期末必刷題02熱考題與壓軸題（24題型76題）

盛型大裳合

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題型一幾何圖形的角度計(jì)算問題題型十三解三元一次方程組及應(yīng)用

題型二根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求解題型十四整式/分式的化簡求值

題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型十五整式的乘除與幾何圖形中的應(yīng)用

題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系題型十六配方法的應(yīng)用

題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用題型十七選用合適的方法分解因式

題型六利用平移的性質(zhì)求解題型十八因式分解的應(yīng)用

題型七與平行線有關(guān)的折疊問題題型十九特殊方法分解因式

題型八平行線與三角板綜合題型二十分式加減的實(shí)際應(yīng)用

題型九與平行線有關(guān)的動點(diǎn)問題題型二十一根據(jù)分式方程解的情況求解

題型十二元一次方程組的特殊解法題型二十二與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題

題型十一已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)題型二十三從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息

題型十二二元一次方程組的應(yīng)用題型二十四統(tǒng)計(jì)圖綜合

駁型大通關(guān)

題型一幾何圖形的角度計(jì)算問題

1.“蒼南1號”是我國第一個平價海上風(fēng)電項(xiàng)目，服務(wù)于國家“雙碳”戰(zhàn)略，具有顯著的環(huán)境效益和經(jīng)

濟(jì)效益.如圖1所示，風(fēng)電機(jī)的塔架OP垂直于海平面，葉片。4,OB,OC可繞著軸心0旋轉(zhuǎn)，且

ZAOB=ZBOC=ZAOC.

B

C

A

P

圖1圖3

⑴如圖2,當(dāng)。4L0P時，求/BOP的度數(shù).

(2)葉片從圖3位置(Q4與。尸重合)開始繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后NAOP與乙BOP互補(bǔ)，則旋轉(zhuǎn)的

最小角度是多少度？

【答案】(1)150。

⑵旋轉(zhuǎn)的最小角度是30。

【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角定義的應(yīng)用，角的計(jì)算，認(rèn)識圖形，正確進(jìn)行角的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，得到NA0B=NBOC=NAOC=12O。，根據(jù)垂直的定義，結(jié)合圖形，得到/CO尸的度數(shù)；

(2)根據(jù)題意，設(shè)旋轉(zhuǎn)的最小角度是廿，由NAOP與，AOC互為補(bǔ)角，求出了的值，得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：因?yàn)镹AO3=N3OC=NAOC,

又因?yàn)?？AO37BOC2AOC360?,

所以ZAOB=ZBOC=ZAOC=120°.

因?yàn)椤?1.0尸，

所以NAOP=90°,

所以ZCOP=ZAOC-ZAOP=120°-90°=30°,

所以Z.BOP=ZBOC+ZCOP=120°+30°=150°.

(2)解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的最小角度是無。，則N4OP=x。，ZfiOP=(x+120)°,

因?yàn)閆AOP與ZBOP互補(bǔ)，

所以NAOP+/BOP=180。，即廿+(*+120)。=180。，

解得尤=30,

所以旋轉(zhuǎn)的最小角度是30。.

2.如圖，已知點(diǎn)A、O、8在同一直線上，OC±OD,OE平分■NBOC.

⑴若ZBOD=20°,求ZAOC和Z.DOE的度數(shù).

(2)若OD恰好平分/BOE,求NBOD的度數(shù).

【答案】(1)ZAOC=70。；NDOE=35°

(2)/BOD=30°

【分析】本題考查了角平分線的定義、幾何圖中角度的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義是解此題的關(guān)鍵.

(1)首先根據(jù)垂直的概念得到/COD=90。，根據(jù)角的和差關(guān)系和平角的概念求出的度數(shù)-AOC；然后

結(jié)合角平分線的概念求出NOOE的度數(shù)；

(2)根據(jù)角平分線的概念求解即可.

【詳解】(1)-.-OCIOD

.-.ZCOD=90°

?:NBOD=20。

ZAOC=180-NBOD-Z.COD=180-20°-90°=70°；

NBOC=NBOD+NCOD=110°,OE平分/BOC

ZBOE=-NBOC=-xll0°=55°

22

ZDOE=ZBOE-ZBOD=55°-20°=35°

(2)?.?OD平分/BOE

ZDOE=ZBOD=-ZBOE

2

?.?OE平分NBOC

NBOC=2ZBOE=4ZBOD

ZCOD=ZBOC-ZBOD=4NBOD-ZBOD=3ZBOD

ZCOD=90°

:.ZBOD=30P.

3.如圖，點(diǎn)。是直線砂上一點(diǎn)，射線04,OB,OC在直線砂的上方，射線OD在直線族的下方，且

OF平■分■/COD,OA±OC,OBY.OD.

(1)若/。。歹=40。，求—AO3的度數(shù)；

⑵若Q4平分/BOE,求廠的度數(shù).

【答案】⑴80°

⑵30°

【分析】(1)利用垂線和角平分線的性質(zhì)即可解答；

(2)設(shè)=則4)0/=/(%>/=彳，得出渤03=COD=2x,結(jié)合平分/BOE,得到

彳於0E=AOB=2x,進(jìn)而得至!JNBOC=90°-2X,結(jié)合圖形可知/40后+403+/30。+/。0尸=180。，

列方程，解方程即可解答.

