【02-暑假預(yù)習(xí)】第07講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)含答案

2025年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講練(人教A版)第07講等式

性質(zhì)與不等式性質(zhì)

州內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

下:；"不:"由法教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

3大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

3析教材學(xué)知識(shí)

㈤知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系

(1)3>儀=>石一6>0；

(2)a=b=a—b=G；

(3)水儀=>a—Z?<0.

(￡)知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：

(2)傳遞性:a>b,b>c=a>c；

(3)可加性：a>kx^a,-\~c>b+c；a>b,c>d=^a-\~c>b~\-d；

(4)可乘性：a>b,c>0=>ac>6c；a>b,c<0=>ac<，c；a>6>0,c>ac>bd\

(5)可乘方：a>6>0=>a'N6"(〃￡N,〃21)；

(6)可開方：a>b'>0=>y[g>y/b(z?￡N,〃22).

?知識(shí)點(diǎn)3比較大小

1.作差：作差比較，根據(jù)a—b〉0Oa>b,欲證a>b只需證a—b>0；

2.作商：作商比較，當(dāng)b>0時(shí)，a>b<?—>lo

b

3.找中介“1”或“0”

解題方法

(1)設(shè)A地到5地的路程為sm,

因?yàn)榧子幸话氲臅r(shí)間以mm/s的速度行走，

另一半的時(shí)間以的速度行走，

112s

所以+=s,所以％=----,

22m+n

教材習(xí)題01

因?yàn)橐矣幸话氲穆烦桃詍m/s的速度行走，

甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)沿同一路線走到B地，

另一半的路程以〃m/s的速度行走，

所用時(shí)間分別為4s,f2s.甲有一半的時(shí)間以相

m/s的速度行走，另一半的時(shí)間以“m/s的速度行所以/=/S?55=5(]?])二5(.十九)，

mn2mn2mn

走；乙有一半的路程以mm/s的速度行走，另一半

(2)

的路程以"m/s的速度行走，且力2力〃.

_2ss(根+九)」卜加〃-(機(jī)+Ai)2

(1)請(qǐng)用含機(jī)，”的代數(shù)式表示甲、乙兩人所用的時(shí)

m+n2mn2mn(m+n)

間6和％;

12

(2)比較4與質(zhì)的大小，并判斷甲、乙兩人誰先到達(dá)s(ni+2mn+n-4mnjs^m-n^

2mn^m+n)2mn^m+n),

8地.

因?yàn)榧铀?m-〃y>0,因?yàn)?/p>

s>0,mn>0,m+n>0,

所以.普工<。，

2mn^m+nj

所以6<G，所以甲先到達(dá)8地.

【答案】(1乂=工；

m+n2mn

(2乂＜方2，甲先到達(dá)5地.

教材習(xí)題02

解題方法

判斷下列命題的真假，并說明理由：

(1)若當(dāng)。=0時(shí)，則

⑴若,貝！Jac2>bc2;

ac2=be2=0;故為假命題，

若22則；

(2)ac>bc9a(2)由于Q，＞bc2,故02工0,則

(3)若a>b,c>d,貝ljac>仇Z；

C2＞0,進(jìn)而可得。＞萬；故為真命

(4)若a>b,則一<丁.題，

ab

(3)若。=2,b=l,

c=—2,d=—3,則

ac=—4,bd=—3,

此時(shí)滿足但是無法得

到故為假命題

(4)若,不妨取。=1力=0,

則:無意義，故無法得到，<),

bab

故為假命題

【答案】(1)假命題

(2)真命題

⑶假命題

(4)假命題

解題方法

12_行1+1)12+0%+])―卜2_兀+])(%2+%+])

教材習(xí)題03

="+1)2-2X2]-[(X2+1)2—f]一40,

試比較卜2—y/2x++V^x+1)與

(V_%+l)(x2+%+])的大小.所以

_y[^X+1)+1)W-X+1乂兀2+X+1)

【答案】12一④冗+*/+0%+1)＜卜2一%+1)(%2+%+])

冬考

考點(diǎn)一用不等式表示不等關(guān)系

1.某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資30。萬；方案B為第一年投

資80萬，以后每年投資20萬.下列不等式表示“經(jīng)過〃年之后，方案2的投入不少于方案A的投入”的是

()

