第十七章綜合素質(zhì)評價

一、選擇題（每題3分，共36分）

1.用反證法證明命題“若ale,blc,則a〃/'時，第一步應假設（）

A.a不平行于bB.a平行于bC.a不垂直于cD.b不垂直于c

2.母題教材P163習題T3如圖，在AZBC中，AB^AC,。是BC的中點,

^BAD=35。,則NC的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.60°

3.如圖，在△2BC中，LBAC=62°,NC=48。,4。1BC于點。，則NBZD的度

數(shù)是（）

（第3題）

A.15°B.16°C.18°D.20°

4.如圖①是第七屆國際數(shù)學教育大會。CME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個

相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖②所示的四邊形。2BC.若。C=

瓜BC=1,^AOB=30°,貝1］。2的長為（）

①②

（第4題）

A.V3BiC.V2D.1

5.如圖，在我軍某次海上演習中，兩艘航母護衛(wèi)艦從同一港口。同時出發(fā)，1

號艦沿東偏南60。方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時）的速度航行，2號艦沿南偏

西60。方向以12節(jié)的速度航行，離開港口2小時后它們分別到達4B兩點，此

時兩艦的距離是（）

A.9海里B.12海里C15海里D.30海里

6.如圖，在與RtZkDCB中，已知乙4=2。=90。，添加一個條件,

不能使RtAZBC三RtADCB的是（）

（第6題）

A.AB=DCB.AC=DB

C.^ABC=乙DCBD.乙ABD=^DCA

7.如圖，4。是等邊三角形ABC的中線，點E在AC上，AE^AD,則ZEDC等于

()

（第7題）

A.15°B.20°C.25°D.30°

8.[[2025滄州期末]]如圖，在AZBC中，點。在邊上，且乙4DC=

^ACD=2乙B,下列判斷正確的是（）

①若4B=27,△4DC的周長為43,則CD=11；②若乙4=36。，則圖中共有

2個等腰三角形

A.只有①正確B,只有②正確

C.①②都正確D.①②都不正確

9.如圖，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，將△ABC折疊，使點

4與BC的中點。重合，折痕為MN,則線段BN的長為（）

A.|B.jC,4D.5

10.我們稱網(wǎng)格線的交點為格點.如圖，在6行x5列的長方形網(wǎng)格中有兩個格

點4B,連接2B,在網(wǎng)格中再找一個格點C,使得AZBC是等腰直角三角形，

則符合條件的格點C的個數(shù)是（）

（第10題）

A.3B.4C.5D.6

11.如圖，圓柱底面半徑為三cm,IWJ為36cm，點4B分別是圓柱兩底面圓周

上的點，且4B在同一高線上，用一根棉線從4點順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點,

則這根棉線的長度最短為（）

（第n題）

A.39cmB.30cmC.18cmD.24cm

12.如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點4C,E在一條直線上，連

接a。，BE相交于點Q,與BC,CD分別交于點M,N.連接MN,QC.下列說法：

①乙4QB=60。；②△CMN是等邊三角形；③QC平分乙4QE；④△AMC=△

BNC-,@QC2+QD2=2QE2,其中正確的有（）

（第12題）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題（每題3分，共12分）

13.如圖，若ZB=ac=BC=DB,則ND的度數(shù)為.

14.若a,5為等腰三角形ZBC的兩邊，且滿足（a-4）2+VF[0,則三角

形ABC的周長為.

15.[[2025上海黃浦區(qū)期末]]將兩塊斜邊長等于2的三角板（Rt△ABC與四△

ABD）的斜邊完全疊合，按如圖所示擺放，E為的中點，連接EC,ED,CD,那

么△ECO的面積等于.

16.畫翹遨學文花世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作

《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a=1（十一?i?）,b=mn,c=|（m2+

n2）,其中m>n>0,m,九是互質(zhì)的奇數(shù).

（1）任意寫出滿足條件的一組勾股數(shù)：.

（2）某三角形的三邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為37,且ri=5,則該直

角三角形的面積為

三、解答題（共72分）

17.（8分）/新視角動手癡祚版;如圖,已知線段28.用兩種不同的方法作△ABC,

使得乙4cB=90。，且AC=BC.要求：（1）尺規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕

跡，寫出必要的文字說明.