【詳解】(1)?.?8平分NCOD,ZD(9F=40°,

:.ZCOD=2ZDOF=80°,

又?.?Q4_LOC,OBLOD,

:.ZAOC=ZBOD=90°,

：.ZAOB+ZBOC=Z.COD+ZBOC=90°,

\彳於OB=COD=80°；

(2)^DDOF=x,貝?。?0尸=/。0尸=尤，

/.ZDOC=2/DOF=2x,

:.彳於OB=COD=2x,

?.Q平分4OE,

\彳於OE=AOB=2x,

-.-ZAOC=90°,

：.ZBOC=90°-2x,

---ZAOE+ZAOB+ZBOC+Z.COF=180°,

/.2x+2x+90°-2x+x=180。，

x=30°,

ZDOF=30°

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想，簡化問題是解

題的關(guān)鍵.

題型二根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求解

4.如圖，已知AB/AC于點(diǎn)4ZC+Z￡DC=90°.

AE

(1)試說明/■BAE+N￡'=180。.(填空)

已知AB/AC,得NBAC=90°,所以NC+=90°,

又已知NC+NEDC=90。，根據(jù),得ZB=NEDC,根據(jù),

得AB〃DE,根據(jù),得NB4E+NE=180。.

⑵若NC=NEAC,NE=55。,求一〃的度數(shù).

【答案】(1)見解析

⑵々=55。.

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)互余關(guān)系，平行線的判定和性質(zhì)，作答即可；

(2)根據(jù)NC=NK4C,得到AE〃BC,進(jìn)而得到NEDC=/E,根據(jù)NEDC=/B,即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：已知⑷3人AC,得NBAC=90。，

所以NC+/3=90。，

又已知NC+N￡DC=90。，根據(jù)同角的余角相等，得ZB=NEDC,

根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得AB〃DE,

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得/氏4￡'+/￡'=180。；

故答案為：ZB,同角的余角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

(2)VZC=ZEAC,

：.AE//BC,

?.NEDC=NE,

由(1)知：/EDC=NB,

：.ZB=ZE=55°.

5.如圖，在三角形ABC中，E是AC上一點(diǎn)，EF//BC,交48于點(diǎn)/，。是上一點(diǎn)，

ZAFE=NCDE.

A

（l）OE與AB平行嗎？請說明理由；

⑵若48=130。，求/￡>￡F的度數(shù).

【答案】（1）平行，見解析

⑵130度

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得=等量代換得出ZABC=NCZ）E,根據(jù)平行線的判定

定理，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/B+/班E=180。，由（1）可得進(jìn)而得出

NDEF+/BFE=180°,即可求解.

【詳解】（1）解：理由如下；

?.?EF〃臺C（已知），

.?.NAEE=NABC（兩直線平行，同位角相等），

?.?NAFE=NC￡）E（已知），

ZABC=ZCDE（等量代換），

二小〃48（同位角相等，兩直線平行）；

（2）〃3C（已知），

ZB+ZBFE=180°,

由（1）得DE〃AB

:.NDEF+NBFE=180。,

:.NB=NDEF=130°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，已知CD〃3E,Zl+Z2=180°.

D

C

AFB

（1）試問與—ABC相等嗎？請說明理由；

⑵若ND=2NAEF,Zl=136°,求/。的度數(shù).

【答案】（1）相等，理由見解析

⑵88°

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得/1+/CBE=18O。，結(jié)合/1+/2=180。即可得出內(nèi)錯角相等，進(jìn)而得出

EF//BC；

（2）由平行線的性質(zhì)可得"=根據(jù)題意求出/2的度數(shù)即可解答.

【詳解】（1）解：/AFE與NABC相等，理由如下：

,/CD//BE,

.-.Zl+ZCSE=180o,

?.?Zl+Z2=180°,

二./2=/C3E（同角的補(bǔ)角相等），

J.EF//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

.?.NAEE=ZABC（兩直線平行，同位角相等），

（2）解：VCD//BE,

:.AD=ZAEB,

;ZAEB=N2+ZAEF,ZD=2ZAEF,

.\Z2=ZAEF,即ND=2N2,

?.?/1=136°,/l+/2=180°,

.,.N2=44°,

即？D88?.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判斷是解題關(guān)鍵.

題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

7.如圖，點(diǎn)E在BC的延長線上，連接OE,作NCE。的角平分線分別交線段AO,DC于點(diǎn)產(chǎn)，點(diǎn)G,

已知AB〃CD,AD//BC.

⑵若4=105。，"FE=28。，求NC￡處的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZCDE=19°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出/應(yīng)0=2/%F,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得"EE=NBEF；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得"CE=N3=105。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAr>C=NDCB=105。，

ZADE+/BED=180。,根據(jù)(1)的結(jié)論得出N3EE)=2NZ)FE=56。，ZADE=180°-ZBED=124°,進(jìn)而

根據(jù)NCDE=NADE-NADC,即可求解.

