第三章運(yùn)動和力的關(guān)系

第13課時動力學(xué)中的連接體和臨界、極值問題

--

考點(diǎn)一動力學(xué)中的連接體問題....................................................1

1.連接體問題..................................................................1

2.連接體的類型................................................................2

3.連接體的運(yùn)動特點(diǎn)............................................................2

4.連接體的受力特點(diǎn)............................................................2

5.處理連接體問題的方法.......................................................3

考點(diǎn)二動力學(xué)中的臨界和極值問題................................................5

1.常見的臨界條件...............................................................5

2.處理臨界問題的三種方法.......................................................5

【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）....................................................7

【考情分析?探規(guī)律】

知識點(diǎn)年份涉及試卷及題號

考

2021海南卷?7

情

動力學(xué)中的連接體和臨2022

分

界、極值問題

析2023北京卷?6

2024全國甲卷?15

試跳水、蹦床、蹦極、火箭發(fā)射、無人機(jī)、跳傘運(yùn)動、電梯內(nèi)

生活實踐類

題的超重及失重

情傳送帶模型，板塊模型，探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系，測

學(xué)習(xí)探究類

境量動摩擦因數(shù)

【知識梳理】

考點(diǎn)一動力學(xué)中的連接體問題

1.連接體問題

（1）連接體

多個相互關(guān)聯(lián)的物體連接（疊放、并排或由彈簧、繩子、細(xì)桿聯(lián)系）在一起構(gòu)成的物體系統(tǒng)稱

為連接體。

(2)外力與內(nèi)力

①外力：系統(tǒng)之外的物體對系統(tǒng)的作用力。

②內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互作用力。

2.連接體的類型

(1)輕彈簧連接體

F

(2)物物疊放連接體

(3)物物并排連接體

AB

(4)輕繩連接體

(5)輕桿連接體

3.連接體的運(yùn)動特點(diǎn)

(1)輕繩一輕繩在伸直狀態(tài)下，兩端的連接體沿繩方向的速度總是相等。

(2)輕桿一輕桿平動時，連接體具有相同的平動速度；輕桿轉(zhuǎn)動時，連接體具有相同的角

速度，而線速度與轉(zhuǎn)動半徑成正比。一般情況下，連接體沿桿方向的分速度相等。

(3)輕彈簧——在彈簧發(fā)生形變的過程中，兩端連接體的速度不一定相等。若彈簧兩端的物

體只沿彈簧方向運(yùn)動，則在彈簧形變最大時，兩端連接體的速率相等。

4.連接體的受力特點(diǎn)

輕繩、輕彈簧的作用力沿繩或彈簧方向，輕桿的作用力不一定沿桿的方向。

5.處理連接體問題的方法

(1)整體法

若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且不需要求物體之間的作用力時，可以把它們看成一

個整體，分析整體受到的合力，應(yīng)用牛頓第二定律求出加速度(或其他未知量)。

(2)隔離法

若連接體內(nèi)各物體的加速度不相同，或者要求出系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的作用力時，就需要把物

體從系統(tǒng)中隔離出來，應(yīng)用牛頓第二定律列方程求解。

(3)整體法、隔離法交替運(yùn)用

若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且要求物體之間的作用力時，可以先用整體法求出加

速度，然后再用隔離法選取合適的研究對象，應(yīng)用牛頓第二定律求作用力。即“先整體求加

速度，后隔離求內(nèi)力”。若已知物體之間的作用力，求連接體所受外力，則“先隔離求加速

度，后整體求外力”。

；【小試牛刀】

【典例】1.如圖所示，水平面上有兩個質(zhì)量分別為“1和％2的木塊1和2,中間用一

!條輕繩連接，兩木塊的材料相同，現(xiàn)用力尸向右拉木塊2,當(dāng)兩木塊一起向右做勻

!加速直線運(yùn)動時，已知重力加速度為g,下列說法正確的是()

jA.若水平面是光滑的，則加2越大，繩的拉力越大

\B.若木塊和水平面間的動摩擦因數(shù)為〃，則繩的拉力為^^置十〃根ig

|C.繩的拉力大小與水平面是否粗糙無關(guān)

D.繩的拉力大小與水平面是否粗糙有關(guān)

