專題22導(dǎo)數(shù)壓軸題

1.(2022?新高考H)已知函數(shù)/(x)=x*-e。

(1)當(dāng)1=1時，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時，求a的取值范圍；

(3)設(shè)〃￡7\^*,證明：/J+/1+...+---->+1)?

<+172+26+n

2.(2021?新高考II)已知函數(shù)/(x)=(x-I)ex-ax2+b.

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)從下面兩個條件中選一個，證明：/(%)恰有一個零點.

1才

(T)一<④—，h>2a；

22

?0<a<—,b,,2a.

2

3.(2022?沈陽一模)已知/(九)=e尤T—元.

(1)求證：對于XZxcR,/(%)..()恒成立；

(2)若對于V%w(0,+oo),有/(%)..a，一元一切闔恒成立,求實數(shù)。的取值范圍.

4.(2022?沈陽一模)已知函數(shù)/(x)=-ax-alive+a.

(1)若。=6,判斷函數(shù)/(無)的單調(diào)性，并求出函數(shù)/(尤)的最值.

(2)若函數(shù)/(尤)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

5.(2022?沈河區(qū)校級二模)用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線

之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若((x)是/(尤)的導(dǎo)函數(shù)，

尸(x)是尸(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(x,/(*))處的曲率長=―""(無)?.

(1+"'(尤)『)5

⑴若曲線/(x)=/nx+x與g(x)=4在(1,1)處的曲率分別為&，K],比較(大??；

(2)求正弦曲線7i(x)=sinx(xeR)曲率的平方KZ的最大值.

6.(2022?大連模擬)己知函數(shù)/(x)=x-gsinx-￡〃zx+l.

(1)當(dāng)相=2時，試判斷函數(shù)了(%)在(1,+oo)上的單調(diào)性；

(2)存在西，X2G(0,+oo),%產(chǎn)%2，/(芭)=/(尤2)，求證：石工2＜辰,

7.(2022?遼寧一模)已知函數(shù)/(x)=；X3-fsina+x+i,aG[_^,曰.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

（2）證明：存在a?［一生，工］，使不等式/（無）>6,有解（e是自然對數(shù)的底）.

62

8.（2022?遼寧模擬）已知函數(shù)/（x）=-2/nx-ox,其中a/0.

（1）當(dāng)。=1時，求/（無）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)/>1時，是否存在實數(shù)“使得函數(shù)/（尤）的最小值為-〃+“+2,若存在，求出。的值，若不存在,

請說明理由.

9.（2022?沙河口區(qū)校級模擬）已知函數(shù)/（尤）=依2-（4+2）尤+加（:，其中qeR

（1）當(dāng)a>0時，若/（x）在區(qū)間［1,e］上的最小值為-2,求。的取值范圍；

（2）若對于任意9>%>0，/（%）-/'02）<2工2-2王恒成立，求。的取值范圍.

10.（2022?遼寧模擬）已知函數(shù)/（x）=2ax+cosx,g（x）=ax2+ex.

（1）當(dāng)0<a<；時，求/（無）在區(qū)間［0,句上的極值之和；

（2）若/（幻,,g（x）對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

11.(2022?大東區(qū)模擬)已知函數(shù)/(冗)=e尤一ax?,g(x)=f(x)-sinx,

(1)若y=/(%)圖像在(1,f(1))處的切線過點(0,e),求切線方程;

(2)當(dāng)。=,時，若g(玉)+g(%2)=2(X。％2)，求證：%+%2<0.

12.(2022?遼寧模擬)(I)求證：過點(0,-e)與曲線/(%)=羽”相切的直線有且僅有一條，并求切線方程;

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=(x-l)e*-462,若對任意的占,馬€&占力馬)，不等式gOJ-a)>_e恒成立,其

2玉一%2

中6=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

13.(2022?遼寧一模)已知函數(shù)/(x)=x/nx-辦一%,aeR.

(1)若/(%)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求。的取值范圍；

(2)若石，％2(不<%2)是/(%)的兩個不同極值點，證明：31/vCy+lnx2>1.

14.(2022?遼寧模擬)已知f(x)=fa?x-gf.

(1)若函數(shù)/(無)有兩個極值點，求實數(shù)上的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)"eN*時’]+奪白+???+(”+；/

15.(2022?撫順一模)已知函數(shù)/(無)=/x+(1-2a)e*-ov.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=l時，若Vx>0,都有2/(x)--(x),,-根+2)x,求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

16.(2022?丹東模擬)已知函數(shù)/0)=無一心6(；0=3J+62+。2彳-26'.

(1)討論函數(shù)尸(無)的單調(diào)性；

(2)若G(尤)在[0,+oo)是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

17.(2022?鐵東區(qū)校級模擬)^/(%)=1(x-2)2-bx+2alnx.

(1)當(dāng)a>0,6=a時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若Z?=0,且/(兀)有兩個極值點玉，x2,證明：/(^)+/(x2)>1.

18.(2022?沈河區(qū)校級四模)已知函數(shù)/(%)=a|歷x|+x+Lg(x)=ex+e~x—a\ln(ax)\---,其中a>0.

xax

*)

(1)當(dāng)a=l時，求二乙的值；

f(e)

(2)討論g(x)的零點個數(shù).