A.80+20/1>300B.80+20/1<300

C.80+20(n-l)<300D.80+20(n-l)>300

2.下列不等式中可以用來表示“。的2倍比。的平方的相反數(shù)小”的是()

A.2a<a2B.2a>-a2

C.ci<—2a~D.2a<—ct~

3.如圖，直角VABC中，ABAC=9Q°,AB=3,AC=4,E在斜邊BC上，H在VABC（包括邊界）

內(nèi)，下在線段AB上，D,G在線段AC上.四邊形和四邊形DGH拉是矩形，AF=2DM=2a,

AD=DG=b.

（1）試找出。與6之間的不等量關(guān)系式；

（2）求矩形ADEF和矩形DGHM面積之和的最大值.

4.用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m,要求菜園的面積不小于llOn?,設(shè)

靠墻的一邊長為加.試用不等式表示其中的不等關(guān)系.

考點(diǎn)二作商法、作差法比較大小

（多選題）1.已知a>%>O>c,則下列結(jié)論正確的是（）

b-cb

A.ac>bcB.----->—

a-ca

C.a1+bc>ac+abD.ac>bc

（多選題）2.設(shè)P=?Q=近一6R=巫一血,則P,Q,R的大小關(guān)系是（）

A.P>RB.R>QC.P<RD.R<Q

（多選題）3.若那么下列不等式一定成立的是（）

.Z?+1bcabi—―1.1

A.-->—B.—<—C.a>y/ab>bD.a-\■—>b-\—

。+1ababa

4.已知a>b>0,貝ljaabb與abba的大小關(guān)系為.

5.設(shè)°=4，b=3-6貝心b(填入“〉”或

考點(diǎn)三利用不等式性質(zhì)比較大小

1.若a>b>c,Q+2Z?+3C=0,則()

A.ab>acB.ac>bcC.ab>bcD.>c網(wǎng)

2.已知x,y是實(shí)數(shù)，則“2>1"是"x<”’是的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

（多選題）3.下列說法正確的是（）

ab

A.右〃，Z?GR,且。>一/?>0,貝Ij/〉/B.右a>b,c>d,貝!j—>二

ca

C.若a,Z?GR,且a>b,則!D.若。，beR,且Z?<a<0,則一^-<^-

aba+bab

4.設(shè)a>0,6>0,M=田N='+',則知與N的大小關(guān)系是______.

a+b+2a+2b+2

5.已知，>Z?>c,且a+b+c=O.

⑴求證:~a^c>~b^'

（2）求證：一2<￡<0.

a

考點(diǎn)四由等式性質(zhì)證明不等式

1.已知P：x+y>2,xy>l-q-X>1,y>l,貝是。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.就不充分又不必要條件

（多選題）2.若。>慟/0,c>0,則（）

_cc-1,1

A.a2>b2B.ac>be<C.一<一D.QH—>Z?H---

abba

3.已知實(shí)數(shù)"，b滿足-Lvavl,-\<b<\.

（1）求a+b和次?的取值范圍;

(2)證明：l+">a+b.

4.(1)已知一U+y<4,2Kx—y<3,求x+2y的取值范圍;

ee

(2)^a>b>O,c<d<0,e<0,求證:--------7>--------7.

(。一。)2(b—d)2

5.已知d<c<—2.

⑴求證：(a—1)9—l)(c+2)(d+2)>。；

(2)求證：ac-\-bd>bc+ad.

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

不等式的概念

不等關(guān)系與不等式文字語言與言互化

用不等式組表示不等關(guān)系

等式的性質(zhì)對(duì)稱性、傳遞性、可加可減性、可乘性、可除性

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)對(duì)稱性、傳遞性、可加性、可乘性

不等式的性質(zhì)同向可加性、正數(shù)同向可近正數(shù)乘方性

作差、作商法

比較大小的方法二

'\,平方法

一：知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1.實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系

2.不等式的性質(zhì)

