第1章三角形的初步認(rèn)識(shí)單元測(cè)試

一、單選題

1.下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.4,6,10B.3,9,5C.8,6,1D.5,1,9

2.如圖是VN3C的折紙示意圖，則折痕是V/5C的（）

A.中垂線B.中線C.角平分線D.高線

3.如圖，在已知的V/3C中，按以下步驟作圖:

①分別以3,C為圓心，以大于;8C的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M,N；

②作直線交于點(diǎn)。，連接CD.

若NC=4,48=10,則ANC。的周長為（）

A.8B.9C.10D.14

4.如圖所示，已知。于點(diǎn)8,延長5。交/尸于點(diǎn)G,Z）C_L4F于點(diǎn)C,且

DB=DC,ABAC=40°,ZADG=110c,則NOGF等于()

E

A.130°B.40°C.110°D.70°

5.如圖，在zUBC中，ZC=90°,44=30。，AC=43,AB=2,動(dòng)點(diǎn)。在邊/C上，以AD

為邊作等邊ABDE（點(diǎn)E、/在3。的同側(cè)）.在點(diǎn)。從點(diǎn)/移動(dòng)至點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)E移

動(dòng)的路徑長為（）

口B

A.2B.1C.243D.也

6.4月6日，以“箏春色，享春趣”為主題的2025龍亭風(fēng)箏大賽在開封龍亭公園舉行，吸引

了無數(shù)游客與風(fēng)箏愛好者共赴這場春日盛宴.如圖是小雪制作的風(fēng)箏模型，已知

△AEBmLAFC,且EC=6,/尸=4,則的長為（）

A.2B.4C.6D.10

7.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

（2）從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離

（3）三角形的任何一個(gè)內(nèi)角小于與它不相鄰的外角

（4）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

（5）兩條邊相等及一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形一定全等

A.2B.3C.4D.5

8.下列說法不正確的是（）

A.面積相等的兩個(gè)圖形是全等圖形

B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

C.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)

D.如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同

9.下列命題中：（1）點(diǎn)到直線的距離是指這點(diǎn)到直線的垂線段；（2）兩直線被第三條直線

所截，同位角相等；（3）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）過一點(diǎn)有且只有一

條直線與已知直線平行.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，若48=35°,N/CZ)=120°,貝1/4=().

11.如圖，在RtZS/BC中，ZC=90°,NC=12,BC=9,P、。是邊/C、3c上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，PDLAB于點(diǎn)、D,?！?，/3于點(diǎn)￡.設(shè)點(diǎn)產(chǎn)、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是/秒。＞0）.若點(diǎn)P從C

點(diǎn)出發(fā)沿CA以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)/勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)/后立刻以原來的速度沿NC

返回到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿3C以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到

達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)/=秒時(shí)，△/尸。和△QBE全等.

12.如圖，在RtZ\/6C中，/ACB=90°,/C=6,BC=8,A8=10,AD平分NCAB交BC

于點(diǎn)。，點(diǎn)￡、尸分別是AD、/C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+Eb的最小值為.

13.如圖，在AABC中，/N3C和//C3的平分線相交于點(diǎn)O,過。點(diǎn)作斯〃3C交48于

點(diǎn)、E,交4c于點(diǎn)、F,過點(diǎn)。作ODL/C于。，下列四個(gè)結(jié)論：?EF=BE+CF；

@ZBOC=90°--ZA；③點(diǎn)。到AABC各邊的距離相等；④設(shè)機(jī)，AE+AF=n,則

2

SMEF=；M其中正確的結(jié)論有（填寫序號(hào)）.

14.如圖，平行四邊形48co中，4B=5,BC=3,//OC與NBCD的平分線分別交48

于RE,則EF=

15.如圖，^AOD=ABOC,ZCOD=40°,4D與8C相交于點(diǎn)￡,與8C相交于點(diǎn)尸,

則ZDEC的度數(shù)為.

三、解答題

16.如圖，在V/8C中，垂直平分/C,分別交邊于點(diǎn)D,點(diǎn)E,CE平分NACB.

（1）若4B=9,8C=5,求ABCE的周長；

⑵設(shè)N4=a,NB=。,試用含e的式子表示￡,再求當(dāng)c=28。，￡的值.

4

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-§x+4與無軸、V軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)、B,

點(diǎn)。（0,-6）在了軸的負(fù)半軸上，若將AZ）48沿直線折疊，點(diǎn)8恰好落在x軸正半軸上的

點(diǎn)C處，直線CZ）交于點(diǎn)￡.