19.(2022?錦州模擬)已知函數(shù)/(x)=eR).

(1)若/(x)是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若%,%是函數(shù)/(X)的兩個不同的零點，求證：1<%<2/〃口-/〃2.

20.(2022?大連二模)已知函數(shù)/0)=26*+依，8。)=28$》+!尤3.

(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)〃(%)=/(%)+g(%),若函數(shù)/l(x)有兩個極值點玉，x2,且玉<馬.

(i)求實數(shù)〃的取值范圍；

(ii)求證：力(%1)+力(%2)>8.

21.(2022?遼寧模擬)已知函數(shù)/(?「-""Hl

X

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)K>1時，ax+——Inx—b..O?證明：

x

(i)a>0；

(ii)b-a,l.

22.(2022?遼寧二模)已知函數(shù)/(?=;(7加一3小2一元(；〃€/?).

(1)若直線y=x+Z?與的圖像相切，且切點的橫坐標(biāo)為1,求實數(shù)機(jī)和6的值；

(2)若函數(shù)f(%)在(0,+QO)上存在兩個極值點玉，x2,且石<工2，證明：+lnx2>2.

23.(2022?遼寧模擬)已知函數(shù)/(尤)=6一*+5m*+3憂尸(元)是函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù).

C1)證明：當(dāng)t=l時，Vxe(0,+oo),都有/(x)>l；

⑵設(shè)g(x)=7'(x)-應(yīng)sin(x+工)，且g(x)在(0,2萬)上單調(diào)遞增，求實數(shù)f的取值范圍.

24.(2022?鞍山模擬)已知函數(shù)=.

(1)記函數(shù)g(%)=%2一3+2)%+〃%),當(dāng)〃>2時，討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)%(%)=/(%)-Y,若%(天)存在兩個不同的零點玉，/，證明：+￥(6為自然對數(shù)的底數(shù)).

25.(2022?遼寧三模)已知函數(shù)/(x)=x-；(2-a)尤2一3依2瓦c(e=2.71828...).

(1)當(dāng)a=-：時，證明：函數(shù)/(無)有兩個極值點；

(2)當(dāng)0<&1時，函數(shù)8⑴=/⑴-工小一云在^+^上單調(diào)遞減，證明：4.1+4_.

2e

26.(2022?沈陽模擬)已知函數(shù)/(%)=%/工一h_隊工

(1)證明：當(dāng)左=2時，/(%)無零點；

(2)若恒成立，求實數(shù)化的取值范圍.

27.(2022?遼寧模擬)已知函數(shù)/(%)=工歷.

(1)當(dāng)，=1時，求曲線了(%)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)設(shè)玉，元2是函數(shù)V=/(4)的兩個極值點，且玉工工2，證明：/幾％+欣2>°?

28.(2022?遼陽二模)已知函數(shù)/(x)=e"T-依-(％-1)歷x,曲線y=/(x)在(1,f(1))處的切線與直線

2x+y-1=0垂直.

(1)求。的值；

(2)證明：當(dāng)無￡(l,+oo)時，y(x)>a.

29.(2022?葫蘆島二模)已知函數(shù)/(元)=上處.

2'

(1)當(dāng)6=0時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=2，/(x)+c在x=2處的切線與x軸平行，若g(x)有一個絕對值不大于4的零點，證明:

g(x)所有零點的絕對值都不大于4.

30.(2022?中山區(qū)校級一模)已知函數(shù)/(x)=(2尤之一3x)e*,g(x)=alnx(aeR).

(1)求f(x)的最小值;

(2)記/(x)為了(尤)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)〃(x)=S■-g(x)有且只有一個零點，求。的取值范圍.

2%+3

31.(2022?沈陽模擬)已知函數(shù)/(x)=xcosx+L%2,/(%)為了(%)的導(dǎo)函數(shù).

4

(1)若,/(1)..如2成立，求機(jī)的取值范圍；

(2)證明：函數(shù)g(%)=r(%)+cosx在(0指)上存在唯一零點.

32.(2022?遼寧模擬)已知函數(shù)/(%)=ax+/nx,其中

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若過點尸(1,0)且與曲線y=/(x)相切的直線有且僅有兩條，求實數(shù)，的取值范圍.

33.(2022?沙河口區(qū)校級一模)已知函數(shù)/(%)=。加2%+2%(1一加；)，aeR.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)雙幻=//(%)—2〃有且僅有3個零點，求。的取值范圍.(其中常數(shù)6=2.71828…，是自然對

數(shù)的底數(shù))

34.(2022?遼寧三模)已知函數(shù)/(%)=*、(九)-/小.

(1)若函數(shù)g(x)=(g]2+依+〃加03一，，討論了(九)的單調(diào)性；

(2)從下面①②兩個問題中任意選擇一個證明，若兩個都證明，則按第一個證明計分.

①若函數(shù)g(x)=O+l)eir歷x,/(m)=f(n),且加證明：m+n<l；

②若函數(shù)8(冗)=工%2/一"(%2一％加x+與，證明：/(%)>1+歷2.

2x2

35.(2022?沈河區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)=g分2-尤-瓦r(awR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x..l時，"(x)|..2,求。的取值范圍；