【變式訓(xùn)練】

1.兩個質(zhì)量分別為如和加2的木塊1和2,中間用一條輕繩連接。

①如圖甲所示，用力/豎直向上拉木塊時，繩的拉力大小尸r=

I②如圖乙所示，用力廠沿光滑固定斜面向上拉木塊時，繩的拉力大小為

!斜面不光滑時繩的拉力大小巧=o

2.若質(zhì)量為mi和mz的木塊A和B疊放在一起，放在光滑水平面上，B在拉力F的

I

作用下4、B一起（相對靜止）做勻加速直線運(yùn)動，則A受到的摩擦力大小為。

【名師點(diǎn)撥】■

1.整體法與隔離法在分析共速連接體問題中的應(yīng)用

I

⑴整體法：若連接體內(nèi)的物體具有共同加速度，可以把它們看成一個整體，分析整體受-

I

到的外力，應(yīng)用牛頓第二定律求出加速度；

I

⑵隔離法：求系統(tǒng)內(nèi)兩物體之間的作用力時，就需要把物體從系統(tǒng)中隔離出來，應(yīng)用牛j

頓第二定律列方程求解；j

⑶整體法和隔離法交替使用：一般情況下，若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且求j

物體之間的作用力時，可以先用整體法求出加速度，然后再隔離某一物體，應(yīng)用牛頓第j

二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔離某一物體求出加速度，再用整體法求j

合外力或某一個力。j

2.共速連接體對合力的“分配協(xié)議”|

一起做加速運(yùn)動的物體組成的系統(tǒng)，若外力少作用于加上，則如和加2之間的相互作j

用力分=」魯,若作用于恤上,則月=」署。此“協(xié)議”與有無摩擦無關(guān)（若有摩

擦，兩物體與接觸面間的動摩擦因數(shù)必須相同），與兩物體間有無連接物、是何種連接i

物（輕繩、輕桿、輕彈簧）無關(guān)，而且無論物體組成的系統(tǒng)處于平面、斜面還是豎直方向,i

此“協(xié)議”者減立。i

2.關(guān)聯(lián)速度連接體i

輕繩在伸直狀態(tài)下，兩端的連接體沿繩方向的速度大小總是相等。下面三圖中A、B兩|

物體速度和加速度大小相等，方向不同。

:謹(jǐn)麗】一諺連）加面標(biāo):南薪麗IS痂福病酒區(qū)。,廠二府隹顯露1

!過斜面體頂端的光滑定滑輪，繩兩端系有小物塊a、b,a的質(zhì)量為2加，b的質(zhì)量為!

；4mo重力加速度為g,定滑輪左側(cè)輕繩與斜面平行，右側(cè)輕繩豎直。將a、b由靜止

!釋放，則下列說法正確的是（

jA.繩子對b的拉力大小為4mg

'B.a的加速度大小為？

I2

jC.繩子對定滑輪的作用大小為2百加g

，D.在相同時間內(nèi)（b未觸地），a、b速度變化量大小不相等

考點(diǎn)二動力學(xué)中的臨界和極值問題

L常見的臨界條件

（1）兩物體脫離的臨界條件：FN=O。

（2）相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達(dá)到最大值。

（3）繩子斷裂或松弛的臨界條件：繩子斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大

張力；繩子松弛的臨界條件是月=0。

2.處理臨界問題的三種方法

把物理問題（或過程）推向極端，從而使臨界現(xiàn)象（或狀態(tài)）暴露出來，以達(dá)

極限法

到正確解決問題的目的

臨界問題存在多種可能，特別是有非此即彼兩種可能時，或變化過程中

假設(shè)法

可能出現(xiàn)臨界條件，也可能不出現(xiàn)臨界條件時，往往用假設(shè)法解決問題

數(shù)學(xué)法將物理過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式解出臨界條件

【小試牛刀】

【典例】L如圖甲所示，物塊A、B靜止疊放在水平地面上，B受到從零開始逐漸增

大的水平拉力廠的作用，A、B間的摩擦力凡卜B與地面間的摩擦力凡隨水平拉力

|b變化的情況如圖乙所示。已知物塊A的質(zhì)量加=3kg,g取10m/s2,設(shè)最大靜摩擦;

I力等于滑動摩擦力。I

(1)分析圖乙可知，A、B間最大靜摩擦力為N,B與地面間最大靜摩擦力j

為N,F=N時，B開始滑動，F(xiàn)=N時，A、B間發(fā)j

生相對滑動；

(2)下列說法正確的是。

A.兩物塊間的動摩擦因數(shù)為0.2

B.當(dāng)0<F<4N時，A、B保持靜止

C.當(dāng)4N</〈12N時，A、B發(fā)生相對滑動

D.當(dāng)F>12N時，A的加速度隨9的增大而增大

I

【典例】2.如圖所示，一輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上，上端疊放兩個質(zhì)量均為1i

kg的物體A、B(B物體與彈簧拴接)，彈簧的勁度系數(shù)為1=50N/m,初始時系統(tǒng)處|

于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用一方向豎直向上的拉力廠作用在物體A上，使物體A開始向上做j

加速度大小a為4m/s2的勻加速直線運(yùn)動，重力加速度g取10m/s2,空氣阻力忽略\

不計，下列說法正確的是()

FI

士!

B

A.外力/剛施加的瞬間，尸的大小為4N

B.當(dāng)彈簧壓縮量減小到0.3m時，A、B間彈力大小為1.2N

C.A、B分離時，A物體的位移大小為0.12m

D.B物體速度達(dá)到最大時，B物體的位移為0.22m

【變式訓(xùn)練】求A、B分離時B的速度大小及B勻加速運(yùn)動持續(xù)的時間？

【典例】3.（2025?山東青島希校場如圖甲所示，一個質(zhì)量根=0.5kg的小物塊（可看成］

質(zhì)點(diǎn)），以K）=2m/s的初速度在平行斜面向上的拉力廠=6N作用下沿斜面向上做勻i

加速運(yùn)動，經(jīng)/=2s的時間物塊由4點(diǎn)運(yùn)動到3點(diǎn)，/、3之間的距離￡=8m,己'

