第二課時三角形高線、中線、角平分線的計算

■考點聚焦突破

考點一三角形的高線

例1(2023?新高考I卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-Q=sinB.

(1)求sinA；

(2)設(shè)AB=5,求A3邊上的高.

解法一(1)在△ABC中，A+3=7T—C,

因為A+B=3C,

7T

所以3C=?i—C,所以C=1.

因為2sin(A—C)=sin3,

所以2sin(A一春=sin存一A),

展開并整理得

廠也

yj2(sinA—cosA)=1(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=1,且sinA>0,

所以sinA=噂.

⑵由正弦定理第=黑，

得8C=黑，sinA=^X唔^=3返

2

由余弦定理432=402+302—2AC5CCOSC,

整理得AC2-3V10AC+20=0,

解得AC=①或AC=2y[ld.

由⑴得，tanA=3>小，所以*人4,

3兀兀

又A+B=丁，所以3>不即C<3,

所以AB<AC,所以AC=2，T5.

設(shè)A3邊上的高為h,

則力=T，ACBCsinC,

即5k=25X3小X*,解得人=6,

所以A3邊上的高為6.

法二（1）在△ABC中，A+B=TI-C,

因為A+3=3C,

7T

所以3C=兀-C,所以。=不

因為2sin(A—C)=sinB,

所以2sin(A—Q=sin[7i—(A+Q]=sin(A+Q,

所以2sinAcos。一2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

易得cosAcosCZO,

71

所以tanA=3tanC=3tan4=3,

-sinAo?0

又sinA>0,tanA=----T,sin%+cos2A=1,

COSA

grp,..3^15

所以smA=；o.

(2)由⑴知tanA=3>0,所以A為銳角，

r..3Vlb仆.VTo

又sinA—J。,所以cosA—J。，

所以sin3=sin[^—A)=^(cosA+sinA)

_V2f^/10,3y[i0]_2y[5

-2110+10)5-

由正弦定理黑=燕，

5菩

ABsinB

得

AC=sinC

2

故A3邊上的高為ACsinA=2?I5x圭祟=6.

感悟提升高線問題的處理策略

(1)等面積法：ADBC=ABACsinZBAC.

(2)AD=ABsinZABD=ACsinZACD.

(3)Q=C?COSB+/?COSC.

訓(xùn)練1(2024?咸陽模擬)在△A5C中,內(nèi)角A,B,。的對邊分別為mb,c,且QCOS

B+與=c.

⑴求A;

(2)若6=3,c=yf3,求△ABC中3c邊上高線的長.

解(1)因為acosB+kb=c,

、、A/3

由正弦定理可得sinAcosB+siR5=sinC=sin(A+B)=sinAcos5+sinBcosA,

J3

所以勺sin3=sinBcosA,

又因為0<B<7i,所以sinB〉0,

所以cosA=2，

7T

因為O<A<71,所以A=g.

(2)由已知及余弦定理得次=廬+/—2AcosA=9+3—2X3X小X當(dāng)'=3,

所以a=事,

設(shè)△ABC中3C邊上的高線長為h,

所'以S^ABC=2^csinA=~^cih>

3

解得h=2-

3

故AABC中3C邊上的高線的長為亍

考點二三角形的中線

例2(2024?湘潭模擬)在△A5C中，內(nèi)角A,bC的對邊分別為a,b,c,滿足/?2(sin2B

—3COS2B)=—a(a+b),且sinC=sin2B.

(1)求角5的大??；

(2)若△ABC的面積為2小，求AC邊上的中線長.

解(1)因為sinC=sin2B,

所以sinC=2sinBcosB,

由正弦定理得c=2Z?cosB,

由Z?2(sin2B—3cos2B)=—4z(a+/?),

得》2(1—4COS2B)=~c^—ab,

又由c=2Z?cosB,

得C2=4/?2COS2B,

故/(1—c^—ab,

a1-\-b2—c2=~ab,

層+,2-i

由余弦定理得cosC=黑T，

2兀

又因為Ce(0,ri),所以。=胃，

由sinC=sin23,sin^=sin2B,

得23?(0,亨)，

所以2B=1,3=*

⑵由(1)得8=5，A=^,C=y,

=

S/\ABC~^dbsinC2y1~39

￥〃2=25，a=2\[29Z?=2A/2,

所以c=y]a2-\-b2—2abcosC

=4+8-2X2色X26X(一%2乖,

設(shè)AC的中點為D,

則AD=^AC=\[2,

在△A3。中，由余弦定理得

BD=ylAD1+AB2-2ADABcosA

=\，2+24-2X/X2加X坐=迎,

所以AC邊上的中線長為

感悟提升中線問題的處理策略：如圖①，△ABC中，AD為3c的中線，已知

AB,AC及A,求中線AD長.

