第2章二元一次方程組單元測試

總分：120分

考生姓名：

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：第2章。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。

1.下列各方程中，是二元一次方程的是（）

x2]

A.-=y+5xB.-x+y=lC.x2=/+lD.3x+l=2xy

3y5

【答案】B

【分析】本題考查了二元一次方程的定義，二元一次方程的定義是：含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)

的項的次數(shù)都是1的方程.

根據(jù)二元一次方程的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A.f--=j+5x,分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故該選項不符合題意；

B.1x+y=l,含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,是二元一次方程，故該選項符合題意;

C.片=/+1,含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2,是二元二次方程，故該選項不符合

題意；

D.3x+l=2肛含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2,是二元二次方程，故該選項不符

合題意；

故選：B.

2.已知二元一次方程x+2y=6,下列是此方程的解的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程的解，練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵.

將各選項中的值代入方程，看是否滿足方程即可.

x=l

【詳解】解：A.當后時,1+2x2w6

x=\

不是方程x+2y=6故該選項不符合題意;

j=2

1%—1

B.當4、時，1+2*3片6,

U=3

(x—]

。不是方程x+2y=6,故該選項不符合題意;

[y=3

[x=2

C.當《時，2+2xlw6,

[y=l

fx=2

，不是方程x+2y=6,故該選項不符合題意;

Ix=4

D.當?時,4+2xl=6,

[y=l

x=4

是方程無+2y=6,故該選項符合題意;

J=1

故選：D.

2x-3y=2①

3.用加減法解方程組下列解法正確的是()

3x+2y=l②

A.①x2+②x3消去xB.①x3-②x2消去了

C.①x3+②x2消去xD.①x2+②x3消去，

【答案】D

【分析】本題考查了用加減法解二元一次方程組的方法，用加減法解二元一次方程組時，必須使同一

未知數(shù)的系數(shù)相等或者互為相反數(shù).如果系數(shù)相等，那么相減消元；如果系數(shù)互為相反數(shù)，那么相加

消元.

根據(jù)加減消元法解二元一次方程組逐項判斷即可解答.

【詳解】解：A、①x2+②x3,不能消去x,故選項錯誤，不符合題意；

B、①x3-②x2,不能消去y,故選項錯誤，不符合題意；

C、①x3+②x2,不能消去x,故選項錯誤，不符合題意；

D、①x2+②x3,消去力故選項正確，符合題意.

故選D.

犬=mIx+2v=1

4.已知是方程組。,的解，則根+〃的值是（）

[y=n[2x+y=5

A.2B.4C.0D.7

【答案】A

x+2y=l

【分析】本題考查了方程組的解.將方程組的解代入得的新的二元一次方程組，然后觀察

2x+y=5

發(fā)現(xiàn)，兩式相加即可完成解答.

\x=mm+2n=1①

【詳解】解：把代入方程組得:

2m+n=5②

①+②得：3m+3n=6,

則m+n=2,

故選：A.

5.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度

之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足1尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子

還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺?可設(shè)木頭長為x尺，繩子長

為y尺，則所列方程組正確的是（)

y=x+4.5卜=1+4.5y=x-4.5

0.5)；=X-]'=

y=2x-l

【答案】A

【分析】本題考查二元一次方程組的應用，理解題意，正確列出方程組是解答的關(guān)鍵.根據(jù)題意，直

接列方程組即可.

【詳解】解：設(shè)木頭長為X尺，繩子長為y尺,

y=x+4.5

根據(jù)題意，得

0.5y=x-]，

故選：A.

4%—y=8

6.若x、城足方程組,則的值為（）

x+2y=2

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法步驟是解答的關(guān)鍵.利用加減

消元法解方程組即可.

【詳解】解：巴y藍，

［x+2y=2②

①-②得3x-3y=6,

解得x-y=2,

故選：D.

7.有四個完全相同的小長方形和兩個完全相同的大長方形按如圖所示的方式擺放，若小長方形的長為

【答案】D

【分析】本題考查的是方程思想的應用，由大的長方形的長相等可得20+y-x=10+x-y,再把x-y

看做是整體解方程即可.

