第四章曲線運(yùn)動(dòng)

第21課時(shí)專題強(qiáng)化：圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

【考情分析?探規(guī)律】

2024?廣東卷?T5、2024?甘肅卷?T8、2024?黑吉遼卷?T2、

圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問2023?江蘇卷?T13、2023?全國(guó)甲卷?T17、2023?北京卷?T10、

題2022全國(guó)甲卷T14、2022河北卷T10、2022遼寧卷T13、

2022北京卷T8

試生活中的拋體運(yùn)動(dòng)，自行車、汽車、火車轉(zhuǎn)彎等動(dòng)力學(xué)及臨界

生活實(shí)踐類

問題，水流星，體育運(yùn)動(dòng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問題

題

情小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關(guān)的

學(xué)習(xí)探究類平拋運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)問題，圓錐擺模型，水平面內(nèi)、豎

境

直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題，圓周運(yùn)動(dòng)中的輕繩、輕桿模型

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)一水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題

物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。

2

⑴如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力居m="，靜摩擦力的方向一定指向圓

r

心。

(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其中一個(gè)物體存在

一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最

大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。

2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題

⑴兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。

⑵繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。

【小試牛刀】

【典例】1.（2024?江蘇卷?8）生產(chǎn)陶瓷的工作臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，臺(tái)面上掉有陶屑，陶屑與臺(tái)

B.越靠近臺(tái)面邊緣的陶屑質(zhì)量越小

C.陶屑只能分布在圓臺(tái)邊緣

D.陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)

【典例】2.（多選）如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在水平

圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸00,的距離為/,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2/。木塊與圓盤間的最大靜摩

擦力為木塊所受重力的左倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地

加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用。表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說

法正確的是（）

0；

；ab

:一□

O'\

A.b一定比a先開始滑動(dòng)

B.a、b所受的摩擦力始終相等

C.0=將是b開始滑動(dòng)的臨界角速度

D.當(dāng)。=杵時(shí)，a所受摩擦力的大小為加吆

【典例】3.（多選）（2024?山東臨沂市質(zhì)檢）質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）由輕繩。和6分

別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和3點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)輕桿繞軸以角速度。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

。繩與水平方向成。角，6繩在水平方向上且長(zhǎng)為重力加速度為g,下列說法正確

的是（）

A.a繩的彈力隨角速度的增大而增大

B.當(dāng)角速度①,g時(shí)，6繩中產(chǎn)生彈力

ftan0

c.當(dāng)繩中產(chǎn)生彈力后，角速度再增大時(shí)a繩的彈力不變

D.當(dāng)b繩突然被剪斷時(shí)，a繩的彈力一定發(fā)生變化

考點(diǎn)二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)一般為變速圓周運(yùn)動(dòng)，故除最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（或等效最高點(diǎn)和等效最

低點(diǎn)）合外力指向圓心，其他位置合外力不指向圓心。

2.在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，只需要把合外力沿圓心方向和速度方向正交分解，指向圓心的分

力提供向心力，只改變速度的方向，沿切線方向的合力改變速度的大小。

3.只有重力做功的豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒，有其他力參與做功的可用動(dòng)能

定理或能量守恒解題。

4.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型

輕繩模型輕桿模型

常見類型、、、一，

小球最高點(diǎn)沒有支撐小球最高點(diǎn)有支，摩

除重力外，物體受到的彈力方除重力外，物體受到的彈力方向：

最高點(diǎn)受力特征

向：向下或等于零向下、等于零或向上

,1小、

F張

mgmg

00

最高點(diǎn)受力示意圖mgmg

F醇

一

o1。J、、

mg

0

v2?_V2

動(dòng)力學(xué)方程機(jī)尸彈=根一mg土卜彈=加一

g+RR

尸彈=0

V.2①恰好過最高點(diǎn)，v=0,F*=mg

臨界特征mgmR

②恰好無彈力，F(xiàn)彈=0,v=y[gR

即

在最高點(diǎn)的速度

過最高點(diǎn)的條件

【小試牛刀】

【典例】1.（多選）（2025?山東德州市校考）如圖所示，一質(zhì)量為機(jī)=0.5kg的小球（可視

為質(zhì)點(diǎn)）,用長(zhǎng)為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g取10m/s2,