⑴直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

⑵求V/DE的面積.

18.已知：如圖，。是V/3C的內(nèi)角NN8C和外角/4CE的平分線的交點(diǎn).

(1)若44=48。，求/30C；

(2)若乙4="。,用〃的代數(shù)式表示/8。。的度數(shù).

19.如圖，已知A/CE2ABC。，AC1BC,AE與BD交于點(diǎn)、尸,試探究NE與2。有怎樣

的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

20.如圖，。。是以△/BC的邊/C為直徑的外接圓，ZACB=54°,如圖所示，D為。O

上與點(diǎn)3關(guān)于/C的對(duì)稱點(diǎn)，尸為劣弧8C上的一點(diǎn)，DF交AC于N點(diǎn)，BD交AC于M點(diǎn).

(1)求/D3C的度數(shù);

⑵若歹為弧5C的中點(diǎn)，求M券N.

《第1章三角形的初步認(rèn)識(shí)單元測(cè)試》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DDDADDBADC

1.D

【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊進(jìn)行逐一判斷

即可

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知

A^4+6=10,不能組成三角形，故A錯(cuò)誤；

B、3+5<9,不能組成三角形；故B錯(cuò)誤；

C、1+6<8,不能組成三角形；故C錯(cuò)誤；

D、5+7>9,能夠組成三角形，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，熟知構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、中垂線定義以及三角形的角平分線、中線和高線，正確掌

握相關(guān)定義，即可解題.

【詳解】解：??.根據(jù)折疊的性質(zhì)得，

:.AADB=AADB',ABAD=AB'ADACAD,BD=DB'^DC,

,/O不是V48c的角平分線，不是中垂線和V48c的中線.

:ZADB+ZADB'=180°,

NADB=ZADB'=90°,

AD1BC,

4D是V/BC的高線.

故答案為：D.

3.D

【分析】根據(jù)作圖可得兒W是3C的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得

然后可得4D+CD=10,進(jìn)而可得△/CD的周長.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得是的垂直平分線，

,：MN是BC的垂直平分線，

：.CD=DB,

"：AB=\Q,

：.CD+AD=W,

：.AACD的周長=CO+/D+/C=4+10=14,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意

一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

4.A

【分析】根據(jù)此，立于點(diǎn)2，。。，力尸于點(diǎn)。，且。。=08可得出/。平分/8/。，根

據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】：龍），立于點(diǎn)2,。。，/尸于點(diǎn)。，S.DC=DB,

：.AD平分NBAC,

?：ZBAC=40°,

/.ZCAD=-ABAC=-x40°=20°,

22

：//DG=110。，

NDGF=ZCAD+NADG=20°+110°=130°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定以及三角形外角的性質(zhì)，熟知角平分線上的任意一點(diǎn)到

角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】作E尸，N8垂足為凡連接CF,由AEBF=ADBC,推出點(diǎn)￡在48的垂直平分線

上，在點(diǎn)。從點(diǎn)/移動(dòng)至點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)E移動(dòng)的路線和點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路線相等，由此即

可解決問題.

【詳解】解：如圖，作EF_L4B垂足為尸，連接C尸.

VZACB=90°,4=30°,

ZABC=60°,

***\EBD是等邊二角形，

:?BE=BD,ZEBD=60°,

???ZEBD=ZABC,

???ZEBF=/DBC,

ZEFB=ZBCD=90°

在/和AZMC中，＜ZEBF=ZDBC,

EB=BD

：.NEBF=NDBC,

：.BF=BC,EF=CD,

=60°,

???幼方。是等邊三角形，

：.CF=BF=BC,

BC^-AB,

2

BF=-AB,

2

：.AF=FB,

...點(diǎn)￡在/B的垂直平分線上，

...在點(diǎn)D從點(diǎn)A移動(dòng)至點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)E移動(dòng)的路徑長和點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長相等，

AC=

...在點(diǎn)D從點(diǎn)A移動(dòng)至點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)E移動(dòng)的路徑長為百.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查軌跡、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，正確找到點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)路線.

6.D

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出4E=AF=4,AB=AC,

然后結(jié)合已知，根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】解：?.?八4￡5之△//C,AF=4f

/.AE=AF=4,AB=AC,

???EC=6,

AB=AC=AE+EC=10,

故選：D.

