第18講解直角三角形（第2課時，構造直角三角形）（八大題型）

01學習目標

學習目標

1、掌握構造直角三角形的核心思想；

2、學會一些常用的作輔助線的方法；

3、能結合其他幾何知識解直角三角形。

02思維導圖

03知識清單

一、解非直角三角形：

核心思想一、無直角作輔助線構造直角

向鈍角的對邊作垂線向銳角的對邊作垂線向直角的對邊作垂線

核心思想二、有直角作輔助線構造三角形

HC"

注：常適用于含90。的圖形，如含直角的三角圖形特殊平行四邊形等

核心思想三、構造三角形的同時構造直角

M

M\D\〃

"工

X

BNEC-------\——

二、解非直角三角形一些常用作輔助線的方法

A

A

acBFEC

BECD

C=26，tan2=",則的長為（）

【即學即練1】如圖，在中，44=30。，A

2

B

A.2+2由B.3+百C.乙D.5

【即學即練2】如圖，在“8。中，ZBAC=60°,48=45。，BC=6屈，AD平分/B4c交BC于點、D,

則線段ND的長為（）

A.676B.12C.573D.6

題型精講

題型1:單個非直角三角形

【典例11.如圖，在28c中，乙4=30。，AC=243,tanB=—,則的長為（）

2

A.2+273B.3+6C.4D.5

【典例2】一如圖，在等腰AABC中，AB=AC.若/"C=a,AB=m,則底邊3C=()

BC

.c.a.a

A.m-smaB.2m-smaC.2m-sin—D.m-sm一

22

【典例3]..在△/5C中，5C=百+1,N5=45。，ZC=30°,則的面積為()

A.B.蟲+1C.D.V3+1

222

【典例4】..如圖，在△/BC中，NB=30°,/。=2<05。=：則/8邊的長為.

A

【典例5】..如圖，ZACB^45°,^PRQ=125°,28c底邊BC上的高為4,“0尺底邊Q?上的高為生,

則有（）

AP

B/XC

A.\=h2B,h1VhC.D.以上都有可能

題型2：一圖多三角形

【典例6】..如圖，在J8C中，ZBAC=60°,NB=45。,BC=6y[6,AD平分/BAC交BC于點D,則線

段/。的長為（）

C

A.6A/6B.12C.6垂1D.6

3

【典例7】..如圖，在RtZWSC中，ZABC=90°,且tanC=~,/C上有一點D,滿足4￡>:DC=1:2,則

tanZABD的值是________.

A

K

BC

【典例81.如圖，在四邊形ABCD^,C4平分/BCD,AB1AC,ZB=60°,AE工BC于點E.若

BC=IO,則點A到CD的距離為

D

A

【典例9】..如圖，在AA8C中，ZA=15°,48=2,P為/C邊上的一個動點（不與A、C重合），連接AP,

V6

D.2

A.72B.V3~2

【典例10］一如圖，在RtZ\4BC中，CD是斜邊上的高，將得到的兩個A/CO和△BCD按圖①、圖②、

圖③三種方式放置，設三個圖中陰影部分的面積分別為邑，邑，若所=邑，則岳與邑之間的關系是（）

題型3：四邊形（含特殊平行四邊形）

【典例11］一如圖，在四邊形48CD中，ZABC=ZADC=90°,AB=7,BC=9,CD=3,則四邊形

的面積為（）

C.52D.54

【典例12］..如圖，四邊形ABCD的對角線/C、AD相交于。，ZAOD=60°,AC=BD=2,則這個四邊

形的面積是（）

D

A.B.—C.6D.2A/3

2

4

【典例13]..如圖，在菱形45CD中，點￡,尸分別是BC,C。的中點，連接ZE,AF.^sinZEAF=-,

AE=5,則48的長為.

【典例14]..如圖，在矩形48co中，點E為AD上一點，連結8E,作/E3C的平分線交。于點尸，連

3DF

結Z尸交8E于點G.若/B=3G,tanZABE=-,則一的值為（）

4FC

【典例151.如圖，在正方形N8CD中，點E是BC的中點；于點尸，連接。尸，若EF=1,則。尸

的長為.

題型4：網(wǎng)格問題

【典例161.如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點N、B、C、。都在這些小正方形的頂點上，AB與

C。相交于點尸，則N/PD的余弦值為（）

A1D

A?2DR.---------L/.---------乎

25

【典例171.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，點4,2,C為網(wǎng)格線交點，AD1BC,垂足為則sin/340

的值為

題型5：平面直角坐標系問題

【典例19]..如圖，以&4OC的頂點。為坐標原點，OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,若AAOC=a,

AO=c,OC=a,AC=b,則點/的坐標是()

B.(ccosa,csina)

C.(asina,“cose)D.(csina,ccosa)

【典例20]..如圖，△/OB中，。/=4,05=6,48=2不，將08繞原點。旋轉90。，則旋轉后點/

的對應點/'的坐標是（）

B.（2百，-4）或（-2百，4）

C.（-252）或（25-2）D.（2,-26）或（-2,2百）

題型6：解直角三角形與函數(shù)結合

【典例21]..如圖，在平面直角坐標系中,菱形480C的頂點O在坐標原點，ZBOC=60°,頂點C的坐

連接AD,當軸時，發(fā)的值是（）

-40D.-6A/3

【典例22]..如圖，在平面直角坐標系中，AO=5,點3在x軸正半軸上，sin//Q8=0.6,若點A在反

比例函數(shù)y=。（左片0）的圖象上，則左的值為.