【詳解】(1)解：平分NCED,

NBED=2NBEF,

'：AD//BC

ZDFE=ZBEF,

(2)解：AB//CD,Z.B=105°,

ZDCE=NB=1。5。,

'：AD//BC,

：.ZADC=ZDCE=105°,ZADE+/BED=180°.

,/"EE=28。，

ZBED=2NDFE=56°,

ZADE=180°-ABED=124°,

ZCDE=ZADE-ZADC=124°-105°=19°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AB//CD,E,尸分別是AB,C。上的點(diǎn)，EG平分NAEF交CD于點(diǎn)、G,GH平分NEGD交

EF于點(diǎn)、H.

AEB

Q__________________D

1GFU

⑴當(dāng)NAEG=70。時，求/I的度數(shù)；

⑵當(dāng)4=28。時，求/2的度數(shù).

【答案】(1)4=35。

⑵Z2=68°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/EG尸=70。，再由角平分線的定義可得N1=；NEG尸=35。；

(2)根據(jù)角平分線的定義得到NEGV=56。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAEG=/EGF=56。，

ZAEF+Z2=180°,再由角平分線的定義求出NAERnZNAEGullZ。，貝UN2=180。一/4￡歹=68。.

【詳解】(1)解：：四〃。。，

Z.ZAEG=NEGF,

'：ZAEG=70°,

/.ZEGF=70。,

,：GH平分NEGF,

：.Z1=-ZEGF=35°.

2

(2)解：,:GH平分NEGF,Zl=28°,

NEG尸=2/1=56°,

AB//CD,

：.ZAEG=ZEGF=56°,ZAE/+N2=180°.

,/EG平分NAEF,

：.ZAEF=2ZAEG=112。，

Z2=180°-ZAEF=180°-112°=68°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知AD〃BC,ZA=ZC=m°.

ABAEFBAEFB

(1)如圖①，求證：AB//CD；

⑵如圖②，連接8。，若點(diǎn)￡,e在線段上，且滿足=并且。E平分求/EDB

的度數(shù)；(用含0的代數(shù)式表示)

⑶如圖③，在(2)的條件下，將線段BC沿著射線43的方向向右平移，當(dāng)/?=/CBD時，求

-4SD的度數(shù).(用含機(jī)的代數(shù)式表示)

【答案】(1)證明見解析

⑵187

(3)18?！?/p>

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/O+NC=180。，進(jìn)而推出/D+NA=180。，即可證明AB〃CD；

1180°—加。

(2)先由平行線的性質(zhì)得到NADC=18O。-初,再根據(jù)已知條件可證明N￡OB=5NAOC=---；

(3)證明/?！旰?/4。石，再由//位見=/互＞尸，NFDB=NCDB,可得

【詳解】(1)證明：??,AD〃3C,

AZD+ZC=180°,

VZA=ZC=m°,

AZZ)+ZA=180°,

???AB//CD；

(2)解：?：AD//BC,ZC=m°,

JZADC=180。—NC=180°-m°,

。石平分NAD9，

ZADE=ZFDE,

?；NFDB=NBDC,ZFDB+ZBDC+ZADE+ZFDE=ZADC,

ZFDE+ZFDB=-ZADC,

180。加°

ZEDB=-ZADC=

22

(3)解：：AB//DC,

：.NDEA=NEDC,

?：AD//BC,

：./DBC=ZADB,

,：ZDEA=ZDBC,

：.NEDC=ZADB,

：.Z.CDB+NEDB=ZADE+ZEDB,

：.NCDB=ZADE,

■:ZADE=NEDF,ZFDB=ZCDB,

：.ZADE=ZEDF=ZFDB=ZCDB,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

10.已知：如圖，直線。〃6,點(diǎn)46分別是a,6上的點(diǎn)，APB是a,6之間的一條折線，且

ZAPB<90°,0是a,6之間且在折線心8左側(cè)的一點(diǎn).

⑴若4=30°,ZP=84°,則N2=度；

⑵若NQ的一邊與總平行，另一邊與尸3平行，請?zhí)骄縉Q,Zl,N2間滿足的數(shù)量關(guān)系并說明理由:

⑶若/。的一邊與R4垂直，另一邊與PB平行，請直接寫出/。，Z1,/2之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)54。

(2)?Q?1?2或？Q180??1?2,理由見解析

(3)?EQG90??1?2

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的定義，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖1,過戶作PC〃a,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；

(2)如圖2,由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到NP=NMQN,從而有

?MQN?1?2,由根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；

(3)由垂直的定義得到NQEP=90。，由平行線的性質(zhì)得到？。莊?,根據(jù)平角的定義得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖1,過戶作PC〃Q,

圖1

AZ1=ZAPC=3O°,

??.ZBPC=ZAPB-ZAPC=54°

,:b,

：.PC//b,

：.Z2=ZBPC=54°；

(2)如圖2,

圖2

QM//PB,QN//PA,

：.ZMQN+ZQNP=180°,ZP+ZQNP=180°

：.ZP=ZMQNf

???由(1)知，NP=N1+N2,

?MQN?1?2

?EQN180?1MQN180??1?2；

即？。?1?2或？。180??1?2；

(3)解:如圖3,

圖3

?：QE.LAP,

.?.ZQEP=90°,

?：QF//PB,

?QFEIP,

?.?由（1）知，ZP=Z1+Z2,

?EQF90??QFE90??1?2,

:.?EQG180??EQF90??1?2.

