專題強(qiáng)化三動(dòng)態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)會(huì)運(yùn)用解析法、圖解法等分析處理動(dòng)態(tài)平衡問題。2.會(huì)分析平衡

中的臨界與極值，并會(huì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

考點(diǎn)一動(dòng)態(tài)平衡問題

1.動(dòng)態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個(gè)狀態(tài)均

可視為平衡狀態(tài)。

2.做題流程

’定性分析根據(jù)矢量三角形邊長(zhǎng)關(guān)系確定矢量

*的大小變化

?f三角函數(shù)關(guān)系

定量計(jì)苴

?正弦定理f找關(guān)系求極值

.［相似三角形

方法I解析法

1.對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。

2.根據(jù)物體的平衡條件列式，得到因變量與自變量的關(guān)系表達(dá)式（通常要用到三角

函數(shù)）。

3.根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。

例1（2024.湖南衡陽模擬）如圖1,Q43C為常見的“汽車千斤頂”。當(dāng)汽車需要

換輪胎時(shí)，司機(jī)將它放在車身底盤和地面之間，只需搖動(dòng)手柄使螺旋桿ON轉(zhuǎn)動(dòng)，

0、A之間的距離就會(huì)逐漸減小，。、C之間的距離增大，就能將汽車車身緩緩地

頂起來。在千斤頂將汽車頂起來的過程中，下列關(guān)于的彈力的說法正確

的是（）

A

A.。4、。3的彈力不斷變大

B.Q4、03的彈力不斷變小

C.0A的彈力變大、0B的彈力變小

D.0A的彈力變小、0B的彈力變大

答案B

解析對(duì)。點(diǎn)進(jìn)行受力分析，它受到汽車對(duì)它豎直向下的壓力，大小等于汽車的

重力G,0A方向桿的彈力ROA,5。方向的彈力FBO,設(shè)0B與水平方向夾角為0,

可知為°=而在FOA=~^0,當(dāng)千斤頂將汽車頂起來的過程中，°變大，則

和ROA均變小，故B正確。

1.（2024?河南三門峽模擬）如圖2所示，在水平粗糙橫桿上，有一質(zhì)量為m的小圓

環(huán)A,懸吊一個(gè)質(zhì)量為M的小球3,今用一水平力R緩慢地拉起3,A仍保持靜

止不動(dòng)，設(shè)圓環(huán)A受到的支持力為靜摩擦力為所，此過程中（）

A.FN增大,Ko減小B/N不變，歷0減小

C/N不變，Bo增大D/N增大，Ko增大

答案C

解析將A、3整體受力分析，如圖甲所示，由平衡條件得FN=（舷+機(jī)）g,可知

EN不變,Rfo=R；隔離3,受力分析如圖乙所示，由平衡條件知R=Mgtan仇水

平力R緩慢地拉起3的過程中，。增大，外力R逐漸增大，所以風(fēng)增大，故C

正確。

方法國(guó)圖解法

用圖解法分析物體動(dòng)態(tài)平衡問題時(shí)，一般是物體只受三個(gè)力作用，且其中一個(gè)力

大小、方向均不變，另一個(gè)力的方向不變，第三個(gè)力大小、方向均變化。

例2（2024.湖南岳陽聯(lián)考）如圖3所示，傾角為6=30。、AB面光滑的斜面體放在

水平地面上，一個(gè)重為G的小球在彈簧測(cè)力計(jì)的水平拉力R作用下靜止在斜面上。

現(xiàn)沿逆時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧測(cè)力計(jì)，直到彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)等于初始值，在此

過程中，小球與斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。下列說法正確的是（）

A.力R先變大后變小

B.地面對(duì)斜面體的支持力一直變大

C.地面對(duì)斜面體的摩擦力一直變小

D.斜面體對(duì)小球的支持力一直變大

答案C

解析根據(jù)題意，作出小球受力的矢量三角形，如圖所示，從圖中可看出力R先

減小再增大，斜面體對(duì)球的支持力一直減小，故A、D錯(cuò)誤；設(shè)斜面體的質(zhì)量為

m,對(duì)整體分析，豎直方向上有FN=（,mg+G）-Fy,水平方向上有Ft=Fx,現(xiàn)沿

逆時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧測(cè)力計(jì)，則3一直增大，尺一直減小，則K一直減小，