知斜面傾角。=37。，重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8o求：

⑴物塊加速度a的大小；

（2）物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)〃；

⑶若拉力廠的大小和方向可調(diào)節(jié)，如圖乙所示，為保持原加速度不變，尸的最小值

是多少。

【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】1?7題每小題8分，共56分

1.（2023?北京卷-6）如圖所示，在光滑水平地面上，兩相同物塊用細(xì)線相連，兩物塊質(zhì)量

均為1kg,細(xì)線能承受的最大拉力為2N。若在水平拉力廠作用下，兩物塊一起向右做

勻加速直線運(yùn)動。則廠的最大值為（）

2.（多選）如圖所示，用力廠拉著三個物體在光滑水平面上運(yùn)動，現(xiàn)在中間的物體上加一

塊橡皮泥，它和中間的物體一起運(yùn)動，且原拉力廠不變，那么加上橡皮泥以后，兩段繩

的拉力FTA和FTB的變化情況是（）

A.尸TA增大B.FTB增大

C.FTA減小D.FTB減小

3.（2024?全國甲卷T5）如圖，一輕繩跨過光滑定滑輪，繩的一端系物塊P,P置于水平桌

面上，與桌面間存在摩擦；繩的另一端懸掛一輕盤（質(zhì)量可忽略），盤中放置祛碼。改變

盤中祛碼總質(zhì)量加，并測量P的加速度大小。，得到。一根圖像。重力加速度大小為g。

在下列a—加圖像中，可能正確的是（）

4.（2021?海南卷—7）如圖，兩物塊P、Q用跨過光滑輕質(zhì)定滑輪的輕繩相連，開始時P靜

止在水平桌面上。將一個水平向右的推力廠作用在P上后，輕繩的張力變?yōu)樵瓉淼囊话搿?/p>

已知P、Q兩物塊的質(zhì)量分別為加p=0.5kg、MQ=0.2kg,P與桌面間的動摩擦因數(shù)“=

0.5,重力加速度g=10m/s2。則推力廠的大小為（）

A.4.0NB.3.0N

C.2.5ND.1.5N

5.如圖，質(zhì)量加A=0.1kg、加B=0.4kg的A、B兩物體在水平推力b=1.5N的作用下，

沿光滑水平面做勻加速直線運(yùn)動，物體A、B始終保持相對靜止。A和B接觸面豎直，

且A不與地面接觸。已知物體A和B之間的動摩擦因數(shù)為0.9,重力加速度g取10m/s2,

則下列說法正確的是（）

'D

///////////////////////////////////

A.A、B兩物體的加速度大小為0.3m/s2

B.A、B兩物體之間的壓力大小為1.2N

C.A、B兩物體之間的摩擦力大小為1.08N

D.B物體對地面的壓力大小為4N

6.（多選）（2025?山東滕州市第一中學(xué)月考）如圖所示，質(zhì)量為“2kg的凹形槽在水平拉力

廠作用下向左做勻加速直線運(yùn)動。凹形槽與水平地面間的動摩擦因數(shù)為*=0.7,凹形槽

內(nèi)有一質(zhì)量為m=lkg的小鐵塊恰好能靜止在后壁上，鐵塊與凹形槽間的動摩擦因數(shù)為

“2=0.5。運(yùn)動一段時間后逐漸減小拉力（但凹形槽仍做加速運(yùn)動），鐵塊開始沿凹形槽豎

直的后壁落到底部且不反彈。之后當(dāng)凹形槽的速度為vo=4m/s時突然撤去拉力，最終鐵

塊恰好沒有與凹形槽的前壁相碰，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2,不計

鐵塊大小和槽的厚度，則開始運(yùn)動時拉力廠的大小和凹形槽的長度工分別為（）

一日

F〃」

77777777777777777777777777777777777/77~

A.方=81NB.尸=162N

CZ=0.6mDZ=1.2m

7.（2025?山東泰安市模擬）如圖所示，細(xì)線的一端固定在傾角為30。的光滑楔形滑塊A的

頂端尸處，細(xì)線的另一端拴一質(zhì)量為根的小球，靜止時細(xì)線與斜面平行。已知重力加

速度為g。使滑塊以加速度。=2g水平向左加速運(yùn)動，小球與滑塊相對靜止，則下列說

法中正確的是（）

A.細(xì)線對小球的拉力大小為近7唯

B.細(xì)線對小球的拉力大小為（遍+

C.小球?qū)瑝K的壓力大小為

D.小球?qū)瑝K的壓力大小為2mg

【鞏固必刷題】8、9題每小題9分，10題16分，共34分

8.（多選）如圖所示，矩形盒內(nèi)用兩根不可伸長的輕線固定一個質(zhì)量為〃?=0.6kg的勻質(zhì)小

球，。線與水平方向成37。角，方線水平。兩根輕線所能承受的最大拉力都是居1=15N,

已知sin37o=0.6,cos37°=0.8,10m/s2,貝心）

b

A.系統(tǒng)靜止時，。線所受的拉力大小12N

B.系統(tǒng)靜止時，△線所受的拉力大小8N

C.當(dāng)系統(tǒng)沿豎直方向勻加速上升時，為保證輕線不被拉斷，加速度最大為5m/s2

D.當(dāng)系統(tǒng)沿水平方向向右勻加速運(yùn)動時，為保證輕線不被拉斷，加速度最大為10m/s2

9.馬車是古代的主要運(yùn)輸工具，如圖所示為一匹馬水平拉動一車貨物，其中最上面有兩

個木板A和B,A、B之間和B與車之間接觸面都水平，A、B之間的動摩擦因數(shù)為⑷,

B與車之間的動摩擦因數(shù)為"2,A質(zhì)量為加，B質(zhì)量為2〃z,車的質(zhì)量為5加，地面對車

的摩擦力不計，馬給車的水平拉力為FA、B始終沒有離開車表面，重力加速度為g,

則下列說法正確的是（）

A.若逐漸增大尸，A會相對B先滑動

B.若網(wǎng)＞〃2,當(dāng)尸=8〃2加g時，B與車之間開始相對滑動

C.若〃1＜償，不管少多大，A、B都不會相對滑動

D.若分＜〃2,A、B與車都相對靜止，廠的最大值為64Mg

10.（16分）如圖所示，用足夠長的輕質(zhì)細(xì)繩繞過兩個光滑輕質(zhì)滑輪將木箱與重物連接，木

箱質(zhì)量M=8kg,重物質(zhì)量加=2kg,木箱與地面間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重

