難點04動態(tài)平衡問題平衡中的臨界、極值問題

■題型突破

一、動態(tài)平衡問題

i.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).

2.做題流程

受力分析化''動"為靜＞畫不同狀態(tài)平衡圖構造矢量三角形“靜”中求動,

’定逆”根據(jù)矢量三角形邊長關系確定矢量的大小變化

J=、［三角函數(shù)關系

定量計皋正弦定理找關系求極值

、〔相似三角形

3.三力平衡、合力與分力關系

如圖，F(xiàn)l、巳、/3共點平衡，三力的合力為零，則B、尸2的合力歹3,與己等大反向，尸1、尸2、/3,構成矢量

三角形，即為"、色的合力，也可以將人、尸2、尸3直接構成封閉三角形.

動態(tài)分析常用方法：

1.解析法：對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程，得到因變量與自變

量的函數(shù)表達式（通常為三角函數(shù)關系），最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.

2.圖解法：此法常用于求解三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況.

（一）“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題

一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形，比

較力的大小變化，利用三角函數(shù)關系確定三力的定量關系.

基本矢量圖，如圖所示

【例1】（多選）如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A,A的左端緊靠豎

直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球8,已知A的圓半徑為球8的半徑的3倍，球8所受的重力為G,整

個裝置處于靜止狀態(tài).設墻壁對8的支持力為H，A對8的支持力為B，若把A向右移動少許后，它們?nèi)?/p>

處于靜止狀態(tài)，則西、B的變化情況分別是（）

A.品減小B.Fi增大

C.已增大D.6減小

2.一力恒定（如重力），另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小

的變化，恒力之外的兩力垂直時，有極值出現(xiàn).

基本矢量圖，如圖所示

作與品等大反向的力尸1'，B、B合力等于B'，尸2、尸3、為'構成矢量三角形.

【例2】（多選）如圖所示，在傾角為a的斜面上，放一質量為機的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當

擋板繞。點逆時針緩慢地轉向水平位置的過程中（）

A.斜面對球的支持力逐漸增大

B.斜面對球的支持力逐漸減小

C.擋板對小球的彈力先減小后增大

D.擋板對小球的彈力先增大后減小

（二）“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題

1.一力恒定（如重力），其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力

構成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實際幾何三角形相似，則對應邊相比相等.

基本矢量圖，如圖所示

基本關系式：轡=今=牛

t1KL

【例3】如圖所示為一簡易起重裝置，（不計一切阻力）AC是上端帶有滑輪的固定支架，5c為質量不計的輕

桿，桿的一端C用錢鏈固定在支架上，另一端8懸掛一個質量為機的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在

卷揚機上.開始時，桿BC與AC的夾角/8C4>90。，現(xiàn)使緩慢變小，直到NBCA=30。.在此過程中，

桿BC所產(chǎn)生的彈力（）

A.大小不變B.逐漸增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

2.一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不

變，結合正弦定理列式求解，也可以作出動態(tài)圓，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化.

基本矢量圖，如圖所示

【例4】（多選）如圖，柔軟輕繩ON的一端0固定，其中間某點加拴一重物，用手拉住繩的另一端N.初始

時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為

a（a>今.現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角a不變.在由豎直被拉到水平的過程中（）

1。

a

M

、N

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.上的張力逐漸增大

D.0M上的張力先增大后減小

(三)“活結”的動態(tài)分析

如圖所示，“活結”兩端繩子拉力相等，因結點所受水平分力相等，F(xiàn)sinft=Fsinft,故a=。2=仇，根據(jù)幾

何關系可知，sinO=/-=g,若兩桿間距離d不變，則上下移動懸線結點，。不變，若兩桿距離d減小，

LI~TL2L

則9減小，2Frcos6=/?jg,FT=2黑石也減小.

【例5】如圖所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不可伸長的輕繩通過輕質光滑滑輪懸掛一重

物G現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近(C點與A點等高).則

在此過程中繩中拉力大小()

A.先變大后不變B.先變大后變小

C.先變小后不變D.先變小后變大

二、平衡中的臨界、極值問題

1.臨界問題

當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”,

在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類：

(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.