下列說法正確的是（）

A.小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s

B.當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，輕繩拉力大小為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4魚m/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4m/s

【典例】2.（多選）（2025?山東煙臺(tái)市?？迹┤鐖D所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道

內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球直徑略小于管道的尺寸，內(nèi)側(cè)壁半徑為R,小球半徑為r,重力

加速度為g，則下列說法正確的是（）

A.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度Omin=Jg（R+r）

B.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度Cmin=0

C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力

D.小球在水平線加以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力

考點(diǎn)三斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為仇重力垂直斜面的分力與物體受到

的支持力大小相等。

物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)：〃機(jī)gcosd—mgsinO

mco^Ro

【小試牛刀】

【典例】1.（2024?山東青島市期中）如圖所示，一傾斜圓盤可繞通過圓心、垂直于盤面

的固定軸以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上距離轉(zhuǎn)軸1=5cm處有一可視為質(zhì)點(diǎn)的物

塊在圓盤上且始終與圓盤保持相對(duì)靜止。已知物塊與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為日，盤

面與水平面間的夾角6=30。，重力加速度大小g取lOm/sz,設(shè)最大靜摩擦力等于滑

動(dòng)摩擦力，下列說法正確的是（）

/魚___________

A.若圓盤角速度逐漸增大，物塊會(huì)在最高點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)

B.圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度可能為5V3rad/s

C.物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力方向一定背離圓心

D.物塊運(yùn)動(dòng)到與圓盤圓心等高點(diǎn)時(shí)，摩擦力的方向垂直于物體和圓盤圓心的連線

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】1~7題每小題5分，共35分

1.（2024?山東臨沂市質(zhì)檢）如圖甲，滾筒洗衣機(jī)脫水時(shí)，滾筒上有很多漏水孔，滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)

時(shí)，附著在潮濕衣服上的水從漏水孔中被甩出，達(dá)到脫水的目的，衣服緊貼著滾筒壁在

豎直平面內(nèi)做順時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖乙，一件可視為質(zhì)點(diǎn)的小衣服，。、6分別為

小衣服經(jīng)過的最高位置和最低位置。下列說法正確的是（）

甲

A.衣服緊貼著滾筒做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

B.衣服轉(zhuǎn)到b位置時(shí)衣服上水珠的脫水效果比a位置好

C.不論滾筒轉(zhuǎn)速多大，衣服都不會(huì)離開滾筒壁

D.衣服在a位置受到滾筒壁的支持力比在b位置的大

2.港珠澳大橋總長(zhǎng)約55km,是世界上總體跨度最長(zhǎng)、鋼結(jié)構(gòu)橋體最長(zhǎng)、海底沉管隧道

最長(zhǎng)的路海大橋，設(shè)計(jì)時(shí)速100km/h。如圖所示，該路段是港珠澳大橋的一段半徑r=

150nl的圓弧形彎道，總質(zhì)量根=1800kg的汽車通過該圓弧形彎道時(shí)以速度。大小為

90km/h做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（汽車可視為質(zhì)點(diǎn)，路面視為水平且不考慮車道的寬度）。已知路

面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的:，重力加速度g取lOm/s?,則

（）

A.汽車過該彎道時(shí)受到重力、支持力、摩擦力、牽引力和向心力

B.汽車過該彎道時(shí)所受徑向靜摩擦力大小為4000N

C.汽車過該彎道時(shí)的向心加速度大小為4m/s2

D.汽車能安全通過該彎道的最大速度為15V5m/s

3.如圖所示，當(dāng)汽車通過拱橋頂點(diǎn)的速度為lOm/s時(shí)，汽車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍亓Φ娜?/p>

4

如果要使汽車在粗糙的橋面經(jīng)過橋頂時(shí)，恰好不受摩擦力作用，則汽車通過橋頂?shù)乃俣?/p>

應(yīng)為（）

A.15m/sB.20m/sC.25m/sD.30m/s

4.（來自教材改編）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)豎直轉(zhuǎn)