力加速度g取10m/s2o

木箱小公

777.77777777/

□

（1）（6分）要使裝置能靜止，木箱與地面間的動摩擦因數(shù)需滿足什么條件？

（2）（10分）若木箱與地面間的動摩擦因數(shù)〃=0.4,用大小為80N的水平拉力/將木箱由

靜止向左拉動位移x=0.5m時，求重物的速度大小分

【尖子拔高題】（10分）

11.（多選X2025?山東棗莊市滕州市第一中學(xué)月考）如圖所示，傾角為30。足夠長的固定光

滑斜面底端有一固定擋板，輕彈簧一端與擋板連接，另一端與物塊A接觸但不連接，A

上方放置另一物塊B,B與物塊C用跨過光滑輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線連接，B與定滑輪間的

細(xì)線與斜面平行。開始時用手托住C,使細(xì)線處于伸直但不拉緊的狀態(tài)，此時A、B靜

止在斜面上。某時刻突然釋放C,一段時間后A、B分離，此時C未觸地。已知A、B

分離時，B的速度大小為v,A、B、C的質(zhì)量均為〃?，彈簧勁度系數(shù)為左，彈簧的形變

始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g。下列說法正確的是（）

A.剛釋放C時，A、B間的彈力大小為57g

B.A、B分離時，B的加速度大小為:g

4°

C.A的速度最大時沿斜面上升的距離為黑

4k

D.分離時刻彈簧處于被壓縮狀態(tài)

第三章運(yùn)動和力的關(guān)系

第13課時動力學(xué)中的連接體和臨界、極值問題

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考點(diǎn)一動力學(xué)中的連接體問題...................................................12

1.連接體問題.................................................................12

2.連接體的類型...............................................................13

3.連接體的運(yùn)動特點(diǎn)...........................................................13

4.連接體的受力特點(diǎn)...........................................................13

5.處理連接體問題的方法......................................................14

考點(diǎn)二動力學(xué)中的臨界和極值問題...............................................17

1.常見的臨界條件..............................................................17

2.處理臨界問題的三種方法......................................................17

【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）...................................................20

【考情分析?探規(guī)律】

知識點(diǎn)年份涉及試卷及題號

考

2021海南卷?7

情

動力學(xué)中的連接體和臨2022

分

界、極值問題

析2023北京卷?6

2024全國甲卷?15

試跳水、蹦床、蹦極、火箭發(fā)射、無人機(jī)、跳傘運(yùn)動、電梯內(nèi)

生活實踐類

題的超重及失重

情傳送帶模型，板塊模型，探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系，測

學(xué)習(xí)探究類

境量動摩擦因數(shù)

【知識梳理】

考點(diǎn)一動力學(xué)中的連接體問題

1.連接體問題

（1）連接體

多個相互關(guān)聯(lián)的物體連接（疊放、并排或由彈簧、繩子、細(xì)桿聯(lián)系）在一起構(gòu)成的物體系統(tǒng)稱

為連接體。

(2)外力與內(nèi)力

①外力：系統(tǒng)之外的物體對系統(tǒng)的作用力。

②內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互作用力。

2.連接體的類型

(1)輕彈簧連接體

F

(2)物物疊放連接體

(3)物物并排連接體

AB

(4)輕繩連接體

(5)輕桿連接體

3.連接體的運(yùn)動特點(diǎn)

(1)輕繩一輕繩在伸直狀態(tài)下，兩端的連接體沿繩方向的速度總是相等。

(2)輕桿一輕桿平動時，連接體具有相同的平動速度；輕桿轉(zhuǎn)動時，連接體具有相同的角

速度，而線速度與轉(zhuǎn)動半徑成正比。一般情況下，連接體沿桿方向的分速度相等。

(3)輕彈簧——在彈簧發(fā)生形變的過程中，兩端連接體的速度不一定相等。若彈簧兩端的物

體只沿彈簧方向運(yùn)動，則在彈簧形變最大時，兩端連接體的速率相等。

4.連接體的受力特點(diǎn)

輕繩、輕彈簧的作用力沿繩或彈簧方向，輕桿的作用力不一定沿桿的方向。

5.處理連接體問題的方法

(1)整體法

若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且不需要求物體之間的作用力時，可以把它們看成一

個整體，分析整體受到的合力，應(yīng)用牛頓第二定律求出加速度(或其他未知量)。

(2)隔離法

若連接體內(nèi)各物體的加速度不相同，或者要求出系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的作用力時，就需要把物