題型7：解答題綜合

3

【典例23]..如圖，在△/BC中，ZACB=45°,cotS=-,SC=10.

（1）求的長；

（2）如果CD為邊N3上的中線，求/DC8的正切值.

A

a

BC

【典例24]..已知：如圖，在“3C中，NB=45。,是BC邊上的中線，過點。作。E148于點E,

3

且sinZ.DAB=—,BD=3A/2?

(1)/8的長；

⑵NCAB的余切值.

【典例25】?.如圖，已知在四邊形N3C。中，AD〃BC,N/BC=90。，對角線/C、AD相交于點。，40=2,

AB=3,BC=4.

(1)求/OC的面積；

(2)求//CD的正弦值.

【典例261.如圖，四邊形/BCD中，AD//BC,AD1CD,ADCD^2.

(1)如果BC=3,求cot3的值；

(2)如果=求四邊形/BCD的面積.

【典例27]..如圖，在RtZ\/8C中，N/8C=90。，點。為8c的中點，DEJ.AC于點、E,連接8E.已知

DE=1.

B

2

CEA

(1)若tanC=g,求48的長度；

(2)若NC=30。，求sin/3E4.

題型8:動態(tài)幾何問題

【典例28】..如圖，在矩形中，48=8,3c=7,M、N分別是邊。、上的點，將四邊形4DMN

沿九W翻折至四邊形比或W,點E落在3C邊上，且3E=4,則〃/的長為.

【典例29]..折疊矩形紙片/BCD,使/。與8C重合，得到折痕EB,把紙片展平，在上選一點尸，

沿AP折疊，使點N落在折痕E尸上的點G處，把紙片展平，連接尸G,BG,若4P=2,FG=6則線

段尸。的長為.

【典例30]..如圖，必A/BC中，乙4c8=90。，/C=10,BC=20,CD是A/BC的中線，E是邊3。上一

動點，將沿ED折疊，點B落在點尸處，川交線段CD于點G,當ADPG是直角三角形時，

CE=.

So

'強化訓練

一、單選題

4

1.如圖，在AASC中，AB=AC=5,Sin5=-,則BC的長是（）

2.如圖，在AABC中，/4=120。，AB=4,AC=2,貝UsinB的值是（）

3.如圖，在AABC中，/8=30,N4=37。，ZC=33°,則點/到直線8c的距離為（）

5.在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，那么sin/4C8的值為（)

c

6.在四邊形/BCD中，ZA=135°,ZB=45°,ZC=30°,AB=^2,ND=1,則四邊形NBC。周長為（）

AD

/435°

A.5+71+6B.4+V2+V3c.5+V2+V5D.4+V2+V5

7.如圖，在AABC中，N8和/C都是銳角，若/B=a,NC=￡,則(

A.AB-cos/3=AC-cosaB.ABsina=AC-cosP

C.ABsina=AC-sinAB?sinp=AC-sina

8.如圖，直線y=gx-3與坐標軸交于點/、B,過點3作48的垂線交x軸于點C,則點C的坐標為()

y=V3x-3

sA/、

A.(-373,0)B.(-6,0)C.(-2>/3,0)D.(-Ao)

9.如圖，在平面直角坐標系中，矩形N8CD的頂點/在第一象限，B,。分別在y軸上，。是8。的中點.

若48=03=28，則點C的坐標是()

C.(G,3)D.(-V3,-3)

10.如圖，正方形/BCD的邊長為4,N為4D上一點，連接BN,AM于點M,連接CM,若=2,

C.7D.8

二、填空題

11.如圖，已知△NBC中，BC=2cm,AB=30°,44=45°則/。=cm.

2

12.如圖，在AASC中，4B=3,sinB=-fZC=45°,則4C的長為

B

4

13.如圖，在四邊形/BCD中，ZB=ZD=90°,AB=3,BC=2,tanA=-,則CD=.

14.如圖3,在Rt448C中，ZC=90°,。是/C邊的中點，過。作。垂足為點E,如果4。=2,

AB=6,那么cos/4D￡=

15.如圖：兩張寬度都為5cm的紙條交叉重疊在一起，兩張紙條交叉的夾角為a（見圖中的標注），則重疊

（陰影）部分的面積表示為.

3

16.如圖，在及△/BC中，ZC=90°,D為BCk一點、,AB=5,BD=1,tanB=—.貝！Jsina

4

17.如果一個四邊形的某個頂點到其他三個頂點的距離相等，我們把這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂

點叫做這個四邊形的等距點.如圖，已知梯形ABCD是等距四邊形，AB〃CD,點B是等距點.若BC=10,

cosA=—,則CD的長等于

10

AB

18.如圖，在Rt^/BC中，NC=9(T,ZC=4,8C=3,點。在ZC邊上，點￡在射線上，將VADE沿DE

翻折，使得點A落在點H處，當4O_LZC且C4'〃/3時，BE的長為

三、解答題

19.如圖所示，在23C中，/8=45。，CD是48邊上的中線，過點D作。垂足為￡,若

3

CD=5,sin/.BCD=-.

5

(1)求8C的長；

(2)求//CB的正切值.

20.如圖，在AJBC中，AC=45,BC^y/13,cos/=@，點。在3C邊上，且CD=28_D,DE1AB,

垂足為E,聯(lián)結CE.

(1)求線段A8的長；

(2)求/CE4的正切值.

21.如圖，在RtZ\/3