15.3等腰三角形講解目錄講解目錄TOC\o"13"\h\u【知識點1】等腰三角形的性質(zhì) 1【知識點2】等腰三角形的判定 3【知識點3】等邊三角形的性質(zhì) 5【知識點4】等邊三角形的判定 8【知識點5】直角三角形的性質(zhì) 9【知識點6】含30度角的直角三角形 11【知識點7】直角三角形斜邊上的中線 13【題型1】等腰三角形的概念應(yīng)用問題 15【題型2】等邊對等角的應(yīng)用問題 17【題型3】三線合一的應(yīng)用問題 20【題型4】等腰三角形性質(zhì)與折疊問題 21【題型5】等腰三角形的性質(zhì)與尺規(guī)作圖 24【題型6】等腰三角形性質(zhì)的實際應(yīng)用 25【題型7】用定義判定等腰三角形 27【題型8】用等角對等邊求邊長、周長或面積問題 30【題型9】等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用 32【題型10】等邊三角形的判定問題 35【題型11】含30°角的直角三角形的性質(zhì)問題 37【題型12】等腰直角三角形的性質(zhì)與判定問題 41知識講解知識講解【知識點1】等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．即學(xué)即練1.（2025春?靈璧縣期末）△ABC為等腰三角形，其中頂角為40°，則該三角形的底角為（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】B【分析】由等腰三角形的兩個底角相等，即可計算．【解答】解：∵等腰△ABC的頂角是40°，∴等腰△ABC的底角=12×（180°故選：B．2.（2024秋?姜堰區(qū)期末）如果等腰三角形的兩邊長為2cm,4cm,那么它的周長為（）A．8cmB．10cmC．11cmD．8cm或10cm【答案】B【分析】分兩種情況：①底為2cm,腰為4cm時，求出三角形的周長即可；②底為4cm,腰為2cm時；2+2=4，由三角形的三邊關(guān)系得出不能構(gòu)成三角形．【解答】解：分兩種情況：①底為2cm,腰為4cm時，等腰三角形的周長=2+4+4=10（cm）；②底為4cm,腰為2cm時，∵2+2=4，∴不能構(gòu)成三角形；∴等腰三角形的周長為10cm；故選：B．3.（2025?城關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AC于點D，連接BD，則∠ABD=（）A．60°B．45°C．40°D．30°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根據(jù)∠ABD=∠ABC∠CBD計算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=12（180°∠A）=12∵以B為圓心，BC的長為半徑圓弧，交AC于點D，∴BC=BD，∴∠CBD=180°2∠ACB=180°2×75°=30°，∴∠ABD=∠ABC∠CBD=75°30°=45°．故選：B．【知識點2】等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．即學(xué)即練1.（2025春?萍鄉(xiāng)期末）下列長度的三段鋼條，能組成一個等腰三角形框架的是（單位：cm）（）A．2，3，4B．3，7，7C．2，2，6D．5，6，7【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，看哪個選項中兩條較小的邊的和大于最大的邊即可．【解答】解：A、不是等腰三角形；B、3+7＞7，能構(gòu)成三角形；C、2+2＜6，不能構(gòu)成等腰三角形；D、不是等腰三角形．故選：B．2.（2024秋?蔡甸區(qū)校級月考）已知O為原點，A（2，2）為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，B是坐標(biāo)軸上一點，且△AOB為等腰三角形，那么符合條件的點B的個數(shù)為（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【分析】分三種情況：當(dāng)AO=AB，此時B即為以A為圓心、AO為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點處；當(dāng)OA=OB時，B即為以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點處，當(dāng)BA=BO時，B在AO的中垂線與坐標(biāo)軸的交點處，進而得出答案．【解答】解：分三種情況：當(dāng)AO=AB，此時B即為以A為圓心、AO為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點處，得B的坐標(biāo)為（4，0）或（0，4）；當(dāng)OA=OB時，B即為以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點處，即為（22，0），（22，0），（0，22），（0，22）；當(dāng)BA=BO時，B在AO的中垂線與坐標(biāo)軸的交點處，即為（2，0），（0，2）．故符合題意的點有8個．故選：D．3.（2024春?寶安區(qū)期中）若長度分別為a,2，5的三條線段能組成一個等腰三角形，則a=______．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分兩種情況討論如下：①當(dāng)a,2為腰，5為底邊時，則a=2，此時由于2+2＜5，不符合構(gòu)成三角形的條件，②當(dāng)a,5為腰，2為底邊時，則a=5，此時由于2+5＞5，符合構(gòu)成三角形的條件，據(jù)此即可得出答案．【解答】解：當(dāng)長度分別為a,2，5的三條線段組成一個等腰三角形時，有以下兩種情況：①當(dāng)a,2為腰，5為底邊時，則a=2，此時由于2+2＜5，不符合構(gòu)成三角形的條件，∴這種情況不存在，②當(dāng)a,5為腰，2為底邊時，則a=5，此時由于2+5＞5，符合構(gòu)成三角形的條件，∴a=5，故答案為：5．4.（2023?東海縣三模）在△ABC中，∠A=80°，當(dāng)∠B=______時，△ABC是等腰三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】此題要分三種情況進行討論①∠B、∠A為底角；②∠A為頂角，∠B為底角；③∠B為頂角，∠A為底角．