體從系統(tǒng)中隔離出來，應(yīng)用牛頓第二定律列方程求解。

(3)整體法、隔離法交替運(yùn)用

若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且要求物體之間的作用力時，可以先用整體法求出加

速度，然后再用隔離法選取合適的研究對象，應(yīng)用牛頓第二定律求作用力。即“先整體求加

速度，后隔離求內(nèi)力”。若已知物體之間的作用力，求連接體所受外力，則“先隔離求加速

度，后整體求外力”。

【小試牛刀】|

【典例】1.如圖所示，水平面上有兩個質(zhì)量分別為“1和％2的木塊1和2,中間用一］

條輕繩連接，兩木塊的材料相同，現(xiàn)用力廠向右拉木塊2,當(dāng)兩木塊一起向右做勻!

加速直線運(yùn)動時，已知重力加速度為g,下列說法正確的是()

jA.若水平面是光滑的，則加2越大，繩的拉力越大

\B.若木塊和水平面間的動摩擦因數(shù)為〃，則繩的拉力為^^置十〃加啥

|C.繩的拉力大小與水平面是否粗糙無關(guān)I

jD.繩的拉力大小與水平面是否粗糙有關(guān)\

\【答案】CI

i【解析】若設(shè)木塊和地面間的動摩擦因數(shù)為〃，以兩木塊整體為研究對象，根據(jù)牛頓第?

i二定律有?

II

I+m2)g—(mi,

■!

I得a-—啊/3包,以木塊1為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律有G—fim\g=m\a，得aI

?mi+m2?

!=生竺也，系統(tǒng)加速度與木塊1加速度相同，聯(lián)立解得巧=」^尸,可知繩子拉力大I

mi7nl十7?12

丁」\與動摩擦因數(shù)//無關(guān)，與兩木塊質(zhì)量大小有關(guān)，無論水平面是光滑的還是粗糙的，繩'

!的拉力大小均為,且儂越大，繩的拉力越小，故選C。

【變式訓(xùn)練】1

1.兩個質(zhì)量分別為如和恤的木塊1和2,中間用一條輕繩連接。

甲乙

①如圖甲所示，用力少豎直向上拉木塊時，繩的拉力大小尸r=

I②如圖乙所示，用力廠沿光滑固定斜面向上拉木塊時，繩的拉力大小為

I斜面不光滑時繩的拉力大小尸T=。

［答案］

I7nl+7712mlIm2nil+7712

I

；2.若質(zhì)量為mi和m2的木塊A和B疊放在一起,放在光滑水平面上，B在拉力F的

I

；作用下，A、B一起(相對靜止)做勻加速直線運(yùn)動，則A受到的摩擦力大小為。

【答案】m^F

mi+m2

;雨布旃一

\1.整體法與隔離法在分析共速連接體問題中的應(yīng)用

I(1)整體法：若連接體內(nèi)的物體具有共同加速度，可以把它們看成一個整體，分析整體受

\到的外力，應(yīng)用牛頓第二定律求出加速度；

!⑵隔離法：求系統(tǒng)內(nèi)兩物體之間的作用力時，就需要把物體從系統(tǒng)中隔離出來，應(yīng)用牛

頓第二定律列方程求解；

!(3)整體法和隔離法交替使用：一般情況下，若連接體內(nèi)各物體具有相同的加速度，且求

物體之間的作用力時，可以先用整體法求出加速度，然后再隔離某一物體，應(yīng)用牛頓第

I二定律求相互作用力；若求某一外力，可以先隔離某一物體求出加速度，再用整體法求

I合外力或某一個力。

上.共速連接體對合力的“分配協(xié)議”

