第05講確定圓的條件

上［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1,了解三角形的外接圓與外心相關(guān)概念，

2.探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；

【基礎(chǔ)知識】

一.確定圓的條件

不在同一直線上的三點確定一個圓.

注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不

能畫一個圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過

一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓.

二.三角形的外接圓與外心

（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

（3）概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

W【考點剖析】

一.確定圓的條件（共5小題）

1.（2022?石家莊模擬）下列條件中不能確定一個圓的是（）

A.圓心與半徑B.直徑

C.三角形的三個頂點D.平面上的三個已知點

2.（2021秋?東光縣期中）經(jīng)過兩點可以做個圓，不在同一直線的個點可以確定一個圓.

3.（2021秋?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來

大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

4.（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，己知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點A（3,0）、B（5,0）、C（0,4）,O尸經(jīng)

過點A、B、C,則點尸的坐標(biāo)為（）

—J----------1----------1---------4----------1----------*---------

OABx

3133

A.（6,8）B.（4,5）C.（4,—）D.（4,—）

88

5.（2021秋?潛山市期末）在平面直角坐標(biāo)系中有A,B,C三點，A（1,3）,8（3,3）,C（5,1）.現(xiàn)

在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標(biāo)為.

二.三角形的外接圓與外心（共7小題）

6.（2022?富陽區(qū)一模）如圖，。。是△ABC的外接圓，則點。是△ABC的（）

A.三條高線的交點

B.三條邊的垂直平分線的交點

C.三條中線的交點

D.三角形三內(nèi)角角平分線的交點

7.（2021秋?興化市期末）已知正三角形的邊長為12,則這個正三角形外接圓的半徑是（）

A.273B.y/3C.3-^3D.473

8.（2022?邯山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC為直角三角形，AABC=9Q°,ABLx軸，M

為Rt^ABC的外心.若點A的坐標(biāo)為（3,4）,點M的坐標(biāo)為（-1,1）,則點8的坐標(biāo)為（）

9.（2021秋?無錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于O。，。。的半徑為r,求這個正三角形的周長和面

積.

10.（2022?沈河區(qū)校級模擬）如圖，ZVIBC是。。的內(nèi)接三角形，ZC=45°,AB=6,則。。的半徑長

為（）

A.y/2B.2yf2c.372D.472

11.（2022?福州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于。0；ZA=30°,過圓心。作OO_LBC,垂足為D若。。

的半徑為6,求的長.

12.（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于。0,高AO經(jīng)過圓心。.

⑴求證：AB—AC-,

（2）若BC=8,。。的半徑為5,求△A8C的面積.

O【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共5小題）

1.（2020秋?西林縣期末）經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以作圓的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.無數(shù)

2.（2021秋?閔行區(qū)校級期中）下列說法正確的個數(shù)有（）

①平分弦的直徑，平分這條弦所對的?。?/p>

②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；

③等弧所對的圓心角相等；

④過三點可以畫一個圓.

A.1B.2C.3D.4

3.（2021秋?泗陽縣期末）下列說法正確的是（）

A.一個三角形只有一個外接圓

B.三點確定一個圓

C.長度相等的弧是等弧

D.三角形的外心到三角形三條邊的距離相等

4.（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,-3）,8（2,-1）,C（2,3）.貝iJZXABC

的外心坐標(biāo)為（）

5.（2021秋?江北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB=4,點。為的中點，動點E、尸分別在A。、

8C上，且EF=2g,作△BEE的外接圓。O,交AC于點G、H.當(dāng)動點E從點〃向點A運動時，線段

G8長度的變化情況為（）

A.一直不變B.一直變大

C.先變小再變大D.先變大再變小

二.填空題（共2小題）

6.（2022春?重慶期中）如圖，點A、點2是直線/上兩點，AB=10,點M在直線/外，MB=6,MA=8,

ZAMB=9Q°,若點尸為直線/上一動點，連接MP,則線段的最小值是.

7.（2021秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A,B,C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三

個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為.

三.解答題（共4小題）

8.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，內(nèi)接于AB是。。的直徑，/是△A3C內(nèi)一點，A/的延

長線交2C于點。，交O。于E,連接BE,BI,若仍平分NA8C,EB=EI.