B一直減小，故B錯(cuò)誤，C正確。

A

HJ艮蹤訓(xùn)練

2.（2024?河北衡水模擬）如圖4所示，裝卸工人利用斜面將一質(zhì)量為m、表面光滑

的油桶緩慢地推到汽車上。在油桶上移的過程中，人對(duì)油桶推力的方向由與水平

方向成60。角斜向上逐漸變?yōu)樗较蛴?，已知斜面的傾角為。=30。，重力加速度

為g,則關(guān)于工人對(duì)油桶的推力大小，下列說法正確的是（）

圖4

A.不變B.逐漸變小

C.逐漸變大D.最小值為警

答案D

解析分析油桶的受力情況，油桶受重力、斜面的支持力和推力，因工人緩慢地

將油桶推到汽車上，油桶處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，由三角形定則作出力的動(dòng)態(tài)變化過

程，如圖所示，推力F由與水平方向成60。角斜向上逐漸變?yōu)樗较蛴业倪^程中，

推力先變小后變大，最小時(shí)推力R和支持力樂垂直，即沿斜面方向，此時(shí)最小

值為警，D正確。

GF

方法同相似三角形法

物體受三個(gè)力平衡，其中一個(gè)力恒定，另外兩個(gè)力的方向同時(shí)變化，當(dāng)所作“力

的矢量三角形”與空間的某個(gè)“幾何三角形”總相似時(shí)，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)

邊成比例進(jìn)行計(jì)算。

例3如圖5所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)的最高點(diǎn)有一個(gè)光滑的小孔。質(zhì)

量為m的小球套在圓環(huán)上，一根細(xì)線的下端系著小球，上端穿過小孔用手拉住。

現(xiàn)拉動(dòng)細(xì)線，使小球沿圓環(huán)緩慢上移，在移動(dòng)過程中，手對(duì)細(xì)線的拉力R和圓環(huán)

對(duì)小球的彈力K的大小變化情況是（）

A.R不變，F(xiàn)N增大B.R不變，RN減小

C.R減小，八不變D.R增大，RN減小

答案C

解析小球沿圓環(huán)緩慢上移可看成小球始終受力平衡，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，作

出受力示意圖如圖所示，由三角形相似，得著G=￡F=F*N，當(dāng)A點(diǎn)上移時(shí)，半徑R

KADK

不變，A3長(zhǎng)度減小，故F減小,K不變，故C正確。

方法E1矢量圓法（正弦定理法）

1.矢量圓：如圖6所示，物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡，其中一力恒定，另外兩

力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾

角不變，可以作出動(dòng)態(tài)圓（也可以由正弦定理列式求解），恒力為圓的一條弦，根

據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

圖6

2.正弦定理：如圖7所示，物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)，則三個(gè)力中

任意一個(gè)力的大小與另外兩個(gè)力的夾角的正弦成正比，即總=熹=系。

圖7

例4（2024.重慶南開中學(xué)期中）某中學(xué)為增強(qiáng)學(xué)生體魄，組織學(xué)生進(jìn)行多種體育鍛

煉。在某次鍛煉過程中，一學(xué)生將鉛球置于兩手之間，其中兩手之間夾角為60。。

保持兩手之間夾角不變，將右手由圖8所示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60。至水平位置。不計(jì)

一切摩擦，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是（）

?〃卜!

圖8

A.右手對(duì)鉛球的彈力增大

B.右手對(duì)鉛球的彈力先增大后減小

C.左手對(duì)鉛球的彈力增大

D.左手對(duì)鉛球的彈力先增大后減小

答案B

解析法一矢量圓法

以鉛球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力G、右手對(duì)鉛球的彈力為人和左手對(duì)鉛球的彈力為

Fi,受力分析如圖所示，緩慢旋轉(zhuǎn)過程中處于平衡狀態(tài)，則將三力平移后構(gòu)成一

首尾相連的三角形，兩手之間夾角保持60。不變，則兩力之間的夾角保持120。不

變，則在三角形中，為與b夾角保持60。不變，重力G的大小方向不變，作出力

三角形的外接圓，根據(jù)弦所對(duì)的圓周角都相等，則右手由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60°

至水平位置過程中力的三角形變化如圖所示，分析可得為開始小于直徑，當(dāng)轉(zhuǎn)過

30。時(shí)B等于直徑，再轉(zhuǎn)時(shí)又小于直徑，所以B先增大后減小，凡開始就小于直

徑，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中一直減小，選項(xiàng)B正確。

F,120°B

法二正弦定理法

以鉛球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力G、右手對(duì)鉛球的彈力為人及左手對(duì)鉛球的彈力為