軸與過陶罐球心。的對(duì)稱軸0。重合。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察到陶罐內(nèi)壁上質(zhì)量為〃7

的小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和。點(diǎn)的連線與00'的夾角0=60。。重

力加速度大小為g。下列判斷正確的是（）

A.轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定等于J詈

B.物塊的線速度大小可能等于J等

C.物塊所受合力的大小一定等于遍mg

D.陶罐壁對(duì)物塊彈力的大小一定等于2mg

5.（2025?山東青島市?？迹┤鐖D所示，輕桿長(zhǎng)33在桿兩端分別固定質(zhì)量均為根的球A

和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為乙處的。點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能

量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無作用力。忽

略空氣阻力，重力加速度為g,則球B在最高點(diǎn)時(shí)（）

A.球B的速度為零

B.球A的速度大小為痛I

C.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為L(zhǎng)5mg

D.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5mg

6.如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體A、B及物體C能隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度勻速轉(zhuǎn)

動(dòng)，A、B、C的質(zhì)量分別為3〃h2m,m,A與B、B和C與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為

〃，A和B、C離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為r和1.5r。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，物體

A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.B對(duì)A的摩擦力一定為3〃mg

B.B對(duì)A的摩擦力一定為3mo2r

C.轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度需要滿足。＜怛

7r

D.若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度逐漸增大，最先滑動(dòng)的是A物體

7.（多選）如圖甲所示，一長(zhǎng)為/的輕繩，一端穿在過。點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一

質(zhì)量未知的小球，整個(gè)裝置繞。點(diǎn)在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。小球通過最高點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球的拉

力廠與其速度平方。2的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度為g,下列判斷正確的是（）

?2

A.圖像函數(shù)表達(dá)式為F=m—+mg

B.重力加速度g=：

C.繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量較小的球做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線斜率更大

D.繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量較小的球做實(shí)驗(yàn)，方值不變

【鞏固必刷題】8~10題每小題6分，共18分

8.（2025?山東濰坊市模擬）如圖所示，一傾斜的圓筒繞固定軸05以恒定的角速度。轉(zhuǎn)動(dòng),

圓筒的半徑r=1.5m。筒壁內(nèi)有一小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）與圓筒始終保持相對(duì)靜止，小物

體與圓筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為f（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），轉(zhuǎn)動(dòng)軸與水平面間的

夾角為60。，重力加速度g取10m/s2,則。的最小值是（）

A.lrad/sB.——rad/s

3

C.V10rad/sD.5rad/s

9.如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B,祖A=4kg,mB=lkg,它們

分居在圓心兩側(cè)，與圓心距離為人=0.1m,在=0.2m,中間用水平細(xì)線相連，A、B與

圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=0.2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，若圓盤從靜止開始

繞中心轉(zhuǎn)軸非常緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，重力加速度g取10m/s2,以下說法正確的是（）

A.A的摩擦力先達(dá)到最大

B.當(dāng)3=2由rad/s,細(xì)線開始出現(xiàn)張力

C.當(dāng)例=同rad/s,A、B兩物體出現(xiàn)相對(duì)圓盤滑動(dòng)

D.當(dāng)rad/s,A、B兩物體出現(xiàn)相對(duì)圓盤滑動(dòng)

10.（多選）如圖所示，半徑R=3/的光滑圓筒豎直固定，長(zhǎng)度為5/的輕繩，一端固定在圓

筒軸線上一點(diǎn)，另一端懸掛可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為機(jī)的小球?，F(xiàn)使小球在水平面內(nèi)做勻速

圓周運(yùn)動(dòng)，小球始終在圓筒內(nèi)，重力加速度為g。下列說法正確的是（）

B.小球角速度。=器時(shí)，輕繩的拉力為5〃zg

C.小球角速度。=序時(shí)，小球受兩個(gè)力的作用

D.小球角速度。=時(shí)，筒壁與小球之間作用力大小為、zg

【尖子拔高題】（7分）

11.（多選）如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為R=0.35m且內(nèi)壁光滑的圓形軌道，軌道底

端與光滑水平面相切，一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以大小為3.5m/s的初速度進(jìn)入軌道，重