⑺求證：AE平分/BAC；

（2）若BD=或,O/_LA。于/,求CZ）的長.

9.（2022春?諸暨市校級月考）（1）請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出AABC的外心點。；

（2）設(shè)每個小方格的邊長為1,求出外接圓。。的面積.

10.（2021秋?曹縣期中）如圖，OO是△ABC的外接圓，AO_L8C于點。，圓心。在上，A8=10,

BC=12,求O。的半徑.

11.(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)已知：銳角三角形A8C內(nèi)接于。0(A8>AC),AOL8C于點。，BEL

(2)如圖2,連接OA,若。A=必，AC=BF,求/。4。的大小.

8/30

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第05講確定圓的條件

序【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解三角形的外接圓與外心相關(guān)概念，

2.探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；

【基礎(chǔ)知識】

確定圓的條件

不在同一直線上的三點確定一個圓.

注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不

能畫一個圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過

一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓.

二.三角形的外接圓與外心

(1)外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

(2)外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

(3)概念說明：

①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

W【考點剖析】

確定圓的條件(共5小題)

1.(2022?石家莊模擬)下列條件中不能確定一個圓的是()

A.圓心與半徑B.直徑

C.三角形的三個頂點D.平面上的三個已知點

【分析】根據(jù)不在同一條直線上的三個點確定一個圓，直接進(jìn)行判斷即可.

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【解答】解：4已知圓心和半徑能確定一個圓；

8、已知直徑能確定一個圓；

C、已知三角形的三個頂點，可以確定一個圓；

。、平面上的三個已知點不能確定一個圓.

故選：D.

【點評】本題主要考查了確定圓的條件，屬于基礎(chǔ)題型.注意分類討論的思想的運用.

2.（2021秋?東光縣期中）經(jīng)過兩點可以做無數(shù)個個圓,不在同一直線的三個點可以確定一個

圓.

【分析】經(jīng)過兩點可以做無數(shù)個個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓.

【解答】解：經(jīng)過兩點可以做無數(shù)個個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓.

故答案為：無數(shù)個，三.

【點評】本題考查了確定圓的條件及確定直線的條件，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單.

3.（2021秋?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來

大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小.

【解答】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條

垂直平分線的交點就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長.

故選：A.

【點評】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該

圓的圓心.

4.（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點A（3,0）、B（5,0）、C（0,4）,。尸經(jīng)

過點A、B、C,則點尸的坐標(biāo)為（）

11/30

A.(6,8)B.(4,5)C.(4,—)D.(4,—)

88

【分析】根據(jù)題意可知點P的橫坐標(biāo)為4,設(shè)點P的坐標(biāo)為(4,y),根據(jù)以=PC列出關(guān)于y的方程,

解方程得到答案.

【解答】解：：0尸經(jīng)過點4、B、C,

：.點P在線段AB的垂直平分線上，

.?.點尸的橫坐標(biāo)為4,

設(shè)點P的坐標(biāo)為(4,y),

作于E,P/tLOC于R

由題意得，

J42+(y-4)2=J1.2+y2,

解得，尸法

O

故選：C.

【點評】本題考查的是確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過不在同一直線上的三點作圓，圓心是過任

意兩點的線段的垂直平分線的交點.

5.(2021秋?潛山市期末)在平面直角坐標(biāo)系中有A,B,C三點,A(1,3),8(3,3),C(5,1).現(xiàn)

在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標(biāo)為(2,0).

【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點能確定一個圓，該圓圓心在三點中任意兩點連線的垂直平分線上，

據(jù)此及勾股定理可列式求解.

【解答】解：(1,3),B(3,3),C(5,1)不在同一直線上

經(jīng)過點A,B,C可以確定一個圓

...該圓圓心必在線段48的垂直平分線上

設(shè)圓心坐標(biāo)為M(2,M

則點M在線段BC的垂直平分線上

:.MB=MC

由勾股定理得：JQ-3)2+.-3)2=J(2二5)2+而-1)2

1+m2-6m+9=9+nr-2m+l

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.".m=0

，圓心坐標(biāo)為M（2,0）

故答案為：（2,0）.