【解答】解：∵∠A=80°，∴①當(dāng)∠B=80°時，△ABC是等腰三角形；②當(dāng)∠B=（180°80°）÷2=50°時，△ABC是等腰三角形；③當(dāng)∠B=180°80°×2=20°時，△ABC是等腰三角形；故答案為：80°、50°、20°．【知識點3】等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．即學(xué)即練1.（2024秋?旬陽市期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC，若△ABC的周長為12，則BC的長為?（）A．3B．4C．8D．9【答案】B【分析】由∠A=60°，AB=AC，判定△ABC是等邊三角形，由△ABC的周長為12，即可求出BC長．【解答】解：∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∵△ABC的周長為12，∴BC=13故選：B．2.（2024?泰安）如圖，直線l∥m,等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l,m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．45°B．39°C．29°D．21°【答案】B【分析】過點A作AF∥l,由平行公理的推論得出AF∥m,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAF=∠ABE，∠ACD=∠CAF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=60°，即可求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：如圖，過點A作AF∥l,∵直線l∥m,∴AF∥m,∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE，∵∠ABE=21°，∴∠BAF=21°，∴∠CAF=∠BAC∠BAF=60°21°=39°，∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°，故選：B．3.（2024?青山湖區(qū)模擬）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的中線，以點D為圓心，DB長為半徑畫弧交BC的延長線于點E，則∠BDE=（）A．120°B．110°C．100°D．140°【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BA=BC，∠ABC=60°，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠DBC=30°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠DBE=∠E=30°，從而利用三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可解答．【解答】解：在等邊△ABC中，∠ABC=60°，∵BD是AC邊上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∵BD=ED，∴∠DEC=∠CBD=30°，∴∠BDE=180°∠DBE∠E=120°，故選：A．【知識點4】等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．即學(xué)即練1.（2024秋?瓊海校級期末）已知等腰三角形的一個外角是120°，則它是（）A．等腰直角三角形B．一般的等腰三角形C．等邊三角形D．等腰鈍角三角形【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和外角的關(guān)系解答．【解答】解：①120°的角為頂角的外角，則頂角為180°120°=60°，底角為（180°60°）÷2=60°，三角形為等邊三角形；②120°的角為底角的外角，則底角為180°120°=60°，頂角為180°60°×2=60°，三角形為等邊三角形．故選：C．2.（2024秋?荔灣區(qū)校級期中）已知a,b,c為△ABC的三邊長，且a?b+|b?c|=0A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)及算術(shù)平方根的性質(zhì)求出a、b,c的關(guān)系，即可得解．【解答】解：根據(jù)非負(fù)性得，ab=0，bc=0，解得：a=b,b=c,∴△ABC的形狀是等邊三角形．故選：B．3.（2024秋?溧陽市期中）在△ABC中，∠A=60°，添加下列一個條件后，仍不能判定△ABC為等邊三角形的是（）A．AB=ACB．∠A=∠BC．AD⊥BCD．∠B=∠C【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理，對題目中的四個選項逐一進行甄別即可得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠A=60°，如果添加條件AB=AC，可判定△ABC為等邊三角形．理由是：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，故添加A可判定△ABC為等邊三角形；如果添加條件∠A=∠B，可判定△ABC為等邊三角形．理由是：有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形，故添加B可判定△ABC為等邊三角形；如果添加條件AD⊥BC，不能判定△ABC為等邊三角形．例如：∠B=70°，∠C=50°時，仍然可以作出AD⊥BC，此時△ABC就不是等邊三角形．故故添加C不能判定△ABC為等邊三角形；如果添加條件∠B=∠C，可判定△ABC為等邊三角形．理由是：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．故添加D可判定△ABC為等邊三角形．故選：C．【知識點5】直角三角形的性質(zhì)（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．即學(xué)即練1.（2025春?象州縣期中）在一個直角三角形中，一個銳角是40°，另一個銳角是（）A．70°B．50°C．30°D．10°【答案】B【分析】由直角三角形的兩個銳角互余，即可得到答案．【解答】解：直角三角形的一個銳角是40°，另一個銳角是90°40°=50°．故選：B．2.