3.比較大小

1.設(shè)mb為實(shí)數(shù)，貝廣。＞6＞0”的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.y/a—1>-Jb—1B.a1>b2C.丁>—D.a-b>b—a

ba

2.已知Ovavl,則（）

11I2i2

A.a2>—>Q>—ciB.a>a2>—>—aC.—>a>a>—aD.—>a>ci>—ci

aaaa

n—h（1—h

3.已知“，beR,貝『'a+》＞0”是“一2一”的（）

b'a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

4.有下列四個(gè)命題：①若a＞b＞0,貝②若。＜匕＜0,貝!J4~a>J-b；③若a>O>b,貝!J

④若。＞6,則優(yōu)＞6"5eN,〃N2）.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.a>b=a2>Ba>b=>a3>b3C.|tz|>b^a2>b2D.a>b^>ac1>be2

6.設(shè)a,b￡R,若-IvbvavO,則下列不等式中不亞建的是()

A.a2cb之C.ab<b2D.a+Z?>—1

（多選題）7.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國

數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“〉”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深

遠(yuǎn).若a/,ceR,則下列命題正確的是（）

A.若abwO且a<b,貝!J——B.若0<"1,貝巾

若貝絲，

C.a>6>0,ID.若且aevO,貝!

a+1a

（多選題）8.已知CGR,則下列說法正確的是（

B.ac1>be1D.a+c>b+c

（多選題）9.下列不等式，其中恒成立的有（

A./+3>2a(a￡R)x2+y2>xy

C./+/>2(a—b—1)8&孫<4x2+8y

x

10.若實(shí)數(shù)％,y滿足1<1<6,2<><3,則］的取值范圍是；若實(shí)數(shù)％,y滿足

-l<x+y<4,2<x-y<3,貝!J3x+2y的取值范圍是.

11.已知a,b￡R,若2vav3,—2v〃v—l,則〃一3Z?的取值范圍是；若一1<〃+匕<3,且

2<a-b<4,則2a+3b的取值范圍是.

12.已知實(shí)數(shù)〃，b滿足—?jiǎng)t的取值范圍為.

13.如果30Vx<42,16<y<24,則2%—y的取值范圍是.

14.比較大小：2+^/6（填“v”或“>”）2石.

15.（1）已知a>Z?>O,c<d<0,e<0,求證：e>---；

a—cb—d

(2)iiE明：1a-2<y/ci—1-y]ci—3(a23).

16.若"市試比較xf與凸+4的大小.第07講等式性質(zhì)

與不等式性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

:析；T::書,教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

,教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

3大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升；小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

而知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系

(1)劉〉^^a一6>0；

(2)a=b=0；

(3)永慶^a—6<0.

?知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性:a>tx^>b<.a^

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c：

(3)可加性：a>b<=>a+c>b+c；a>b,c>d=>a~\~c'>b~\~d\

(4)可乘性：a>b,c>0=?ac>6c；a>b,c<O=>ac<Z?c；a>6〉0,c'>d>2nac>bd：

(5)可乘方：b>Q=>a>bn〃21)；

(6)可開方：a>6>0=>>y/b(T?￡N,刀22).

向知識(shí)點(diǎn)3比較大小

1.作差：作差比較，根據(jù)a—b>0Oa>b,欲證a>b只需證a—b>0；

2.作商：作商比較，當(dāng)b〉0時(shí)，a>b^->l?

b

3.找中介“1”或“0”

@@練習(xí)題講典例

教材習(xí)題01解題方法

甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)沿同一路線走到2地，(1)設(shè)A地到5地的路程為sm,

所用時(shí)間分別為4s,Z2S.甲有一半的時(shí)間以相因?yàn)榧子幸话氲臅r(shí)間以加m/s的速度行走，

m/s的速度行走，另一半的時(shí)間以“m/s的速度行另一半的時(shí)間以〃m/s的速度行走，

走；乙有一半的路程以相m/s的速度行走，另一半112s

所以一,X機(jī)+-：x〃=s,所以.=----,

22m+n

的路程以nm/s的速度行走，且加W〃.

因?yàn)橐矣幸话氲穆烦桃詍m/s的速度行走，

(1)請(qǐng)用含根，w的代數(shù)式表示甲、乙兩人所用的時(shí)

另一半的路程以〃m/s的速度行走，

間乙和G;

J.1

(2)比較％與芍的大小，并判斷甲、乙兩人誰先到達(dá)所以/=5$?.s=sj?])=s(一+.),

mn2mn2mn

8地.