【點評】本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點確定一個圓及圓心在這三條線段的垂直

平分線的交點上，是解題的關(guān)鍵.

二.三角形的外接圓與外心（共7小題）

6.（2022?富陽區(qū)一模）如圖，。。是△ABC的外接圓，則點。是△ABC的（）

B.三條邊的垂直平分線的交點

C.三條中線的交點

D.三角形三內(nèi)角角平分線的交點

【分析】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，進(jìn)而得出答

案.

【解答】解：是△4BC的外接圓，

...點。是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點.

故選：B.

【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確把握外心的定義是解題關(guān)鍵.

7.（2021秋?興化市期末）已知正三角形的邊長為12,則這個正三角形外接圓的半徑是（）

A.273B.V3C.3y/3D.473

【分析】設(shè)正△ABC的中心為。，過。點作OD_LBC,垂足為。，連接08,把問題轉(zhuǎn)化到中

求0B即可.

【解答】解：如圖，連接。8,作0DL2C,

VBC=12,

：.BD=如=iX12=6,

VAABC是等邊三角形,

：.ZOBD=30°,

???°8=^^=*=40已

~2

故選：D.

13/30

【點評】本題考查了正多邊形和圓.關(guān)鍵是畫出正三角形及其中心，表示正三角形外接圓的半徑，把問

題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.

8.（2022?邯山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，ZABC=90°,軸，M

為Rt^ABC的外心.若點A的坐標(biāo)為（3,4）,點M的坐標(biāo)為（-1,1）,則點8的坐標(biāo)為（）

A.(3,-1)B.(3,-2)C.(3,-3)D.(3,-4)

【分析】設(shè)C（/n，n），利用直角三角形的外心為斜邊的中點，根據(jù)線段的中點坐標(biāo)公式得到-1=華,

1=竽，求出辦w得到點C的坐標(biāo)為（-5,-2）,由于AB8軸，BC〃x軸，從而得到8點坐標(biāo).

【解答】解：為RtZXABC的外心，

.??M點為AC的中點，

設(shè)C（m,n）,

???點A的坐標(biāo)為（3,4）,點M的坐標(biāo)為（-1,1）,

1m+31篦+4

22

解得m--5,n--2,

.,.點C的坐標(biāo)為（-5,-2）,

VZABC=90°,A2_Lx軸，

；.BC〃x軸，

8點坐標(biāo)為（3,-2）.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，

叫做三角形的外心；銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；

鈍角三角形的外心在三角形的外部.也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

9.（2021秋?無錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于O。，。。的半徑為r,求這個正三角形的周長和面

積.

14/30

A

【分析】連接08、0C,作。。_LBC于￡）,則/。。2=90°,BD=CD,ZOBC=30°,由含30°角的

直角三角形的性質(zhì)得出OD，由勾股定理求出8。，得出BC,△A2C的面積=3S4OBC,即可得出結(jié)果.

【解答】解：如圖所示：

連接02、OC,作O￡）_LBC于。，

則NODB=90°,BD=CD,Z(9BC=30°,

OD=^OB=%,

22

：.BD=yJOB2-OD2=?，

：.BC=2BD=何，

即正三角形ABC邊長為Wr.

正三角形ABC周長為36T.

"BC的面積=3SAOBC=3X：X8CXOO=3x《X季產(chǎn).

2224

正三角形ABC面積為」-r2.

4

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握正三角形

和圓的關(guān)系，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵.

10.（2022?沈河區(qū)校級模擬）如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，ZC=45°,AB=6,則。。的半徑長

為（）

15/30

c.3播D.V2

【分析】連接04OB,可得NAOB=90。，進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.

OB,

AZAOB=2ZACB=90°,

"：OA=OB,

...△AOB是等腰直角三角形,

在中，OA2+OB2=AB2,AB=6,

：.2OA2=36,

0A=3y/2>

即。。的半徑是36,

故選：C.

【點評】此題考查三角形外接圓與外心，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系得出/&。8=90。.