!一起做加速運(yùn)動的物體組成的系統(tǒng)，若外力廠作用于加1上，則如和加2之間的相互作

用力分=」等,若作用于儂上，則g=」上。此“協(xié)議”與有無摩擦無關(guān)(若有摩

ml+m27nl十7712

:擦，兩物體與接觸面間的動摩擦因數(shù)必須相同)，與兩物體間有無連接物、是何種連接

物（輕繩、輕桿、輕彈簧）無關(guān)，而且無論物體組成的系統(tǒng)處于平面、斜面還是豎直方向，

此“協(xié)議”都成立。

2.關(guān)聯(lián)速度連接體

輕繩在伸直狀態(tài)下，兩端的連接體沿繩方向的速度大小總是相等。下面三圖中A、B兩

物體速度和加速度大小相等，方向不同。

f施麗】一萬英畫加盲訴:通前前工帚痂而詞?！暾?。一二最轉(zhuǎn)羸鈕

過斜面體頂端的光滑定滑輪，繩兩端系有小物塊a、b,a的質(zhì)量為2加，b的質(zhì)量為

4mo重力加速度為g,定滑輪左側(cè)輕繩與斜面平行，右側(cè)輕繩豎直。將a、b由靜止

釋放，則下列說法正確的是（

A.繩子對b的拉力大小為4mg

B.a的加速度大小為5

C.繩子對定滑輪的作用大小為2百mg

D.在相同時間內(nèi)（b未觸地），a、b速度變化量大小不相等

【答案】BC

【解析】在相同時間內(nèi)（b未觸地）,a、b加速度的大小相等，速度變化量大小相等，D

錯誤；以b為研究對象，設(shè)繩子拉力為FT,由牛頓第二定律有4mg-FT=4ma，以a為

研究對象，由牛頓第二定律有FT-2mgsin0=2ma,聯(lián)立解得FT=2mg,a=f，故A錯

誤，B正確；由幾何關(guān)系知，兩側(cè)繩子的夾角為60°,則繩子對定滑輪的作用力大小為

F=2FTCOS30°=2V3mg,故C正確。

【名師點(diǎn)撥】

關(guān)聯(lián)速度連接體做加速運(yùn)動時，由于加速度的方向不同，一般采用分別選取研究對象,

對兩物體分別列牛頓第二定律方程，用隔離法求解加速度及相互作用力。

考點(diǎn)二動力學(xué)中的臨界和極值問題

1.常見的臨界條件

(1)兩物體脫離的臨界條件：FN=0O

(2)相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達(dá)到最大值。

(3)繩子斷裂或松弛的臨界條件：繩子斷裂的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大

張力；繩子松弛的臨界條件是月=0。

2.處理臨界問題的三種方法

把物理問題(或過程)推向極端，從而使臨界現(xiàn)象(或狀態(tài))暴露出來，以達(dá)

極限法

到正確解決問題的目的

臨界問題存在多種可能，特別是有非此即彼兩種可能時，或變化過程中

假設(shè)法

可能出現(xiàn)臨界條件，也可能不出現(xiàn)臨界條件時，往往用假設(shè)法解決問題

數(shù)學(xué)法將物理過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式解出臨界條件

【小試牛刀】?

I

【典例】L如圖甲所示，物塊A、B靜止疊放在水平地面上，B受到從零開始逐漸增j

大的水平拉力廠的作用，A、B間的摩擦力Ffi、B與地面間的摩擦力且隨水平拉力j

廠變化的情況如圖乙所示。已知物塊A的質(zhì)量加=3kg,g取10m/s2,設(shè)最大靜摩擦?

力等于滑動摩擦力。

(1)分析圖乙可知，A、B間最大靜摩擦力為N,B與地面間最大靜摩擦力|

為N,F=N時，B開始滑動，F(xiàn)=N時，A、B間發(fā)\

生相對滑動；

(2)下列說法正確的是o

A.兩物塊間的動摩擦因數(shù)為0.2

B.當(dāng)0<F<4N時，A、B保持靜止

C.當(dāng)4N<尸：12N時，A、B發(fā)生相對滑動?

D.石F>12N時，A的加速凄隨廠的蒲大而增女

【答案】（1）64412（2）AB

【解析】（2）根據(jù)題圖乙可知，發(fā)生相對滑動時，A、B間的滑動摩擦力為6N,所以A、!

'B之間的動摩擦因數(shù)《=等=0.2,選項A正確；當(dāng)0〈尸<4N時，根據(jù)題圖乙可知，F(xiàn)n\

"還未達(dá)到B與地面間的最大靜摩擦力，此時A、B保持靜止,選項B正確；當(dāng)4N<F<12'

|N時，根據(jù)題圖乙可知，此時A、B間的摩擦力還未達(dá)到最大靜摩擦力，所以沒有發(fā)生'

j相對滑動，選項C錯誤；當(dāng)F>12N時，根據(jù)題圖乙可知，此時A、B發(fā)生相對滑動,'

\對物塊A有。=?1=2m/s2,加速度不變，選項D錯誤。

\【典例】2.如圖所示，一輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上，上端疊放兩個質(zhì)量均為1\

jkg的物體A、B（B物體與彈簧拴接），彈簧的勁度系數(shù)為左=50N/m,初始時系統(tǒng)處j

j于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用一方向豎直向上的拉力/作用在物體A上，使物體A開始向上做j

j加速度大小。為4m小的勻加速直線運(yùn)動，重力加速度g取lOm",空氣阻力忽略j

;不計，下列說法正確的是（）

IFI

II

IA|

!B!

A.外力廠剛施加的瞬間，尸的大小為4N

B.當(dāng)彈簧壓縮量減小到0.3m時，A、B間彈力大小為1.2N

C.A、B分離時，A物體的位移大小為0.12m

D.B物體速度達(dá)到最大時，B物體的位移為0.22m

【答案】C；

【解析】施加外力前,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，對整體受力分析，由平衡條件得2加g=Ho

代入數(shù)據(jù)解得xo=O.4m,外力施加的瞬間，物體A加速度為4m/s2,對整體，由牛頓!

第二定律得下一2加g+bo=2ma,代入數(shù)據(jù)解得尸=8N,故A錯誤；當(dāng)彈簧壓縮量減小;

r

到0.3m時，設(shè)A、B間彈力大小為FAB,對A受力分析，由牛頓第二定律得F+FAB

—mg=ma，對A、B組成的系統(tǒng)受力分析，由牛頓第二定律得k+AXL2加g=2zwa，代!

入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得FAB=1N,故B錯誤；設(shè)A、B分離時，彈簧的形變量為w，對B受j

力分析，由牛頓第二定律得依2—用g=，w，代入數(shù)據(jù)解得無2=0.28m,所以A物體的位:

\移大小為xo—X2=0.4m-o.28m=0.12m,故C正確；當(dāng)B物體的合力為零時速度達(dá)到\

［最大，由C項可知A、B分離時有向上的加速度，所以速度最大時A、B已經(jīng)分離，當(dāng)!