（2025春?于都縣期中）將兩把相同的直尺如圖放置．若∠1=164°，則∠2的度數(shù)等于（）A．103°B．104°C．105°D．106°【答案】D【分析】互補關(guān)系求出∠3，互余關(guān)系求出∠4，再用互補關(guān)系即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖，∵∠3=180°∠1=16°，∴∠4=90°∠3=74°，∴∠2=180°∠4=106°；故選：D．3.（2025?雷州市校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，若∠A=24°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．66°B．22°C．26°D．24°【答案】D【分析】由∠ACB=90°，∠A=24°得到∠B=66°，由高得到∠BDC=90°，再根據(jù)直角三角形兩個銳角互余即可求出∠BCD．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠B=90°24°=66°，∵CD是高，∴CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=90°66°=24°，故選：D．【知識點6】含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊．即學(xué)即練1.（2025春?法庫縣期末）如圖，AC=BC=6cm,∠B=15°，AD⊥BC于點D，則AD的長為（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm【答案】B【分析】根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求出∠ACD=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可．【解答】解：∵AC=BC，∠B=15°，∴∠B=∠BAC=15°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°，∵AD⊥BC，AC=BC=6cm,∴AD=12AC=1故選：B．2.（2025春?三水區(qū)校級期中）如圖是一個蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直（OC⊥AC于點C），蹺蹺板的一頭A著地時∠OAC=30°，點A、C、B′在同一水平線上，若OC=1m時，則OA的長度為（）A．0.5mB．1mC．1.5mD．2m【答案】D【分析】根據(jù)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，求解即可．【解答】解：∵OC⊥AC，點A，C，B′在同一水平線上，∴△OAC是直角三角形，∵∠OAC=30°，∠OCA=90°，∴OC=1∵OC=1m,∴OA=2m,故選：D．3.（2025春?碑林區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠B=15°，∠C=90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，若BE=6cm,則AC的長是（）A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm【答案】D【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到BE=AE=6cm,推出∠BAE=∠B=15°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠AEC=30°，然后利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴BE=AE=6cm,∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC=1故選：D．【知識點7】直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．即學(xué)即練1.（2025春?增城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，若AB=10，則CD的長為（）A．5B．4.8C．2.4D．無法確定【答案】A【分析】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由此即可計算．【解答】解：∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴CD=12AB=1故選：A．2.（2025?安徽三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是AC的中點，作AE⊥BD于點E，若DE=2BE，AB=6A．2B．5C．30D．4【答案】C【分析】根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求出AD=BD=12【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是AC的中點，∴AD=BD=12∵DE=2BE，BE+DE=BD，∴BD=AD=3BE，∵AE⊥BD，∴AE=AB2?BE2，AE=A∵AB=6，∴（6）2∴BE=1（負(fù)值已舍），∴AD=3BE=3，∴AC=2AD=6，∴BC=AC2?AB2故選：C．二．填空題（共1小題）3.（2025春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在直角三角形ABC中，CD為斜邊AB上的中線，點E是AB上方一點，且AE=BE，連接DE，若CD=3，AE=4，則DE的長為______．【答案】7．【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CD=AD=BD=3，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得ED⊥AD，從而在Rt△ADE中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，CD=3，∴CD=AD=BD=12∵AE=BE，∴ED⊥AD，在Rt△ADE中，DE=AE2?AD2故選：7．題型專練題型專練【題型1】等腰三角形的概念【典型例題】如圖，AB=AD，AC=BC=CD，則BD圖中等腰三角形（）的底邊.A.