［詳解］解：由題意得：20+y-x=W+x-y,

整理得：x-y=5,

故選：D.

（3x-2y=5

8.〃為何值時，關(guān)于x、y的二元一次方程組］以_3（機［2）y=13的解x、9是互為相反數(shù)（）

A.1B,-5C.5D.14

【答案】C

【分析】本題主要考查解二元一次方程組，相反數(shù)的性質(zhì).根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)得到〉=一工，得到

3%-2（-x）=5,求得尤=1,再得至加一2乂-1）=13,進一步計算即可得解.

f3x-2y=5

【詳解】解：,??關(guān)于x、y的二元一次方程組）“I。的解X、y是互為相反數(shù)，

3x—2（—x）=5,

??尤=1,

.\4xl-3(m-2)(-l)=13,

解得m=5,

故選：C.

x+y=m

9.關(guān)于x,y的方程組,，c的解也是二元一次方程x+2y=5的解，貝IJ)的值是

4x+y=3-2m

()

A.—5B.3C.2D.-2

【答案】c

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，解二元一次方程組，正確求出X、y

的值是解題的關(guān)鍵.

x+y=m

先求出方程組/°c的解，然后代入方程x+2y=5中即可求出加的值.

4%+y=3—2m

x+y=m?

【詳解】解:

4x+y=3-2m②'

②一①得,3x=3—3m,BPx=1—m,

iEx=l-相代入①得，y=2m-l,

把％、,的值代入x+2y=5中，得1一機+2(2m-1)=5,

解得：m=2.

故選：C.

10.張老師要往外地寄運一些資料，將資料用紙包好后成長方體形狀，如圖所示(。=29，張老師準備

了一根包裝繩，若采用方式①，繩子還剩余24厘米；若采用方式②，繩子剛好用完；若采用方式③,

A.308厘米B.318厘米C.328厘米D.338厘米

【答案】C

【分析】本題考查列方程組解決實際問題,由題意列出方程組是解題的關(guān)鍵.由題意列方程組即可求

解.

【詳解】解：設(shè)繩長為加厘米，由題意得

4〃+4。+8c+24=相

<4a+6b+6c=m

2。+6〃+8c+64=相

又因為。=2"方程組整理為

12。+8c+24=m

<14Z?+6c=m

10Z?+8c+64=m

a=40

b=20

解得Q

c=8

m=328

，繩子長為328厘米.

故選：C.

第n卷

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共18分.

11.已知方程（。-6）刮tf+?y=是關(guān)于x的二元一次方程，則。=

【答案】-3

【分析】本題考查二元一次方程的定義，根據(jù)二元一次方程的定義得到向-2=1且。-3/0,解題即可.

【詳解】解：將+?y=是關(guān)于x的二元一次方程，

f|a|-2=l?,、

***\f解得a=-3,

（a—3。0

故答案為：-3.

12.將方程2x-y=3改寫成用含x的式子表示》的形式為：>=.

【答案】—3+2x/2%—3

【分析】本題考查解二元一次方程，涉及等式的性質(zhì)，將方程左邊的移到右邊、方程右邊的3移到

左邊即可得到答案，熟練掌握解移項法則是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2x-y=3,

移項得y=2x—3,

故答案為：2元-3.

13.一個籠子裝有雞和兔，共有10個頭，34只腳，設(shè)雞有x只，兔有y只，則可列三元一次方程

組

x+y=10

【答案】

2%+4y=34

【分析】本題考查了列二元一次方程組，設(shè)雞有X只，兔有y只，根據(jù)共有10個頭，34只腳，列出方

程組，即可求解.

【詳解】解：設(shè)雞有X只，兔有y只，根據(jù)題意得

x+y=10

2冗+4y=34

x+y=10

故答案為:

2x+4y=34

14.若x+y=20,x_y=18,則x+3y=

【答案】22

【分析】本題主要考查解二元一次方程組，求代數(shù)式的值，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組

的方法.

