第12講等邊三角形（核心考點(diǎn)講與練）

聚焦考點(diǎn)

等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角

形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰

和底、頂角和底角是相對(duì)而言的.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂

直平分線是對(duì)稱(chēng)軸.

二.等邊三角形的判定

（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或

能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°,則用判定定理2

來(lái)證明.

g____________

名師點(diǎn)睛

一.七巧板（共1小題）

1.（2019秋?奉賢區(qū)期中）七巧板是我們民間流傳最廣的一種古典智力玩具，由正方形分割而成

（如圖），圖中6號(hào)部分的面積是正方形面積的（）

11

A.D.

46816

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：6號(hào)部分的平行四邊形是由兩個(gè)小等腰直角三角形構(gòu)成，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則

正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為：/下二了=、用=2〃，

所以小等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為二^=遮，面積為」x遮xwm=_i,

422224

11

所以6號(hào)部分的平行四邊形的面積是一X2=—，

42

因?yàn)檎叫蔚拿娣e為4,

1

91

所以圖中6號(hào)部分的面積是正方形面積的，-=一,

48

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了七巧板，正方形的性質(zhì).能夠正確的識(shí)別圖形，明確6號(hào)部分的平行

四邊形是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成是解題的關(guān)鍵.

等邊三角形的性質(zhì)（共6小題）

2.（2020秋?上海期末）若把一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的等邊△ABC向右平移a厘米，則平移后所得三角

形的周長(zhǎng)為6厘米.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)槠揭浦桓淖儓D形方向和距離，不改變圖形的大小，

所以平移后所得三角形的周長(zhǎng)為2義3=6（厘米）.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì).

3.（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）小宋把一張等邊三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線機(jī)、〃上

測(cè)得/AEG=20°,那么NADf的度數(shù)是40°.

【分析】過(guò)A點(diǎn)作AP〃如如圖，貝打〃4尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/PAE=20。，再利用等邊

三角形的性質(zhì)得到/2AC=6（r,所以/BAP=40°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NADF的度

數(shù).

【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AP〃相，如圖，

m//n,

：.n//AP,

：.ZPAE=ZAEG=20°,

:△ABC為等邊三角形，

AZBAC=60°,

AZBAP=ABAC-ZPAE=60°-20°=40°,

9：PA//m,

：.ZADF=ZBAP=40°.

故答案為400.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，作P4〃機(jī)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.也考查了平行線的性質(zhì).

4.（2020秋?靜安區(qū)期末）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)是1的等邊三角形A5C,將它沿直線/作順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng),

求滾動(dòng)100次，8點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程_44^"兀_（結(jié)果保留10.

3一

【分析】根據(jù)圖形得出三角形每滾動(dòng)三次為一個(gè)循環(huán)，先求解三次滾動(dòng)后頂點(diǎn)8所經(jīng)過(guò)的路程，

再求解即可.

【解答】解：由題意得：三角形每滾動(dòng)三次為一個(gè)循環(huán)，

.,.1004-3=33-1,

2

而第一次滾動(dòng)8后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為120"XI=三兀，第二次滾動(dòng)8后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為

1803

2224

——工，第三次滾動(dòng)B后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為——兀+——兀=——兀，

3333

，第100次滾動(dòng)B后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為33義士式+二式=442-兀,

333

故答案為：44—兀.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式、軌跡等知識(shí)點(diǎn)，能正確運(yùn)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行

計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

5.（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知直線等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線A、h

上，如果邊與直線的夾角/1=26°,那么邊與直線/2的夾角N2=34度.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得NBAC=NBCA=60°,再由平行線的性質(zhì)得N1+/BAC+/

BCA+Z2=180°,則/1+/2=60。，即可求解.

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

.?.N8AC=/BCA=60°,

:直線

：.Zl+ZBAC+ZBCA+Z2=l?,0°,

.?.Zl+Z2=180°-60°-60°=60°,

：/1=26°,

.,.Z2=60°-26°=34°,

故答案為：34.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和

平行線的性質(zhì)，證出Nl+N2=60。是解題的關(guān)鍵.

6.（2020秋?上海期末）邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形的面積是_9^/ym2

【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得。為3c的中點(diǎn)，即&）=CZ）,在直角三角形A&）

中，已知A3、BD,根據(jù)勾股定理即可求得AO的長(zhǎng)，即可求三角形A3C的面積，即可解題.