F2,受力分析如圖所示，緩慢旋轉(zhuǎn)過程中處于平衡狀態(tài)，則將三力平移后構(gòu)成一

首尾相連的三角形，兩手之間夾角保持60。不變，右手由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)的角

度設(shè)為e,轉(zhuǎn)動(dòng)過程始終處于平衡狀態(tài)，根據(jù)正弦定理有意了=

Suiuusin\oui（7）

?“八：小，右手由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60。至水平位置過程中。由0。變?yōu)?0°,

sm（60一9）

sin（6（T+。）先變大再變小，所以為先增大后減小，sin（60。一。）一直變小，所以尸2

一直減小，選項(xiàng)B正確。

方法總結(jié)

模型情境受力圖方法

圖解法：兩個(gè)

OA繩方向不

力的合力和第

a

變，繩緩慢5

一力恒力，另三個(gè)力等大、

向上轉(zhuǎn)動(dòng)至豎

一力方向不變反向，即居逐

直位置，結(jié)點(diǎn)

漸減小，F(xiàn)B先

。的位置不動(dòng)

變小后變大

用手拉住繩的矢量圓法：畫

一力恒定，另

另一端N,將O出力的矢量三

外兩力方向都

重物向右上方角形的外接

變，但夾角不

緩慢拉起，并、N_________SJ圓，以不變的

變

保持夾角a不力為弦，用

變“同弦所對(duì)的

圓周角相等”

的規(guī)律判斷移

動(dòng)過程中各力

的變化情況

相似三角形

細(xì)繩繞過半球

法：力三角形

一力恒定，另面正上方的定*

和幾何三角形

兩力方向都滑輪,拉小球A

相似，即詈—

變，夾角也變沿半球面緩慢

mg。Leo

上升FNFT

RIAC

考點(diǎn)二平衡中的臨界與極值問題

1.臨界、極值問題特征

(1)臨界問題：當(dāng)某物理量變化時(shí)，會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化，從而使物體所

處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛

好”“剛能”“恰好”等語言敘述。

①由靜止到運(yùn)動(dòng)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

②繩子恰好繃緊，拉力R=o。

③剛好離開接觸面，支持力FN=OO

(2)極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。

2.解決極值和臨界問題的三種方法

正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點(diǎn)和極值

極限法點(diǎn)；臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個(gè)狀態(tài)上研究臨界

問題，要把某個(gè)物理量推向極大或極小

通過對(duì)問題的分析，根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系

數(shù)學(xué)分析法(畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式

極值、三角函數(shù)極值)

根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對(duì)物理過程的分析，利

物理分析法

用平行四邊形定則進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值

例5一輕質(zhì)桿兩端分別固定有質(zhì)量均為機(jī)的小球A、B,兩小球由細(xì)線OE、FC

懸掛于水平天花板及豎直墻壁上，如圖9所示。0E和RC的拉力分別用人和仍

表示，初始時(shí)，B與豎直方向的夾角6=30。，入水平?，F(xiàn)保持輕桿位置不變，將

細(xì)線FC的C端緩慢上移至RC與水平方向成a=60。角的位置的過程中，下列說

法正確的是（）

圖9

A.B一直減小且減小了mg

B/2先減小后增大，其最小值為機(jī)g

C/2一直減小且減小了mg

D.輕桿的彈力先減小后增大，其最小值為2Mg

答案B

解析以兩小球及輕桿整體為研究對(duì)象，整體受重力2mg、B和仍，并處于平衡

狀態(tài)，作出力的矢量三角形如圖甲所示，當(dāng)C端緩慢上移時(shí)，為一直減小，最初

時(shí)，人=^^=羋儂，移動(dòng)后為'=峭訶=￥但，減小了邛mg,A錯(cuò)誤；

由圖甲知，乃先減小后增大，當(dāng)乃與B垂直時(shí)，最小，其最小值為機(jī)g,B正

確，C錯(cuò)誤；以A球?yàn)檠芯繉?duì)象，其所受重力、B及輕桿的彈力R作出力的矢量

三角形如圖乙所示，因?yàn)槟┙軙r(shí)人仁峭心,所以最后桿的彈力正好沿水平方向，

由圖乙知桿的彈力一直在減小，且最小值為Enin=機(jī)gtan30。=為一冽g,D錯(cuò)誤。

甲乙

3.小朋友在玩積木時(shí)，將兩個(gè)相同的方形積木放在粗糙的水平地面上。將球形積

木放在兩方形積木之間，截面圖如圖10所示，接觸點(diǎn)分別為A、瓦他發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩

方形積木之間的距離大到一定程度時(shí)，球形積木放上后兩方形積木將發(fā)生滑動(dòng)。

已知球形積木的質(zhì)量為方形積木質(zhì)量的2倍，它們之間的摩擦忽略不計(jì)，球形積

木的半徑為凡兩方形積木與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5,設(shè)最大靜摩擦力等

于滑動(dòng)摩擦力。則球形積木放上后，要使兩方形積木不發(fā)生滑動(dòng)，兩方形積木之

間的最遠(yuǎn)距離為（）

圖10

A&RR

2-D

C巾RD.小R

答案C

解析以整體為研究對(duì)象進(jìn)行分析，設(shè)一個(gè)方形積木的質(zhì)量為機(jī)，則球形積木的

質(zhì)量為2m,地面對(duì)方形積木的支持力為FN,根據(jù)平衡條件可得2RN=4/ng,則

FN=2mg-,當(dāng)兩方形積木的距離最遠(yuǎn)時(shí)，設(shè)。4和之間的夾角為2仇此時(shí)方

形積木與地面間的摩擦力達(dá)到最大，對(duì)球形積木受力分析，如圖甲所示，根據(jù)平

衡條件可得2Rcos3=2mg-,對(duì)其中一個(gè)方形積木（如A）受力分析，如圖乙所示，

根據(jù)平衡條件可得Fsin9=F尸林FN,聯(lián)立解得tan8=1,則。=45。，根據(jù)幾何關(guān)