7.B

【分析】本題考查了命題，根據(jù)垂線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、三角形外角性質(zhì)、平行公理

和三角形全等的判定方法逐一判斷即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，該命題是真

命題，符合題意；

（2）從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離，原命題是假

命題，不合題意；

（3）三角形的任何一個(gè)內(nèi)角小于與它不相鄰的外角，該命題是真命題，符合題意；

（4）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，該命題是真命題，符合題意；

（5）兩條邊相等及其夾角相等的兩個(gè)三角形一定全等，原命題是假命題，不合題意；

.,.真命題有3個(gè)，

故選：B.

8.A

【分析】根據(jù)全等圖形的判定以及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)解決此題.

【詳解】解：A.面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故A符合題意.

B.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，說法正確，故B不符合題意.

C.圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，說法正確，故C不符合題意.

D.如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，說法正確，故D不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等圖形的判定以及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等圖形的

判定以及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】本題考查判斷命題的真假，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，平行線的性質(zhì)，垂直的概念，平

行公理，逐一進(jìn)行判斷即可，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）點(diǎn)到直線的距離是指這點(diǎn)到直線的垂線段的長度，故（1）是假命題；

（2）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；故（2）是假命題；

（3）同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故（3）是假命題；

（4）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故（4）是假命題；

綜上假命題有4個(gè)，

故選：D.

10.C

【分析】根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解.

【詳解】解：由題意可得：//=//CD-/B=120°-35°=85°

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和正確計(jì)算是

解題關(guān)鍵.

11.3或6/6或3

【分析】分兩種情況：①04<4時(shí)，點(diǎn)尸從C到/運(yùn)動(dòng)，貝!]/尸=/C-CP=12-31，BQ=t,

求得7=3,②此4時(shí)，點(diǎn)尸從/到C運(yùn)動(dòng)，則N尸=3"12,BQ=t,求得/=6.

【詳解】解：①04/<4時(shí)，點(diǎn)P從C到/運(yùn)動(dòng)，貝IJ/P=/C-CP=12-3Z，BQ=t,

當(dāng)時(shí)，

則AP=BQ,

即12—3/=/,解得：7=3,

②的4時(shí)，點(diǎn)尸從/到C運(yùn)動(dòng)，則/尸=3t-12,BQ=t,

當(dāng)△40尸0△QE8時(shí)，

則AP=BQ,

即3/12=/,

解得：/=6,

綜上所述：當(dāng)好3秒或6秒時(shí)，AADP絲AQEB.

故答案為：3或6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論，不要漏解.

12.江

5

【分析】此題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，垂

線段最短，三角形的面積公式，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

在上取一點(diǎn)尸，使得/尸=/尸，連接EF,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則

&AEF知AEF',得至4EF=EF,當(dāng)點(diǎn)C,E,尸在同一條直線上且CE，時(shí)，CE+EF'

有最小值，即CE+EF最小，最后用面積法，進(jìn)行解答，即可.

【詳解】解：在48上取一點(diǎn)尸，使得/尸'=4尸，連接EP,

:AD平分/C4B,

：.ZDAC=ZDAB,

1//E是公共邊，

A4E尸均ZE尸(SAS),

EF=EF',

C.CE+EF=CE+EF',

當(dāng)點(diǎn)C,E,尸在同一條直線上且C￡,43時(shí)，CE+EF'有最小值，即CE+E尸最小，其

值為C”,

S,=-xACxBC=-xCHxAB,

"nr22

,c”ACxBC6x824

.,CH=-----------=------=——,

AB105

24

???。石+￡尸最小值為《.

24

故答案為：—.

13.①③④

【分析】由角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形的性質(zhì)等對(duì)結(jié)論進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：在A43C中，和/ZC5的平分線相交于點(diǎn)O,

:.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,ZA+ZABC+ZACB=180°,

22

ZOBC+40cB=9(T--AA,

2

/.ZBOC=180°-(ZOBC+AOCB)=90°-^AA-故②錯(cuò)誤；

在A4BC中，和的平分線相交于點(diǎn)O,

ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

?:EF//BC,

ZOBC=ZEOB,ZOCB=ZFOC,

/.AEOB=NOBE,ZFOC=ZOCF,

;.BE=OE,CF=OF,

:.EF=OE+OF=BE+CF,

故①正確；

過點(diǎn)。作于M,作。N_L5C于N,連接。區(qū),

在A4BC中，。和的平分線相交于點(diǎn)。，

/.ON=0D=OM=m,

.-.SMEF=+SMOF=^AEOM+^AFOD=觸?HE+/FA.故④正確；

在A4BC中，//8C和N/C8的平分線相交于點(diǎn)。，

.?.點(diǎn)。到AABC各邊的距離相等，故③正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)的有關(guān)角平分線的綜合問題，一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，

把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的

距離相等.也就是說，一個(gè)點(diǎn)只要在角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到該角的兩邊的距離相等.

