§4&§5平面截圓錐面圓錐曲線的幾何性質(zhì)[對應(yīng)學(xué)生用書P39]eq\a\vs4\al([自主學(xué)習(xí)])1．平面截圓錐面(1)當(dāng)截面β與圓錐面的軸l垂直時，所得交線是一個圓．(2)任取一平面β，它與圓錐面的軸l所成的夾角為θ(β與l平行時，記θ＝0°)，當(dāng)θ>σ(σ為圓錐母線與軸交角)時，平面截圓錐面所得交線為橢圓；當(dāng)θ＝σ時，交線為拋物線；當(dāng)θ<σ時，交線為雙曲線．2．圓錐曲線的幾何性質(zhì)拋物線、橢圓、雙曲線都是平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e(離心率)的動點的軌跡，此時定點稱為焦點，定直線稱為準線．當(dāng)e＝1時，軌跡為拋物線；當(dāng)0<e<1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線．eq\a\vs4\al([合作探究])1．當(dāng)平面β與圓錐面的軸l所成的夾角為θ＝eq\f(π,2)時，其交線應(yīng)為什么？提示：圓2．由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，橢圓、雙曲線的準線有幾條？定義e時，定點與定直線有怎樣的關(guān)系？提示：因為橢圓、雙曲線各有兩個焦點，故其準線有兩條．定義e時，定點與定直線是對應(yīng)的．即右焦點應(yīng)對應(yīng)右準線、左焦點對應(yīng)左準線．[對應(yīng)學(xué)生用書P40]圓錐曲線的探討[例1]在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點，夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點，l′為母線的圓錐面，任取平面γ，若它與軸l的交角為β(當(dāng)γ與l平行時，記β＝0)，求證：β＝α?xí)r，平面γ與圓錐的交線是拋物線．[思路點撥]本題主要考查平面截圓錐面的曲線的討論問題．解題時，注意利用條件，結(jié)合圖形利用拋物線的定義求解．[精解詳析]如圖，設(shè)平面γ與圓錐內(nèi)切球相切于點F，球與圓錐的交線為S，過該交線的平面為γ′，γ與γ′相交于直線m.在平面γ與圓錐的截線上任取一點P，連接PF.過點P作PA⊥m，交m于點A，過點P作γ′的垂線，垂足為B，連接AB，則AB⊥m，∴∠PAB是γ與γ′所成二面角的平面角．連接點P與圓錐的頂點，與S相交于點Q，連接BQ，則∠BPQ＝α，∠APB＝β.在Rt△APB中，PB＝PAcosβ.在Rt△PBQ中，PB＝PQcosα.∴eq\f(PQ,PA)＝eq\f(cosβ,cosα).又∵PQ＝PF，α＝β，∴eq\f(PF,PA)＝1，即PF＝PA，動點P到定點F的距離等于它到定直線m的距離，故當(dāng)α＝β時，平面與圓錐的交線為拋物線．已知平面與圓錐面的軸的夾角為β，曲線與軸的夾角為α，當(dāng)α＝β時，平面與圓錐的交線為拋物線．β<α?xí)r為雙曲線，β>α?xí)r為橢圓．討論曲線類型時注意結(jié)合圖形．1．一圓錐面的母線和軸線成30°角，當(dāng)用一與軸線成60°的不過頂點的平面去截圓錐面時，所截得的截線是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．兩條相交直線解析：選A如圖可知應(yīng)為橢圓．圓錐曲線的幾何性質(zhì)[例2]如圖，已知圓錐母線與軸的夾角為α，平面γ與軸線夾角為β，焦球的半徑分別為R，r，且α<β，R>r，求平面γ與圓錐面交線的焦距F1F2，軸長G1G2.[思路點撥]本題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)．由β>α知截線為橢圓．通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化到相應(yīng)平面中求解．[精解詳析]如圖，在Rt△O1F1O中，OF1＝eq\f(O1F1,tan∠O1OF1)＝eq\f(r,tanβ).在Rt△O2F2O中，OF2＝eq\f(O2F2,tan∠O2OF2)＝eq\f(R,tanβ).∴F1F2＝OF1＋OF2＝eq\f(R＋r,tanβ).同理，O1O2＝eq\f(R＋r,sinβ).在Rt△O1O2H中，O1H＝O1O2·cosα＝eq\f(R＋r,sinβ)·cosα.又O1H＝A1A2，由切線定理，容易驗證G1G2＝A1A2，∴G1G2＝eq\f(R＋r,sinβ)·cosα.已知圓錐曲線的結(jié)構(gòu)特點，解決有關(guān)計算問題，通常利用圓錐曲線結(jié)構(gòu)特點中的數(shù)量等式關(guān)系，列出方程來解決．2．已知圓錐母線與軸夾角為60°，平面γ與軸夾角為45°，則平面γ與圓錐交線的離心率是，該曲線的形狀是．解析：e＝eq\f(cos45°,cos60°)＝eq\r(2).∵e>1，∴曲線為雙曲線．答案：eq\r(2)雙曲線圓錐曲線的統(tǒng)一定義[例3]已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且BF＝2FD，則C的離心率為．所以|DD1|＝eq\f(3,2)|OF|＝eq\f(3,2)c，即xD＝eq\f(3c,2)，由橢圓的第二定義得|FD|＝e(eq\f(a2,c)－eq\f(3c,2))＝a－eq\f(3c2,2a).又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－eq\f(3c2,a)?e＝eq\f(\r(3),3).法二：設(shè)橢圓方程為第一標準形式eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，設(shè)D(x2，y2)，F(xiàn)分BD所成的比為2，xc＝eq\f(0＋2x2,1＋2)?x2＝eq\f(3,2)xc＝eq\f(3,2)c；yc＝eq\f(b＋2y2,1＋2)?y2＝eq\f(3yc－b,2)＝eq\f(3×0－b,2)＝－eq\f(b,2)，代入橢圓方程得：eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(\f(1,4)b2,b2)＝1?e＝eq\f(\r(3),3).[答案]eq\f(\r(3),3)由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知它溝通了焦半徑與e的關(guān)系，故涉及焦半徑問題可考慮使圓錐曲線的定義進行轉(zhuǎn)化．同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．