【解答】解：如圖，等邊三角形高線即中線，故。為5c中點(diǎn)，

\*AB=6cm,

:.BD=3cm,

:,AD=QAB'-BD2=3^

，等邊△ABC的面積=」-BUAD=」-X6X34=94(cm2).

故答案為：9^cm2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)勾股定

理計(jì)算AD的值是解題的關(guān)鍵.

7.（2021春?楊浦區(qū)期末）甲、乙兩人沿邊長(zhǎng)為60米的等邊三角形ABC的邊按A-B-C-A的方向

行走，甲每分鐘走65米，乙每分鐘走50米，設(shè)甲在頂點(diǎn)A時(shí)，乙在頂點(diǎn)C,幾分鐘后甲、乙兩人

可第一次行走在同一條邊上？（不含甲、乙兩人在三角形相鄰頂點(diǎn)時(shí)的情形）

【分析】把甲和乙經(jīng)過(guò)的路徑排成一條直線，因?yàn)榧自诤竺?，且甲的速度快，所以甲剛好到?/p>

邊時(shí)，乙還沒(méi)有出去到另一條線，列出甲和乙路程與時(shí)間的式子，求出時(shí)間即可.

【解答】解：把甲和乙經(jīng)過(guò)的路徑排成一條直線，

^ABCABCABC……

設(shè)f分鐘時(shí)甲乙在同一條邊上，則有甲在頂點(diǎn)，乙在甲后面的邊上，

：.65t^60k（左是正整數(shù)），且60/<50什120<60（左+1）,

?1-1560

180180

，取左=5,

60X560

.".t=-----------=—，

6513

60

；---分鐘時(shí)甲、乙兩人可第一次行走在同一條邊上.

13

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查路程問(wèn)題轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是要考慮清楚甲乙同線時(shí)甲剛

好在頂點(diǎn).

三.等邊三角形的判定（共3小題）

8.（2021春?閔行區(qū)期末）在△ABC中，如果AB=AC,NA=NC,那么△ABC的形狀為等邊

三角形.

【分析】可利用等腰三角形的判定，說(shuō)明三角形的三條邊都相等，亦可利用等腰三角形的性質(zhì)，

說(shuō)明該三角形的三個(gè)角都相等.

【解答】解：（法一）在△ABC中，：NA=NC,

：.BA^BC.

又：

AB=AC=BC.

所以△ABC是等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

（法二）在中，：A2=AC,

：.ZB=ZC.

又：ZA=ZC,

：.ZA=ZB^ZC.

所以△ABC是等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解決本

題的關(guān)鍵.

9.（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，A3=AC,請(qǐng)你再添加一個(gè)條件使得△A8C成為等邊三角形，

這個(gè)條件可以是44=60。（只要寫(xiě)出一個(gè)即可）.

【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得答案.

【解答】解：在△ABC中，AB=AC,再添加NA=60°可得△ABC是等邊三角形，

故答案為：/4=60°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定方法：（1）由定

義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

10.（2019春?虹口區(qū)期末）說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是￡>C的中點(diǎn)，EC=EB,ZCDA=120°,DF

//BE,且。戶(hù)平分NCD4,求證：△BEC為等邊三角形.

解：因?yàn)椤平分NCD4（已知）

1

所以/EDC=—/4￡>C.角平分線意義

2

因?yàn)?CD4=120°（已知）

所以NfZ>C=60°.

因?yàn)?。尸〃BE（已知）

所以ZFDC=ZBEC.（兩直線平行，同位角相等）

所以/8EC=60°,又因?yàn)镋C=EB,（已知）

所以△8CE為等邊三角形.（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出/㈤C的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出/aC的度數(shù)，進(jìn)

而得出△BEC為等邊三角形.

【解答】解：因?yàn)?。產(chǎn)F分NCD4,（已知）

1

所以NfT?C=—ZADC.（角平分線意義）

2

因?yàn)镹CD4=120°,（已知），

所以NFDC=60°.