11.【課題學(xué)習(xí)】平行線的“等角轉(zhuǎn)化”.

如圖1,已知點(diǎn)/是BC外一點(diǎn)，連接AB,AC.求NBAC+/B+NC的度數(shù).

解：過點(diǎn)/作即〃BC,

/.NB=,Z.C=,

又：ZEAB+ABAC+ADAC=180°.

ZB+ZBAC+ZC=.

【問題解決】（1）閱讀并補(bǔ)全上述推理過程.

【解題反思】從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將一胡C,NB,NC

“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

【方法運(yùn)用】（2）如圖2,己知AB〃CD,BE、CE交于點(diǎn)￡,ZBEC=80°,求NB-NC的度數(shù).

（3）如圖3,若AB〃CD,點(diǎn)尸在AB,CD外部，請直接寫出N3,ND,—之間的關(guān)系.

【答案】（1）見解析；（2）100°；（3）ZBPD=ZB-ZD,理由見解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵；

（1）過點(diǎn)/作EO〃3C,從而利用平行線的性質(zhì)可得NB=N￡4B,AC=ADAC,再根據(jù)平角定義可得

Z￡AB+ZB4C+ZZMC=180°,然后利用等量代換可得々+Na4C+NC=180。，即可解答；

（2）過點(diǎn)￡作班〃河，從而利用平行線的性質(zhì)可得/應(yīng)產(chǎn)=180。-再利用平行于同一條直線的兩

條直線平行可得所II。，然后利用平行線的性質(zhì)可得4EC=/C,從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即

可解答；

（3）過點(diǎn)尸作PE〃CD,從而利用平行線的性質(zhì)可得=再利用平行于同一條直線的兩條直線

平行可得AB〃PE,然后利用平行線的性質(zhì)可得=從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解

答.

【詳解】解：(1)過點(diǎn)/作石D〃5C,

J/R=/EAR,AC=ADAC,

又;ZE4B+Za4C+ZZMC=180°,

???N5+NBAC+NC=180。，

故答案為：ZEAB；，/MC；180°；

(2)過點(diǎn)￡作跖〃回，

AZB+ZBEF=180°,

???ZBEF=180°-ZB,

■:AB//CD,

:.EF||CD,

：.ZFEC=ZC,

VZBEC=80°,

???NBEF+NFEC=80。,

A180°-ZB+ZC=80°,

AZB-ZC=100°；

(3)ZBPD=ZB-ZD,

理由：過點(diǎn)夕作PE〃CD,

:.ZD=ZDPE,

AB//CD,

：.AB//PE,

:.ZB=ZBPE,

*.?ZBPD=ZBPE-ZDPE,

：.ZBPD=ZB-ZD.

12.如圖，已知AB〃CE),分別探索下列四個圖形中—APC與NA,NC的關(guān)系.

PP

ABAB

PQ-—

CD---------DCDCD

圖①圖②圖③圖⑷

⑴如圖①，ZA+ZAPC+ZC=；如圖②，ZAPC=

如圖③，ZAPC=；如圖④，ZAPC=

⑵得到圖②結(jié)論的過程如下：(補(bǔ)足理由)

過戶點(diǎn)作尸Q〃AB,又

PQ//CD(同平行于第三條直線的兩直線平行)

?/PQ//AB,PQ//CD

ZAPQ=,NCPQ=）

,/ZAPC=ZAPQ+ZCPQ（圖形性質(zhì)）

ZAPC=(等量代換)

⑶仿照(2),在圖③、④中,選一個寫出得到結(jié)論的過程(給出理由).

【答案】⑴360。，ZA+ZC,ZA-ZC,ZC-ZA

(2)/A,NC,兩直線平行,內(nèi)錯角相等，ZA+NC

(3)選④，結(jié)論的過程(理由)見解析

【分析】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟練的利用平行線的性質(zhì)探究角之間的關(guān)系是解

本題的關(guān)鍵;

(1)過戶的作A3的平行線，再利用平行線的性質(zhì)逐一分析即可;

(2)過戶點(diǎn)作尸！2〃A8,如圖②；再利用內(nèi)錯角相等結(jié)合角的和差可得結(jié)論;

(3)如圖④，過點(diǎn)?作/斗〃再利用內(nèi)錯角相等結(jié)合角的和差可得結(jié)論;

【詳解】(1)解：如圖①，

AB

過點(diǎn)尸作P石〃45.

???Z/MB+ZAPE=180°,

?：AB//CD,

：.PE//CD,

：.NCP￡+NPCD=180。，

JNPAB+ZAPE+NCPE+NPCD=180°+180。=360°

???ZAPC+ZPAB+ZPCD=360°；

???圖①結(jié)論：ZAPC+ZPAB+ZPCD=360°,

過戶點(diǎn)作力2〃AB,又?.?AB〃S,如圖②；

圖②

PQ//CD（同平行于第三條直線的兩直線平行）

?/PQ//AB,PQ//CD

AZAPQ=ZA,ZCPQ=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

,/ZAPC=ZAPQ+ZCPQ（圖形性質(zhì)）

/.ZAPC^ZA+ZC（等量代換）

圖②結(jié)論：ZAPC=ZA+ZC,

如圖③，過點(diǎn)?作QF〃AB,

'：PF//AB,AB//CD.