(2)繩子恰好繃緊，拉力尸=0.

(3)剛好離開接觸面，支持力FN=0.

2.極值問題

平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.

3.解題方法

（1）極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變

化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小.

（2）數(shù)學分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關系（或畫出函數(shù)圖像），用

數(shù)學方法求極值（如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值）.

（3）物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則

進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值.

【例6】如圖所示，光滑球體B放在粗糙水平地面上，半球體A與球B恰好相切，B球右側有光滑的豎直

墻壁，兩球半徑相等，現(xiàn)用水平向右的推力尸推半球體A,使其緩慢移動，直到球體B恰好運動到半球體

A的頂端，在推動過程中，下面說法正確的是（）

A.推力廠不斷增大

B.地面對A球的摩擦力不變

C.B球對A球的彈力不變

D.豎直墻壁對B的彈力不斷增大

【例7】如圖所示，質量為相的小球用細線拴住放在光滑斜面上，斜面足夠長，傾角為a的斜面體置于光

滑水平面上，用水平力尸推斜面體使斜面體緩慢地向左移動，小球沿斜面緩慢升高。當線拉力最小時，推

力F等于（）

\\\\\\\\\\\\\\\

A.mgsinaB.—mgsina

C.mgsin2?D.—mgsir\2a

【例8】某同學在家衛(wèi)生大掃除中用拖把拖地，沿推桿方向對拖把施加推力如圖所示，此時推力與水平

方向的夾角為且拖把剛好做勻速直線運動，則（）

A.拖把所受地面的摩擦力為bsin。

B.地面對拖把的作用力方向與水平向左的夾角大于e

c.從某時刻開始保持力尸的大小不變，減小尸與水平方向的夾角。，地面對拖把的支持力及變大

D.同學對推桿的作用力與推桿對拖把的作用力是一對作用力與反作用力

/即時訓練

一、單選題

1.（2022?浙江?麗水第二高級中學高三階段練習）某研究小組利用所學物理知識，研究籃球鞋的防滑性能。

同學將球鞋置于斜面上，逐漸增大斜面與水平面之間夾角，當夾角等于37。時，籃球鞋恰好開始滑動，設籃

球鞋滑動摩擦力等于其最大靜摩擦力，下列說法正確的是（）

A.需測量籃球鞋質量后，才能求得籃球鞋與斜面間動摩擦因數(shù)

B.鞋子與斜面間動摩擦因數(shù)為0.6

C.人穿上鞋子踩在相同材料板上時，壓力增大，動摩擦因數(shù)也會變大

D.籃球鞋開始滑動前，摩擦力隨夾角增大而變大

2.（2022?重慶巴蜀中學高三階段練習）某同學探究細線能承受的最大拉力。如圖所示，他將質量為2kg的

物體用輕質光滑掛鉤掛在細線上，用雙手捏取細線兩端并靠近水平刻度尺，沿刻度尺緩慢增大細線兩端的

距離，當細線兩端位于圖示位置時/c=120。，細線恰好被拉斷。則細線能承受的最大拉力約為（）（g

取lOm/s?）

0cm123456

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

a

A.IONB.16NC.20ND.24N

3.（2022?山西呂梁?三模）如圖所示，四根等長的細繩一端分別系于水桶上關于桶面圓心對稱的兩點，另一

端被兩人用同樣大小的力耳、工提起，使桶在空中處于靜止狀態(tài)，其中匕、后與細繩之間的夾角均為巴

A.保持。角不變，逐漸緩慢增大a角，則桶所受合力逐漸增大

B.保持。角不變，逐漸緩慢增大a角，則細繩上的拉力逐漸增大

C.若僅使細繩長變長，則細繩上的拉力變大

D.若僅使細繩長變長，則可變大

4.（2022.上海嘉定.二模）如圖所示，一根粗糙的水平橫桿上套有A、B兩個輕環(huán)，系在兩環(huán)上的等長細繩

將書本靜止懸掛，現(xiàn)將兩環(huán)距離變大后書本仍處于靜止狀態(tài)，若桿對A環(huán)的支持力為歐，桿對A環(huán)的摩擦

力為6，則（）

A.Ev減小，6不變B.—減小，6增大

c.不變，6不變D.FN不變,6增大

5.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學模擬預測）如圖所示，木塊。、b和沙桶c通過不可伸長的輕質細繩和輕質