因?yàn)?。尸〃BE,（已知），

所以NEDC=NBEC.（兩直線平行，同位角相等），

所以NBEC=60°,又因?yàn)镋C=EB,（已知）,

所以aBCE為等邊三角形.（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

故答案為：ADC-,角平分線意義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等

腰三角形是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出/如C=

NBEC是解題關(guān)鍵.

四.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

11.(2020春?寶山區(qū)期末)如圖，點(diǎn)。、E、尸分別在AB、BC、C4上，△￡＞￡■/是等邊三角形，且

Z1=Z2=Z3,△ABC是等邊三角形嗎？試說(shuō)明理由.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/瓦甲=/￡＞斯=/￡＞巫=60°,根據(jù)平角的定義得到/

ADF=NBED=NCFE,由三角形的內(nèi)角和得到乙4=180°-Z2-ZADF,ZB=180°-Z1

-ABED,NC=180°-Z3-ZCFE,于是得到結(jié)論.

【解答】解：△ABC是等邊三角形，

理由：：△￡)￡1/是等邊三角形，

二2EDF=/DEF=N￡＞BE=60°,

VZ1=Z2=Z3,

，/ADF=NBED=NCFE,

：.ZA=180°-Z2-ZADF,ZB=180°-Z1-ZBED,ZC=1800-Z3-ZCFE,

：.ZA=ZB=ZC,

ZkABC是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平角的定義.熟練掌握等邊

三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2019春?浦東新區(qū)期末)如圖，已知等邊△ABC和等邊△CDE,P、。分別為A￡＞、BE的中點(diǎn).

(1)試判斷△CPQ的形狀并說(shuō)明理由.

(2)如果將等邊△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CP。的形狀會(huì)改變嗎？請(qǐng)你將圖2中的圖

形補(bǔ)畫(huà)完整并說(shuō)明理由.

【分析】(1)由“有一內(nèi)角為60°的等腰三角形為等邊三角形”進(jìn)行判斷與證明；

(2)通過(guò)全等三角形△ACD2△BCE、△ACP0ABCQ的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)推知

△CPQ的兩邊PC=QC、內(nèi)角NPCQ=60°,從而確定△CPQ是等邊三角形.

【解答】解：(1)如圖1,△CP。是等邊三角形.理由如下：

△A8C和△CCE都是等邊三角形,

：.ZC=60°,AC=BC,DC=EC,

：.AC-DC=BC-EC,^AD=BE.

：P、。分別為A。、BE的中點(diǎn)，

:.PD=EQ,

：.CD+DP=CE+EQ,即CP=CQ,

.?.△CP。是等邊三角形；

(2)如果將等邊△€?后繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CPQ的形狀不會(huì)改變.理由如下:

如圖2,,.,△48C和△(?￡>￡■都是等邊三角形，

AZACB=ZDCE^60°,AC=BC,DC=EC,

'：/AC￡>=ZDCE-NACE,/BCE=ZACB-/ACE,

ZACD=ZBCE,

.?.在△4C￡>與△BCE中，

AC=BC

,ZACD=^BCE,

DC=EC

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BE,ZCAD=ZCBE,即NCAP=NC8Q.

是A￡>的中點(diǎn)，。是BE的中點(diǎn)，

11

*.AP———AD,BQ———BE,

22

：.AP=BQ,

.?.在△ACP與△BC。中，

AC=BC

<NCAP=/CBQ,

AP=BQ

：.AACP^ABCe(SAS),

：.PC=QC,ZBCQ=ZACP,

VZBCQ+ZACQ=ZACB=6QQ,

，/ACP+NAC。=60°,

：.ZPCQ=60°,

...△CPQ是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì).根據(jù)等邊三角形的

判定：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

能力提升

片分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

一.選擇題（共1小題）

1.（2016春?閔行區(qū)期末）如圖，△ABC、和△GMN都是等邊三角形，且點(diǎn)石、M在線段AC

上，點(diǎn)G在線段E/上，那么N1+N2+N3等于（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果.