I合力為零時，對B受力分析，由平衡條件得kx3=mg，代入數(shù)據(jù)解得冷=0.2m,故B|

!物體的位移大小為XO-X3=O.2m,故D錯誤。

!【變式訓(xùn)練】求A、B分離時B的速度大小及B勻加速運(yùn)動持續(xù)的時間？

J答案】等m/s?

1【解析】A、B分離時，A、B的位移大小相等，速度大小也相等

|由l^=2a(xo—X2),解得片等m/s

|由片山/解得片卷so

【典例】3.(2025?山東青島市?？?如圖甲所示，一個質(zhì)量根=0.5kg的小物塊(可看成?

?質(zhì)點(diǎn))，以K)=2m/s的初速度在平行斜面向上的拉力廠=6N作用下沿斜面向上做勻?

;加速運(yùn)動，經(jīng)f=2s的時間物塊由/點(diǎn)運(yùn)動到8點(diǎn)，4、8之間的距離2=8m,己!

?知斜面傾角。=37。,重力加速度g取lOm",sin37°=0.6,cos37°=0.80求：

⑴物塊加速度a的大?。?/p>

(2)物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)〃；

⑶若拉力廠的大小和方向可調(diào)節(jié)，如圖乙所示，為保持原加速度不變，9的最小值

是多少。

【答案】(1)2m/s2(2)0.5(3曜N

［解析】⑴根據(jù)L=I4)t+^at2,

代入數(shù)據(jù)解得a=2m/s2。

⑵根據(jù)牛頓第二定律有F-mgsinO—jumgcos0=ma，代入數(shù)據(jù)解得〃=0.5。

(3)設(shè)尸與斜面夾角為。，

平行斜面方向有Feosa—mgsinQ—［iF^—ma

垂直斜面方向有Fw+Fsina=mgcos0

聯(lián)立解得/一ma+Mglsine+wosJ)

cosa+/isina

ma+mg(sin8+〃cose)

I當(dāng)sin”+a）=l時，/有最小值Fmin,

?