(2)

+.2ss{m+n)_s\^mn-[m+nt

m+n2mn2mn^m+n)

s(m1+2mn+n2-4mnjs[m-n^

2mn(m+n)2mn^m+n)?

因?yàn)閙W”,所以(m-w)2>0,因?yàn)?/p>

s>O,mn>O,m+n>0,

所以

2mn^m+nj

所以乙〈L，所以甲先到達(dá)B地.

,小自、一、2ss(m+n)

【答案】(1"|=——；f2=T~--

m+n2mn

(2)…2,甲先到達(dá)5地.

解題方法

(1)若a>b,當(dāng)c=0時(shí)，貝lj

ac2=be2=0;故為假命題，

(2)由于ac?》歷2,故02。0,則

教材習(xí)題02

?>0,進(jìn)而可得，>〃；故為真命

判斷下列命題的真假，并說明理由：

題，

⑴若,貝！Jac2>bc2;

(3)若〃=2/=1,

22

(2)若ac>bc9則a；

c=—2,d=—3,則

(3)若a>〃，c>d,貝！Jac>仇/；

ac=—4,bd=—3,

(4)若a>。，則_<^.

ab此時(shí)滿足a>b,c>d,但是無法得

到ac>bd,故為假命題

(4)若不妨取a=l,8=0,

則?無意義，故無法得到，<?，

bab

故為假命題

【答案】（1）假命題

（2）真命題

⑶假命題

（4）假命題

解題方法

(12—yfZx+1)+y/2,X+1)-—%+]乂%2+]+])

教材習(xí)題03

=[任+1)2-2X2]-[(X2+1)2-X2]=-X2<0,

試比較卜2—+1）（/與

（爐—%++X+］）的大小.所以

—yf2,X+1)+1)V—x+]乂%2+%+])

【答案】—^/2x+lVx2+后X+1)<卜2一%+1)(%2+%+])

考點(diǎn)一用不等式表示不等關(guān)系

1.某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資300萬；方案8為第一年投

資80萬，以后每年投資20萬.下列不等式表示“經(jīng)過〃年之后，方案2的投入不少于方案A的投入”的是

（）

A.80+20〃2300B.80+20M<300

C.80+20（n-l）<300D.80+20（n-l）>300

【答案】D

方法總結(jié)用不等式（組）表示不等關(guān)系的步驟

1.審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語；

2.適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量；

3.用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式（組）.

2.下列不等式中可以用來表示“。的2倍比。的平方的相反數(shù)小”的是（）

A.2a<a2B.2a>-a2

C.a<—24D.2a<—礦

【答案】D

【詳解】因。的2倍為2a,。的平方的相反數(shù)為

則不等式為：2a<-a23.

故選：D.

3.如圖，直角VABC中，ABAC=90°,AB=3,AC=4,E在斜邊BC上，H在VABC(包括邊界)

內(nèi)，尸在線段AB上，D,G在線段AC上.四邊形43EF和四邊形是矩形，AF=2DM=2a,

AD=DG=b.

(1)試找出。與6之間的不等量關(guān)系式；

(2)求矩形ADEF和矩形DGHM面積之和的最大值.

2

【答案】⑴

⑵4

【詳解】(1)的延長線交于P,交A8于2,如圖,

此時(shí)尸?！ˋC,所以絲=吃,

ACAB

因?yàn)锳F=2DM=2a,AD=DG=b,

所以7=T，

而由題意PQ226,所以學(xué)《華=與￡,

443

2

可得Z??2—〃，

3

因?yàn)锳F<AB,所以2a<3,解得0<a<1,即ae(0,1],

所以。與6之間的不等量關(guān)系式為bW2-1a,其中ae(0,|

(2)矩形和矩形DGHM面積之和S=2H+必=3"，

.,,EFFB,,b3-2a,,12—8。

因?yàn)椤闬EFBACAB，故——二——，故:二~，故7人二—~—，

CAAB433

故S=a(12—8a),而故故IVaj

而S=—41a—+；，故當(dāng)a=l時(shí)，Smax=4

4.用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m,要求菜園的面積不小于HOn?,設(shè)

靠墻的一邊長為試用不等式表示其中的不等關(guān)系.