【解答】解：???△ABC、△OEF和△GMN都是等邊三角形，

；?/GMN=/MGN=NDEF=60°,

VZl+ZGMN+ZGME=180°,Z2+ZMGN+ZEGM=180°,Z3+ZDEF+ZMEG=180°,

：.Zl+ZGMN+ZGME+Z2+ZMGN+ZEGM+Z3+ZDEF-hZMEG=3X180°,

VZGME+ZEGM+ZMEG=180°,

???Nl+N2+N3=3X180°-180°-3X60°=180°；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平角的定義；熟練掌握等邊三角

形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

2.（2019秋?閔行區(qū)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為2c機(jī)的等邊△ABC沿邊BC向右平移1.5cm得到△￡>￡1廠,

【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC=AC=2,再根據(jù)平移的性質(zhì)得到的>=6=1.5,

DF=AC=2,然后計(jì)算四邊形ABED的周長(zhǎng).

【解答】解：???△ABC為等邊三角形，

：.AB=BC=AC=2,

,/等邊△ABC沿邊8c向右平移1.5的得到二DEF,

，AO=CT=1.5,DF=AC=2,

,四邊形AB廣。的周長(zhǎng)=2+2+2+1.5+1.5=9（cm）.

故答案為9cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.等邊

三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直

平分線是對(duì)稱(chēng)軸.也考查了平移的性質(zhì).

3.（2018秋?浦東新區(qū)期中）等邊三角形的邊長(zhǎng)為。，則它的周長(zhǎng)為3a.

【分析】等邊三角形的邊長(zhǎng)為。，進(jìn)而求出它的周長(zhǎng).

【解答】解：因?yàn)榈冗吶切蔚娜呄嗟?，而等邊三角形的邊長(zhǎng)為小所以它的周長(zhǎng)為3a.

故答案為3a.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了等邊三角形的三邊相等的性質(zhì).

4.（2021春?普陀區(qū)校級(jí)月考）等邊三角形的面積為8/咨則它邊長(zhǎng)是

【分析】作出等邊三角形邊上高，利用勾股定理可求出高的值，利用三角形的面積公式求解即

可.

【解答】解：如圖，作ADLBC于點(diǎn)￡>,

:&AB=BC=AC=x,

11

則nlB￡)=_BC=—x,

22

：

在RtZVIB。中，JAB_BD-^-(-Lx)=^-x,

故邊長(zhǎng)為x的等邊三角形的面積為」XxX“x=8行，

22小

解得：x=±4、/^,舍去負(fù)值，得彳=4/2，

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求出等邊三角形一邊上的高是解決

本題的突破點(diǎn).

5.(2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC沿BC邊向右平移得到△￡>￡立平

移后，如果四邊形48下。的周長(zhǎng)是22cM1,那么平移的距離應(yīng)該是2cm.

【分析】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，得出四邊形的周長(zhǎng)=A￡)+AB+8F+￡)F=AD+CF+18=22,

即可得出答案.

【解答】解：,??將邊長(zhǎng)為6c機(jī)的△A3C沿26向平移得到四邊形4BFD的周長(zhǎng)=

AD+AB+BF+DF^AD+CF+18=22,AD=CF,

：.2AD=4,

解得：AO=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所

連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.得到C歹=A￡>,￡>F=AC是解題的關(guān)鍵.

6.(2018秋?金山區(qū)期末)將邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形ABC向右平移一定的距離后得到三角形DER

已知EC=2CTM,那么平移的距離為4cm.

D

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：△ABC是等邊三角形，

:.AB=BC=6cm,

,/沿邊向右平移2cm得到△￡>￡下,

平移的距離為BE=6-2=4,

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所

連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.

7.（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，AB=AC,請(qǐng)你再添加一個(gè)條件使得△A8C成為等邊三角形，

這個(gè)條件可以是乙4=60°（只要寫(xiě)出一個(gè)即可）.

【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形可得答案.

【解答】解：在△4BC中，AB^AC,再添加乙4=60°可得△A2C是等邊三角形，

故答案為：ZA=60°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定方法：（1）由定

義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

三.解答題（共2小題）

8.（2019春?崇明區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，邊AB=6厘米，若動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C開(kāi)始，按C-B

的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為1厘米/秒，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

（1）當(dāng)/=3時(shí)，判斷AP與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)△PBC的面積為△A3C面積的一半時(shí)，求f的值；

（3）另有一點(diǎn)。，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C-A-8-C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為1.5厘米/秒，若尸、。兩點(diǎn)

同時(shí)出發(fā)，當(dāng)尸、。中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)f為何值時(shí)，直線尸。把△ABC

的周長(zhǎng)分成相等的兩部分.