PF//CD,

：.ZCPF=180°-ZC,

ZAPC=NCPF-ZAPF=ZA—NC,

即ZAPC=NA—NC.

.?.圖③結(jié)論為：ZAPC=ZA-ZC；

'：PF//AB,AB//CD.

：.PF//CD,

：.NCPF=ZC,

ZAPC=ZCPF-ZAPF=ZC-ZA,

即/APC=NC—NA.

圖④結(jié)論：ZAPC=ZC-ZA

(2)過戶點(diǎn)作R2〃A8,%：帕18,如圖②;

圖②

APQ//CD（同平行于第三條直線的兩直線平行）

?/PQ//AB,PQ//CD

AZAPQ=ZA,ZCPQ=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

???ZAPC=ZAPQ+ZCPQ（圖形性質(zhì)）

ZAPC^ZA+ZC（等量代換）

（3）如圖④，過點(diǎn)戶作P尸〃AB,

VPF//AB,AB//CD.

：.PF//CD,

：./CPF=ZC,

ZAPC=ACPF-ZAPF=Z.C-ZA,

即/APC=NC-NA.

13.如圖，AB〃CD,點(diǎn)、E、尸分別在直線AB,CD±,尸為直線AB和CO之間的一個動點(diǎn)，且滿足

0°<ZEPF<180°.

圖2

(1)如圖1,4EPF、ZAEP、/PPC之間的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,/EPF、ZAEP、/PFC之間的數(shù)量關(guān)系為一.

⑶如圖3,QE,。尸分別平分NPEB和NPFD,點(diǎn)尸在所左側(cè)，點(diǎn)。在E尸右側(cè).

①若N￡P(guān)/=60。，求NEQ尸的度數(shù).

②猜想規(guī)律：NEP尸與/EQF的數(shù)量關(guān)系可表示為一.

③如圖4,若乙陽2與/DF0的角平分線交于點(diǎn)4EQ與/。歿的角平分線交于點(diǎn)NBE必與

NDFQ?的角平分線交于點(diǎn)2，……依此類推，則NEPF與NEQ取3尸的數(shù)量關(guān)系是一.

【答案】⑴NEPF=ZAEP+NPFC

(2)ZEPF+ZAEP+ZPFC=360°

⑶①150°；@ZEQF+1ZEPF=180°；③22023/石。2023尸/=180°

【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系以及角平分線的有關(guān)計(jì)算，掌握相關(guān)結(jié)論，學(xué)會舉一

反三是解題關(guān)鍵.

(1)作AB〃PG,根據(jù)NAEP=NEPG、/尸產(chǎn)。=/4”即可求解；

(2)作AB〃PH,根據(jù)/AEP+/EPH=180。、NP尸C+NFPH=180。即可求解；

(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)論即可求解；

【詳解】(1)解：作A3〃PG,如圖所示：

,/AB//CD,

AB//CD//PG,

；.ZAEP=NEPG、ZPFC=ZFPG

：.ZEPF=NEPG+AFPG=ZAEP+NPFC、

故答案為：ZEPF=ZAEP+ZPFC

(2)解：作AB〃尸//,如圖所示：

圖2

AB//CD,

：.AB//CD//PH,

：.ZAEP+/EPH=180。、ZPFC+ZFPH=180°

ZAEP+ZEPH+NPFC+ZFPH=360°

即：ZEPF+ZAEP+ZPFC=360°

故答案為：ZEPF+ZAEP+ZPFC=360°

(3)解：作AB〃尸Af,QN//CD,如圖所示：

圖3

,?AB//CD,

：.AB//CD//PM//QN,

①若NEP尸=60。，

由(1)可得：ZAEP+ZCFP=ZEPF=60°

/.NPEB+NPFD=180°-ZAEP+180°-Z.CFP=360°-(ZAEP+NCFP)=300°

,/QE,QF分別平分ZPEB和NPFD,

：.ZPEQ+ZPFQ=1(ZPEB+NPFD)=150°

由(2)可得：^EQF+ZAEQ+ZCFQ=360°

即：ZEQF+ZAEP+ZCFP+ZPEQ+ZPFQ=360°

ZEQF=150°

②由(1)可得：ZAEP+ZCFP=ZEPF

：.NPEB+NPFD=180。-ZAEP+180°-ZCFP=360°-(ZAEP+NCFP)

'：QE,QF分別平分ZPEB和APFD,

：.ZPEQ+ZPFQ=1(ZPEB+NPFD)=180°-1(ZAEP+ZCFP)

由(2)可得：ZEQF+ZAEQ+ZCFQ=360°

即：ZEQF+ZAEP+ZCFP+ZPEQ+ZPFQ=360°

ZEQF+-ZEPF=180°

2

故答案為：^EQF+^ZEPF=1SO°

③由②得：ZEQF+^ZEPF=1?,QO

NBEQ與NDFQ的角平分線交于點(diǎn)Qx,

ZEQtF=^ZEQF—

依此類推：ZEQ2F=^ZEQtF,ZEQ3F=^ZEQ2F,

2023

NEQF=2ZE22023F

故答案為：22。23+1"PF=180°

ZEQ2O23F

題型五平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

14.如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸.如圖2是

手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知CG//EF,ZBAG=150°,ZAGC=80°,求

/DEF的度數(shù).