力加速度g取10mH,貝1）（）

A.小球不會(huì)脫離圓軌道

B.小球會(huì)脫離圓軌道

C.小球脫離圓軌道時(shí)的速度大小為?m/s

D.小球脫離圓軌道的位置與圓心的連線和水平方向間的夾角為30°

第四章曲線運(yùn)動(dòng)

第21課時(shí)專題強(qiáng)化：圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

【考情分析?探規(guī)律】

2024?廣東卷?T5、2024?甘肅卷?T8、2024?黑吉遼卷?T2、

圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問2023?江蘇卷?T13、2023?全國(guó)甲卷?T17、2023?北京卷?T10、

題2022全國(guó)甲卷T14、2022河北卷T10、2022遼寧卷T13、

2022北京卷T8

試生活中的拋體運(yùn)動(dòng)，自行車、汽車、火車轉(zhuǎn)彎等動(dòng)力學(xué)及臨界

生活實(shí)踐類

問題，水流星，體育運(yùn)動(dòng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問題

題

情小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關(guān)的

學(xué)習(xí)探究類平拋運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)問題，圓錐擺模型，水平面內(nèi)、豎

境

直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題，圓周運(yùn)動(dòng)中的輕繩、輕桿模型

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)一水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題

物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。

2

⑴如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力居m="，靜摩擦力的方向一定指向圓

r

心。

(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其中一個(gè)物體存在

一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最

大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。

2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題

⑴兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。

⑵繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。

【小試牛刀】

【典例】1.（2024?江蘇卷?8）生產(chǎn)陶瓷的工作臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，臺(tái)面上掉有陶屑，陶屑與臺(tái)

面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同（臺(tái)面足夠大），貝!!（）

A.越靠近臺(tái)面邊緣的陶屑質(zhì)量越大

B.越靠近臺(tái)面邊緣的陶屑質(zhì)量越小

C.陶屑只能分布在圓臺(tái)邊緣

D.陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)

【答案】D

【解析】與臺(tái)面相對(duì)靜止的陶屑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力為

最大靜摩擦力時(shí)，半徑最大，設(shè)為「，根據(jù)牛頓第二定律可得〃加g=s02r,解得『隆，

〃與。均一定，故廠與陶屑質(zhì)量無關(guān)且為定值，即陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)，故

A、B、C錯(cuò)誤，D正確。

【典例】2.（多選）如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在水平

圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸00,的距離為/,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2/。木塊與圓盤間的最大靜摩

擦力為木塊所受重力的左倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地

加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用。表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說

法正確的是（）

O\

\ab

:一□

O'\

A.b一定比a先開始滑動(dòng)

B.a、b所受的摩擦力始終相等

Co=將是b開始滑動(dòng)的臨界角速度

D.當(dāng)。=挎時(shí)，a所受摩擦力的大小為加吆

【答案】AC

【解析】小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，即屈=儂/&當(dāng)角速度

增大時(shí)，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)木塊a有居a=

22

ma）al,當(dāng)Ffa=kmg時(shí),kmg=mo）al,coa=JY；對(duì)木塊b有產(chǎn)（b=m3b2-2/,當(dāng)Ffb—kmg

2

時(shí)，kmg=mo）b-2l，0=舊，則。=舊是b開始滑動(dòng)的臨界角速度，即b比a先開

始滑動(dòng)，選項(xiàng)A、C正確；兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，貝!|尸fa=?W?11F,

Ffa<Fm,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；。=俘<如=佟,a沒有滑動(dòng)，則Fta'=m^l=lkmg,選項(xiàng)D

M3t\lL3

錯(cuò)誤。

【典例】3.（多選X2024?山東臨沂市質(zhì)檢）質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）由輕繩。和6分

別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和3點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)輕桿繞軸以角速度。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

。繩與水平方向成6角，6繩在水平方向上且長(zhǎng)為/。重力加速度為g,下列說法正確

的是（）

A.a繩的彈力隨角速度的增大而增大

B.當(dāng)角速度時(shí)，6繩中產(chǎn)生彈力

7ltan0

C.當(dāng)匕繩中產(chǎn)生彈力后，角速度再增大時(shí)。繩的彈力不變

D.當(dāng)b繩突然被剪斷時(shí)，a繩的彈力一定發(fā)生變化

【答案】BC

【解析】當(dāng)b繩的彈力剛好為零時(shí)，小球受重力和繩的彈力,合力提供向心力，有

atan（7

=mlco2,解得3=匡,可知當(dāng)角速度匡時(shí)，b繩出現(xiàn)彈力，故B正確；根據(jù)

yitanc/7Itanu

豎直方向上受力平衡得兄sin0=mg,解得心=篝，可知6不變時(shí)，a繩的彈力不變,

sm（7

故A錯(cuò)誤，C正確；

由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷時(shí)，?繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。

【解題技巧】

物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若物體的速度、角速度發(fā)生變化，會(huì)引起某些力（如拉力、支

持力、摩擦力）發(fā)生變化，進(jìn)而出現(xiàn)某些物理量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)，

分析圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各物理量的變化,

找出臨界狀態(tài)。

考點(diǎn)二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)一般為變速圓周運(yùn)動(dòng)，故除最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（或等效最高點(diǎn)和等效最

低點(diǎn)）合外力指向圓心，其他位置合外力不指向圓心。

2.在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，只需要把合外力沿圓心方向和速度方向正交分解，指向圓心的分

力提供向心力，只改變速度的方向，沿切線方向的合力改變速度的大小。

3.只有重力做功的豎直面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒，有其他力參與做功的可用動(dòng)能

定理或能量守恒解題。

4.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型

輕繩模型輕桿模型

:礁、）

常見類型、、、一一/

小球最高點(diǎn)沒有支撐小球最高點(diǎn)有支?摩

除重力外，物體受到的彈力方除重力外，物體受到的彈力方向：

最高點(diǎn)受力特征

向：向下或等于零向下、等于零或向上

小,1上、、、

mgmg

/?彈0O

最高點(diǎn)受力示意圖mgmg

尸彈

J、、

o,1

mg

0

V2

動(dòng)力學(xué)方程mg±F彈n一

RR

尸彈=0

V.2①恰好過最高點(diǎn)，o=0,F?=mg

臨界特征mg=m哭11

②恰好無彈力，/彈=0,v=y/gR

即vmin=y[gR

在最高點(diǎn)的速度

過最高點(diǎn)的條件oNO

v^JgR

【小試牛刀】

【典例】1.（多選）（2025?山東德州市?？迹┤鐖D所示，一質(zhì)量為機(jī)=0.5kg的小球（可視

為質(zhì)點(diǎn)）,用長(zhǎng)為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g取10m/s2,

下列說法正確的是（）

!

\/I

A.小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s

B.當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，輕繩拉力大小為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4V2m/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4m/s

【答案】ABC

【解析】設(shè)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為,則根據(jù)牛頓第二定律有mg=m^-,解

得方=2m/s,故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為5=4m/s時(shí)，設(shè)輕繩拉力大小為

FT,根據(jù)牛頓第二定律有Fr+〃?g=加字,解得國(guó)=15N,故B正確；小球在軌跡最低

K

172

點(diǎn)處速度最大，此時(shí)輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有FTm—mg=*,解得。m

=4&m/s,故C正確，D錯(cuò)誤。

【典例】2.（多選）（2025?山東煙臺(tái)市校考）如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道

內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球直徑略小于管道的尺寸，內(nèi)側(cè)壁半徑為R,小球半徑為一，重力

加速度為g,則下列說法正確的是（）

A.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度0min=Jg(R+r)

B.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度Omin=0

C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無作用力

D.小球在水平線加以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力

【答案】BC

【解析】小球沿管道上升到最高點(diǎn)的速度可以為零，故A錯(cuò)誤，B正確；小球在水平線

ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由外側(cè)管壁對(duì)小球的作用力心與小球重力在背離圓心方向的

?2

分力及g的合力提供向心力，即尺一居廣吟白，因此，外側(cè)管壁一定對(duì)小球有作用力，

而內(nèi)側(cè)管壁無作用力，C正確；小球在水平線的以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球受管壁的

作用力與小球速度大小有關(guān)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力可能由內(nèi)側(cè)壁對(duì)小球的作用

力和重力的合力提供，D錯(cuò)誤。

【解題技巧】分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的思路

/定模型卜判斷是輕繩模型還是輕桿模型

輕繩模型：通過最高點(diǎn)的臨界速度

。臉=質(zhì)；輕桿模型：通過最高點(diǎn)的

/確定臨界點(diǎn)/

臨界速度為零

/研究狀態(tài)卜通常情況下豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只

涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況

對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行

/受力分析卜受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列出

方程

考點(diǎn)三斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為3,重力垂直斜面的分力與物體受到

的支持力大小相等。

物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)：〃加geos0—mgsin0

7"(O~RO

【小試牛刀】

【典例】L（2024?山東青島市期中）如圖所示，一傾斜圓盤可繞通過圓心、垂直于盤面

的固定軸以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上距離轉(zhuǎn)軸1=5cm處有一可視為質(zhì)點(diǎn)的物

塊在圓盤上且始終與圓盤保持相對(duì)靜止。已知物塊與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為日，盤

面與水平面間的夾角6=30。，重力加速度大小g取10m/s2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑

動(dòng)摩擦力，下列說法正確的是（）

了

/魚__________

A.若圓盤角速度逐漸增大，物塊會(huì)在最高點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)

B.圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度可能為5grad/s

C.物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力方向一定背離圓心

D.物塊運(yùn)動(dòng)到與圓盤圓心等高點(diǎn)時(shí)，摩擦力的方向垂直于物體和圓盤圓心的連線

【答案】C

【解析】物塊在最低點(diǎn)即將滑動(dòng)時(shí),此時(shí)圓盤角速度最大，由牛頓第二定律有“T/zgcos30°

2

—mgsin30°=ma）1l,解得?=5夜rad/s,故B錯(cuò)誤；物塊在最高點(diǎn)恰好不受摩擦力

2

時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有mgsin30°=ma）2l,解得（y2=10rad/s>5V2rad/s,物塊運(yùn)動(dòng)到

最高點(diǎn)摩擦力一定背離圓心，但不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，故A錯(cuò)誤，C正確；由于物塊做勻

速圓周運(yùn)動(dòng)，合力方向指向圓盤中心，重力沿盤面的下滑分力與摩擦力的合力提供向心

力,則與圓盤圓心等高點(diǎn)處摩擦力的方向不垂直于物塊和圓盤圓心的連線,故D錯(cuò)誤。

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】1~7題每小題5分，共35分

1.（2024?山東臨沂市質(zhì)檢）如圖甲，滾筒洗衣機(jī)脫水時(shí)，滾筒上有很多漏水孔，滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)

時(shí)，附著在潮濕衣服上的水從漏水孔中被甩出，達(dá)到脫水的目的，衣服緊貼著滾筒壁在

豎直平面內(nèi)做順時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖乙，一件可視為質(zhì)點(diǎn)的小衣服，。、6分別為

小衣服經(jīng)過的最高位置和最低位置。下列說法正確的是（）

*n筌

甲乙

A.衣服緊貼著滾筒做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

B.衣服轉(zhuǎn)到b位置時(shí)衣服上水珠的脫水效果比。位置好

C.不論滾筒轉(zhuǎn)速多大，衣服都不會(huì)離開滾筒壁

D.衣服在a位置受到滾筒壁的支持力比在b位置的大

【答案】B

【解析】衣服緊貼著滾筒壁在豎直平面內(nèi)做順時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度方向變化,

2

是變加速曲線運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；在。位置有尸肥+加8=加。筑，F(xiàn)^b—mg=mmR,可知

FN^FN。，衣服轉(zhuǎn)到b位置時(shí)衣服上水珠的脫水效果比a位置好，B正確，D錯(cuò)誤；在

a位置可得見+，咫=加。2尺，當(dāng)打必=0時(shí)，臨界角速度。。=H，如果轉(zhuǎn)速小于臨界角

a“AlK

速度對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速，則衣服就會(huì)離開滾筒壁，C錯(cuò)誤。

2.港珠澳大橋總長(zhǎng)約55km,是世界上總體跨度最長(zhǎng)、鋼結(jié)構(gòu)橋體最長(zhǎng)、海底沉管隧道

最長(zhǎng)的路海大橋，設(shè)計(jì)時(shí)速100km/h。如圖所示，該路段是港珠澳大橋的一段半徑r=

150m的圓弧形彎道，總質(zhì)量7?2=1800kg的汽車通過該圓弧形彎道時(shí)以速度。大小為

90km/h做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(汽車可視為質(zhì)點(diǎn)，路面視為水平且不考慮車道的寬度)。已知路

面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的;，重力加速度g取10m/s2,則

()

A.汽車過該彎道時(shí)受到重力、支持力、摩擦力、牽引力和向心力

B.汽車過該彎道時(shí)所受徑向靜摩擦力大小為4000N

C.汽車過該彎道時(shí)的向心加速度大小為4m/s2

D.汽車能安全通過該彎道的最大速度為15V5m/s

【答案】D

【解析】汽車過該彎道時(shí)受到重力、牽引力、支持力和摩擦力作用，摩擦力提供做圓周

?2

運(yùn)動(dòng)的向心力，故A錯(cuò)誤汽車過該彎道時(shí)所受徑向靜摩擦力大小為H=m?=7500N,

故B錯(cuò)誤；汽車過該彎道時(shí)的向心加速度大小為=胃m/s2,故C錯(cuò)誤；汽車能

安全通過該彎道速度最大時(shí)滿足|〃取=加乎,解得。m=15而m/s,故D正確。

3.如圖所示，當(dāng)汽車通過拱橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時(shí)，汽車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍亓Φ娜?/p>

4

如果要使汽車在粗糙的橋面經(jīng)過橋頂時(shí)，恰好不受摩擦力作用，則汽車通過橋頂?shù)乃俣?/p>

應(yīng)為（）

A.15m/sB.20m/sC.25m/sD.3Om/s

【答案】B

【解析】如果要使汽車在粗糙的橋面經(jīng)過橋頂時(shí)，不受摩擦力作用，即汽車只受重力作

，2

用，則有加；當(dāng)汽車通過拱橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時(shí)，汽車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐?/p>

重力的I即支持力為加,則有mg—^mg=m^,聯(lián)立解得y—20m/s,所以B正確，

A、C、D錯(cuò)誤。

4.（來自教材改編）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)豎直轉(zhuǎn)

軸與過陶罐球心。的對(duì)稱軸0。重合。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察到陶罐內(nèi)壁上質(zhì)量為加

的小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，它和。點(diǎn)的連線與0。的夾角6=60。。重

力加速度大小為g。下列判斷正確的是（）

A.轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定等于J票

B.物塊的線速度大小可能等于欄

C.物塊所受合力的大小一定等于四〃.

D.陶罐壁對(duì)物塊彈力的大小一定等于2mg

【答案】B

【解析】小物塊繞。。軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一定受重力、支持力，可能受摩擦力，若摩

擦力為0,由牛頓第二定律得mgtanbO^m^sin60°,解得。=耳，線速度大小為。

=o7?sin600=舊爭(zhēng)=修,當(dāng)小物塊所受摩擦力不為0時(shí)，角速度不等于，小

物塊的線速度也不等于舟，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)小物塊所受摩擦力為0時(shí)，其所受合

力的大小為Bag，所受彈力大小等于2mg，當(dāng)所受摩擦力不為0時(shí)不成立，C、D錯(cuò)誤。

5.（2025?山東青島市?？迹┤鐖D所示，輕桿長(zhǎng)3L在桿兩端分別固定質(zhì)量均為根的球A

和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為乙處的。點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能

量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無作用力。忽

略空氣阻力，重力加速度為g,則球B在最高點(diǎn)時(shí)（）

A.球B的速度為零

B.球A的速度大小為痛I

C.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為15咫

D.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5mg

【答案】C

【解析】球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有

mg=m^,解得獨(dú)=河,故A錯(cuò)誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度

大小PA和網(wǎng),故B錯(cuò)誤；B球在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無彈力,此時(shí)A球受到的重力和