△ABCB.△ADCC.△ABDD.△ABD和△CBD【答案】D【解析】解：在等腰三角形，相等的兩邊叫做它的腰，第三邊叫它的底邊，所以在等腰△ABD中，AB=AD，所以線段AB和AD是腰，則第三邊BD是底邊；在等腰△CBD中，BC=DC，所以線段BC和DC是腰，則第三邊BD是底邊.所以選D.【舉一反三1】如圖，AB=AC，DE=DC，則等腰△DEC的底角是（）.A.∠BB.∠CC.∠B和∠CD.∠DEC和∠C【答案】D【解析】解：在等腰三角形中，腰與底邊的夾角叫底角∵DE=DC∴DE與DC是等腰△DEC的兩腰，CE是底邊∴∠DEC和∠C是等腰△DEC的底角.故選D.【舉一反三2】如圖，△ABC中，AB=AC，AC⊥BD于E，則圖中等腰△ABC腰上的高是線段（）A.BEB.BDC.AED.CE【答案】A【解析】解：在等腰三角形，由底邊的端點向腰所作的垂線段叫等腰三角形腰上的高，所以在等腰△ABC中，腰上的高是線段BE.所以選A.【舉一反三3】如圖，在△ABC中，BD=BC，則等腰△BDC的頂角是（）.A.∠AB.∠ABCC.∠DBCD.∠EBC【答案】C【解析】解：在等腰三角形中，兩腰的夾角叫頂角∵BD=BC且BD與BC的夾角是∠DBC∴∠DBC是等腰△形BDC的頂角.故選C.【舉一反三4】如圖，AE=BE，EC=BC，則等腰△ABE的底邊是

，等腰△BCE的底邊是

.【答案】AB；EB.【解析】解：∵AE=BE，∴等腰△ABE的底邊是線段AB.∵EC=BC，∴等腰△BCE的底邊是線段EB.故答案為AB；EB.【題型2】等邊對等角【典型例題】如圖，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點E，D，AD平分∠BAC，則∠C的度數(shù)是（）A.28°B.36°C.54°D.72°【答案】D【解析】解：設(shè)∠B＝x°，∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAB＝2∠DAB＝2x°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠CAB＝2x°，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠C＝2x°＝72°，故選：D．【舉一反三1】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，點E在BC的垂直平分線上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACE的度數(shù)為（）A.48°B.50°C.55°D.60°【答案】A【解析】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠CBD＝∠ABD＝24°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°，∵點E在BC的垂直平分線上，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠CBD＝24°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝72°﹣24°＝48°，故選：A．【舉一反三2】如圖，∠B=50°，∠ANC=120°，AM=AN，則∠MAB的度數(shù)等于（）A.10°B.70°C.60°D.50°【答案】A【解析】解：∵∠ANC=120°，∴∠ANB=180°﹣120°=60°，∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM=60°，∵∠B=50°，∴∠MAB=∠AMC﹣∠B=10°．故選：A．【舉一反三3】點M是△ABC三邊垂直平分線的交點，連接MA、MB、MC，若∠MBC+∠ACM＝75°，則∠BAM的值是（）A.45°B.30°C.25°D.15°【答案】D【解析】解：∵點M為△ABC三邊垂直平分線的交點，∴MA＝MB＝MC，∴∠MCA＝∠MAC，∠MBC＝∠MCB，∠MAB＝∠MBA，∵∠MBC+∠ACM＝75°，∴∠MAC+∠MCA+∠MCB+∠MBC＝150°，∴∠MAB=∠MBA=12故選：D．【舉一反三4】如圖，AB=AC，∠BAC=110°，AB的垂直平分線交BC于點D，那么∠ADC=（）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，∴∠B=35°，又AB的垂直平分線交BC于點D，∴∠BAD=∠B=35°，在△BAD中，∠ADC=∠B+∠BAD=70°，∴∠ADC=70°．故答案選C．【題型3】三線合一【典型例題】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，∠BAD=35°，則∠C的度數(shù)為（）A.35°B.45°C.55°D.60°【答案】C【解析】解：由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可知∠BAC=70°，再由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【舉一反三1】如圖，△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上的中點，點E在AD上，那么下列結(jié)論不一定正確的是（）A.AD⊥BCB.∠EBC=∠ECBC.∠ABE=∠ACED.AE=BE【答案】D【解析】解：∵AB=AC，點D是BC邊上的中點，∴AD⊥BC，故A選項正確；∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，故B選項正確；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，故C選項正確；根據(jù)題目條件無法得到∠ABE=∠BAE，所以，AE=BE不一定正確，故D選項錯誤．因為本題選擇不正確的，故選：D．【舉一反三2】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，則∠B等于（）A.70°B.50°C.20°D.40°【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的角平分線和中線，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=40°，∴∠B=90°﹣∠BAD=50°故選B.