【答案】130。

【分析】過點(diǎn)F作FN〃CD,因?yàn)樗栽俑鶕?jù)平行線的性質(zhì)可以求出

ZMFA,DEFA,進(jìn)而可求出NEFN,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得.

:.ZDEF+ZEFM=l80P,ZMFA+ZBAG=180°,

ZMFA=180°-ZBAG=180°-150°=30°.

?：CG//EF,

.\ZEFA=ZAGC=S0°.

/.ZEFM=ZEFA-ZMFA=80°-30°=50°.

ZDEF=180°-ZEFM=180°-50°=130°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算.

15.在學(xué)習(xí)完《相交線與平行線》后，同學(xué)們對平行線產(chǎn)生了濃厚的興趣，蔡老師圍繞平行線的知識在班

級開展課題學(xué)習(xí)活動，探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

圖1圖2圖3

(1)【問題初探】如圖1,/CDF+/DFE=180°,NC=NDAE,求證：AD//BC.

(2)【拓展探究】在(1)的條件下，試問NADE與ZDEE之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理

由.

(3)【遷移應(yīng)用】

①路燈維護(hù)工程車的工作示意圖如圖2,工作籃底部與支撐平臺平行，已知4=31。，則N2+N3=_；

②一種路燈的示意圖如圖3所示，其底部支架43與吊線尸G平行，燈桿O)與底部支架A8所成銳角

?=15°,頂部支架所與燈桿CD所成銳角尸=45。，求跖與FG所成銳角的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)ZDFE=ZADF+ZAEB,理由見解析

⑶①211。；②跖與FG所成銳角的度數(shù)為60°

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，平行線的應(yīng)用，掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)平行線的判定定理可得/歸〃CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理可得NC=ZA￡B,結(jié)合

NC=NDAE可得ZAEB=NDAE,即可證明AD〃3C；

(2)過點(diǎn)尸作核〃4￡＞交CD于點(diǎn)G,則尸G〃AD〃3C,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明

ZDFE=ZADF+ZAEB；

(3)①參照(2)中方法，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解；②過點(diǎn)￡作中〃根據(jù)平行線的判

定定理和性質(zhì)定理求解.

【詳解】(1)證明：尸+/DFE=180。，

AE//CD,

???/C=ZAEB,

XV/C=/DAE,

：.ZAEB=ZDAE,

：.AD//BC；

(2)解：ZDFE=ZADF+ZAEB,

證明：過點(diǎn)尸作分G〃5交CO于點(diǎn)G,

AA------入D

圖1

9：AD//BC,

：.FG//AD//BC,

：?ZADF=/DFG,ZAEB=NGFE,

■:ZJDFE=ZDFG+ZGFE,

JZDFE=ZADF+ZAEB；

(3)解：①如圖，作CD〃AB,則C0|AB||EF,

支持平臺/F[^\

Z3+ZBDC=180°,Z1=ZCDE,

，N2+N3=N3+ZBDC+/CDE=180。+N1=180。+31。=211°,

故答案為：211°；

②過點(diǎn)￡作攻〃45,

由題意可知：AB//FG,ZABC=a=15°,2DEF=/3=45。,

,/EP//AB,

：.ZPEC=ZABC=15°,

'：APEC+NDEF+ZPEF=180°,

ZPEF=180°-ZPEC-ZDEF=180°-15°-45°=120°,

'：EP//AB,AB//FG,

：.EP//FG,

：.ZEFG+NPEF=180。,

ZEFG=180°-ZPEF=60°,

即：E尸與尸G所成銳角的度數(shù)為60。.

16.（1）如圖1,在48兩地間修一條筆直的公路，從/地測得公路的走向?yàn)楸逼珫|60。，如果/、8兩地

同時開工，直接寫出/a為多少度時，才能使公路準(zhǔn)確接通？

（2）如圖2,經(jīng)測量，8處在/處的南偏西56。的方向，。處在4處的南偏東17°的方向，。處在6處的北

偏東85。的方向，求—C的度數(shù).

【答案】（1）為120。時，才能使公路準(zhǔn)確接通；（2）78°

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可求出答案；

（2）利用方向角以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：⑴如圖1,

AC//BD,

.-.ZC4B+Za=180o,

Za=180°-ZC4B=180°-60°=120°,

答：當(dāng)Na=120。時，才能使公路準(zhǔn)確接通；

(2)如圖2,由題意得，ZAffiC=85°,ZS4N=56。，ZW4c=17。,

■：AN//BM//CP,

.-.ZMBC+ZPCB=180°,ZNAC=ZACP=1T,

ZPCB=180°—ZMBC=180°-85°=95°,

ZACB=ZPCB-NPCA=95°-17°=78°

即：ZC=78°.

