第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市順義區(qū)牛欄山一中板橋中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=cosx，則f′(π6)=A.32 B.?32 2.曲線f(x)=x+ax在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線y=2x+5平行，則a=(

)A.0 B.2 C.1 D.33.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿足aA.5 B.7 C.9 D.114.若函數(shù)f(x)=lnx?x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(?∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(?1,1)5.已知函數(shù)y=f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的部分圖象如圖，則對(duì)于函數(shù)y=f(x)的描述錯(cuò)誤的是(

)A.在區(qū)間(?3,?1)上單調(diào)遞減

B.在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增

C.x=?1為f(x)極小值

D.x=1為f(x)極小值點(diǎn)6.若(x+2x2)A.11 B.10 C.9 D.87.有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相鄰的不同排法有(

)A.72種 B.144種 C.108種 D.288種8.某地舉行新疆綠色農(nóng)特產(chǎn)品展銷活動(dòng)，活動(dòng)中有駝奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共4種奶制品，無(wú)花果干、杏干、烏梅干、巴達(dá)木、開(kāi)心果、葡萄干共6種干果，葡萄、哈密瓜、香梨、蘋果、西瓜、沙棘、白杏共7種新鮮水果，張先生參觀完活動(dòng)決定至少選購(gòu)一種商品，而每一大類中最多選購(gòu)一種，則張先生不同的選購(gòu)方法種數(shù)為(

)A.94 B.168 C.276 D.2799.某學(xué)校高二趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中設(shè)置了障礙投籃比賽，每名運(yùn)動(dòng)員投籃3次.已知甲同學(xué)投籃命中率為13，那么投籃比賽中甲同學(xué)恰好命中一次的概率是(

)A.427 B.1927 C.4910.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a9=12a12+6，aA.11 B.10 C.9 D.8二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.設(shè)函數(shù)f(x)=lnxx，則f′(1)=______．12.在(3x2?1x)13.在(x+ax2)6(a>0)的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為7514.函數(shù)f(x)=x?1x2的零點(diǎn)是

，極值點(diǎn)是

15.若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題10分)

某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．為了解高一新生對(duì)數(shù)學(xué)選修課程的看法，采用分層抽樣的方法從高一新生中抽取5人進(jìn)行訪談．

(Ⅰ)這5人中男生、女生各多少名？

(Ⅱ)從這5人中隨即抽取2人完成訪談問(wèn)卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x22?klnx，k>0．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間18.(本小題15分)

如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，AB=AC=25，BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如圖．

(Ⅰ)求證：A1O⊥BD；

19.(本小題15分)

科技創(chuàng)新能力是決定綜合國(guó)力和國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力的關(guān)鍵因素，也是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展的重要支撐，而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障.下圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖：

其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當(dāng)年總營(yíng)收的百分比，條形圖是當(dāng)年研發(fā)投入的數(shù)值(單位：十億元)．

(1)從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年.求該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營(yíng)收的百分比超過(guò)10%的概率；

(2)從2010年至2019年中隨機(jī)選取兩個(gè)年份，設(shè)X表示其中研發(fā)投入超過(guò)500億元的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20.(本小題15分)

橢圓x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)(與A，B重合)，設(shè)kAC=k1，kBD=k21.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=eax?x．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求過(guò)點(diǎn)(0,0)的切線方程．

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

(3)若?x∈[?1,1]，使f(x)≥3成立，求a的取值范圍．參考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.D

6.B

7.B

8.D

9.C

10.B

11.1

12.8

13.514.x=1；x=2

15.ln2

16.解：(Ⅰ)這5人中男生人數(shù)為192320×5=3，女生人數(shù)為128320×5=2．

(Ⅱ)記這5人中的3名男生為B1，B2，B3，2名女生為G1，G2，

則樣本空間為：

Ω={(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,G1)，(B1,G2)，(B2,B3)，(B2,G1)，(B2,G2)，17.解：(1)由f(x)=x22?klnx(k>0)

f′(x)=x?kx=x2?kx

X

(0,

(

f′(x)?

0+

f(x)↓

k(1?lnk)↑所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,k)；

f(x)在x=k處的極小值為f(k)=k(1?lnk)2，無(wú)極大值．

(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最小值為f(k)=k(1?lnk)2．

因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以k(1?lnk)2≤0，從而k≥e

當(dāng)k=e時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞減，且f(e)=0

所以x=e是f(x)18.解：(Ⅰ)證明：∵在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，

O為DE的中點(diǎn)，AB=AC=25，BC=4．

∴A1O⊥DE，

∵將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，

∴A1O⊥平面BCDE，

∵BD?平面BCDE，∴A1O⊥BD．

(Ⅱ)解：以O(shè)為原點(diǎn)，在平面BCED中過(guò)點(diǎn)O作DE的垂線為x軸，

以O(shè)E為y軸，OA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A1(0,0,2)，C(2,2,0)，B(2,?2,0)，D(0,?1,0)，

A1C=(2,2,?2)，DB=(2,?1,0)，DA1=(0,1,2)，

設(shè)平面A1BD的法向量為19.(1)由圖像可知，共10年中，其中占比超過(guò)10%有9年，

設(shè)從2010年至2019年中隨機(jī)選取一年，該年研發(fā)投入占當(dāng)年總營(yíng)收的百分比超過(guò)10%為事件A，則P(A)=910．

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，

則P(X=0)=C52C102=X012P252將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得：E(X)=0×220.(1)因?yàn)闄E圓的方程為x24+y23=1，

所以a2=4，b2=3，c=a2?b2=4?3=1，

則橢圓的離心率e=ca=12.橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)；

(2)證明：易知A(?2,0)，B(2,0)，

當(dāng)直線l的斜率k≠0時(shí)，

設(shè)直線l的方程為x=ty+1，C(x1,y1)，D(x2,y2)，

此時(shí)k1=y1x1+2，k221.(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?x，則f′(x)=ex?1．

設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0?x0)，則切線斜率k=f′(x0)=ex0?1．

則切線方程為y?(ex0?x0)=(ex0?1)(x?x0)．

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(0,0)，所以將(0,0)代入切線方程得：

0?(ex0?x0)=(ex0?1)(0?x0)，即ex0(x0?1)=0，

因?yàn)閑x0>0恒成立，所以x0?1=0，解得x0=1．

則切線斜率k=e?1，切線方程為y=(e