11.（2022?福州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于O。；NA=30°,過圓心。作0DLBC,垂足為D若O。

的半徑為6,求。。的長.

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【分析】先證△BOC是等邊三角形，可得OB=OC=8C=6,由勾股定理可求解.

【解答】解：如圖，連接08,OC,

：.ZBOC=60°,

??OB=OC,

...△BOC是等邊三角形，

OB=OC=BC=6,

"JODLBC,

:.BD=CD=3,

在RtAOOB中，0D=WB2_BD2=,36-9=3代.

【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握圓周角定理是

解題的關(guān)鍵.

12.(2021秋?海淀區(qū)期末)如圖，△ABC內(nèi)接于OO,高AO經(jīng)過圓心。

(1)求證：AB=AC；

(2)若8C=8,。。的半徑為5,求AABC的面積.

17/30

A

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到麴=祝，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；

（2）連接02,根據(jù)垂徑定理求出BD,根據(jù)勾股定理求出。。，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答

案.

【解答】（1）證明：?.,ODLBC,

"-AB=在，

：.AB=AC；

（2）解:連接0B,

'：OD±BC,BC=8,

：.BD=DC=X8=4,

在Rt/XODB中,0D=yJOB2-BD2=^52-42=3,

.*.40=5+3=8,

?“△ABC=；X8X8=32.

【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題

的關(guān)鍵.

?【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共5小題）

1.（2020秋?西林縣期末）經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以作圓的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.無數(shù)

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【分析】不在同一直線上的三點確定一個圓.

【解答】解：經(jīng)過不在同一直線上的三點確定一個圓.

故選：A.

【點評】本題考查的是圓的確定，過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，

過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓.

2.（2021秋?閔行區(qū)校級期中）下列說法正確的個數(shù)有（）

①平分弦的直徑，平分這條弦所對的??；

②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；

③等弧所對的圓心角相等；

④過三點可以畫一個圓.

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及確定圓的條件進(jìn)行逐個判斷即可.

【解答】解：①平分弦（弦不是直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法錯誤；

②在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，說法錯誤；

③等弧所對的圓心角相等，說法正確；

④過不在同一直線上的三點可以畫一個圓，說法錯誤.

綜上所述，正確的說法有1個.

故選：A.

【點評】本題考查的是垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系及確定圓的條件，在解答此類問題時要注意只

有在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角、弦、弦心距都分別相等.

3.（2021秋?泗陽縣期末）下列說法正確的是（）

A.一個三角形只有一個外接圓

B.三點確定一個圓

C.長度相等的弧是等弧

D.三角形的外心到三角形三條邊的距離相等

【分析】根據(jù)三角形的外接圓、等弧的定義、三角形外心的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：4任意三角形都有且只有一個外接圓，正確，本選項符合題意；

8、不共線的三點確定一個圓，原說法錯誤，本選項不符合題意；

C、長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，本選項不符合題意；

。、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，本選項不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的外接圓、等弧的定義，熟練掌握圓的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,-3）,B（2,-1）,C（2,3）.貝

的外心坐標(biāo)為（）

19/30

【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標(biāo)系中作與8c

的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心.

【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點0'即為所求.

,/AABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，

；.所與的交點即為所求的△42C的外心，

.?.△ABC的外心坐標(biāo)是（-2,1）.

故選：D.

【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì).注意三角形的外心即是三角形三邊垂直

平分線的交點.解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5.（2021秋?江北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB=4,點。為48的中點，動點、E、F分別在A。、

8C上，且EF=2W，作△BEF的外接圓（DO,交AC于點G、H.當(dāng)動點E從點。向點A運動時，線段

GH長度的變化情況為（）

A.一直不變B.一直變大

C.先變小再變大D.先變大再變小

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求ON=1,FO=OB=GO=OH=2,則點O在以點8為圓心，2為半徑

的圓上運動，由勾股定理可求GH=2,4-0尸2,即可求解.

【解答】解：如圖，連接2。，EO,FO,GO,HO,過點。作ONLEP于N,。尸，G8于尸,

20/30

A.