點A(x0，y0)在雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,32)＝1的右支上，若點A到右焦點的距離等于2x0，則x0＝.解析：由題知a＝2，b＝4eq\r(2)，則c＝eq\r(a2＋b2)＝6，所以右準線為x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(2,3)，由雙曲線的第二定義知eq\f(2x0,d)＝e，即eq\f(2x0,x0－\f(2,3))＝3，所以2x0＝3x0－2，故x0＝2.答案：2本課時考點常用客觀題的形式考查圓錐曲線的統(tǒng)一定義及幾何性質(zhì)，屬中檔題．[考題印證]過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|<|BF|，則|AF|＝.[命題立意]本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系及拋物線定義的應(yīng)用．[自主嘗試]設(shè)過拋物線焦點的直線為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，))整理得k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(k2＋2,k2)，x1x2＝eq\f(1,4).|AB|＝x1＋x2＋1＝eq\f(k2＋2,k2)＋1＝eq\f(25,12)，得k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2＝0得12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝eq\f(1,3)，x2＝eq\f(3,4)，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)[對應(yīng)學(xué)生用書P41]一、選擇題1．橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點到直線y＝eq\r(3)x的距離為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．1 D．eq\r(3)解析：選B右焦點為(1,0)，∴距離為eq\f(\r(3),2).2．平面γ與圓錐的軸線平行，圓錐母線與軸線夾角為60°，則平面與圓錐面交線的離心率是()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．2eq\r(3)解析：選Ae＝eq\f(cosβ,cosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2.3．平面γ與圓錐的母線平行，那么它們交線的離心率是()A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．無法確定解析：選A由定義知交線為拋物線．4．拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則M的縱坐標是()A．eq\f(17,16) B．eq\f(15,16)C．eq\f(7,8) D．0解析：選B設(shè)M的縱坐標為y，則y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).二、填空題5．設(shè)圓錐面V是由直線l′繞直線l旋轉(zhuǎn)而得，l′與l交點為V，l′與l的夾角為α(0°<α<90°)，不經(jīng)過圓錐頂點V的平面γ與圓錐面V相交，設(shè)軸l與平面γ所成的角為β，則當(dāng)時，平面γ與圓錐面的交線為圓；當(dāng)時，平面γ與圓錐面的交線為橢圓；當(dāng)時，平面γ與圓錐面的交線為雙曲線；當(dāng)時，平面γ與圓錐面的交線為拋物線．答案：β＝90°α<β<90°β<αβ＝α6．已知橢圓兩準線間的距離為20，長軸長為10，則短軸長為．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,\f(2a2,c)＝20))?a＝5，c＝eq\f(5,2).∴2b＝2eq\r(a2－c2)＝5eq\r(3).答案：5eq\r(3)7．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))，則雙曲線方程為．解析：∵e＝eq\r(2)，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.∵過點(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴雙曲線方程為x2－y2＝6.答案：x2－y2＝68．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是準線上一點，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，則雙曲線的離心率是．解析：∵PF1⊥PF2，∴P在以F1F2為直徑的圓上．∴點P(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，,x2＝\f(a2,c)2.))解得y2＝eq\f(c4－a4,c2).∵|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|y|，∴4ab＝2c·eq\r(\f(c4－a4,c2))，解得e＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答題9．如圖，討論其中拋物線的準線與離心率．解：由拋物線結(jié)構(gòu)特點知，拋物線上的任意一點P到焦點的距離PF1與到平面γ與γ′的交線m的距離PA相等，∴e＝eq\f(PF1,PA)＝1.∴拋物線的準線是m，離心率e＝1.10．已知雙曲線兩頂點間距離為2a，焦距為2c，求兩準線間的距離．解：如圖，l1，l2是雙曲線的準線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點，A1，A2是頂點，O為中心．由離心率定義eq\f(A1F1,A1H1)＝eq\f(c,a)，∴A1H1＝eq\f(a,c)A1F1.又A1F1＝OF1－OA1＝c－a，∴A1H1＝eq\f(ac－a,c).∴OH1＝OA1－A1H1，∴a－eq\f(ac－a,c)＝eq\f(a2,c).由對稱性，得OH2＝eq\f(a2,c)，∴H1H2＝eq\f(2a2,c).11．如圖，一個焦球與圓錐面的交線為圓S，記圓S所在的平面為γ′，設(shè)γ與γ′的交線為m.在橢圓上任取一點P，連接PF1，在γ中過P作m的垂線，垂足為A，