0<x<18

【答案】““5-/11。

【詳解】由于矩形菜園靠墻的一邊長為河，而墻長為18m,

則0V尤W18,菜園的另一條邊長為

可得菜園面積5=?15-]

依題意有屋110,即415-怖2110,

0<x<18

故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為x>.

x\15——>1l1i0n

〔I2)

考點(diǎn)二作商法、作差法比較大小

(多選題)1.已知。>5>0>c,則下列結(jié)論正確的是()

A,門b-cb

A.ac>beB.------->一

a-ca

C.a1+bc>ac+abD.ac>bc

【答案】BC

【詳解】因?yàn)閍>b>O>c,貝UHC<be,A錯(cuò)誤；

bb-cb(a-c]-a(b-c](a-b\c

選項(xiàng)B：因?yàn)閍>Z?>c,所以a-Z?>0,a-c>Q,則-------=----------7-------------=—7-----------7<0,所以

aa-ca^a-c)a^a-c)

bb-c,,?丁6

-<------，故B正確.

aa—c

1

因?yàn)閍?+bc-(<ac+ab)=[a-ab^-(ac-bc)=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)>0f所以6?+bc>ac+ab,

故C正確.

因?yàn)閏<0,所以事函數(shù)y=必在(0,+")單調(diào)遞減，

所以廢<加，D錯(cuò)誤,

故選：BC

（多選題）2.設(shè)P=0Q=曰-瓜R=R-O,則P,Q,R的大小關(guān)系是（）

A.P>RB.R>QC.P<RD.R<Q

【答案】AB

【詳解】因?yàn)镻-R3-(巫-加=2應(yīng)-瓜>Q,所以P>R.

因?yàn)??_。=痛_應(yīng)_(近_我=函+a_(近+回，

X(^+A/3)2=9+2718,(A/7+V2)2=9+2V14,所以述+省>近+0,所以&>Q.

（多選題）3.若。>8>0,那么下列不等式一定成立的是（）

b+\bab

A.----->—B.—<—C.a>yfab>bD.a+—>b-\—

tz+l--ababa

【答案】ACD

■、入5.?十「、t,.Z?+1ba（b+1）-b（a+1）a-b

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍>b>0,所以布一力=-E->o,故A正確;

a(a+1)

對(duì)于B,y>l>->0,故B錯(cuò)誤;

ba

對(duì)于C,a>b>0,二=2^>i,所以因?yàn)?所以>b,所以a〉〉b,

y/aby/bby/b

故C正確;

對(duì)于D,〃+：—b—，=(〃—力(1+4］〉0,故D正確.

ba\ab)

故選：ACD.

4.已知a>b>0,則aabb與abba的大小關(guān)系為.

【答案】aabb>abba

【詳解】

Vl^r^=i--:=(?)ab,又a>b>0,；.a-b>0,/.(g)a~b>1,BP1.又abba>3

"卜h

aabb>abba.

5.設(shè)〃=近，b=3-6貝IJ。b（填入“〉”或"v”）.

【答案】>

a幣"(3+司儀3+@/3

【詳解】即q>1.

~b3-A/3(3-司(3+司66b

又二b>0,

:.a>b.

故答案為：>.

考點(diǎn)三利用不等式性質(zhì)比較大小

1.若6Z+2Z?+3C=0,則（）

A.ab>acB.ac>bcC.ab>beD.6z|&|>c\b\

【答案】A

【詳解】因?yàn)閍>b>c,a+2Z?+3c=0,所以a>0,c<0,所以必>ac,ac<be,故A正確，B錯(cuò)誤;

當(dāng)b=0時(shí)，ab=be,a\b\=c\b\,故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.

2.已知x,y是實(shí)數(shù)，則“2>1"是"<y"是的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】D

【詳解】若丫=之"=-3,滿足？>1,此時(shí)龍〉兀所以上>1不是無<y的充分條件，

XX

反過來，若尤=-Ly=i,滿足x<y,此時(shí)2=所以2>1也不是x<y的必要條件，所以上>1”是

XXX

“x<y”的既不充分也不必要條件.