【點(diǎn)睛】本題考查方向角，平行線的性質(zhì)，理解方向角的意義，掌握平行線的性質(zhì)是正確解答的前提.

17.【數(shù)學(xué)抽象】實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所

夾的銳角相等，如圖①，一束光線〃射到平面鏡a上，被a反射后的光線為〃，則入射光線如反射光線〃

與平面鏡a所夾的銳角相等，即/1=N2.

(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB,必是平行放置的兩面平面鏡，

請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線0為什么和離開潛望鏡的光線〃是平行的？

(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線"與反射光線〃之間的位置關(guān)系

會隨之改變.若入射光線0與反射光線〃平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角NABC為多少度？

【答案】（1）見解析；

⑵90°

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換、平角的概念即可得證；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的概念及等量代換即可求得答案.

【詳解】（1）證明：由題可知AB〃CD,Z1=Z2,/3=/4,

,/ABIICD,

：.N2=N3,

：.Nl=N2=/3=/4,

VZ5=180°-Zl-Z2,Z6=180°-Z3-Z4,

Z5=Z6,

/.mHn-,

（2）ZAfiC=90°,

由題可知AD//CE,N1=N2,/3=N4,

AD/ICE,

ZZMC+ZACE=180°,

又,:Zl+Z2+ZZMC=180°,Z3+Z4+ZACE=180°,

Z2+Z3=90°,

:B90?.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平角的概念，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)

鍵.

題型六利用平移的性質(zhì)求解

18.如圖1,在AABC中，ZC=70°,AABC的周長為12cm,邊AB在直線/上，將AABC沿著直線/平移

得到尸，（A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為O,E,F）,

（1）如圖1,連接C尸，若平移距離為2cm,則陰影部分的周長為_cm.

⑵如圖2,當(dāng)跖時，求乙BED的度數(shù)；

⑶在整個運(yùn)動中，當(dāng)/3FD=3NCBb時，則/MD的度數(shù)為一.

【答案】(1)12

⑵20°

(3)52.5°

【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)平移可得CF=4)=2cm,DF^AC,進(jìn)而可得根據(jù)陰影部分周長等于44SC的周長，即可求

解；

(2)根據(jù)平移可得NEFD=NC=70。，BC//EF,根據(jù)垂線的定義可得/CBF=90。，進(jìn)而根據(jù)平行線的

性質(zhì)即可得出NEFB=NCB產(chǎn)=90。，由ZBFD=ZBFE-ZDFE,即可求解；

(3)根據(jù)NMD=3NCM,設(shè)NBED=x,貝=；無，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)得出

ZCBF=ZEFB=ZDFE-DFB=70°-x,進(jìn)而列出方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：依題意，CF=AD=2cm,DF=AC,

「△ABC的周長為12cm,

AC+AB+BC=12cm

陰影部分的周長為CF+D8+O/+8。=(的)+。8)+47+8。=47+筋+3。=12011

故答案為：12.

(2)解：?:BCLBF,

：.NCBF=90。,

依題意，ZEFD=ZC=70°,BC//EF

：.ZEFB=ZCBF=90°,ZBFD=ZBFE-ZDFE=90°-70°=20°

(3)解：,：NBFD=3/CBF,設(shè)ZBFD=x,貝!

3

如圖，連接3F,

備用圖

,/BC//EF,ZDFE=NC=70°

ZCBF=ZEFB=ZDFE-DFB=70°-x

70—x=—x

3

解得：l=52.5。

ZBFD=52.5°

故答案為：52.5°.

19.(1)觀察計(jì)算：如圖1,在5x5的網(wǎng)格中，將線段A3向右平移，得到線段AE,連接A4',BB',

①線段48平移的距離是,

②四邊形ABRA'的面積為；

(2)動手操作：如圖2,在5x5的網(wǎng)格中，將折線ACB向右平移3個單位長度，得到折線A'C'E.

①面出平移后的折線AC?；

②連接A4',BB'，多邊形ACB'BC'A的面積為；

［說明：在正方形網(wǎng)格中，1個格長為1個單位長度］

(3)類比探索：如圖3,在一塊長為。米，寬為6米的長方形草坪上，修建一條寬為，"米的小路(小路寬

度處處相同)，請直接寫出小路的面積.

【答案】(1)①3；②6；(2)①見解析；②6；(3)mb

【分析】本題考查作圖一平移變換，解趣的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題

(1)①利用平移變換的性質(zhì)判斷即可；

②利用平行四邊形的面積公式求解；

(2)①根據(jù)要求畫出圖形；

②利用分割法求解；

(3)利用平行四邊形的面積公式求解；

【詳解】解：(1)①線段47平移的距離是3；

②四邊形的面積為2x3=6.

故答案為:3,6；

(2)①折線A'CZ'即為所求；

②多邊形ACBB'C'A的面積為2x3xl=6.

故答案為：6；

（3）小路的面積為〃必.

