★一．截面類問題12016年全國I卷高考真題）平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為22018年全國I卷高考真題）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為★二．外接球（內(nèi)切球）問題32019年全國I卷高考真題）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°,則球O的體積為42022年新高考Ⅰ卷高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π,且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是()52020年全國III卷高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為______________．★三．組合體（常見幾何體的嵌入或切割或者組合）62023年新高考Ⅰ卷高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有()A．直徑為0.99m的球體B．所有棱長均為1.4m的四面體C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體72019年全國II卷高考真題）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有__________個(gè)面，其棱長為________．82025年新高考2卷高考真題）一個(gè)底面半徑為4cm，高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為_____________cm．★四．動(dòng)態(tài)，軌跡問題92020年新高考1卷高考真題）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，102021年新高考Ⅰ卷年高考真題）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足B．當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P丄BPD．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B丄平面AB1P112017年全國III卷高考真題）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°;④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是_____________.（填寫所有正確結(jié)論的編號）★五．折疊與展開122017年全國I卷高考真題）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．132020年全國I卷高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，AB=ADAB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°,則cos∠FCB=.參考答案1.【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD=m'，平面CB1D1∩平面ABB1A1=n'，因?yàn)棣?/平面CB1D1，所以m//m',n//n'，則m,n所成的角等于m',n'所成的角.延長AD，過D1作D1E∥B1C，連接CE,B1D1，則CE為m'，同理B1F1所成的角即為A1B,BD所成的角，即為60O，故m,n所成角的正弦值為，選A.平面AB1D1與線AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面AB1D1與C1BD中間的，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，所以其面積為S故選A.3.【詳解】解法一::PA=PB=PC,ΔABC為邊長為2的等邊三角形，:P—ABC為正三棱錐，:PB丄AC，又E，F(xiàn)分別為PA、AB中點(diǎn)，:EF//PB，:EF丄AC，又EF丄CE，CE∩AC=C,:EF丄平面PAC，PB丄平面PAC，:上APB=90O,:PA=PB=PC:P—ABC為正方體一部分，2R即R，故選D．解法二:設(shè)PA=PB=PC=2x，E,F分別為PA,AB中點(diǎn)，:EF//PB，且EFPB=x，:ΔABC為邊長為2的等邊三角形，:CF=又上CEF=90。:CE=,AEPA=xΔAEC中余弦定理cos上EAC，作PD丄AC于D，:PA=PC，:D為AC中點(diǎn)，cos上EAC:2x2+1=2:x2=1x=、，:PA=PB=PC=V2，又AB=BC=AC=2，:PA,PB,PC4.【詳解】∵球的體積為36π,所以球的半徑R=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則l2=2a2+h2，32=2a2+(3—h)2,所以6h=l2，2a243)所以當(dāng)l=2·、i時(shí)，V,所以正四棱錐的體積V的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.5.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中BC=2,AB=AC=3，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，,故S△ABC設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則：解得：r=，其體積：V故答案為6.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<1m，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；內(nèi)，故C不正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?.2m>1m，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過AC1的中點(diǎn)O作OE丄AC1，設(shè)OE∩AC=E，可知ACCC1=1,ACOA則>0.6，故以AC1為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心O1，與正方體的下底面的切點(diǎn)為M，可知：AC1體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.7.【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為x，則AB=BE=x，延長BC與FE交于點(diǎn)G，延長BC交正方體棱于H，由半正多面體對稱性可知，ΔBGE為等腰直角三角形，:x1，即該半正多面體棱長為·、i2-1．8.【詳解】圓柱的底面半徑為4cm，設(shè)鐵球的半徑為r，且r<4，由圓柱與球的性質(zhì)知:r=2.5.故答案為：2.5.9【詳解】如圖：取B1C1的中點(diǎn)為E，BB1的中點(diǎn)為F，CC1的中點(diǎn)為G，因?yàn)樯螧AD=60°,直四棱柱因?yàn)锽B1∩B1C1=B1，所以D1E丄側(cè)面B1C1CB，設(shè)P為側(cè)面B1C1CB與球面的交線上的點(diǎn)，則D1EB1C1CB與球面的交線是扇形EFG的弧，因?yàn)樯螧1EF=上C1EG所以上FEG所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為：.10.【詳解】易知，點(diǎn)P在矩形BCC1B1內(nèi)部（含邊界定值，故A錯(cuò)誤；----------------CBC//平面A1BC，則有P到平面A----------------所以P點(diǎn)軌跡為線段QH，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，AP(0,0,μ)，,或μ=1．故H,Q均滿足，故C錯(cuò)誤；以P點(diǎn)軌跡為線段MN．設(shè)P因?yàn)锳所以所以→y此時(shí)P與N重合，故D正確．故選：BD．11.【詳解】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，A點(diǎn)保持