光滑滑輪連接，處于靜止狀態(tài)。其中A3細繩的8端與滑輪的轉軸連接，A端固定于天花板上?，F(xiàn)向沙桶c內(nèi)

加入少量沙子后，系統(tǒng)再次處于平衡狀態(tài)。下列關于各物理量變化的說法，正確的是（）

A.斜面對木塊。的摩擦力增大

B.細繩對沙桶c的拉力不變

C.地面對斜面體的支持力增大

D.AB繩與豎直方向的夾角增大

6.（2021?江蘇鹽城?高三期中）如圖所示，甲、乙兩個小球，通過細線懸掛在天花板上的。點，質量分別為

m2,兩個小球在弧形輕質細桿支撐下恰好位于同一水平線上，細線與豎直方向成53。和37。，則相/：相2

為（）

C.3：4D.4：3

7.（2022?重慶.西南大學附中高三階段練習）如圖a所示，工人用推車運送石球，到達目的地后，緩慢抬起

把手將石球倒出（圖b）.若石球與板。3、Q4之間的摩擦不計，ZAOB=60°,圖a中3。與水平面的夾角

為30。，則在抬起把手使變得水平的過程中，石球對板的壓力M、對。4板的壓力快的大小變化情

況是（）

A.M變小、N?先變大后變小B.N］變小、N?變大

c.M變大、M變小D.M變大、M先變小后變大

8.（2022?湖南?常德市一中模擬預測）如圖所示，半圓形框架豎直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P

在水平外力廠的作用下處于靜止狀態(tài)，P與圓心。的連線與水平面的夾角為仇將力尸在豎直面內(nèi)沿順時

針方向緩慢地轉過90。，框架與小球始終保持靜止狀態(tài).在此過程中下列說法正確的是（）

A.地面對框架的摩擦力始終為零

B.框架對小球的支持力先減小后增大

C.拉力廠的最小值為根geos。

D.框架對地面的壓力先增大后減小

9.（2022?全國?高三課時練習）如圖所示，兩根完全相同的勁度系數(shù)為20N/cm的輕質彈簧上端分別固定在

水平天花板上，下端與一輕質小圓環(huán)相連?；?兩根不可伸長的輕質細繩均系在圓環(huán)上。現(xiàn)手持細繩服b

的另一端，使。繩水平，b繩與。繩成120。夾角。兩彈簧形變量均為2cm,且夾角為60。?，F(xiàn)保持a、b繩

夾角不變，逆時針緩慢轉動70°,在轉動過程中圓環(huán)靜止不動且彈簧與細繩始終在同一豎直平面內(nèi)。則在服

6繩轉動的過程中（）

A.。繩上的作用力先增大后減小

B.6繩上的作用力先減小后增大

C.a繩上作用力的最大值為806N

D.方繩上作用力的最小值為40N

二、多選題

10.（2020?寧夏?銀川一中高三階段練習）如圖，在固定斜面上的一物塊受到一外力尸的作用，尸平行于斜

面向上。若要物塊在斜面上保持靜止，斤的取值應有一定的范圍，已知其最大值和最小值分別為k和F?

和F2的方向均沿斜面向上）。斜面的傾角為0,由此可求出物塊與斜面間的最大靜摩擦力衣和物體的質量m

為（）

A.

