第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

百宗

01模擬基礎(chǔ)練...................................................................2

題型一：求函數(shù)的極值與極值點..................................................................2

題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)................................................................2

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）................................................................3

題型四：求函數(shù)的最值（含參）..................................................................3

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)........................................................................4

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值'最值的綜合應(yīng)用.....................................................4

題型七：不等式恒成立與存在性問題..............................................................5

02重難創(chuàng)新練...................................................................6

03真題實戰(zhàn)練...................................................................9

//

題型一：求函數(shù)的極值與極值點

1.已知函數(shù)〃尤）=亨，當(dāng)時，求f（x）的極值.

2.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（彳）=［曰-4e，（aeR）.

⑴當(dāng)°=3時，求在點（2J（2））處的切線方程；

⑵討論的單調(diào)性，并求出/（%）的極小值.

3.已知。＞0,函數(shù)/（九）=依一%1.證明了（%）存在唯一的極值點.

題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)

4.已知函數(shù)/（犬）=%3+3改2+笈+片在％=一1時有極值0,貝1」1+匕=.

5.（2024.陜西銅川.三模）若函數(shù)/（尤）=奴2+一有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍為.

6.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）若函數(shù)-x在x?T，2）上有2個極值點，則實數(shù)m的取值

范圍是.

7.已知函數(shù)/(x)=2優(yōu)—-+18,其中。>0且awl.若存在兩個極值點毛，巧，則實數(shù)a的取值

范圍為?

題型三：求函數(shù)的最值(不含參)

8.函數(shù)/。)=尤=3/+1在區(qū)間~1,1］上的最大值是.

9.(2024.安徽.二模)已知函數(shù)〃x)=(x-l)sinx+(尤+l)cosx,當(dāng)［0,利時/(x)的最大值與最小值的和

為—,

10.函數(shù)y=2三一3/-12x+5在區(qū)間［0,3］上的最大值是—；最小值是—.

題型四：求函數(shù)的最值(含參)

11.已知函數(shù)/(%)=xe".

⑴求函數(shù)/(%)的最小值；

(2)求函數(shù)f(x)在￡/+1］上的最小值.

12.已知函數(shù)/(x)=Y+(2-a)x-cAm.

⑴當(dāng)0=1時，求函數(shù)f(x)的圖象在點處的切線方程；

(2)當(dāng)a〉0時，若函數(shù)Mx)=〃x)+(a-2)x在［l,e］上的最小值為0,求實數(shù)a的值.

13.已知函數(shù)/(x)=ax2-(a+2)x+lnx,其中a>0,求函數(shù)y=『(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值"(a).

14.已知函數(shù)=----(awO).

⑴討論的單調(diào)性；

(2)若/(x)的最小值不大于0,求。的取值范圍.

15.(2024?山西呂梁?二模)已知函數(shù)/(x)=alar—2x-幺(aW0).

⑴當(dāng)。=1時，求“X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵求外力在區(qū)間(0,1］上的最大值.

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)

16.若函數(shù)〃力=；》3+/-2在區(qū)間(a-4,a)上存在最小值，則。的取值范圍是.

17.(2024?上海靜安.二模)已知實數(shù)ae(0,6),記f(x)=?(x-a).若函數(shù)>=/(無)在區(qū)間［0,2］上的最小

值為-2,則。的值為.

18.(2024?高三?吉林長春?開學(xué)考試)函數(shù)/(尤)=V+(a-i)x-31nx在(1,2)內(nèi)有最小值，則實數(shù)〃的取值范

圍為一.

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用

19.(2024?高三?浙江杭州■期中)設(shè)a,6e/?,已知函數(shù)/(x)=“In無，g(x)=x2+bx+b.

(I)設(shè)"無)=至學(xué)，求"尤)在［a,2a］上的最大值.

a

(II)設(shè)G(x)=/(x)+g(x),若GQ)的極大值恒小于0,求證:a+b<e\

20.已知函數(shù)/(x)=adnx—Zzx+l(a,Z7￡R,〃Z?w0).

(1)當(dāng)/(X)在X=1處取得極小值一1時，求了(X)的解析式；

⑵當(dāng)。=6時，求“X)在區(qū)間1,3上的最值；

(3)當(dāng)a>0且人=1時，若尤e(l,xo),/(x)>0,求a的取值范圍.

21.已知〃x)=alnx-Lg(x)=2-——.

xax]nx-l

⑴證明：當(dāng)aw(-oo,-e),y=有且只有2個零點；

(2)討論是否存在戰(zhàn)0使〃x)g(x)有極小值？并說明理由.(注：討論過程要完整，有明確的結(jié)論)

題型七：不等式恒成立與存在性問題

22.已知〃x)=(x+l)er+i,g(x)=(x+iy+a,若肛eR,網(wǎng)?0,2],使/伍)28(%)成立，則實數(shù)

a的取值范圍是.

2

23.已知〃x)=xe',g(x)=-(x+l)+a,若弱，x2eR,使得(g&)成立，則實數(shù)。的取值范

圍是()

A.[e,+oo)B.(-00,e]

C.-1,+°ojD.(-00,--

24.已知王￡。+8)使得不等式2三<一+4%+6々成立，則實數(shù)〃的取值范圍為()

A.3，+(?)B.一:，+001

C.1巴一』D.卜|,+[

匐2

重難創(chuàng)新練

,、1(71I7171

1.(2024?四川眉山三模)已知函數(shù)/(xNjx+cosl^+xke-,則/⑴的極大值點為()

、兀71

A.——B.——cD.

36-i~3

2.(2024.浙江寧波?模擬預(yù)測)若x=-1為函數(shù)〃x)e”的一個極值點，則下列圖象一定不可能為函數(shù)/'(x)

的是()

3.(2024?浙江臺州?二模)已知函數(shù)/(%)=尤2+px+q,滿足外一￡|+究<。，則()

A.函數(shù)y=/(〃*))有2個極小值點和1個極大值點

B.函數(shù)y=/(/(x))有2個極大值點和1個極小值點

C.函數(shù)y=/(/(x))-a有可能只有一個零點

D.有且只有一個實數(shù)。，使得函數(shù)y=/(F(x))-。有兩個零點

4.(2024?全國?二模)已知尤=0是函數(shù)〃X)=X(<2X-tanx)的極大值點，則。的取值范圍是()

A.B.C.[0,+oo)D.[!,+<?)

5.(2024?甘肅蘭州?一模)已知定義在R上的函數(shù)〃x),尸(x)是外力的導(dǎo)函數(shù)，且滿足

xf'(x)-f(x)=x2ex,f(l)=e,則〃x)的最小值為()

A.~eB.?C.-D.--

ee

6.(2024.湖南懷化.二模)若/2左+%在R上恒成立，則實數(shù)左的取值范圍為

A.(-oo,l]B.[l,+oo)C.(-oo,-l]D.[-l,+oo)

7.(2024?四川成都二模)已知函數(shù)〃尤)=邛，8(力=胡丁若存在不?0,+0)),馬€及使得

C\2

〃不)=85)=左化＜0)成立，則三y的最大值為()

2

A.eB.e

C.4D.4

ee

8.(2024?遼寧鞍山?三模)己知函數(shù)/(元)=尤e'-；"3_(加有三個極值點，則。的取值范圍是

A.(0,e)B.(0,1)C.(e,+oo)D.(J,+℃)

9.(多選題)定義:設(shè)尸(x)是的導(dǎo)函數(shù)，/⑺是函數(shù)尸(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程一(司=0有實數(shù)解%,

則稱點&,〃％))為函數(shù)y=/(x)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三

次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)/(力=丁+加-3x+b圖象的對稱中心為(0,3),則下列說法中正確的有

()

A.a=0,b=3B.函數(shù)的極大值與極小值之和為6

C.函數(shù)有三個零點D.函數(shù)在區(qū)間[-3,3]上的最小值為1

10.(多選題)(2024?遼寧大連?二模)已知函數(shù)〃9=尤+，12-3大,則下列命題正確的是()

A.f(x)在上是增函數(shù)

B.〃x)的值域是[-2,2]

C.方程=2有三個實數(shù)解

D.對于A，巧)滿足/(占)=/(W)，則玉+馬＜2

11.(多選題)已知函數(shù)y=『(x)在R上可導(dǎo)且"0)=1,其導(dǎo)函數(shù)f(X)滿足(x+l)[『'(x)-/(切＞0,對

于函數(shù)g(x)=￥，下列結(jié)論正確的是()

e

A.函數(shù)g(x)在(-oo,T)上為增函數(shù)B.x=-l是函數(shù)g(x)的極小值點

C.函數(shù)g(x)必有2個零點D.e"(e)＞e"(2)

12.已知，。）=2/-6/+3,對任意的xe［-2,2］都有則。的取值范圍為.