故選：D

（多選題）3.下列說法正確的是（）

ab

A.右Z?GR,且a>-Z?>0,貝!JQ?〉/B.右a>b,c>d,貝!j—>二

ca

C.若。,Z?GR,且則D.若。，/?eR,且Z?<a<0,貝（J—

aba+bab

【答案】AD

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)4因?yàn)閍>—〃>。，所以。2〉（—勿2,即/>〃，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,取a=—l,

ah

b=-2c=2,d=-\,滿足c>d,但一<-；,故5錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,取a=l,b=-l,滿足

fca

a,feeR,且a>。，但故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)。，因?yàn)閎<a<0,所以a+Z?vO,ab>Q,則

ab

—故。正確.

a+bab

4.設(shè)a>O/>O,M=』2,N='）+±,則M與N的大小關(guān)系是_______.

a+b+2a+2b+2

【答案】M<N

【詳解】因?yàn)椤?gt;0,6>。，所以N=I+工>一J+?『A/.

Q+2b+2〃+Z?+2〃+Z7+2

5.已知〃且a+b+c=O.

⑴求證：---->;

a-cb-c

(2)求證：—2<—<0.

a

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【詳解】(1)解法1因?yàn)椤?gt;b>c且a+b+c=O,所以c<0,且c>0,兩邊取倒數(shù)得

11cC

」一<9一,又c<0,則一>--,從而得證.

a-cb-ca—cb—c

角軍法2因?yàn)?>6>。且，+6+。=0,所以。<0,且。一。>/?一。>0,所以

Cc_c(Z?-c)-c(?-c)c{b-a)、八時(shí)C、c

i-7\~/\一'/r>u,即---->----.

a-cb-cya-c)[b-c)^a-c)[b-c)a-cb-c

rh

(2)因?yàn)榍摇?b+c=0,所以Q>0,c<0,貝!j—<0,—<1,由a+Z?+c=0,可得

aa

1+2+￡=o,即2=一￡一1,所以-￡_i<i,即￡>_2.綜上，一2<￡<O.

aaaaaaa

考點(diǎn)四由等式性質(zhì)證明不等式

1.已知P：x+y>2,xy>l-q,X>1,，>1,則4是2的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.就不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)x=1.5,y=0.8時(shí),x+y=2.3>2,xy=1.2>1,但y=0.8<l,

則由。不能得到<?；當(dāng)x>l,>>1時(shí)，x+y>2,xy>l,則由4可得到P,

故4是P的充分不必要條件.

故選：A

(多選題)2.若。>同/0,c>0,貝！()

cc11

A.tz2>Z72B.ac>bcC.一<—D.—~>b-\—

abba

【答案】AB

【詳解】根據(jù)。>網(wǎng)>。，則肯>1,A正確;

由。>網(wǎng)>0,又c>0,則ac>例cZbc,B正確；

當(dāng)6<。時(shí)，->7,C錯(cuò)誤；

ab

當(dāng)=時(shí)，a+——1—2——1,b+————+\——,D錯(cuò)誤.

2ba22

故選：AB

3.已知實(shí)數(shù)Z?滿足-Lvavl,-l<b<l.

⑴求a+Z?和必的取值范圍；

(2)證明：1+">〃+/?.

【答案】(1)-2<1+〃<2,-\<ab<\

(2)證明見解析

【詳解】(1)因?yàn)橐籌vavl,,所以一2<〃+6<2,

當(dāng)一IvavO,-IvbvO時(shí)，則0<-Z?<1,止匕時(shí)

當(dāng)-IvavO,Ovbvl時(shí),則0<—〃<1,此時(shí)0<-咸<1,得至!]—!<<<<0,

當(dāng)Ovavl,-IvbvO時(shí)，則0<—/?<1,止匕時(shí)Ov-aZ;vl,得至1」一1<〃。<0,

當(dāng)Ova<l,OvZ?<l時(shí)，0〈而vl,

又當(dāng)a=0或力=0時(shí)，ab=O,

綜上，一1<他<1.

(2)因?yàn)?+必_(々+〃)=(1_々)(1_。)，

又—Ivavl,-1<Z?<1,貝1」0<1-〃<2,0<l-Z?<2,

所以1+aZ?—(a+Z?)=(1—Q)(1—Z?)>0,得至！J1+/>a+b.

4.(1)已知-lKx+y<4,2Kx-yv3,求x+2y的取值范圍；