,：AABC是等邊三角形，

/.ZABC=60°,

AZE（?F=120°,

'：OE=OF,ON±EF,

：.ZOEF=ZOFE=30°,EN=FN=避,

：.OF=2ON,FN=y/3ON,

：.ON=1,FO=2,

：.OB=GO=OH=2,

...點O在以點2為圓心，2為半徑的圓上運動，

?：OG=OH,OPLGH,

：.GH=2PH,

,-■PH=y/OH2-OP2=,4-OP2,

GH=2、4—OP2,

動點E從點。向點A運動時，OP的長是先變小再變大，

:.GH的長度是先變大再變小，

故選：D.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定

點。的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共2小題）

6.（2022春?重慶期中）如圖，點A、點2是直線/上兩點，AB=10,點M在直線/外，MB=6,MA=8,

ZAMB=90°,若點P為直線/上一動點，連接MP,則線段M尸的最小值是4.8.

【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)MPLAB時，有最小值，再利用三角形的面積可列式計算求解

的最小值.

21/30

【解答】解：當(dāng)MPLAB時，有最小值，

VAB=10,MB=6,MA=8,ZAMB^9Q0,

：.AB-MP=AM-BM,

即10MP=6X8,

解得MP=4.8.

故答案為：4.8.

【點評】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到最小時的尸點位置是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系無Oy中，點A,B,C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三

個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為（2,1）.

【分析】根據(jù)圖形得出A、B、C的坐標(biāo)，再連接A2,作線段和線段2C的垂直平分線MN、EF,兩

線交于。，則。是圓弧的圓心，最后求出點。的坐標(biāo)即可.

【解答】解:從圖形可知：A點的坐標(biāo)是（0,2）,2點的坐標(biāo)是（1,3）,C點的坐標(biāo)是（3,3）,

連接A8,作線段和線段的垂直平分線MN、EF,兩線交于。，則。是圓弧的圓心，如圖，

六。點的坐標(biāo)是（2,1）,

故答案為：（2,1）.

【點評】本題考查了確定圓的條件，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理等知識點，能找出圓弧的圓心。的位置

是解此題的關(guān)鍵.

三.解答題（共4小題）

8.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，是O。的直徑，/是△ABC內(nèi)一點，A/的延

長線交8c于點。，交。。于E,連接BE,Bl,若平分乙4BC,EB=EI.

（D求證：AE平分NBAC；

22/30

(2)若20=方，0/_L4。于/,求CD的長.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NAB/=/CB/,由等腰三角形的性質(zhì)得到NEB/=NE/B,通過

三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論；

(2)由是。。的直徑，得至！JAEL8E,推出。/〃BE,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到4=/E=BE,

DEBE1

推出AE=2BE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到一=—=-,求得BE=2,DE=1,AE=4,AD=3,由

BEAE2

ACBE

弋XNCDsXBDE,得到一=—=2,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

CDDE

【解答】解：(1)???/8平分NABC,

J/ABI=/CBI,

?；EB=EI,

ZEBI=ZEIB9

???ZEBI=ZBAI+ZIBA,ZEBI=NIBC+NCBE,

：?/BAE=/CBE,

?；NCBE=NEAC,

：.ZBAE=ZCAE,

平分NA4C；

(2)〈AB是OO的直徑，

：.AE±BE,

?.*OI±AEf

J.OI//BE,

\'AO=BOf

:?AI=IE=BE,

：.AE=2BE,

?.,NEBC=NBAE,

：.ABDEsAABE,

23/30

,DEBE1

'BE~AE~2

：BD=農(nóng),

?BE=2,DE=1,

1.AE=4f.'.AD=3f

:△ACDs^BDE,

???—_―乙_,9

CDDE

：.CCr+AC^^Ab1,

即CD2+(2CD)2=9,

【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)，能正確作出輔助線并求出AE=2BE是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度.

9.(2022春?諸暨市校級月考)(1)請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；

(2)設(shè)每個小方格的邊長為1,求出外接圓。。的面積.

【分析】(1)根據(jù)三角形的外心是三邊垂直平分線的交點作出點。；

(2)根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：(1)如圖所示，點。即為所求；

(2)連接OB,

由勾股定理得：OB=,32+I2=依,

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