【舉一反三3】如圖，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，則∠BAD的度數(shù)是____________．【答案】60°【解析】解：AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°．故答案為：60°．【舉一反三4】如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BD=5，則CD=__________．【答案】5【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACD，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴CD=BD=5．故填5．【題型4】等腰三角形性質(zhì)與折疊【典型例題】如圖，紙片△ABC中，AB=AC，∠A=40°，將紙片對折，使點A與點B重合，折痕為DE，連結(jié)BE．則∠EBC的度數(shù)為（

）A.30°B.40°C.60°D.80°【答案】A【解析】解：由題可得，∠ABC=(180°40°)÷2=70°，由翻折的性質(zhì)可得：∠A=∠DBE=40°，∴∠EBC=∠ABC∠DBE=70°40°=30°，故選：A．【舉一反三1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，直線BD交AC于D，把直角三角形ABC沿著直線BD翻折，點C恰好落在斜邊AB上的點E處，并且△ABD是等腰三角形，那么∠AA.60°B.45°C.30°D.22.5°【答案】C【解析】解：因為△ABD是等腰三角形，所以∠DBA=∠A．由折疊的性質(zhì)可得：△CDB≌△EDB，所以∠CBD=∠DBA=∠A．又因為∠C=90°，所以∠CBD+∠DBA+∠A=90°，所以∠A=1故選：C．【舉一反三2】如圖將一張長方形紙的一角折疊過去，使頂點A落在A'處，BC為折痕，若AB=AC且BD為∠CBE的平分線，則∠A.45B.67.5C.22.5D.89.5【答案】C【解析】解：∵∠A=90°，AC=AB，∴∠ABC=45°，∵將頂點A折疊落在A’處，∴∠ABC=∠A’BC=45°，∵BD為∠CBE的平分線，∴∠CBD=∠DBE=12×(180°∴∠A’BD=67.5°45°=22.5°．故選：C．【舉一反三3】如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，將△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使點A落在點C處．則∠BEC的度數(shù)是

．【答案】72°【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵將△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使點A落在點C處，∴∠ECD=∠A=36°，∴∠ECB=∠BCD∠ECD=72°36°=36°，∴∠BEC=180°36°72°=72°故答案為：72°．【題型5】等腰三角形的性質(zhì)與尺規(guī)作圖【典型例題】如圖所示，以△ABC的頂點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點D，連接AD.若∠B=40°，∠C=36°，則∠DAC的大小為（

）A.44°B.40°C.36°D.34°【答案】D【解析】解：∵∠B=40°，∠C=36°，∴∠BAC=180°∠B∠C=104°∵AB=BD，∴∠BAD=∠ADB=（180°∠B）÷2=70°，∴∠DAC=∠BAC∠BAD=34°.故選D．【舉一反三1】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=32°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點D，連接BD，則∠ABD的度數(shù)是（）A.42°B.45°C.40°D.35°【答案】A【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=74°，∴∠DBC=32°，∴∠ABD=∠ABC∠DBC=74°32°=42°，故選：A．【舉一反三2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ADC的度數(shù)為（）A.142°B.132°C.119°D.109°【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，∴∠B=38°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=（180°38°）=71°，∴∠ACD=90°71°=19°，∴∠ADC=180°∠A∠ACD=180°52°19°=109°，故選：D．【題型6】等腰三角形性質(zhì)的實際應(yīng)用【典型例題】如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人師傅在焊接立柱時，只用找到BC的中點D，這就可以說明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（）A.等邊對等角B.等角對等邊C.垂線段最短D.等腰三角形“三線合一”【答案】D【解析】解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：D．【舉一反三1】在中國古代建筑中，有一種常見的裝飾元素叫做“斗拱”．斗拱由多個小木塊組成，它們之間通過榫卯結(jié)構(gòu)相互連接，形成了一種獨特的美感．如圖1，從正面觀察斗拱可發(fā)現(xiàn)其外輪廓形狀類似于一個等腰三角形．如圖2，若底角∠B＝50°，則頂角∠A的度數(shù)為（）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，且底角∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°×2＝80°，故選：D．【舉一反三2】玉樹地震后，青海省某鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)的同學(xué)用下面的方法檢測教室的房梁是否水平：如下圖，在等腰直角三角尺斜邊中點栓一條細(xì)繩，細(xì)繩的另一端掛一個鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果繩子經(jīng)過三角尺的直角頂點，于是同學(xué)們確信放量是水平的，其理由是（）A.