AAA

備用圖1備用圖2

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)判斷：AP±BC,

理由如下：如圖1,

：.BP=CP=3,

?：AB=AC,

：.AP±BC；

(2)當(dāng)△尸BC的面積為△ABC面積的一半時(shí)，點(diǎn)尸為AB中點(diǎn)或點(diǎn)尸為AC中點(diǎn)，則CB+C尸=9或

CB+BA+CP=15,

.1=9或f=15,

當(dāng)△PBC的面積為△ABC面積的一半時(shí)，f的值為9或15；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在邊BC上，且點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，CP=t,CQ=1.5f

則f+1.5t=9,

.1=3.6,

當(dāng)點(diǎn)P在邊48上，且點(diǎn)。在邊BC上時(shí)，BP=t-6,BQ=1.5t-12,

則L6+1.5L12=9,

所以當(dāng)f為3.6或10.8秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分.

留

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(2019春?虹口區(qū)期末)說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是￡>C的中點(diǎn)，EC=EB,ZCDA=120°,DF//

BE,且平分NCD4,求證：△8EC為等邊三角形.

解：因?yàn)?。尸平分NCD4（已知）

1

所以—ZADC.角平分線意義

2

因?yàn)镹CD4=120°（已知）

所以NfDC=60°.

因?yàn)镈F〃BE（已知）

所以NFDC=ZBEC.（兩直線平行，同位角相等）

所以NBEC=60°,又因?yàn)镋C=EB,（已知）

所以.BCE為等邊三角形.（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出NFOC的度數(shù)，進(jìn)

而得出△BEC為等邊三角形.

【解答】解：因?yàn)椤?平分NCD4,（已知）

1

所以/4>C=一ZADC.（角平分線意義）

2

因?yàn)镹CD4=120°,（已知），

所以NFDC=60°.

因?yàn)閚尸〃BE,（已知），

所以NFDC=NBEC.（兩直線平行，同位角相等），

所以NBEC=60°,又因?yàn)镋C=E2,（已知），

所以△8CE為等邊三角形.（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

故答案為：ADC；角平分線意義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等

腰三角形是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出NFDC=

NBEC是解題關(guān)鍵.

題組B能力提升練

一.填空題（共3小題）

1.（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱(chēng)這個(gè)三角形

是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱(chēng)為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則規(guī)定優(yōu)比是較大邊與較小邊

的比）.比如等邊三角形就是一個(gè)優(yōu)比為1的優(yōu)三角形.若aABC是優(yōu)三角形，且/ABC=120°,

1220

BC=4.則這個(gè)三角形的面積是———V々或——

53

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作交的延長(zhǎng)線于凡分兩種情形：若A8<8C,貝UA3+AC

=2BC=8.若AB，BC,則AC+BC=2AB,分別利用參數(shù)構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：作交CB的延長(zhǎng)線于H

若AB<BC,貝1JAB+AC=2BC=8,設(shè)

在RtzXABH中，ZH=90°,ZABH=180°-120°=60°,

AB=2x,AH=

；.AC=8-2x,

在RtZXACH中，則有(/x)2+(x+4)2=(8-2x)2

解得尸一

5

6尸

..AH==、后

D

11612

/.S/\ABC=——?BC?AH=——X4X

22

若ABNBC,則AC+BC=2A8,設(shè)則AB=2x,AH=J孕,AC=4x-4,

在RtZXACH中，則有（J室）2+(x+4)2=(4%-4)2

解得x='9或x=0（舍去），

3

1110L20L

S&ABC=—?BC?AH=—X4X

22OO

1220

故答案為：行/或74?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“優(yōu)三角形"以及“優(yōu)比”的定義，三角形的三邊關(guān)系，解直角三角形等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建不等式或方程解決問(wèn)題.

2.（2017秋?浦東新區(qū)期末）如果等邊三角形的邊長(zhǎng)為根厘米，那么這個(gè)三角形的面積等于_±巴

4

“平方厘米（用含機(jī)的代數(shù)式表示）.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可.

【解答】解：因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為加厘米，

可得等邊三角形的高是三m厘米，

2

所以這個(gè)三角形的面積一m=二@血2平方厘米；

224

故答案為："―混

4

【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出等邊三角形的高.