聯(lián)立成方程組，從而可求得％，y的值，再代入所求的式子運算即可.

x+y=200

【詳解】解:由題意得:

尤_y=18(2)

由①+②得：2x=38,

解得尤=19,

把x=19代入①得：19+y=20,

解得y=i,

???I"：

Iy=i

x+3y=19+3x1=22,

故答案為：22.

[ax+by=c,[x=lfa(x-2\+^by=c,

15.若關(guān)于x,y的方程組',的解為。，則方程組.J,的解為.

\mx+ny=a[y=3+=a

(x=3

【答案】,

【分析】本題考查二元一次方程組的解和解二元一次方程組，理解二元一次次方程組的解是解題的關(guān)

鍵.

令x-2=X,3y=Y,得到關(guān)于后口師勺二元一次方程組的解，再代入并求出x和謔口可求解.

fa(x-i\+3by=c

【詳解】解：令尤-2=X,3y=y,則方程組',可變形為:

［叫x-2J+3〃y=a

aX+bY=c

mX+nY=d

cvc+by=cX=1

???方程組’的解為

mx+ny=ay=3

X=1

y=3

x-2=l

3y=3

x=3

解得:

y=l

x=3

故答案為:

y=i

16.如圖1所示的長方形是一種小禮盒的俯視圖，其長為4,寬為1.現(xiàn)將若干個小禮盒如圖2所示擺放

到一個俯視圖為正方形的大禮盒中，若留空的部分(陰影部分)的面積是整個正方形面積的(，則大

禮盒

圖1圖2

【答案】10

【分析】本題主要考查了列代數(shù)、整式的運算、配方法、二元一次方程的解等知識點，掌握二元一次

方程的解成為解題的關(guān)鍵.設(shè)下方豎著放的有心(G>3),上方豎著放的有g(shù)(^>3),則正方形

的邊長為。+4,一共擺了(2a+9個禮盒；然后根據(jù)留空的部分(陰影部分)的面積是整個正方形面

積的1得至1」6=(4_])一+]5,然后運用列舉法確定a的值成為解題的關(guān)鍵.

55

【詳解】解:設(shè)下方豎著放的有抄(a>3),上方豎著放的有力(&>3),則正方形的邊長為。+4,

一共擺了（2〃+9個禮盒

這些禮盒的面積為lx4（2a+b）=8a+4〃，

陰影部分的面積為：（〃+4）2一（8〃+4b）=[2+16—46,

???留空的部分（陰影部分）的面積是整個正方形面積的

19

/.^2+16-4Z?=-(6Z+4),

2M712816

ci+16—4zib=-aH—ciH---,

555

4864

—a2——a-\:=4b,

555

|(a2-2a+16)=4&,

a~—2a+16=5b，

(a-l)2+15=5/7,

5b=(“-1)2+15,

人(。一以+15,

5

*.*d!>3,Z?>3,

???當〃=3時，b=:不是整數(shù)，不符合題意;

當〃=4時，匕=24]不是整數(shù)，不符合題意；

當。=5時，匕=1■不是整數(shù)，不符合題意；

當〃=6時，。=8是整數(shù)，符合題意；

正方形的邊長為。+4=6+4=10.

故答案為：10.

三、解答題：本題共8小題，共72分.

17.解下列二元一次方程組：

卜+y=4①.

山12x7=2②’

lx-y=2①

x-2y=l@?

、x=2

【答案】⑴。

U=2

【分析】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）利用加減消元法直接解方程組即可;

（2）利用加減消元法直接解方程組即可.

x+y=4①

【詳解】(1)解:

2x-y=2②

由①+②，得3x=6,解得x=2,

將x=2代入①，得2+y=4,解得y=2.

（x=2

???原方程組的解是）

[y=2

2x-y=2?

(2)解:

x-2y=1?

由①x2—②，得3x=3,解得x=l.

將工=1代入①，得2—y=2,解得y=0.

x=l

???原方程組的解是

y=0

x+2y=7

18.已知方程組的解滿足X是元勺5倍，求H的值.