20.在圖①中，將線段44向右平移1個單位得到線段與生，從而得到封閉圖形44生與（即陰影部

分）：在圖②中,將折線AAA向右平移1個單位得到折線瓦與尾，從而得到封閉圖形44A3為與百（即陰

（1）圖①，圖②圖形中，除去陰影部分后，將剩余部分拼在一起就是如圖③的圖形，若剩余部分的面積分

別是耳星（圖①，圖②長方形的長均為。個單位，寬均為6個單位），貝，邑=

,加S2（填“>”或“=”或“<”）；

（2）如圖④，一塊長方形場地由一條彎曲的小路和草地組成.這條彎曲的小路（即陰影部分）任何地方的

水平寬度都是2m,除去小路部分后，空白部分表示的草地的圖形可拼在一起形成一個正方形，若這個正

方形的面積是70m,則原長方形場地的長為m,寬為m?

（3）如圖⑤，一塊長方形場地由兩條彎曲的小路（陰影部分）和草地組成.豎直方向小路任何地方的水平

寬度都是2m,水平方向小路任何地方的豎直寬度都是1m.除去小路部分后，空白部分表示草地的圖形拼

在一起形成一個長方形，且這個長方形的長是寬的2倍，面積是70mz.計(jì)劃用不超過5100元的總費(fèi)用將

兩條小路改鋪成鵝卵石路面，若每平方米路面的鋪設(shè)費(fèi)用（人工費(fèi)+材料費(fèi)）約為200元，請問總預(yù)算

5100元夠嗎？并說明理由.

【答案】（1）6（。一1）；b（a-l）；=

（2）長：（，3+2）m,寬5m

（3）總預(yù)算5100元不夠；理由見解析

【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，算術(shù)平方根的應(yīng)用，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練

掌握平移的性質(zhì).

（1）根據(jù)長方形面積公式進(jìn)行解答即可；

（2）設(shè)除去小路后的圖形拼在一起形成的正方形邊長為由，根據(jù)正方形的面積是70m2列出方程，求出x

的值即可；

（3）設(shè)空白部分表示草地的圖形拼在一起的長方形寬為四，長為2ym，根據(jù)這個長方形的面積為

70m2,列出方程，解方程得出y的值，然后求出兩條小路的總面積，再求出需要的費(fèi)用，即可得出答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：R=6（aT）；S2=/7（?-l）；

s,=s2,

故答案為：》（。一1）；6（。-1）；=；

（2）解：設(shè)除去小路后的圖形拼在一起形成的正方形邊長為mi,貝I］：

x2=10,

x=>/70（負(fù)值舍負(fù)），

???長方形場地的長=（V70+2）m,

長方形場地的寬=，6（?1）.

（3）解：設(shè)空白部分表示草地的圖形拼在一起的長方形寬為四，長為2加，

則2y2=70,

y-V35（負(fù)值舍去），

長方形場地的寬=（后+l）m,

長方形場地的長=2（庖+l）m,

則兩條小路的總面積為：2（屈+1『-70=（2+4莊）n?,

將兩條小路改鋪成鵝卵石路面的總費(fèi)用=200（2+4底）元，

4735=7560

.-.552.25<560<975,

/.23.5<A/560<24

/.25.5<2+A/560<26

/.5100<200(2+V560)<5200

答：總預(yù)算5100元不夠.

題型七與平行線有關(guān)的折疊問題

(1)若“叱=30。，求NCTG的度數(shù)；

(2)若/DEF=tf,則NCPG的度數(shù)為(直接寫出結(jié)果).

【答案】(l)/GFC=120。

(2)180°-2〃°

【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出"跖=4"￡，ZCFE+ZDEF^180°,求出/CEF的度數(shù)，最

后根據(jù)ZCFG=ACFE-ZBFE進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

(2)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NDEF=NBEE,ZCFE+ZDEF=,求出/CEF的度數(shù)，最后根據(jù)

NCFG=NCFE-NBFE進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

:.NDEF=NBFE=30。,

如圖2,

AE

?：CF//DE9

c

D

Z.CFE+Z.DEF=180°,

NCFE=180°-Z.DEF=150°,

NCFG==150°—30°=120°；

,-：AD\\BC,

,CF//DE,

ZCFE=180°-Z.DEF=180°—"°,

ZCFG=ZCFE-NBFE=180°—〃°—=180°-2n°,

故答案為：180°-2n°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵.

22.如圖1,將一條對邊互相平行的紙條進(jìn)行兩次折疊，第一次折疊的折痕為AB,且4=25。，第二次折

疊的折痕為CD.

圖1圖2圖3

⑴如圖2,若CD〃AB,則/2=

⑵如圖3,若CD〃BE,貝U/2=

【答案】⑴25。

⑵80°

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)求解即可；

(2)由平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)CD//AB,

??.Nl+ZACD=180。，

Nl=25。，

??.ZACD=180°-25°=155°,

AC//BD,

：.ZACD+Z2=180°,

AZ2=180°-ZACD=25°,

故答案為：25°；

(2)如圖3,由折疊的性質(zhì)，可得N3=N1=25。,

圖3

■:EB//AM,

???N4=N1+N3=5O。，

???AC//BD,

.??N4+NEBQ