等腰三角形兩腰等分B.等腰三角形兩底角相等C.三角形具有穩(wěn)定性D.等腰三角形的底邊中線和底邊上的高重合【答案】D【解析】解：∵△ABC是個等腰三角形，∴AC=BC，∵點O是AB的中點，∴AO=BO，∴OC⊥AB．等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高重合，故選D．【舉一反三3】“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC＝CD＝DE，點D，E可在槽中滑動，若∠BDE＝69°，則∠CDE的度數(shù)是（）A.60°B.69°C.76°D.88°【答案】D【解析】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°，∴∠ODC＝23°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°，∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°，故選：D．【題型7】用定義判定等腰三角形【典型例題】三角形一邊上的高和這邊上的中線重合，則這個三角形一定是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形【答案】C【解析】解：如圖：∵AD是BC邊上的高，AD是中線，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC，即這個三角形一定是等腰三角形．故選C．【舉一反三1】下列各組線段中，能構(gòu)成等腰三角形的是（）A.1，1，2B.2，2，4C.3，3，5D.3，4，5【答案】C【解析】解：對于選項A，∵1+1＝2，∴長度為1，1，2的三條線段不能構(gòu)成三角形，故選項A不符合題意；對于選項B，∵2+2＝4，∴長度為2，2，4的三條線段不能構(gòu)成三角形，故選項B不符合題意；對于選項C，∵3+3＞5，∴長度為3，3，5的三條線段能構(gòu)成等腰三角形，故選項C符合題意；對于選項D，∵3+4＞5，3≠4≠5，∴長度為3，4，5的三條線段不能構(gòu)成等腰三角形，故選項D不符合題意．故選：C．【舉一反三2】如圖，在△ABC，BC=BA，點D在AB上，且AC=CD=DB，則圖中共（）個等腰三角形．A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C【解析】解：∵BC=BA，∴△BCA是等腰三角形，∵AC=CD，∴△ACD是等腰三角形，∵BD=CD，∴△BDC是等腰三角形．故選C．【舉一反三3】如果一個三角形的一條角平分線恰好是對邊上的高，那么這個三角形是

三角形．【答案】等腰【解析】解：∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴BD=CD，∴AD垂直平分BC∴AB=AC，即這個三角形是等腰三角形.故答案為：等腰．【舉一反三4】如圖，在△ABC中，已知邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線交于點P，連接PA、PB、PC，則圖中有

個等腰三角形．【答案】3．【解析】解：∵邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線交于點P，∴AP＝PB，PB＝PC，∴AP＝PC，∴△ABP，△BPC，△APC都是等腰三角形；故答案為：3．【題型8】用等角對等邊求邊長、周長或面積【典型例題】如圖所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4cm，則CD等于()A.3cmB.4cmC.1.5cmD.2cm【答案】B【解析】解：∵OC平分∠A0B，∴∠AOC＝∠BOC，∵CD∥OB∴∠BOC＝∠C，∴∠AOC＝∠C∴CD＝OD=4(cm)故選B.【舉一反三1】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，過點D作直線平行于BC，交AB，AC于點E，F(xiàn)，則△AEF的周長是()A.12B.13C.14D.18【答案】B【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC∴∠EBD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EBD∴ED＝EB同理DF=CF∵AB=AE+BE，AC=AF+CF∴AB=AE+DE，AC=AF+DF△AEF的周長=AE+DE+DF+AF=AB+AC=5+8=13故選B.【舉一反三2】如圖，E為AC上一點，連接BE，CD平分∠ACB交BE于點D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，則BD的長為（）A.1.2B.1.5C.2D.3【答案】C【解析】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴∠BCD=∠ECD，∠BDC=∠EDC=90°在△BCD和△ECD中∴△BCD≌△ECD（AAS）∴CE＝BC＝6，BD＝DE，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠ABE，∴BE＝AE＝4，∴，故選：C．【舉一反三3】如圖，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，則CD=_________.【答案】3【解析】解：∠ACB=180°∠BAC∠B=40°，∠CAD=∠ACB∠D=20°，所以∠ACB=∠B=40°，∠CAD=∠D=20°，所以CD=AC，AC=AB，故CD=AB=3.【舉一反三4】如圖，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分線交于點D，過點D作EF∥AB，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．當(dāng)AE＝2，BF＝4時，EF的長為