ABAB

18.（8分）如圖，在△力BC中，CE,BF是兩條高，若乙4-70°,Z-BCE=

30°,求NEBF與ZFBC的度數(shù).

A

F

19.（8分）如圖，在△ABC中，AOAB,4。是△ABC的中線，ZE1BC于點

E,用反證法證明：點。與點E不重合.

20.（8分）如圖,在鐵路CD同側(cè)有兩個村莊4B,它們到鐵路的距離分別是

15km和10km,作AC1CD,BD1CD,垂足分別為C,D,且CD=25km.已知

鐵路旁有一個農(nóng)副產(chǎn)品收購站E,且4E=BE,求CE的長.

21.[[2025承德期末]]（12分）如圖，已知是△ABC的角平分線,

。民。尸分另1|是^ABD^AZCD的高.

A

Oi

/\

BN~~

（i）請你判斷a。與EF的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若ZB+47=20,S-BC=60,求DE的長.

04分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是2C邊上一動點.由點4向點C

運動（P與點4C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由

點B向CB延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作PE12B于點E,連接

PQ交于點。

（1）若設2P的長為％,貝i]PC=,QC=.

（2）當ZBQD=30°時，求2P的長.

（3）在運動過程中，線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不發(fā)生變化，直接寫出

線段ED的長；如果發(fā)生變化，請說明理由.

23.（14分）如圖①，在等腰直角三角形BCD中，ZBDC=90°,BF平分

Z-DBC,與CD相交于點F,延長BD到4使D4=DF,連接2C.

AA

BHC

①②

（1）求證：XFBDexACD;

（2）延長BF交AC于點E,且BE1AC,求證：CE=§BF;

（3）在（2）的條件下，若H是BC邊的中點，連接與BE相交于點G,如

圖②.試探索CE,GE,BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

第十七章綜合素質(zhì)評價

一、選擇題（每題3分，共36分）

1.用反證法證明命題“若ale,blc,則a〃匕”時，第一步應假設（）

A.a不平行于bB.a平行于匕C.a不垂直于cD.5不垂直于c

【答案】A

2.母題教材P163習題T3如圖，在AZBC中，ABAC,。是BC的中點,

/-BAD=35。,則ZC的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.60°

【答案】C

3.如圖，在△2BC中，LBAC=62°,ZC=48。,4。1BC于點。，則NBZD的度

數(shù)是（）

A

（第3題）

A.15°B.16°C.18°D.20°

【答案】D

4.如圖①是第七屆國際數(shù)學教育大會。CME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個

相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖②所示的四邊形。2BC.若。C=

V5,BC=1,^AOB=30°,則。4的長為（）

【答案】A

5.如圖，在我軍某次海上演習中，兩艘航母護衛(wèi)艦從同一港口。同時出發(fā)，1

號艦沿東偏南60。方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時）的速度航行，2號艦沿南偏

西60。方向以12節(jié)的速度航行，離開港口2小時后它們分別到達4B兩點，此

時兩艦的距離是（）

A.9海里B.12海里C.15海里D.30海里

【答案】D

6.如圖，在與RtADCB中，已知乙4==90。，添加一個條件,

不能使RtAZBC三RtADCB的是（）

AD

(第6題)

A.AB=DCB.AC=DB

C.^ABC=Z.DCBD.^ABD=^DCA

【答案】D

7.如圖，4。是等邊三角形ABC的中線，點E在AC上，AEAD,則ZEDC等于

()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】A

【點撥】ABC為等邊三角形，??.NBZC="=60°.???2D是等邊三角形ABC

的中線，ACAD=|NB2C=30°,AD1BC.：.^ADC=90°,vAD=AE,：.

/.ADE-Z-AED180°-Z.CAD180°-30°75°Z-EDC=15°.

22

8.[[2025滄州期末]]如圖，在AABC中，點。在邊ZB上，且乙4DC=

乙4CD=2NB,下列判斷正確的是（）

①若ZB=27,△4DC的周長為43,則CD=11；②若乙4=36。，則圖中共有

2個等腰三角形

A.只有①正確B.只有②正確

C.①②都正確D.①②都不正確

【答案】A

【點撥】①???^ADC=^ACD=2ZB,乙ADC=乙BCD+ZB,:.AD=AC,

乙BCD=ZB.BD=CD.-：AB=27,△ADC的周長=AD+AC+CDAD+

AD+BDAB+AD43,:.AD=43-27=16.ACD=BD=AB-AD=

11,故①正確；（2）NA=36°,AD=AC,^ADC=乙ACD=—=

72°乙BCD=NB==72°+2=36°NA=ZB.AC=BC.：.易知圖

中共有3個等腰三角形，故②錯誤.