系可得A3之間的距離為》=啦已故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。

■提升素養(yǎng)能力（限時(shí)：40分鐘）

A級(jí)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練

對(duì)點(diǎn)練1動(dòng)態(tài)平衡問題

1.（2024.天津和平模擬）如圖1,一救援人員沿豎直陡峭光滑巖壁緩慢向下運(yùn)動(dòng)的過

程中，設(shè)人對(duì)繩的拉力為FT,人對(duì)巖壁的壓力為FN,若手和巖壁距離不變，繩

與巖壁的夾角變小，下列說法正確的是（）

圖1

A.FT>K均減小B.Fr、人均增大

C.Fr增大，RN減小D.Fr減小，F(xiàn)N增大

答案A

解析由牛頓第三定律知繩對(duì)人的拉力大小等于FT,巖壁對(duì)人的支持力大小等于

FN,設(shè)繩與巖壁的夾角為6,對(duì)人進(jìn)行受力分析，如圖所示，根據(jù)受力平衡可得

FTsin0=FN,FTCOS0=mg,則氏=晨夕F^=mgtan0,在人緩慢向下運(yùn)動(dòng)的過

程中，。逐漸減小，mg不變,則尸r逐漸減小，F(xiàn)N逐漸減小，故A正確。

2.（2024.海南模擬預(yù)測(cè)）如圖2所示，一燈籠用不可伸長(zhǎng)的繩A。、3。懸掛在半圓

形支架上，結(jié)點(diǎn)為圓心。，水平，拉力分別為加、FBO現(xiàn)保持A、。點(diǎn)位置

不變，將3點(diǎn)沿圓弧3C緩慢移至最高點(diǎn)C,此過程中（）

A.fk增大，F(xiàn)B增大B.fk減小，減小

C/A減小，居先減小后增大D/A增大，鼠先增大后減小

答案c

解析FA.RB合力不變，根據(jù)平行四邊形定則作圖如圖所示，可知，此過程中

RA減小，鼠先減小后增大，故C正確。

3.（2023?北京海淀模擬）如圖3所示，足夠長(zhǎng)的斜面固定在水平地面上，斜面上有

一光滑小球，跨過滑輪的細(xì)線一端系住小球，另一端系在豎直彈簧的上端，彈簧

的下端固定在地面上，手持滑輪，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。若滑輪在手的控制下緩慢

向下移動(dòng)，直到拉著小球的細(xì)線與斜面平行，則這一過程中（）

圖3

A.彈簧彈力先減小后增大B.彈簧彈力不變

C.斜面對(duì)小球支持力逐漸減小D.斜面對(duì)小球支持力逐漸增大

答案D

解析小球在重力G、斜面對(duì)其的支持力RN和細(xì)線上的張力Fr三力的作用下保

持動(dòng)態(tài)平衡，故三個(gè)力可以構(gòu)成一個(gè)封閉的矢量三角形如圖所示。在緩慢移動(dòng)過

程中，K逐漸增大，五只能變化到與RN垂直，故尸r是逐漸變小的，因彈簧彈力

大小等于無，則彈簧彈力逐漸減小，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。

4.輕桿3。的。端用光滑錢鏈固定在豎直輕桿A。上,3端掛一重物,且系一細(xì)繩，

細(xì)繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力R拉住，如圖4所示?，F(xiàn)將細(xì)繩緩慢往左

拉，使桿BO與桿AO間的夾角d逐漸減小，則在此過程中，拉力R及桿3。所

受壓力FN的大小變化情況是（）

圖4

A.FN先減小后增大B/N一直減小

C/先減小后增大D.F一直減小

答案D

解析設(shè)重物的重力為G,以B點(diǎn)為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，作出力FN

與F的合力F2,根據(jù)平衡條件得—G,由力三角形和幾何三角形相似得公

=弁F=石=*G,由于3。、A。、G不變，則人保持不變，A3逐漸減小，所以

AUAU

R逐漸減小，故D正確。

5.（多選）如圖5所示，兩根輕繩一端系于結(jié)點(diǎn)。，另一端分別系于固定環(huán)上的M、

N兩點(diǎn)，。點(diǎn)下面懸掛一小球。細(xì)線。/、ON與豎直方向夾角分別為a=60。、B

=30%用B、場(chǎng)分別表示OM、ON的拉力，將兩繩同時(shí)緩慢順時(shí)針轉(zhuǎn)過45。，

并保持兩繩之間的夾角始終不變，且小球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，

下列說法正確的是（）

圖5

A.Fi在逐漸增大B.B先增大再減小

C.Fi與Fi的水平分量大小相等D.Fi與Fi的豎直分量大小相等

答案AC

解析小球始終保持靜止，所受合力為零，所以mg、Fi、人構(gòu)成封閉的矢量三

角形如圖所示，由于重力不變，人和八夾角為90。不變，矢量三角形動(dòng)態(tài)圖如圖

所示，mg始終為圓的直徑，兩繩同時(shí)緩慢順時(shí)針轉(zhuǎn)過45。過程中，人一直增大，

仍一直減小，故A正確，B錯(cuò)誤；咒與仍的水平分量大小相等，豎直分量的合

力與重力大小相等，故C正確，D錯(cuò)誤。

對(duì)點(diǎn)練2平衡中的臨界與極值問題

6.如圖6所示，一個(gè)傾角為30。的光滑斜面體放在粗糙的水平面上，斜面體的質(zhì)量

為2mo輕繩的一端固定在天花板上，另一端系住質(zhì)量為m的小球，整個(gè)系統(tǒng)處

于靜止?fàn)顟B(tài)，輕繩與豎直方向的夾角也為30。。若滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力,

則斜面體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為（）

圖6

A-6

D.興

答案C

解析對(duì)小球受力分析，如圖甲所示，沿斜面方向由平衡條件得機(jī)gsin3（r=Frcos

30°,解得Fr=mgtan30。=手機(jī)5；對(duì)小球和斜面體構(gòu)成的整體受力分析，如圖乙

所示，由平衡條件得，水平方向滿足尸面1130。=4,豎直方向滿足RN+RTCOS30。

=3mg,當(dāng)4=〃尿時(shí)，斜面體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)最小，解得〃==，故C