2gsin0

C.

n.（2020?湖南?長郡中學高三開學考試）如圖所示，一根不可伸長的長為乙的輕繩兩端分別固定在間距為d

的兩豎直桿的P點和。點上，晾衣架上掛著濕衣服，衣架上的鉤掛在輕繩上可來回自由滑動。若忽略衣架

掛鉤與輕繩間的摩擦，則下列說法正確的是（）

A.在濕衣服上的水滴下落過程中，輕繩中的張力不斷減小

B.衣服不滴水時，將P點稍向上移動，則輕繩中的張力增大

C.衣服不滴水時，將左側豎直桿稍向左移動，則輕繩中的張力減小

D.衣服不滴水時，刮起了向左的風，若風力大小恒定，此時再將尸點稍向上移動，輕繩中的張力將增大

12.（2021?全國?高三專題練習）如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有半徑為R的半圓軌道，其兩端點M、N連

線水平。將一輕質小環(huán)A套在軌道上，一細線穿過輕環(huán)，一端系在M點，另一端系一質量為機的小球，小

球恰好靜止在圖示位置。不計一切摩擦，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.細線對M點的拉力大小為且

2

B.軌道對輕環(huán)的支持力大小為

C.細線對輕環(huán)的作用力大小為機g

D.圖示位置時K4=/R

13.（2022?海南?昌江黎族自治縣礦區(qū)中學模擬預測）如圖所示，一根粗糙的水平橫桿上套有A、B兩個輕環(huán),

系在兩環(huán)上的等長細繩拴住的書本處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)將兩環(huán)距離變小后書本仍處于靜止狀態(tài)，則（）

A.桿對A環(huán)的支持力不變B.B環(huán)對桿的摩擦力變小

C.桿對A環(huán)的力不變D.與8環(huán)相連的細繩對書本的拉力變大

14.（2022?廣西柳州?模擬預測）如圖，帶有光滑豎直桿的斜面固定在水平地面上，放置于斜面上的光滑小

球與套在豎直桿上的小滑塊用輕繩連接，開始時輕繩與斜而平行，現(xiàn)給小滑塊施加一豎直向上的拉力，使

小滑塊沿桿緩慢上升，小球始終未脫離斜面，在此過程中（）

A.輕繩對小球的拉力逐漸增大

B.斜面對小球的支持力先增大后減小

C.豎直桿對小滑塊的彈力先增大后減小

D.對小滑塊施加的豎直向上的拉力逐漸增大

三、解答題

15.（2021?全國?高三專題練習）質量為M的木楔傾角為仇在水平面上保持靜止，當將一質量為根的木塊

放在木楔斜面上時，它正好勻速下滑。如果用與木楔斜面成a角的力尸拉著木塊勻速上升，如圖所示（已

知木楔在整個過程中始終靜止，重力加速度為g）。

（1）當a變化時，求拉力尸的最小值；

（2）尸取最小值時，求木楔對水平面的摩擦力是多少。

16.（2021?福建省長汀縣第一中學高三階段練習）如圖所示，在一傾角為30。固定斜面上放一個質量為沖=2kg

的小物塊A,一輕繩跨過兩個輕滑輪一端固定于天花板上，一端連接在物塊上，且物塊上端輕繩與斜面平

行，動滑輪下方懸掛質量為機2=當@kg的重物B,整個裝置處于靜止狀態(tài)。已知跨過動滑輪的輕繩夾角為

2

60°,物塊與斜面的動摩擦因數(shù)〃=走，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10m/s2。求：

6

（1）斜面上物塊所受的靜摩擦力大??？

（2）若要使斜面上的物塊不滑動，動滑輪下懸掛重物的質量應該滿足什么條件？

60°

10°

17.（2022?全國?高三專題練習）質量為M的木楔傾角為6（6<45。），在水平面上保持靜止，當將一質量為加

的木塊放在木楔斜面上時，它正好勻速下滑。當用與木楔斜面成a角的力尸拉木塊，木塊勻速上升，如圖

所示（已知木楔在整個過程中始終靜止）。

（1）當a=0時，拉力E有最小值，求此最小值；

（2）求在（1）的情況下木楔對水平面的摩擦力是多少。

18.（2021.天津河西.高三期中）圖甲中滑索巧妙地利用了景區(qū)的自然落差，為滑行提供了原動力。游客借

助繩套保護，在高空領略祖國大好河山的壯美。其裝置簡化如圖乙所示，傾角為30°的軌道上套一個質量為

機的滑輪P,質量為3加的繩套和滑輪之間用不可伸長的輕繩相連。某次