在AABC中，3=2A,點(diǎn)。在線段A3上,且滿足2AD=33E>,ZACD=ZBCD,

則cosA等于（）

A

、.JT

變式1:在dBC中，NC=H，AC=2,M為AB邊上的中點(diǎn)，且CM的長(zhǎng)度為/，則45=（）

A.26B.4C.2奪D.6

變式2：如圖，在平面四邊形ABC。中，ABLAD,NABC=；,ZADC=^,AB^l,CD=4,則

4o

tanACAD=()

變式3：在四邊形ABCZ)中，BD=y/3BC=sfiCD=3^BAD=~,則AC?的最大值為（）

o

A.25B.21+12括C.16+9有D.9指

考點(diǎn)十二：解三角形與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題

已知函數(shù)/(x)=2sin尤-COSX+A/3COS2X.

(I)求函數(shù),⑴的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;

(II)在銳角44BC中，設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊分別是。、b、c,若/(A)=0且。=3,求6+c的

取值范圍.

變式1:已知/(x)=^cos2x+2sin(K(…)，xeR,

(1)求AM的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知銳角A/RC的內(nèi)角AB，。的對(duì)邊分別為。也。，且"A)=-若，。=4,求BC邊上的高的

最大值.

||臧真題演練

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII11IIIIII1IIIIIIIIII------------------------

1.在融。中，已知3=120。，AC=719,AB=2,則BC=()

A.1B.V2C.A/5D.3

2.記的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,6,c,面積為/，8=60。，a2+c2=3ac,則6=.

222

3.在“ISC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,a+b^c+absinC,<asinBcosC+

csinBcosA=-^b,則tanA等于()

2

A.3B.C.3或-5D.-3或(

4.在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=",6=2c,cosA=-!.

⑴求c的值；

(2)求sinB的值；

⑶求sin(2A-8)的值.

5.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=6,cosC=1.

⑴求sinA的值；

⑵若匕=11,求AABC的面積.

6.在AABC中，sin2c=gsinC.

⑴求NC；

⑵若b=6,且AABC的面積為6。，求AABC的周長(zhǎng).

7.記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A).

⑴若4=23,求C；

(2)證明：2/=/+°2

8.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知°=3,C="B=45。.

(1)求sinC的值；

(2)在邊上取一點(diǎn)。，使得cosZADC=_(,求tanZtt4c的值.

9.記AA6C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知產(chǎn)==產(chǎn)2：

1+sinAl+cos2B

⑴若c=E，求&

a2+b2

(2)求丁的最小值.

l］晝過(guò)關(guān)檢測(cè)1)

----------------------lllllllllllllllllllillllllllilllillllllll------------------------

1.在AABC中，若sinC=3sinA,b11=2ac,貝！JcosB=()

A.3bB.4—CC.3-DD.4—

2.在AABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:7,則此三角形中的最大角的大小為()

A.150°B.135°C.120°D.90°

3.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知斫&,b=拒,B=^,則角A為

()

A-TB-ic-7D.：或9

4.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,^b2^c2+a2-ca,且sinA=2sinC,貝ljAABC

的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形