桿的彈力的合力提供向心力，有F—mg=n午,解得/=L5mg,由牛頓第三定律可知

桿受到A球的彈力大小為15咫，則水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為l.Smg，故C正確，D錯(cuò)

誤。

6.如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體A、B及物體C能隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度。勻速轉(zhuǎn)

動(dòng),A、B、C的質(zhì)量分別為3加、2m,m,A與B、B和C與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為

〃，A和B、C離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為7?和1.5廠。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，物體

A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.B對(duì)A的摩擦力一定為3nmg

B.B對(duì)A的摩擦力一定為377702r

C.轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度需要滿足。W舊

D.若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度逐漸增大，最先滑動(dòng)的是A物體

【答案】B

【解析】由于物體A、B及物體C能隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則三個(gè)物體受到的均為靜摩

擦力，由靜摩擦力提供向心力，則B對(duì)A的摩擦力一定為FfA=3Wr，又有0<FfA^Ffmax

=3fmg,由于角速度大小不確定，B對(duì)A的摩擦力不一定達(dá)到最大靜摩擦力3//mg,A

錯(cuò)誤，B正確；若B對(duì)A的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，則3〃根g=3加312r,解得必

=舊若轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體B的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)對(duì)A、B整體有5nmg=5m^r,

解得初=舊，若轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體C的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，則〃沖=加%2X1.5r,

解得'可知COi=CO2>CO3I由于物體A、B及物體C均隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，

則轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度需要滿足。<3=圖,該分析表明，當(dāng)角速度逐漸增大時(shí)，物體C

73r

所受摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，即若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度逐漸增大，最先滑動(dòng)的是C物體，

c、D錯(cuò)誤。

7.（多選）如圖甲所示，一長(zhǎng)為/的輕繩，一端穿在過。點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一

質(zhì)量未知的小球，整個(gè)裝置繞。點(diǎn)在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。小球通過最高點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球的拉

力產(chǎn)與其速度平方。2的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度為g,下列判斷正確的是（）

?2

A.圖像函數(shù)表達(dá)式為F=m—+mg

B.重力加速度g=：

C.繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量較小的球做實(shí)驗(yàn)，得到的圖線斜率更大

D.繩長(zhǎng)不變，用質(zhì)量較小的球做實(shí)驗(yàn)，6值不變

【答案】BD

2

【解析】在最高點(diǎn)，對(duì)小球受力分析得尸=〃（一加g,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題圖乙可知，當(dāng)

尸=0時(shí)加8=吒■，即"=g/,得g=,，選項(xiàng)B正確；結(jié)合題圖乙和尸=吒~一mg可知，

題圖乙的斜率k=^,所以加減小，斜率減小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由上述討論可知b=gl,

當(dāng)m減小時(shí)，。值不變，選項(xiàng)D正確。

【鞏固必刷題】8~10題每小題6分，共18分

8.（2025?山東濰坊市模擬）如圖所示，一傾斜的圓筒繞固定軸OQ以恒定的角速度。轉(zhuǎn)動(dòng),

圓筒的半徑r=1.5m。筒壁內(nèi)有一小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）與圓筒始終保持相對(duì)靜止，小物

體與圓筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為產(chǎn)（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），轉(zhuǎn)動(dòng)軸與水平面間的

夾角為60。，重力加速度g取10m/s2,則。的最小值是（）

V30

A.lrad/sBD.——radA/s

3

C.V10rad/sD.5rad/s

【答案】C

【解析】對(duì)小物體受力分析如圖所示,

由牛頓第二定律有mgcos60°+FN=mco2r,Ff=mgsin60°^JUFN,解得ro^VlOrad/s,

故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。

9.如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B,，"A=4kg,mB=lkg,它們

分居在圓心兩側(cè)，與圓心距離為人=。1m,/B=0.2m,中間用水平細(xì)線相連，A、B與

圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為"=0.2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，若圓盤從靜止開始

繞中心轉(zhuǎn)軸非常緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，重力加速度g取10m/s2