⑴倍長中線：如圖②，構(gòu)造全等，再用余弦定理即可；

(2)向量法：Ab=1(AB+AQ,平方即可；

(3)余弦定理：鄰補角余弦值為相反數(shù)，即cosZADB+cosZADC=0.

補充：若將條件“AD為3c的中線”換為巖=7"，則可以考慮方法⑵或方法⑶.

訓(xùn)I練2(2024?長沙模擬)在△ABC中，bsinB=asinA-(b+c)sinC.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵若3c邊上的中線AD=2小，且SAABC=2小，求△A3C的周長.

解(1)由已知Osin3=asinA—(0+c)sinC和正弦定理，得廬="一兒一c2,

〃+廿一Q21

由余弦定理得cosA=[=—3

在△ABC中，因為A?(0,7i),

所以人=2拿兀

1、八

(2)由S15c=/bcsinA=￥"c=2噂，得bc=8,①

A

BDC

由(1)知b2=a1—bc—(r',

即廬+/=次-8,②

在△A3。中，由余弦定理得

C2=Q+(2小)2—22小COSZADB,

在△ADC中，由余弦定理得

+(2小產(chǎn)―22小微.cosZADC,

因為cosNADB=—cos/ADC,

所以廿+°2=5+24,③

由①②③，得a=8,b2~\~c2=56,bc=8,

所以b+c=q(b+c)2=ylb2-\-c2-\-2bc

=772=672,

所以△ABC的周長為a+b+c=S+6\[2.

考點三三角形的角平分線

例3已知△ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別是。，b,c,A=60°,c=b+l,

.叵

smBR=7.

⑴求C的值；

(2)設(shè)AD是△ABC的角平分線，求AD的長.

解(l)sin

A/3

由A=60。，可得sinA=T-,

c=b+l>b9可得5為銳角，

則cosB=yj1—sin2B=^^,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

小2小」J小i3?

~21十17—14，

,cb-r/mcc-1

由而~乙=而西可付礪=亙,

147

解得c=3.

(2)由(1)可得>=c—1=2,

因為AD是NR4c的平分線，

所以NBAD=NC4D=30。，

設(shè)AD=x,由SAABC=SAACD+SAABD,可得

；X3X2X*='1x2xX：+—3xX

乙乙乙乙乙乙

化為|x=34，解得x=罕，則4。=嗜.

感悟提升角平分線問題的處理策略：在△ABC中，AD平分NA4c.

(1)角平分線定理：筆=等；

/ACZV-L-/

(2)利用兩個小三角形面積和等于大三角形面積處理.

訓(xùn)練3(2024?晉城模擬)已知三角形A3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

且acosB+bcosA=2ccosB.

⑴求角5;

(2)若A=$角3的角平分線交AC于點D,BD=?求CD的長.

解(1)因為acosB+Z?cosA=2ccosB,

由正弦定理可得

sinAcos5+sinBcosA=2sinCeosB,

所以sin(A+B)=2sinCeosB,

即sinC=2sinCeosB,

因為0<C<兀，所以sinC>0,

故cos

JT

因為Q<B<n,所以B=y

jr

(2)由(1)可知NA3D=NC3D=4,

B

又A=：,所以NA￡)B=三，ZCDB=-^,ZBCD=-^,

所以BC=BD=j,

在△BCD中，由余弦定理可得

CD2=BD2+BC2-2BDBCcosZCBD,

即C￡>2=2+2—2X啦X也X為-=4—2小

=(*1)2,

解得CD=y[3~l.

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.在△ABC中，AB=2,AC=1,ZBAC=120°,AH為△ABC的高線，則海.初=

()

A叵14

ix..7B.yC.|D.y

答案c

解析在△ABC中，由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2ABACCOS120°=7,

即BC=5

所以SMBC=^AB-ACsin120°=|BCAH,

ABACsin120°^21

所以AH=

BC7，

由向量數(shù)量積的幾何意義得

2

_3

ABAh=\AH\2

~T

3jr

2.在△ABC中，3c邊上的高為3c長度的一半，則cosA=()

A蕃B害C.|D坐

答案A

解析如圖，3C邊上的高AD為3c邊長的一半,

設(shè)BC=a,

則AD=BD=g,.,.AB=^a,

在△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZABC=^a2.

由正弦定理得缶AC

在△中,

ABCsin5'

可得sinA=

VAekI

3.（2024?廣州質(zhì)檢）已知△ABC中，AB=6,AC=2,AD為NA4c的角平分線，AD

=小,則△ABC的面積為（）

A.2^2B.4-V2C.3y/2D.34

答案B

解析設(shè)NA4D=NC4D=6,

SMBC=S^ABD~\-S^ACD,

則gaBACsinZBAC=^ABADsmZBAD+^ADACsinACAD,

Sp|-X6X2Xsin20=^X6X^/3Xsin0+^X2X^/3Xsin0,

可得小sin28=2sin0=2^3sin6cos0,

、月

sin8W0,貝I]cos

sine=q1-cos2e=W，

則SAABC=SAABD+SAACD=gx6x/x乎+3X2X小＞＜坐=4色.

4.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若角A,C,3成等差數(shù)

列，角C的角平分線交A3于點。，且8=小，a=3b,則c的值為（）

A.3B.1C.邛D.25

答案C

解析如圖，在△ABC中，由角A,C,3成等差數(shù)列，角C的角平分線交A3于

點D,則C=g,

7T

所以

ZACD=ZBCD=To,

由CD=yf3,a=3b,

CAADl

^^CB~DB~y

在△ACD和△BCD中，由余弦定理得

AD2=Z?2+3-2Z?X^3COS30°=從一30+3,

=（3》）2+3—2X36X/cos30°

=9b2-9b+3,

故9/一9。+3=9（廿一30+3）,

4

解得6=W，故a=4.

在△ABC中，由余弦定理得

c2=a2-\-b2-2abcosC,

即（?=16+號-2X4X,X,=^^,

好4小

故。一3.

7

5.在△ABC中，已知AB=4,AC=7,3c邊的中線AD=],那么3C=（）

A.4B.5C.7D.9

答案D

解析在△A3。中，結(jié)合余弦定理得

加2+—。2一4序

cos/ADB=2BDAD

在△ACD中，結(jié)合余弦定理得

。￡>2+—。2—4。2

cosZADC=2CDAD，

由題意知CD,ZADB+ZADC=兀，

所以cosZADB+cosZADC=0,

BD2+AD2-AB2CD2+AD1~AC1

所以2BDAD+2CDAD=0'

22

CD2+?-42CD2+!?|-72

即-----J——+--------?——=0,

2X-CD2X-CD

9

解得CD=],所以3C=9.

6.（多選）（2024.南京調(diào)研）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且（2。一

C）COSA=GCOSC,b=2小,若邊3c的中線AD=3,則下列結(jié)論正確的有（）

兀c,兀

A.A=2B.A=g

C.ABAC=6D.AABC的面積為373

答案ACD

解析由（2方——c）cosA=acosC,

得2sinBcosA—sinCeosA=sinAcosC,

得2sinBcosA=sinAcosC+sinCeosA

=sin（A+Q=sin（7i—B）=sinB,

因為3￡（0,兀），所以sinBWO,

因此28sA=1,得cosA=；,

jr

因為A?（0,7i）,所以4=,,A正確，B不正確；

因為AD是中線，

所以由助=；0通+才W）,

得4rM）1=AB1+M^+2ABM：,

得36=^+12+2X2-73x|c,

得c=2小或c=—4#（舍去），

因此油.公=2*X2小xg=6,C正確；

Sz\ABC=；OcsinA=（又2小X2小X半=34,D正確.

7.（2024.南通診斷）在△ABC中，已知A=60。，BC=2,。為BC的中點，則線段

AD長度的最大值為（）

A.lB巾C.6D.2

答案C

解析設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—bc,

即4=Z?2+c2—Z?c,

所以4=〃+/一秋三慶，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立.

因為助=3（2通+公），

所以Zb?二（逐2+疵2+2ABAC）

=^C2+Z?2+2CZ?-^=^（Z?2+C2+ZJC）

=34+6c+0c）W（4+8）=3,

所以|量）|W小，故選c.

8.在△ABC中，a=l,匕=小，。邊上的中線長為1,則△ABC的外接圓的半徑長

為.

答案1

解析如圖，在△ABC中，設(shè)。為A3邊的中點，

C

則詼=次+筋，CD=CA+AD,BD+AD=0,

所以2a）=△+麗，

故4詼』（畫+畫）2,

而|詼1=1,\CA\=yj3,|CB|=1,

所以4=3+l+2CA-CB=4+2V3cosZACB,

則cosZACB=0,

7T

由于NAC3G(0,7i),故NAC3=2，

所以C=A/3+1=2,

設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R,

則—7；=2R,

sinC

12

所以義

R=25—.7-1=1.

sm2

9.(2024?石家莊調(diào)研)在△ABC中，已知AC=巾，ZABC=60°,AB<BC,S.AABC

的面積為乎，則3C邊上的高為.

答案V3

解析因為/43。=60。且△ABC的面積為‘坐，

所以gacsin6CP=^K即ac=6,①

又AC=小，

所以b2=a2+c2-2accos60°=7,

即a2jrc2—ac=l,②

聯(lián)立①②結(jié)合a>c,解得。=3,c=2.

設(shè)3C邊上的高為h,

所以1?/1=3乂3乂力=￥^,

所以h=小.

10.在銳角△ABC中，BC=4,sin5+sinC=2sinA,則中線AD的取值范圍是

答案［2小，V13)

解析設(shè)AB=c,AC=b,BC=a=4,

對sinB+sinC=2sinA運用正弦定理，

得b+c=2〃=8,

所以c=S~b,

因為該三角形為銳角三角形，所以根據(jù)余弦定理,

〃+。2一/

cosA=-2bc—>0,

a2+c2-Z?2

可得<cosB=-----5-------->0,

2ac

iP'+cr'—c1

cosC=-2^b—>0,

p2+(8—0)2>16,

則1(8—。)2+16>/，解得3<。<5.

L2+16>(8—0)2,

由bc=b(8-b)=-b2+8b=~(b~4)2+16,

得15<6cW16.

由AZ)=^(AB+AC),

所以|Ab|=

|\AB2+AC2+2|A5|-|AC|-COSA

/,2+c2—16

22

b+c+2bc2bc

112—40c,

結(jié)合。c的范圍,

代入得|廈)|的范圍為［2小，V13).

11.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2+b2(l~4cos2B)=-ab,

且c=2Z?cosB.

⑴求b

(2)若△ABC的周長為4+2仍，求5c邊上中線的長.

解(1)由/+廿(1—4COS2B)=一而，

有a2+Z?2—4Z?2COS2B=~ab,

又c=2Z?cosB,所以/=462cos25,

222

即a-\~b—c=—ab9

由余弦定理，得

層+左一

-ab1

c°sC=2ablabT

又C?(0,it),所以C=Q,

由c=2Z?cos3及正弦定理，得

sinC=2sinBcosB,

所以sin2B=^,

由叱卜),得23?(0,

所以28=1,解得3=*

(2)由(1)可知3=聿，。=中,

所以A=7i—OJO

所以a=b,

由c=2Z?cosB,得c=y[3ci.

因為△ABC的周長為4+2^3,

所以解得a=2.

設(shè)3c的中點為。，則CD=；5c=1,如圖所示.

在△&CD中由余弦定理，得

AD=ylAC2+CD2~2AC-CD-cosy

=J+1—2X2X1x］一\=巾,

所以BC邊上中線的長為由.

A+B

12.(2024.福州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,bsin2

csinB.

⑴求角c；

（2）若AB邊上的高線長為2/，求△ABC面積的最小值.

解（1）由已知4+8+。=兀，

A~\~B?！狢C

所r以Z?sin_2-=bsin—/—=Z?cosy,

C

所以Z?cos~^=csinB,

C

由正弦定理得sinBcos5=sinCsinB,

因為5,Ce（0,兀），

C兀C

則sinB>0,0<y<2?cosy>0,

cccc

所以cosy=sinC,則cosy=2singeos,,

C1

所以sin,=5，

所以,=3則c=y

（2）由SAABC=^C-2^/3=^absinC,

得ab=4c,

由余弦定理c2=a2-\-b2—2abcosC=a2-\-b2—ab^2ab—ab=ab,

即C2^4C,

因為c>0,則cN4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=c=4取等號，

此時AABC面積的最小值為44.

【B級能力提升】

13.（2024?武漢模擬）△ABC的內(nèi)角A,B,1的對邊分別為a,b,c,已知2a+b=

2ccosB,若CD是角C的平分線，AD=2S,DB=y/l,則CD的長為（）

A.3B.2C.2yf2D.3g

答案B

次+C2―/2

cosB=

解析由余弦定理知lac

c

BDA

*.*2〃+b=2ccosB,

.6Z2+c2—/?2

??2ab—2c,lac

222

即a+b-c=—ab9

由余弦定理知

層+居一。2一處

cosC=_lab-=^b=~29

2兀

vc^(o,兀)，c=-^~.

由角平分線定理知*=筮=￥