2x+ay=6

【答案】Q=T

x+2y=7①

【分析】此題考查了解二元一次方程組，根據(jù)題意得到解方程組得到i=5,>=1,再

x=5y②

代入方程2x+沖=6即可求出己的值.

x+2y=7①

【詳解】解：由題意，得

x=5y②

把②代入①，得y=L

把代入②，得了=5.

才巴%=5,>=1代入2%+效=6得至!]10+。=6,

得a=Y.

3x+y=1①

19.解二元一次方程組

x-2y=12②

(1)小明同學是這樣做的：由②得，x=2y+12③,

將③代入①得：3(2y+12)+y=l,

解得詁勺值，從而解得x的值，則方程組的解可求.

小明同學使用的方法是消元；

(2)小華同學使用了另一種消元方法解這個方程組，請你幫小華寫出解題過程；

(3)兩位同學都通過消元法實現(xiàn)了從“二元”到“一元"，都是用思想解決問題的.

【答案】(1)代入

(3)轉(zhuǎn)化

【分析】(1)根據(jù)小明的解題過程可知是用的代入消元法解方程組，即可得到答案；

(2)由①x2得6x+2y=2③，②+③得，7尤=14,解得x=2,把x=2代入①得6+y=1,解得

y=-5,即可得到方程組的解；

(3)無論代入法和加減法都是體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化思想，即可得到答案.

【詳解】(1)解：小明同學是這樣做的：由②得，x=2y+12③，

將③代入①得：3(2y+12)+y=l,

解得y的值，從而解得刀的值，則方程組的解可求.

小明同學使用的方法是代入消元；

故答案為：代入

⑵|3X+y=1?

[x-2y=12@

由①x2得6x+2y=2③,

②+③得，7x=14,

解得x-2,

把％=2代入①得6+y=l,

解得k-5,

[x=2

方程組的解是<

[y=-5

(3)兩位同學都通過消元法實現(xiàn)了從“二元”到“一元”，都是用轉(zhuǎn)化思想解決問題的.

故答案為：轉(zhuǎn)化

【點睛】此題考查了二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在長為7m,寬為5m的長方形的綠化帶中劃出三個形狀、大小完全相同的小長方形花壇,

其示意圖如圖所示.求小長方形花壇的長和寬.

【答案】小長方形花壇的長為3m,寬為1m

【分析】設(shè)小長方形花壇的長為Q,寬為沖，則長方形的綠化帶的長是(2x+y)m,寬為

(x+2y)m.構(gòu)造方程組解答即可.

本題考查了方程組的應用，熟練掌握解方程組是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)小長方形花壇的長為Q,寬為沖1,則長方形的綠化帶的長是(2尤+y)m,寬為

(x+2y)m.

根據(jù)題意，得f2x+/y=7工,

[x+2y=5,

(x=3,

解得;

[y=L

答：小長方形花壇的長為3m,寬為1m.

21.某次足球聯(lián)賽在進行了12場比賽后，前三名的比賽成績?nèi)缦卤恚?/p>

勝/場平/場負/場積分

力隊82226

現(xiàn)65123

57022

問：每隊勝1場、平1場、負1場各積多少分？

【答案】每隊勝1場積3分，平1場積1分，負1場積0分

【詳解】解：設(shè)每隊勝1場積x分，平1場積y分，負1場積z分.

8x+2y+2z=26

根據(jù)題意，得6x+5y+z=23,解得,

5x+7y=22

故每隊勝1場積3分，平1場積1分，負1場積0分.

22.某地有一片蔬果采摘園，小美一家決定去采摘一些新鮮蔬果.已知西紅柿和土豆兩種蔬菜的價格

分別是每千克6元和每千克3元，采摘這兩種蔬菜一共30千克，共支付了120元.

(1)求西紅柿和土豆各采摘了多少千克？

(2)為了讓小美去體驗生活，父母決定讓小美將采摘的蔬菜拿去售賣，已知西紅柿和土豆的銷售價格分

別是每千克7元和每千克3.5元，求西紅柿和土豆全部售出后共計獲利多少元？

【答案】(1)西紅柿采摘了10kg,土豆采摘了20kg

(2)西紅柿和土豆全部售出后共計獲利20元

【分析】本題考查了二元一次方程組和分式方程的應用，找準等量關(guān)系正確列出相應方程是解題的關(guān)

鍵.