．【答案】6．【解析】解：∵AD，BD平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF，∴∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF，∴DE＝AE＝2，DF＝BF＝4，∴EF＝DE+DF＝2+4＝6，故答案為：6．【題型9】等邊三角形的性質(zhì)【典型例題】如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A.100°B.90°C.80°D.60°【答案】C【解析】解：設(shè)AC與直線a交于D，AB與直線a交于E，如下圖所示：∵直線a∥b，∠1＝40°，∴∠ADE＝∠1＝40°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠2＝180°﹣（∠A+∠ADE）＝180°﹣（60°+40°）＝80°．故選：C．【舉一反三1】如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝4，則BD＝（）A.2B.4C.D.【答案】B【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，∴∠ACB＝60°，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB為△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°＝∠DBE，∴DE＝BD＝4，故選：B．【舉一反三2】如圖，AB∥CD，點M，N分別在直線AB，EF上，連接MN，若△EMN為等邊三角形，則∠CFE的度數(shù)為（）A.120°B.110°C.108°D.106°【答案】A【解析】解：∵△EMN為等邊三角形，∴∠NEM＝60°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠NEM＝60°，∴∠CFE＝180°﹣∠EFD＝120°．故選：A．【舉一反三3】如圖，直線l∥m，等邊△ABC的兩個頂點A，B分別在直線l和m上，若∠CAD＝27°，則∠CBE的度數(shù)是（）A.27°B.33°C.63°D.73°【答案】B【解析】解：∵l∥m，∴∠DAB+∠ABE＝180°，即∠CAD+∠CAB+∠ABC+∠CBE＝180°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝60°，又∵∠CAD＝27°，∴∠CBE＝180°﹣27°﹣60°﹣60°＝33°，故選：B．【題型10】等邊三角形的判定【典型例題】一個三角形任意一邊上的高都是這邊上的中線，則對這個三角形最準(zhǔn)確的判斷是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形【答案】D【解析】解：∵一個三角形任意一邊上的高都是這邊上的中線，即三角形任意一邊上的高與中線重合，∴這個三角形的三邊都相等，∴這個三角形必為等邊三角形．故選D．【舉一反三1】P為∠AOB內(nèi)一點，∠AOB=30°，P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為M、N，則△MON定是（）A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】解：根據(jù)題意畫出草圖：∵P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為M、N，∴AO⊥MP，PO=OMBO⊥PN，OP=ON，∴△POM為等腰三角形△PON為等腰三角形，∴∠MOE=∠POE，∠POF=∠FON，OM=OP=ON，又∵∠AOB=30°∴∠POE+∠POF=30°，∴∠MOE+∠FON=30°，∴∠MON=60°，又∵MO=ON∴△MON為等邊三角形．故選A．【舉一反三2】將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式擺放，若∠1＝60°，則△ABC是（）A.不等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形【答案】D【解析】解：∵BC∥NM，∴∠ACB＝∠1＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形．故選：D．【舉一反三3】如圖，將兩個完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，則拼接后的△ABD的形狀是

．【答案】等邊三角形【解析】解：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形；又∵∠BAC=∠CAD=30°，∴∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形；故答案是：等邊三角形．【舉一反三4】已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，則P1，O，P2三點構(gòu)成的三角形是

三角形【答案】等邊【解析】解：如圖，連接OP，∵P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，∴OP1=OP，OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，∴OP1=OP2，∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等邊三角形．故答案為：等邊．【題型11】含30°角的直角三角形的性質(zhì)【典型例題】如圖，將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，則三角板的直角邊的長為（）A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm【答案】B【解析】解：過點C作CD⊥AD，CD＝3cm，在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6cm．故選：B．【舉一反三1】如圖，△ABC是等邊三角形，點D在BC的延長線上，點E是AC的中點，連接DE并延長交AB于點F，且CE＝CD，若EF＝2，則DF的長為（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，點E是AC的中點，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，DE⊥AC，DE平分∠ABC，∴，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∵∠ACB＝60°，且是△CDE的外角，∴∠CED+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠C