北京市平谷區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)向量&=（x,T）,6=（3,2）,若a"b，貝口=（）

OO

A.-B.——C.-6D.6

33

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（3+4i）i對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在VABC中,角所對的邊分別為。，及c,b=2,A=45。、C=75。,則。=（）

A.子B.6C.20D.|

4.平面向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,

則(a+c)?Z?=()

C.1D.-1

5.已知a,力是不重合的平面，根,〃是不重合的直線、下列命題中正確的是（）

A.若機(jī)〃。，機(jī)〃尸,則a〃/B,若加〃則根//，

C.若m工a,mu0,則a_L4D.若a_L回根ua,則機(jī)_L/7

6.已知向量a,b滿足同=1,〃=（-1,拒），且。力的夾角為2，則卜（）

A.72B.1C.2D.4

7.莎士比亞說“書籍是全人類的營養(yǎng)品”.在這個充滿變化的時代，書籍始終是我們最可靠

的伙伴.閱讀不僅能夠豐富你的知識，更能塑造你的品格，成為你成長道路上最珍貴的禮

物.下圖是國家圖書館在2024年1月到7月外借圖書量（單位：冊次）的統(tǒng)計圖：

14000

1226314^867

1/UUU廠11778、一月份

1nnnn

1vUvU/詁07關(guān)―-外借量（冊次）

oUnvnnU

八八八八/\

/4785、

4,UUU

onon1415/

zuuu；~~~~^79011,j

0

1234567

下列說法正確的是（）

A.這七個月外借圖書量的中位數(shù)是12867

B.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是10079

C.1月，2月，3月這三個月外借圖書量的方差比2月，3月，4月這三個月外借圖書量

的方差大

D.1月，2月，3月，4月這四個月外借圖書量的平均數(shù)比2月，3月，4月，5月這四

個月外借圖書量的平均數(shù)小

8.玩陀螺不僅可以釋放往日情懷，找回童年的樂趣，也可鍛煉人體協(xié)調(diào)性和腕部力量，培

養(yǎng)敏銳觀察力.如圖，一個實木陀螺近似的看成同底的一個圓柱和一個圓錐構(gòu)成.已知這個

陀螺是由一個底面直徑為6cm.高也為6cm的圓柱實木制成的，為了陀螺旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性，

設(shè)計圓柱部分與圓錐部分的高比為2:1,則這個陀螺的體積最大約為（）

A.ISitcm3B.287tcm3C.42;tcm3D.54jrcm3

9.已知平行四邊形A5CD,4〃為實數(shù)，AP=AAB+juAD,貝廣點P在平行四邊形ABC。

內(nèi)（不含邊界）”是“0<彳+〃<2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

10.已知函數(shù)〃x）=|cosx|+sinx,則以下正確結(jié)論的序號為（）

①函數(shù)"X）最小正周期是兀;

試卷第2頁，共6頁

②函數(shù)/（X）最大值與最小值距離為1+a;

③函數(shù)/（X）在區(qū)間上單調(diào)遞減;

④對任意xeR,使得“"X）=成立的充要條件是“。=E（keZ）

A.①②B.②④C.③④

二、填空題

11.已知復(fù)數(shù)z滿足（2-i）-z=i,貝丘=.

12.已知某校高一年級1000人，為普及航天知識，開展了航天知識競賽.將成績（單位:

分）分成6組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示：則成績在［1KM50］分的有人.

13.將函數(shù)/（x）=sinox3H0）圖像向左平移1個單位長度，得到的圖像關(guān)于點仁,0）中心

對稱，則。的一個取值為

14.已知VABC,AB=4,AC=2,ZB4C=60°.貝l|3C=；若BC邊上一動點E則

的最小值為.

15.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AMG2中，M、N分別是BC、的中點，點產(chǎn)

是線段用2上的動點，點。是側(cè)面。CG2上（包括邊界）的動點，給出下列四個結(jié)論:

①任意點P,都有

②存在無數(shù)組點尸和點。，使得P。2平面ABG；

③點P由片滑到2時，三棱錐尸-MVG體積逐漸增大;

④使得PQ〃平面4MN的點0的軌跡長度為巫.

3

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題

16.已知函數(shù)〃%)=cos2x-V3sinxcosx.

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，角。以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點［求/'(a)的值;

(2)求函數(shù)『(%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

17.四棱錐P-ABCD,PAJL平面ABCZ),底面A2CD為菱形，ACBD=E

試卷第4頁，共6頁

p

F

//二、％、L、A/

B'C

(1)求證：2平面PAC；

(2)試判斷在PO上是否存在點尸，使得EF//平面PA5,說明理由.

18.已知a,b,c分別為VABC的三個內(nèi)角A、B,C的對邊，且acosB=HsinA.

⑴求角B的值；

(2)記知6=2不，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使得VA3C存在且唯

一，求AC邊上的高〃.

條件①：a=4小;

條件②：c=2。

條件③：cosA=%區(qū).

14

(注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別

解答，按第一個解答計分.)

19.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，平面BBCiCL平面A44B,ZB.BC=60°,ABLBB,,

M=2,AB=BC=1.E、尸分別是A3、AG的中點.

⑴證明：EF//平面BB|C|C；

(2)證明：平面8片GCL平面A3C；

(3)求三棱錐C-A84的體積.

20.已知函數(shù)/(x)=須皿8+。)[0>0,|同<、)的部分圖像如圖所示.

(1)求/'(尤)的解析式；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)sinx,

(i)求函數(shù)4(元)在區(qū)間-不，7的最大值和最小值；

(ii)求函數(shù)g⑺在區(qū)間［0,2兀］內(nèi)的所有零點的和.

TT

21.已知等腰梯形ABC。，AB//CD,AD=DC=CB=2,ZDAB=~,且C2=3CP，動點

。滿足=

(1)設(shè)AA=2AE+〃A￡i,求4+〃的值;

⑵求8。AP的值；

⑶求CQ的最大值.

試卷第6頁，共6頁

《北京市平谷區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案CBAACBDCAD

1.C

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求解即得.

【詳解】向量a=(x,-4)力=(3,2),

由可得2x=(—4)x3=—12,解得x=—6.

故選：C

2.B

【分析】化簡復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

【詳解】z=(3+4i)i=Y+3i,

復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(T,3)位于第二象限.

故選：B

3.A

【分析】應(yīng)用正弦定理計算求解即可.

【詳解】因為4=45。,。=75。，所以3=180?！?5。-75。=60。，所以

n—_/?_sin_A=__*=2_=_2A_/6

sinB733

T

故選：A

4.A

【分析】根據(jù)題意建立直接坐標(biāo)系，根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運算得a+c的坐標(biāo)，然后利用數(shù)

量積的坐標(biāo)運算求解即可.

【詳解】

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系，則。=(2,2),6=(l,-2),c=(Tl),

答案第1頁，共12頁

所以a+c=(2,2)+(-U)=(L3),

所以（a+c>6=1x1+3x（-2）=-5.

故選：A

5.C

【分析】按照線面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對A,若機(jī)〃以機(jī)〃用,則1〃，或相交，故錯誤；

對B,若能〃a,a〃尸，則根//￡或％u￡,故錯誤；

對C,若機(jī)_L?,?JUA,則a_L/7,線面垂直判定定理，故正確；

對D,若<z_Luc,則機(jī)與￡相交，平行均可，故錯誤.

故選：C

6.B

【分析】根據(jù)平面向量模長的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運算律求解即可.

【詳解】因為同=1/=卜1,虛），且a,0的夾角為彳，

所以忖=｛（—I?=百，a-b=lxGx=T，

所以12a—b卜J（2人—b）=^4-a2—4a-b+b2=14—4x'+3=1.

故選：B

7.D

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求解判斷A,根據(jù)百分位數(shù)的概念求解判斷B,根據(jù)方差的計算

判斷C,根據(jù)平均數(shù)的含義判斷D.

【詳解】國家圖書館在2024年1月到7月外借圖書量分別為

1415,796,12263,12867,11778,10079,4785,

從小到大為796,1415,4785,10079,11778,12263,12867,故中位數(shù)是10079，故A錯誤;

又7x80%=5.6,所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是12263,故B錯誤;

1415+796+1226314474

1月，2月，3月這三個月外借圖書量的平均數(shù)為

33

14474|+(796-14474I+f12263-14474

1415-^^

則其方差為33617167382，

3~27

796+12263+1286725926

2月，3月，4月這三個月外借圖書量的平均數(shù)為

33

答案第2頁，共12頁

2

796-25|26I+f12263-25926I+(12867-25926

則其方差為33832697838，

27

故1月，2月，3月這三個月外借圖書量的方差比2月，3月，4月這三個月外借圖書量的方

差小，故C錯誤;

由統(tǒng)計圖可知1月外借圖書量遠(yuǎn)小于5月外借圖書量，所以1月，2月，3月，4月這四個

月外借圖書量的平均數(shù)比2月，3月，4月，5月這四個月外借圖書量的平均數(shù)小，故D正

確.

故選：D

8.C

【分析】設(shè)圓錐部分的高為“，則圓柱部分的高為2",得。<//V2,則這個陀螺的體積為：

V=n-32.2/z+gn3J/z=2hr/7,進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)圓錐部分的高為〃，則圓柱部分的高為2/7,

依題意得。+2?！?,得0v/z42,

則這個陀螺的體積為:V=兀-32?2/1+g?兀?32?攵=21M,

因為0<〃42,則0<VV42兀，

得這個陀螺的體積最大約為：42兀.

故選:C

9.A

【分析】判斷點尸在平行四邊形內(nèi)（不含邊界）是否能推出0<幾+〃<2,以及判斷

。<彳+〃<2是否能推出點尸在平行四邊形A5CD內(nèi)（不含邊界）即可求解.

【詳解】由AP=2A8+〃A￡）,點P在平行四邊形ABCD內(nèi)（不含邊界）可得，

0<2<1,0<//<1,0<2+/z<2

反之，當(dāng)。<4+〃<2時，如力=一；〃=（時，則點尸在平行四邊形ABC。外部，

所以點尸在平行四邊形A5CZ）內(nèi)（不含邊界）是。<彳+〃<2的充分不必要條件，

故選：A.

10.D

【分析】驗證/卜+兀）=/（"是否成立即可判斷①，求函數(shù)/（X）最大值與最小值即可判斷

答案第3頁，共12頁

②，當(dāng)〈芳，求“X)單調(diào)減區(qū)間即可判斷③，當(dāng)”=2兀時，驗證/("=〃2兀-力是

否成立即可判斷④.

【詳解】由〃尤+兀)=kos(x+7t)|+sin(x+兀)=|cosx|-sinx#/(x),故①錯誤；

_,71兀c77r

,2也——<x<—+2kit,kwZ

22

兀371

,2far+—<x<----F2E,kGZ

22

當(dāng)2E-'W%<2E+],Z￡Z時，/(x)=0sin[x+；J,所以當(dāng)犬二：+2配,左￡Z時，

當(dāng)尤=4+2而，丘Z時，/(x)min=A/2sin^-^=-l,所以函數(shù)〃x)最大值與最小值距離

為1+0,

當(dāng)2E+]vx<2E+，,左eZ時，/(x)=0sin(x-：J,

當(dāng)工=^+2E,%eZ時，f⑻曄=6,當(dāng)x=]+2析，左eZ時，f(-^)min=0sin[，]=-l,

所以函數(shù)/'(x)最大值與最小值距離為1+0，

綜上函數(shù)/'(x)最大值與最小值距離為1+枝,故②正確;

由里<x〈里有cosx<0,所以/(x)=-cos尤+sinx=0sin(x-f],所以凡〈無一色<&,

42I4J244

由>=$田》在[今，號)單調(diào)遞減，所以函數(shù)/(x)在區(qū)間[7,笄]上單調(diào)遞減，故③正確；

當(dāng)"=2兀時，/（2TI-X）=|cos（2K-x）|+sin（2K-X）=|COSx|-sinx/（x）,故④錯誤.

故選：D.

一12.

11.--------1

55

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法法則化簡z,然后利用共物復(fù)數(shù)概念求解即可.

/、ii(2+i)-l+2i12.

【詳解】復(fù)數(shù)Z滿足(2T)-Z=I,則z=k(2T(2+i)=H—

-12

所以z=-g-9

,、1?

故答案為：_《一《i

答案第4頁，共12頁

12.250

【分析】先求出成績在［110,150］分的頻率，再求出人數(shù)即可.

【詳解】因為成績在［11。,150］分的頻率為1-(。。。5。+0.0050+0.0075+0.0200)x20=0.25,

所以成績在［110,150］分的有Q25x1000=250人.

故答案為：250

44

13.y(答案不唯一，只要滿足0=］左歡￡Z即可)

【分析】先利用平移變換法則求得解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)對稱中心列式求得

4

(D=—k,kGZ,即可得解.

3

【詳解】將函數(shù)/(%)=sinGx3w0)圖像向左平移?個單位長度，得到

y=sin(啰x+；(0w0),

ITJI4

由意G—I—0=kit,kwZ,所1以@=—k,kGZ,

243

,4

當(dāng)左=1時，。=一.

3

44

故答案為：y(答案不唯一，只要滿足@=即可)

14.2石4

【分析】利用余弦定理求出BC.設(shè)利用向量線性運算得

AF=tAC+(l-t)AB,然后利用數(shù)量積的運算律得，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)求解最小值即可.

【詳解】AB=4,AC=2,Zfi4c=60。，

所以BC=7AB2+AC2-2AB-ACcos60=J16+4-8=26■

設(shè)3尸=t3C(0VYl),

則A尸=42+2尸=AB+r2C=AB+《AC-AB)=rAC+(l-r)A2,

所以AP.A3=［MC+(1-Z)AB］.AB=tACAB+(l-t)AB2

=fx2x4xg+(l-f)x42=16-12t,

因為0W/W1,所以44AQA8416，即ACAB的最小值為4.

答案第5頁，共12頁

故答案為：2叢；4.

15.①②④

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得CPLAG判斷①；根據(jù)線面垂直的判定

定理及線面垂直的性質(zhì)判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理得與2〃平面MNG，即可確定錐

體的高為定值，又MNC的面積為定值即可判斷③；先作出MNG的面積截面，然后根據(jù)

面面平行的判定求出點。的軌跡，利用勾股定理求其長度判斷④.

【詳解】對于①，因為用42,441,且出AG=A,AVAGu平面A4tG，

所以用。，平面AAG，又AQu平面AAG，所以42LAG，

同理，BtC1AQ,又BRcBiC=Bi，8Q]，ACu平面,

所以AG，平面c耳2,而點p是線段42上的動點，即CPU平面CB2，

所以CPLAG，正確；

對于②，因為B|C_L8G，B.CVAB,JLABIBCX=B,4氏86<=平面426〃，

所以80，平面A8GR,在C8Q中，只要滿足尸?！ǘ鶦,都有P。2平面ABCR,

即存在無數(shù)組點尸和點。，使得P。2平面ABC-正確；

對于③，因為M、N分別是8C、C。的中點，所以BD//MN,

所以4D〃MN,肱Vu平面MNC[,8[2<Z平面MNG，所以耳2〃平面及小。，

所以直線與R上各點到平面MNQ的距離相等，又aMNQ的面積為定值，

所以三棱錐P-MNC體積不變，錯誤；

對于④，設(shè)直線與直線AB,">分別交于區(qū)/，連接AE，AL，

分別交BBRD于G,H,連接GM,HN,

答案第6頁，共12頁

則五邊形AGMM;即為平面截正方體A8cr>-A耳co的截面；

由于M、N分別是8C、C。的中點，故BM=CM=CN=DN=l,

由于MCN/MBE,故BE=CN=L同理止=CM=1,

又BG/MA，則B/G=B怎E=1十貝=}24G=2-2X4

AAxKAJ333

2?4

同理可求得DxH=2--=-,即點G為Bq上靠近B的三等分點，

點H為。2上靠近D的三等分點，

取點K為CG上靠近C的三等分點，連接RK,及K,

則RK//NH,NHu平面AMN,RK<Z平面所以RK//平面人上0，

又BQJIMN,MNu平面瓦2①平面4MN,所以耳。"/平面人四,

因為局RcRK=R,4R,RKu平面瓦RK,所以平面4RK//平面片腦7,

尸。u平面4RK,所以PQ//平面AMN,所以點。的軌跡為RK,

所以AK=(2+［：=尊,正確.

故答案為：①②④

答案第7頁，共12頁

16.(1)4+2小

9

(2)-----Fku,—Fkii,kwZ

63_

【分析】⑴根據(jù)三角函數(shù)的概念得cosc=-|,sinc=t，代入函數(shù)〃x)的解析式求解即

可；

(2)根據(jù)二倍角公式和兩角差的正弦公式化簡得"x)=-sin(2x-^|+g,結(jié)合正弦函數(shù)

的性質(zhì)，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】(1)因為角a以統(tǒng)為始邊，終邊與單位圓交于點,所以

2.好

COS。=——,sma=

33

4+2?

9

(2)/(x)=cos2%-A^sinxcosx=+cosx-----sin2x=-sin2x--j+—,

22\6J2

令---FIku<2x——<—+2E,左wZ,解得----\-kji<x<—+kn,k^7j,

26263

jrjr

所以函數(shù)〃X)的單調(diào)遞減區(qū)間為++M,k￡Z.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)依據(jù)題意得到9_LX4,底面為菱形，得到3。，AC,根據(jù)線面垂直判定定

理可得結(jié)果；

(2)利用中位線定理，線線平行得到線面平行，可得結(jié)果.

【詳解】(1)因為PAL平面ABC。，BDu平面ABC。，所以BDLR4,

又底面A8CO為菱形，所以3D_LAC,AC上4=A,AC,E4u平面PAC,

所以即1平面PAC

(2)存在，點廠為尸。的中點，理由如下：

由尸為的中點，E為8。的中點，所以EP//PB,

由EBO平面BIB,PBu平面F4B,所以EF//平面上鉆，

所以點尸為PO的中點得證.

答案第8頁，共12頁

71

18.（1）

76

c、,401

（2）h=----

7

【分析】（1）根據(jù)正弦定理及特殊角的函數(shù)值化簡求解即可；

（2）選擇條件①：利用余弦定理求得c=2或。=10,故VABC不唯一，不符合題意；

選擇條件②：由余弦定理求得，=8,進(jìn)而等面積法求得AC邊上的高任

選擇條件③：由同角三角函數(shù)基本關(guān)系得sinA=@,由兩角和的正弦公式得si”C=M,

147

由正弦定理得c=8,進(jìn)而求得AC邊上的高.

【詳解】（1）由acosB=y/3bsinA,

根據(jù)正弦定理得sinAcosB=石sinBsinA，

又A￡（0,兀），所以sinA＞。，則cosB=6sinB,即tanB=,

又5?0,兀），所以3

（2）選擇條件①：b=2幣,〃=4&，3=2，

o

由余弦定理得^+C1-laccosB,所以28=48+c?-2x4百ex立，

2

即C2-12C+20=0,解得C=2或C=10,故VABC不唯一，不符合題意；

選擇條件②：b=2^7，c=2^/3fB=7,由余弦定理得〃=/十。2一2QCCOSB,

o

所以28=12+/-2*2島x立，即/-6a-16=0,解得。=一2（舍去）或a=8,

2

VA3C唯一，符合題意，利用面積公式《x8x2若xsinF=3x2V7/z,

262

所以AC邊上的高九=±叵；

7

選擇條件③：由題意，3=￡,b=2不，cosA=①,A角確定為銳角，

614

故VA5C唯一，符合題意，所以sinA=巨，

14

▽.廠?L兀、6?人1人2幣

,sinC—sinA—sinAcosA—,

I227

,?r2幣乂氈-

由正弦定理得。二空吐二———一=8，

sinB1

2

答案第9頁，共12頁

所以AC邊上的高〃=csinA=8x2/IZ=4A.

147

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶且

6

【分析】(1)取8G中點M,連接BM,MF,先證四邊形MFEB為平行四邊形，得到EF//瀏1,

再利用線面平行的判定定理證出EF〃平面BB&C；

(2)由面面垂直的性質(zhì)定理得ABJ_平面BB]C]C,再利用面面垂直的判定定理得平面

BBiGC_L平面ABC；

(3)等體積法求三棱錐C-AB片的體積即可.

【詳解】(1)取用G中點M,連接尸，

因為尸是4cl的中點，所以MF//44,且MF=；A4，

又ABMg,且AB=A用，又E為AB的中點，

所以MF//BE,且叱=3E,

所以四邊形MFEB為平行四邊形，

所以EF/ABM,5揚＜=平面2瓦。。，所0平面22。0,

故￡1///平面28。0；

(2)因為平面BB|GC_L平面用片氏所以平面BBC。'平面⑨^^二耳與,

AB±BB,,ABu平面①2出，所以平面8耳GC,

又ABu平面A3C,所以平面851GC_L平面ABC；

(3)因為AB_L平面BBC。,NB〔BC=60。,BBX=AAi=2,AB=BC=1,

所以%_四。=g*g*BCxBBXxsin60°xAB

答案第10頁，共12頁

=lxlxlx2x^xl=石

6

322

^

所以％ABB=^ABBC=一

C—ADDyA—o￡>|C6

f兀

20.(1)/(%)=

(2)(i)g(x).=-l+—,g(x)=—+—；(ii)

°V/min20\/max223

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象求出A=2,根據(jù)圖象過點(0,1)得9,再根據(jù)最大值點求出。即

可；

(2)(i)根據(jù)兩角和差的正弦公式和二倍角公式化簡得g(x)=sin(2x-2)+日，然后根據(jù)

正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；

(ii)函數(shù)的零點g(x)即方程的sin(2xq)=-亭結(jié)合求出方程的

解，進(jìn)而求得零點之和.

【詳解】(1)由函數(shù)〃x)的圖象，可得A=2,又/(。)=1,所以2sino=l,即sine=，

又所以夕=丁，又/(g)=2sin(B0+m)=2，即sin(20+B)=l,

2636666

根據(jù)五點對應(yīng)法，可得^0+3=9所以0=1，所以〃x)=2sin(無+當(dāng).

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