9.如圖，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，將△ABC折疊，使點

4與BC的中點。重合，折痕為MN,則線段BN的長為（）

A.-3B.-2C.4D.5

【答案】C

【點撥】設BN=%,由折疊可得DN=4V=9-％.因為。是BC的中點，所以

BD=3.在RtABDN中，由勾股定理得/+3?=(9-％)2,解得％=4,即BN的

長為4.

10.我們稱網(wǎng)格線的交點為格點.如圖，在6行x5列的長方形網(wǎng)格中有兩個格

點4B,連接4B,在網(wǎng)格中再找一個格點C,使得△ABC是等腰直角三角形,

則符合條件的格點C的個數(shù)是()

T_|一-r_1

iiii

T--I--卜-T

L：」瓦

-i—T--A4?—?■—r?-T1

4-+-T--I-?卜-4

L-1_J___?_一L-J

（第10題）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【點撥】如圖，分情況討論：①為底邊時，符合條件的格點C有2個；

②為其中的一條腰時，符合條件的格點C有3個.故符合條件的格點C有5個.

11.如圖，圓柱底面半徑為^高為36cm，點4B分別是圓柱兩底面圓周

上的點，且48在同一高線上，用一根棉線從/點順著圓柱側(cè)面繞3圈到8點，

則這根棉線的長度最短為（）

B

A

（第11題）

A.39cmB.30cmC.18cmD.24cm

【答案】A

12.如圖，△ABC和ACDE都是等邊三角形，且點a,C,E在一條直線上，連

接ZD,BE相交于點Q,與BC,CD分別交于點M,N.連接MN,QC.下列說法：

①乙4QB=60。；②△CMN是等邊三角形；③QC平分乙4QE；④△AMC=△

BNC-,?QC2+QD2=2QE2,其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【點撥】①???△CDE都是等邊三角形，??.AC=BC,CE=CD,

乙4cB=乙ECD=60°,乙4cB+乙BCD=4ECD+乙BCD,即NBCE=^ACD.

BC=AC,

在^BCE^AZCD中，乙BCE=^ACD,BCE=△ACD(SAS),:.乙CAD=

CE=DC,

乙CBEJ；^AMC=乙BMQ,乙AQB=^ACB=60°,故①正確；②v^ACB=

Z-DCE=60°乙BCN=60°,v/iCAM=乙CBN,AC=BC,^ACM=乙BCN=

60°,.?.△4MC=△BNC(ASA),CM=CN,.-,△CMN是等邊三角形，故②④

正確；

③如圖①，過點C作C”12。于點”，CG1BE于點G,^AHC=ZBGC=

90°AC=BC,乙CAH=乙CBG,ACH=△BCG(AAS),；.CH=CG.又???

CH1AD,CG1BE,；.QC平分乙4QE,故③正確；⑤如圖②，過點C作

CK//BE,交2。于K,由③知QC平分Z2QE,???乙EQC=60°,vCK//BE,

乙EQC=乙KCQ=60°=乙DCE,：.乙QCE=乙KCD/：CD=CE,^ADC=

乙BEC,.-./^DCK=AEC(2(ASA),；.CK=CQ,QE=KD,CKQ是等邊三角

形，KQ=CQ,QE=DK=KQ+QD=CQ+QD,:.QE2=(CQ+QD)2=

CQ2+2CQ-QD+QD2,故⑤不正確.綜上，正確的有①②③④，共4個.

二、填空題(每題3分，共12分)

13.如圖，若ZB=4C=BC=DB,則ND的度數(shù)為.

【答案】30。

14.若a,b為等腰三角形ABC的兩邊，且滿足（a-4/+=0,則三角

形2BC的周長為.

【答案】20

15.[[2025上海黃浦區(qū)期末]]將兩塊斜邊長等于2的三角板（RtZkABC與心△

2BD）的斜邊完全疊合，按如圖所示擺放，E為的中點，連接EC,ED,CD,那

么△EC。的面積等于.