3.（2018春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知O是等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn)，O是線段80延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

OD=OA,ZAOB=nQ°,那么/8￡>C=60度.

【分析】由△A2C為等邊三角形可得出A8=AC、NBAC=60°,由/A02的度數(shù)利用鄰補(bǔ)角互

補(bǔ)可得出/AOD=60°,結(jié)合可得出為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可

得出AO=A￡>、ZOAD=60°,根據(jù)NOAC+/C4￡>=60°可得出/BAO=/

CAD,利用全等三角形的判定定理SAS可證出△BAO烏△CA。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出

NAOC的度數(shù)，再根據(jù)/BOC=/AOC-N4O。即可求出NBOC的度數(shù).

【解答】解：ABC為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60".

VZAOB=120°,ZAOD+ZAOB=180°,

AZAOD=60°.

又：OO=OA,

△40￡＞為等邊三角形，

：.AO=AD,ZOAD=60°,ZADO=6Q°.

'：ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD=60a,

：.ZBAO^ZCAD.

AB=AC

在△84。和△GW中，,/BAO=/CAD,

AO=AD

:.ABAO4ACAD(SAS),

?.ZADC=ZAOB=120°,

：./BDC=ZADC-N4OO=60°.

故答案為：60.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及角的計(jì)算，通過(guò)

證明△BAO0ZiCA。，找出NAOC=NAOB=120°是解題的關(guān)鍵.

解答題（共6小題）

4.（2019秋?瀘縣期末）等邊△ABC中，點(diǎn)尸在△ABC內(nèi)，點(diǎn)。在△ABC外，S.ZABP=ZACQ,

BP=CQ,問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論.

【分析】先證△ABP經(jīng)ZiAC。得AP=A。，再證/尸4。=60°,從而得出4人尸。是等邊三角形.

【解答】解：△4PQ為等邊三角形.

證明：:△ABC為等邊三角形，

，AB=AC.

在△A5P與△ACQ中，

AB=AC

1/ABP=/ACQ,

BP=CQ

AAABP^AACg（SAS）.

：.AP=AQ,ZBAP=ZCAQ.

VZBAC=ZBAP+ZPAC=60°,

：.ZPAQ^ZCAQ+ZPAC^60°,

ZvlPO是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】考查了等邊三角形的判定及全等三角形的判定方法.

5.（2007春?靜安區(qū)期末）如圖，AABC是等邊三角形，。是AC的中點(diǎn)，連接BO,延長(zhǎng)BC至E,

使CE=C￡）,連接DE.

（1）NE等于多少度？

（2）說(shuō)明。3與。E相等的理由.

【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NACB=60°,由CE=C￡＞可知NE=NEDC,再

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)得出NARD=NDBC=30°,在由在同一三角形中等角

對(duì)等邊的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）,.?△ABC是等邊三角形（已知），

/.ZACB=60Q（等邊三角形性質(zhì)）.

?：CE=CD（已知），

：.ZE=ZEDC（等邊對(duì)等角）.

VZACB^ZE+ZEDC（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），

-30°.

（2）:△ABC是等邊三角形，

：.AB=CB,ZABC=60°（等邊三角形性質(zhì)），

是AC的中點(diǎn)，

ZABD=ZDBC=30°（等腰三角形三線合一）.

VZE=30°（已證），

:./E=/DBC（等量代換），

：.DB=DE（等角對(duì)等邊）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟知等邊三角形三線合一的性

質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2008春?閔行區(qū)期末）如圖，已知△A8C是等邊三角形，點(diǎn)￡>、E分別在邊8C、AC上.

（1）如果ADJ_BC,BELAC,試證明NAPE=60°的理由；

（2）如果BD=EC,那么“NAPE=60°”是否還能成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一，可知ND4C=30°,在直角AAE尸中，即可得出

ZAPE=60°；

（2）易證△A3。2△8CE,得NBAD=NCBE,又NCBE+NABE=60°,則

60°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得/APE=60°；

【解答】（1）證明：:△ABC是等邊三角形中，ADLBC,BELAC,

二/D4C=30°,

,在直角aAEP中，

ZAPE=90°-30°=60°；

（2）解：仍然成立.理由如下：

在△A8￡>和△8CE中，

AB=BC

</ABD=/BCE,

[BD=CE

AABD^ABCE,

：.ZBAD=ZCBE,XZCBE+ZABE=60°,

ZAPE=ZBAD+ZABE=60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)熟記等腰三角形的

三線合一及證明三角形全等的幾個(gè)判定方法.