13.（2024?山東青島?一模）函數(shù)/（%）=［辦2-（4a+l）x+4a+3］/在x=2處取得極大值，則實數(shù)。的取值范

圍為.

I9

14.已知函數(shù)/（》）=］無3+如2_1若x=0是〃X）在［T+⑹上的極小值點，則實數(shù)機的取值范圍是.

15.（2024?重慶?一模）已知函數(shù)/（x）=x+4+alnW,aeR.

（1）當(dāng)。=1時，討論“X）的單調(diào)性；

（2）若/（x）存在唯一極值點，求。的取值范圍.

16.已知函數(shù)/'（xh^-Zx+alnMa〉。），

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若函數(shù)/（X）有兩個極值點占,吃,玉＜%,不等式/恒成立，求實數(shù)優(yōu)的取值范圍.

17.（2024?安徽淮北?二模）已知函數(shù)〃x）=lnx-；|辦-/J.

（1）若a=l,證明：當(dāng)Ovxvl時，/（%）＞0；當(dāng)元＞1時，/（%）＜0.

（2）若〃x）存在兩個極值點和%,證明："為）一〃無2）＜二.

玉-x22

18.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知曲線/（x）=〃?+lnx在x=l處的切線方程為y=Mx）,且

（1）求力（尤）的解析式；

（2）求函數(shù)8（另=綽的極值;

（3）若xNO時，不等式6*-加-力（%）20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.已知函數(shù)/'（尤）=（x-aJ（x-6）（a,beR,a<b）.

（1）當(dāng)a=l,b=2時，求曲線y=/（x）在點（3J（3））處的切線方程.

（2）設(shè)A巧是〃x）的兩個極值點，W是/（X）的一個零點，且W片玉，了3二吃.證明：存在實數(shù)乙,

使得毛，巧，％,匕按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求X,的值.

㈤3

//真題實戰(zhàn)練\\

1.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)〃尤）=xlnr.

⑴求圖象上點（1,/。））處的切線方程；

⑵若/（尤）2。（尤在xe（O,+w）時恒成立，求a的值；

⑶若Xj,x,e（0,l）,證明Y（xJ-/（々I-\Xl~X2^-

2.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/（x）=ln'一+ax+6（x-l）3

2-x

⑴若，=0,且f（x）20,求。的最小值；

（2）證明:曲線y=/（x）是中心對稱圖形;

⑶若/（尤）>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<X<2,求b的取值范圍.

3.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)對于一個函數(shù)/(元)和一個點加(。力)，令s(x)=(x-4+(/(x)-6)2,

若尸&/(%))是s(x)取到最小值的點，則稱尸是M在〃X)的“最近點

(1)對于/(x)=J(x>0)，求證：對于點M(0,0),存在點P,使得點P是M在〃X)的“最近點”；

⑵對于/(0=巴加(1,0),請判斷是否存在一個點P,它是/在〃x)的“最近點”，且直線M尸與y=/(x)

在點P處的切線垂直；

(3)已知y="x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)/'(X),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設(shè)點

喝?-1,/⑺一g(。)，+⑺+g⑺).若對任意的feR,存在點P同時是陷，也在〃x)的“最近

點”，試判斷的單調(diào)性.

4.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)/(x)=(l—ox)ln(l+x)-x.

⑴當(dāng)a=—2時，求“X)的極值；

(2)當(dāng)尤20時，”力20恒成立，求。的取值范圍.

5.(2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)設(shè)若。為函數(shù)“尤)=。(尤-a)2(x-b)的極大值點，則

()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

6.(多選題)(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)=x3-x+l,則()

A.f(x)有兩個極值點B.有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=的對稱中心D.直線y=2尤是曲線y=f(x)的切線

7.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知x=%和x=%分另(］是函數(shù)/。)=2優(yōu)-ex?(a>0且awl)

的極小值點和極大值點.若王<馬，則。的取值范圍是.

8.(2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)=e'-ax-/.

(1)當(dāng)a=l時