AEB

（第15題）

【答案】7

16.畫矍國文花:世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作

2

《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a=|（m2一層），b=血冗，c=|（m+

n2）,其中m>ri>0,m,律是互質(zhì)的奇數(shù).

（1）任意寫出滿足條件的一組勾股數(shù)：.

（2）某三角形的三邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為37,且n=5,則該直

角三角形的面積為

【答案】（1）8,15,17（答案不唯一）

（2）210

【解析】

（2）【點撥】ri=5,a=［（Tn?—25）,5=5m,c=［（Tn?+25）.，.?直角三角

形的一邊長為37,.,.分三種情況討論：①當a=37,即其稼_25）=37時，解

得m=±341（不合題意，舍去）；②當匕=37,即57n=37時，m=y（不

合題意，舍去）；③當c=37,即T（zu?+25）=37時，解得m=±7.???m>

n>0,m,律是互質(zhì)的奇數(shù)，m=7.當m=7時，a=|（m2—25）—|（72—

25）=12,b=5m=35..?.該直角三角形的三條邊長分別為12,35,37,???面積為

工x12x35=210.

2

三、解答題（共72分）

17.（8分）/新視甬動季藻作題如圖,已知線段2B.用兩種不同的方法作△

4BC,使得乙4cB=90。，且4C=BC.要求：（1）尺規(guī)作圖；（2）保留作圖

的痕跡，寫出必要的文字說明.

ABAB

【解】如圖，△ABC即為所求.

方法一：作線段的垂直平分線MN,垂足為D,在射線DM上取DC,使得

DC^AD,最后連接ZC,BC即可得所求的△ABC.

M

方法二：分別以點Z,B為垂足作BELAB,再作和ZEBA的平分

線交于點C,即可得所求的△ABC.

18.（8分）如圖，在AZBC中，CE,BF是兩條高，若乙4=70。，乙BCE=

30°,求NEBF與NFBC的度數(shù).

【解】CE,BF是兩條高,

Z.AEC=/-AFB=90°.

1,?乙4=70°乙EBF=20°,Z.ECA=20°.

又?:乙BCE=30°,乙4cB=30°+20°=50°.

乙FBC=90°-50°=40°.

19.（8分）如圖，在AZBC中，AOAB,4。是△ABC的中線，ZE1BC于點

E,用反證法證明：點。與點E不重合.

【證明】假設點。與點E重合.

???是AZBC的中線，AE1BC,

垂直平分BC.

-.AB=AC,這與ZC〉ZB相矛盾.

點。與點E不重合.

20.（8分）如圖,在鐵路CD同側(cè)有兩個村莊4B,它們到鐵路的距離分別是

15km和10km,作AC1CD,BD1CD,垂足分別為C,D,且CD=25km.已知

鐵路旁有一個農(nóng)副產(chǎn)品收購站E,且4E=BE,求CE的長.

【解】在RtAZCE中，根據(jù)勾股定理，得4C2+CE2=452.在RtZkBDE中，根

據(jù)勾股定理，M5￡>2+DE2=BE2.???AEBE,：.AE2=BE2,即4c2+。后？=

BD2+DE2.T^CE=xkm,貝U152+/=i（）2+05一%尸，解得％=10.CE=

10km.

21.[[2025承德期末]]（12分）如圖，已知是△ABC的角平分線，

。員。?分另】」是4ACD的高.

(1)請你判斷4。與EF的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若4B+aC=20,S-BC=60,求DE的長.

【答案】

(1)【解】垂直平分EF.理由如下：

???是AZBC的角平分線，DE,DF分另U是△4BD和△4CD的高，；.DE=DF.

在Rt△ZED和Rt△AFD中，槨?二空

IDE-DF,

：.Rt△AED=RtAAFD(HL)..-.AE=AF.

■：DE=DF,垂直平分EF.

11

=

(2);DE=DF,：?SLABC=S>ABD+S^ACD,DE+--4C,DF=

^DE(AB+AC)=60.

vAB+AC=20,：?DE=6.

22.[[2025邯鄲期末]]（14分）如圖，AZBC是邊長為6的等邊三角形，P

是2C邊上一動點.由點4向點C運動（P與點4C不重合），Q是CB延長線上一動