(1)設(shè)西紅柿采摘了xkg,土豆采摘了ykg,根據(jù)題意列出二元一次方程組，解答即可.

(2)根據(jù)題意列出算式求值獲得的利潤即可.

【詳解】(1)解：設(shè)西紅柿采摘了xkg,土豆采摘了ykg.

答：西紅柿采摘了10kg,土豆采摘了20kg.

(2)解：10x(7-6)+20x(3.5-3)

=10+20x0.5

=20(元)

答:西紅柿和土豆全部售出后共計獲利20元.

23.閱讀下面材料，完成任務.

我們知道二元一次方程有無數(shù)組解，但在實際生活中我們往往只需要求出其正整數(shù)解.

y>0

415

例：由3x+4y=15,得1=5-尸(羽V為正整數(shù))，二，4八，貝11有

35——y>04

13

44

又x=5-§y為正整數(shù)，為正整數(shù)，

為3的正整數(shù)倍數(shù)，從而y=3,

4fx=1,

，x=5ry=l,.?.3x+4y=15的正整數(shù)解為

3〔y=3.

任務：

(1)請你寫出方程2x+3y=7的正整數(shù)解：；

Q

(2)若一二為自然數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x有____個；

x-3

(3)七年級某班為了獎勵學習進步的學生，購買了單價為每本5元的筆記本與單價為每支7元的鋼筆兩種

獎品，共花費75元，問有哪幾種購買方案？

【答案】⑴廠=；

[y=l

(2)4

(3)有兩種購買方案：方案一：購買8本筆記本和5支鋼筆；方案二：購買1本筆記本和10支鋼筆

【分析】本題主要考查二元一次方程組的運用，理解材料提示的計算方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)材料提示方法計算即可；

(2)根據(jù)題意X-3WO,8是(尤-3)的倍數(shù)，則尤-3可以取的值有1,2,4,8,由此代入計算即可；

(3)設(shè)購買。本筆記本，6支鋼筆，由此列二元一次方程組，結(jié)合材料提示方法計算即可.

【詳解】(1)解：：2x+3y=7,

.x-7-3y

2

???方程的解為正整數(shù)，

y>0

I2

7

解得，0<y<—,

???x是正整數(shù)，

???7—3y是2的倍數(shù)，

.?.當y=l時，x=Z等=1=2,符合題意；

當y=2時，工=7=-3且v=_7^-—6=51,不符合題意；

fx=2

方程的正整數(shù)解為,■;

[y=l

Q

（2）解：—為自然數(shù)，且*-3彳0,8是（尤-3）的倍數(shù)，

x—3

，xw3,

當工-3=1時，原式的值為8,是自然數(shù)，符合題意，

/.x=4；

當X-3=2時，原式的值為4,是自然數(shù)，符合題意，

x=5；

當x-3=4時，原式的值為2,是自然數(shù)，符合題意，

x=7；

當X-3=8時，原式的值為1,是自然數(shù)，符合題意，

x=ll；

...滿足條件的整數(shù)X有4個，

故答案為：4；

（3）解：設(shè)購買。本筆記本，人支鋼筆，

5。+76=75,

u—15—-Z7,

又。力均為正整數(shù)，

.,力為5的正整數(shù)倍數(shù)，

[a=8_ftz—1

“|=5或1=10'

故有如下兩種購買方案：

方案一：購買8本筆記本和5支鋼筆；

方案二：購買1本筆記本和10支鋼筆.

24.對于一個四位正整數(shù)，如果其十位數(shù)字等于千位數(shù)字減去百位數(shù)字，個位數(shù)字等于百位數(shù)字減去

十位數(shù)字，則稱這個四位數(shù)為“山峰數(shù)”.對于一個“山峰數(shù)"4=兩（a、b、c、d是整數(shù)且

l<a<9,0<b,c、J<9）,它的千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為瓦，十位數(shù)字和個位數(shù)字組

成的兩位數(shù)為五，將這