7.（2006秋?楊浦區(qū)期末）已知：在△ABC中，/CAB和NABC的平分線A。、BE交于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)△ABC為等邊三角形（如圖1）時(shí)，求證：EP=DP；

（2）當(dāng)△ABC不是等邊三角形，但NACB=60°（如圖2）時(shí)，（2）中的結(jié)論是否還成立？若

成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可以得到相等的線段和相等的角，進(jìn)而可以證明EP=DP

（2）上題的結(jié)論仍然成立，并且具有類(lèi)似的證明方法.

【解答】證明：（1）;△ABC為等邊三角形，AD平分NCA8,.?.尸O_LBC,

同理，PE_L4C,

作PH_LAB于X,

VAW^-ZCAB,PELAC,

：.PE=PH,

同理PO=PH,

：.PD=PE；

（2）EP=OP依然成立.

證明：不妨設(shè)NCABVNCBA,

作PH_LAC于H,PM_LCB于M,PQ_LAB于。，

則點(diǎn)H在線段CE上，點(diǎn)M在線段B￡＞上，

,.,/C4B和/AC8的平分線AO、BE交于點(diǎn)P,：.PH=PQ=PM,

VZACB+ZCAB+ZABC^180°,/ACB=60°,

：.ZCAB+ZABC=120°,

?：AD,BE分別平分/CAB、ZABC,

：.ZPAB+ZPBA=60°,

,/ZCEP=ZG4P+ZPAB+/PBA=ZCAP+60°,

ZADB^ZCAP+ZACD^ZCAP+600,

：.ZCEP=ZADB,

在△PHE和中，ZHEP=ZMDP,ZEHP=ZDMP=90°,PH=PM,

:.APHE四叢PMD,

：.PE=PD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用等邊三角形的性質(zhì).

8.（2015秋?諸城市期末）如圖（1）,等邊△ABC中，。是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊，向上

作等邊△EDC,連接AE.

（1）△OBC和△EAC會(huì)全等嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由；

（2）試說(shuō)明AE〃BC的理由；

（3）如圖（2）,將（1）動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到邊8A的延長(zhǎng)線上，所作仍為等邊三角形，請(qǐng)問(wèn)是否仍

有AE〃BC?證明你的猜想.

【分析】（1）要證兩個(gè)三角形全等，已知的條件有AC=BC,CE=CD,我們發(fā)現(xiàn)/BCD和/

ACE都是60°減去一個(gè)/ACD,因此兩三角形全等的條件就都湊齊了（SAS）；

（2）要證AE〃8C,關(guān)鍵是證/￡AC=NACB,由于NAC8=/ACB,那么關(guān)鍵是證/EAC=

ZACB,根據(jù)（1）的全等三角形，我們不難得出這兩個(gè)角相等，也就得出了證平行的條件.

（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通過(guò)先證明三角形BCD和ACE全等，得出NEAC=N

B=60°,又由NA8C=NAC3=60°,得出這兩條線段之間的內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得出平行的

結(jié)論.

【解答】解：（1）△O8C和ZXEAC會(huì)全等

證明：VZACB=60°,ZDCE=6Q°

：.ZBCD^600-ZACD,NACE=60°-ZACD

：.ZBCD=ZACE

在△DBC和△EAC中，

BC=AC

?:，/BCD=/ACE,

EC=DC

:.△DB8XENC(SAS)，

(2),:/XDBC咨dEAC

，/EAC=/B=60°

又NACB=60°

/.ZEAC=ZACB

：.AE//BC

(3)結(jié)論：AE//BC

理由：AABC>△ECC為等邊三角形

：.BC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°

ZBCA+ZACD^ZDCE+ZACD,即/3C￡>=/ACE

在△QBC和△￡/1(:中，

BC=AC

v<ZBCD=^ACE,

CD=EC

:.△DBC4AEAC(SAS),

/EAC=/B=60°

又：NACB=60°

/.ZEAC=ZACB

J.AE//BC.

【