!代入數(shù)據(jù)解得/m=^N。

L__________________________

【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】1?7題每小題8分，共56分

1.（2023?北京卷⑹如圖所示，在光滑水平地面上，兩相同物塊用細(xì)線相連，兩物塊質(zhì)量

均為1kg,細(xì)線能承受的最大拉力為2N。若在水平拉力廠作用下，兩物塊一起向右做

勻加速直線運(yùn)動。則廠的最大值為（）

A.lNB.2NC.4ND.5N

【答案】C

【解析】對兩物塊整體受力分析有居3x=2〃za,再對后面的物塊受力分析有尸Tmax=M。,

又尸Tmax=2N,聯(lián)立解得Fmax=4N,故選Co

2.（多選）如圖所示，用力F拉著三個物體在光滑水平面上運(yùn)動，現(xiàn)在中間的物體上加一

塊橡皮泥，它和中間的物體一起運(yùn)動，且原拉力廠不變，那么加上橡皮泥以后，兩段繩

的拉力FTA和FTB的變化情況是（）

AFTA增大B.GB增大

C.FTA減小D.FTB減小

【答案】AD

【解析】設(shè)最左邊的物體質(zhì)量為m,最右邊的物體質(zhì)量為m',整體質(zhì)量為M,整體的加

速度，對最左邊的物體分析GB=MO=等，對最右邊的物體分析，有尸一FTA="。,

解得后A=^—萼,在中間物體上加上橡皮泥，則整體的質(zhì)量/增大，因為m、加不變,

所以/TB減小，尸TA增大。故選A、Do

3.（2024?全國甲卷T5）如圖，一輕繩跨過光滑定滑輪，繩的一端系物塊P,P置于水平桌

面上，與桌面間存在摩擦；繩的另一端懸掛一輕盤（質(zhì)量可忽略），盤中放置祛碼。改變

盤中祛碼總質(zhì)量加，并測量P的加速度大小。，得到。一根圖像。重力加速度大小為g。

在下列a—加圖像中，可能正確的是（）

【答案】D

【解析】當(dāng)m質(zhì)量較小時，由于P與桌面存在摩擦，a=0；當(dāng)m趨于無窮大時，加速

度大小趨近于g。故選D。

4.（2021?海南卷-7）如圖，兩物塊P、Q用跨過光滑輕質(zhì)定滑輪的輕繩相連，開始時P靜

止在水平桌面上。將一個水平向右的推力廠作用在P上后，輕繩的張力變?yōu)樵瓉淼囊话搿?/p>

已知P、Q兩物塊的質(zhì)量分別為眸=0.5kg、加Q=0.2kg,P與桌面間的動摩擦因數(shù)"=

0.5,重力加速度g=10m/s2。則推力尸的大小為（）

A.4.0NB.3.0N

C.2.5ND.1.5N

【答案】A

【解析】P靜止在水平桌面上時,由平衡條件有/Ti=冽Qg=2N,尸f=Fn=2Nv〃mpg=

2.5N，推力廠作用在P上后,輕繩的張力變?yōu)樵瓉淼囊话耄?2=卓=1N,故Q物

2

塊加速下降，有m（ig—F-n=m（ia,可得a=5m/s,而P物塊將以相同大小的加速度向

右加速運(yùn)動，對P由牛頓第二定律有/T2+/一H〃pg=?7pa,解得尸=4.0N,故選A。

5.如圖，質(zhì)量加A=0.1kg、加B=0.4kg的A、B兩物體在水平推力廠=1.5N的作用下，

沿光滑水平面做勻加速直線運(yùn)動，物體A、B始終保持相對靜止。A和B接觸面豎直，

且A不與地面接觸。已知物體A和B之間的動摩擦因數(shù)為0.9,重力加速度g取10m/s2,

則下列說法正確的是（）

A.A、B兩物體的加速度大小為0.3m/s2

B.A、B兩物體之間的壓力大小為1.2N

C.A、B兩物體之間的摩擦力大小為1.08N

D.B物體對地面的壓力大小為4N

【答案】B

【解析】對A、B兩物體整體進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律歹=（："A+加B）。，解得A、

B兩物體的加速度大小為?=3m/s?,故A錯誤；對A、B兩物體整體進(jìn)行受力分析，

豎直方向有人=（加A+^B）g=5N,故B對地面的壓力大小為5N,故D錯誤；對A進(jìn)

行受力分析，水平方向有F—FBA=mAa,故B對A的彈力廠BA=1.2N,故B正確；對

A進(jìn)行受力分析，豎直方向有取B=MAg=1N,故A、B之間的摩擦力大小始終為1N,

故C錯誤。

6.（多選）（2025?山東滕州市第一中學(xué)月考）如圖所示，質(zhì)量為M=2kg的凹形槽在水平拉力

廠作用下向左做勻加速直線運(yùn)動。凹形槽與水平地面間的動摩擦因數(shù)為〃尸0.7,凹形槽

內(nèi)有一質(zhì)量為m=lkg的小鐵塊恰好能靜止在后壁上，鐵塊與凹形槽間的動摩擦因數(shù)為

“2=0.5。運(yùn)動一段時間后逐漸減小拉力（但凹形槽仍做加速運(yùn)動），鐵塊開始沿凹形槽豎

直的后壁落到底部且不反彈。之后當(dāng)凹形槽的速度為vo=4m/s時突然撤去拉力，最終鐵

塊恰好沒有與凹形槽的前壁相碰，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，10m/s2,不計

鐵塊大小和槽的厚度，則開始運(yùn)動時拉力廠的大小和凹形槽的長度l分別為（）

A.F=81NB.F=162N

C.L=0.6mDZ=1.2m

【答案】AC

【解析】鐵塊恰好能靜止在凹形槽后壁上，豎直方向受力平衡，由平衡條件有7監(jiān)=〃的,

對鐵塊，在水平方向上，根據(jù)牛頓第二定律有尺=加。，以鐵塊和凹形槽組成的整體為研

究對象，根據(jù)牛頓第二定律有八川（M+Mg=（M+m）a,聯(lián)立解得尸=81N,因為3>〃2,所

以撤去拉力后鐵塊與凹形槽發(fā)生相對滑動，當(dāng)凹形槽停止后，鐵塊繼續(xù)減速至零。對鐵

塊受力分析，根據(jù)牛頓第二定律有四根g=^ai,對凹形槽受力分析，根據(jù)牛頓第二定律有

平2mg=Maz,鐵塊運(yùn)動的位移為不若，凹形槽運(yùn)動的位移為加啜，凹形槽的

長度為】=xi-X2,聯(lián)立解得￡=0.6m,故選A、Co

7.（2025?山東泰安市模擬）如圖所示，細(xì)線的一端固定在傾角為30。的光滑楔形滑塊A的

頂端尸處，細(xì)線的另一端拴一質(zhì)量為根的小球，靜止時細(xì)線與斜面平行。已知重力加

速度為g。使滑塊以加速度a=2g水平向左加速運(yùn)動，小球與滑塊相對靜止，則下列說

法中正確的是（）

A.細(xì)線對小球的拉力大小為花7唯

B.細(xì)線對小球的拉力大小為（遮+|）mg

C.小球?qū)瑝K的壓力大小為務(wù)g

D.小球?qū)瑝K的壓力大小為2mg

【答案】A

【解析】設(shè)當(dāng)小球貼著滑塊一起向左運(yùn)動且支持力為零時加速度為ao，小球受到重力、

拉力作用，根據(jù)牛頓第二定律?o=gtan600=V3g,當(dāng)滑塊以加速度a=2g向左加速運(yùn)動

時，此時小球已經(jīng)飄離斜面，則此刻小球?qū)瑝K的壓力為0,設(shè)此時細(xì)線與水平方向的

夾角為a,故有Fysina=mg,FTCOSa=ma=2mg,解得F-y=y[Smg,故A正確，B、C、

D錯誤。

【鞏固必刷題】8、9題每小題9分，10題16分，共34分

8.（多選）如圖所示，矩形盒內(nèi)用兩根不可伸長的輕線固定一個質(zhì)量為777=0.6kg的勻質(zhì)小

球，。線與水平方向成37。角，方線水平。兩根輕線所能承受的最大拉力都是居1=15N,

已知sin37o=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?,則（）

b

A.系統(tǒng)靜止時，。線所受的拉力大小12N

B.系統(tǒng)靜止時，b線所受的拉力大小8N

C.當(dāng)系統(tǒng)沿豎直方向勻加速上