14.1.

【分析】由平行四邊形48CD中，NADC,N3CD的平分線分別交48于點(diǎn)尸、E,易證得

△NDF與是等腰三角形，又由N3=5,BC=3,即可求得答案.

【詳解】解：???四邊形N3CO是平行四邊形，

：.AD//BC,CD=AB=5,AD=BC=3>,

:./AFD=NCDF,ZDCE=ZBEC,

:/ADC,/BCD的平分線分別交于點(diǎn)F、E,

：.ZADF=ZCDF,ZBCE=ZDCE,

：.ZAFD=ZADF,ZBCE=ZBEC,

:.AF=AD=3,BC=BE=3,

：.EF=AF+BE-AB=3+3-5=l.

故答案為1.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).注意證得△4DF與

/XCBE是等腰三角形是關(guān)鍵.

15.40°

【分析】利用三角形全等得到NC=ND,再根據(jù)對(duì)頂角相等//花=/CFO,即可求解.

［詳解］解：AAODMABOC

：.ZC=ND

又；NDFE=NCFO

：.NDEF=180°-ZD-ZDFE=180°-ZCFO-NC=ZCOF=40°

故答案為：40°

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的有關(guān)性質(zhì).

16.(1)14

(2第=180。-3a,96°

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到￡/=￡C,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到

答案；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N￡C4=NN=a,根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定

理計(jì)算即可.

【詳解】(1)垂直平分/C,

：.EA=EC,

：.ABCE的周長=3C+8￡+EC=BC+3￡+￡N=3C+/8=14；

(2)'：EA=EC,

NECA=NA=a,

平分N/CB,

NBCE=NECA=a,

：./3=lS00-3a,

當(dāng)a=28°時(shí)，￡=180°-3x28°=96°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)

端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

17.⑴點(diǎn)/的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)2的坐標(biāo)為(0,4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,0)

⑵SZADE=9

【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)N,B,再利用勾股定理可求得

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得即可得0C的長度，進(jìn)而可得C點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得NB=NC,/BDA=/ADC,進(jìn)而可得可證得

AAOD^^AED,故所求△ADE的面積即為求?的面積，即可得解.

4

【詳解】（1）解：由題意，直線＞=-§x+4與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,

令x=0,得V=4,

???點(diǎn)3的坐標(biāo)為（0,4）,

令＞=0,得x=3,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,

/.OB=4,OA-3,

/.AB=-\/42+32=5，

???將△D45沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處，

即/C=/B=5,

OC=5+3=8,

「?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（8,0）.

（2）解：由翻折的性質(zhì)可得，/B=/C,NBDA=ZADC,

?//BAO=/CAE,

:.ZAOB=ZAEC=90。,

ZAOD=ZAED,

???AD=AD,

.?.△AOD也“￡0（448）,

???點(diǎn)。（0,—6）,

/.OD=6,

./曲=S"W）=gx3x6=9?

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理，翻折的性質(zhì)以及全等三角形的判定與

性質(zhì).

18.(1)24°；(2)

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得/45C=2NC8。，ZACE=2ZECO,根據(jù)三角形的

一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得//CE=//+N/2C，^ECO=ZBOC+

ZCBO,然后整理即可得到N4=2NBOC,再求解即可；

(2)與(1)的求解方法相同.

【詳解】解：(1)是△MC的內(nèi)角/N5C和外角N/CE的平分線的交點(diǎn)，

:.NABC=2/CB0,ZACE=2ZECO,

由三角形的外角性質(zhì)得，ZACE=ZA+ZABC,ZECO=ZBOC+ZCBO,

：.ZA+ZABC=2(ZBOC+ZCBO),

：,然后整理即可得到ZA=2ZBOC,

'：乙4=48。，

ZBOC=24°；

(2)):?。是△/BC的內(nèi)角/4BC和外角//CE的平分線的交點(diǎn)，

：.NABC=2/CB0,NACE=2NEC0,

由三角形的外角性質(zhì)得，ZACE=ZA+ZABC,ZECO=ZBOC+ZCBO,

：.