正確。

乙

7.（2024?遼寧沈陽模擬）如圖7所示，繩下端掛一物體，用力R拉物體使懸線偏離

豎直方向的夾角為a=60。，且保持其平衡。保持60。不變，當(dāng)拉力R有極小值時(shí),

R與水平方向的夾角夕應(yīng)是（）

圖7

A.OB.9O0

C.60°D.450

答案C

解析根據(jù)題意可知，。點(diǎn)受三個(gè)拉力處于平衡狀態(tài)，向上的兩個(gè)拉力的合力大

小等于物體的重力，方向豎直向上，作出力的矢量三角形如圖所示，當(dāng)R與天花

板相連的繩子垂直時(shí)，拉力R最小，根據(jù)幾何關(guān)系知夕=a=60。，故C正確。

8.（多選）（2023?河南新鄉(xiāng)市模擬）如圖8所示，重力大小為G的物體A靜止在傾角6

=37。的固定斜面上，現(xiàn)用水平力推A,在水平力由零逐漸增加至G再逐漸減為零

的過程中，物體A始終保持靜止。取sin37o=0.6,cos37。=0.8。在水平力變化

的過程中，下列說法正確的是（）

圖8

A.A對(duì)斜面的壓力的最大值為L(zhǎng)4G

B.A對(duì)斜面的壓力的最小值為零

C.A所受摩擦力的最大值為0.2G

D.A所受摩擦力的最小值為零

答案AD

解析垂直斜面方向，由FN=GCOS37°+Fsin37。知，在水平力增加至G時(shí)，A

對(duì)斜面的壓力最大，最大值為RNI=GCOS370+Gsin37。=1.46,A正確；在水平

力為零時(shí)，A對(duì)斜面的壓力最小，最小值為八2=GCOS37O=0.8G,B錯(cuò)誤；平行

斜面方向，由Gsin37。=Reos37。土4知，在水平力為零時(shí)，A所受摩擦力方向沿

斜面向上，大小為歷i=Gsin37o=0.6G,在水平力為G時(shí)，A所受摩擦力方向沿

斜面向下，大小為fh=Gcos37。-Gsin37。=0.26,可知A所受摩擦力的最大值

為0.6G,C錯(cuò)誤；根據(jù)上述，當(dāng)水平推力沿斜面向上的分力與重力沿斜面向下的

分力大小相等時(shí)，A相對(duì)斜面沒有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，此時(shí)A所受摩擦力的最小值為零，

D正確。

B級(jí)綜合提升練

9.（2023?廣西桂林模擬）如圖9所示，輕質(zhì)彈簧一端固定在水平墻上，另一端與一

小球相連，在小球上再施加一個(gè)拉力R使小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧與豎直方向夾

角為a,拉力R與豎直方向夾角為￡,且。+￡<90。；現(xiàn)保持拉力口大小不變，

方向緩慢轉(zhuǎn)至水平，則下列說法正確的是（）

圖9

A.ct先增大后減小B.a一直減小

C.彈簧的彈力先減小后增大D.彈簧的彈力先增大后減小

答案A

解析根據(jù)題意，對(duì)小球受力分析，如圖所示，保持拉力R大小不變，方向緩慢

轉(zhuǎn)至水平過程中，由矢量三角形可知，彈簧彈力逐漸增大，a先增大后減小，故

A正確。

10.（2020.山東卷，8）如圖10所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分

別為機(jī)和2機(jī)的物塊A、B,通過不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過滑輪連接，A、3間的接觸

面和輕繩均與木板平行。A與3間、3與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃，設(shè)最大靜

摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。當(dāng)木板與水平面的夾角為45。時(shí),物塊A、3剛好要滑動(dòng)，

則〃的值為（）

1

A-3B4

1

D6

答案C

解析根據(jù)題述，物塊A、3剛要滑動(dòng)，可知A、3之間的摩擦力和3與木板間

的摩擦力均達(dá)到最大靜摩擦力，隔離A分析受力，由平衡條件可得R=RfAB+/ngsin

45°,Fm=mgcos45°,F￡AB=〃FNA,對(duì)A、B整體，由平衡條件可得2F=3mgsin45°

-Ff,FN=3機(jī)geos45°,Ff=juFN,聯(lián)立解得〃=g,選項(xiàng)C正確。

H.（多選）如圖11所示，傾角6=30。的斜坡上放有一質(zhì)量為m=3kg的物體，給物

體一沿斜坡向下的速度，物體剛好沿斜坡勻速下滑。現(xiàn)用輕繩拴接物體，一位同

學(xué)站在斜坡的一定高度處用力拉物體沿斜坡緩慢上滑，已知拉動(dòng)過程中該同學(xué)對(duì)

輕繩的作用點(diǎn)到斜坡的距離不變，物體沿斜坡上滑，且輕繩與斜坡間的夾角為a

時(shí)，外力最小值為Knin,此時(shí)物體所受的摩擦力大小為歷，物體對(duì)斜坡的壓力大

小為重