專題13導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第39練導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運算

1堆練基礎(chǔ)

1.（2022?河北?模擬）曲線y=e，sinx在x=0處的切線斜率為（）

A.0B.1C.2D.-2

【答案】B

xxf

【解析】y=esinx+ecosx,k=y|x=0=1.

故選：B.

2.（2022?江西九江?二模）曲線=在x=l處的切線傾斜角是（）

A.2B.二C.2D.至

6363

【答案】B

【解析】設(shè)曲線=-1在x=l處的切線傾斜角為a,

因為/'（x）=gx2,則廣（1）=6,因為OWaW%,因此，a=~J-

故選：B.

3.（2022?四川成都?二模（理））若曲線y=lnx+/+i在點Q,2）處的切線與直線依+廣1=。平行，則

實數(shù)a的值為（）

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】B

【解析】y=-+2x,y|x=1=3,

所以_Q=3,a=-3.

故選：B

4.（2022?山東?濟南市歷城第二中學(xué)模擬）設(shè)函數(shù)/（?ngV+m-DY+asinx,若73為奇函數(shù)，則曲線

y=/a）在點（。,0）處的切線斜率為（）

A.3B.2C.1D.：

【答案】C

【解析】因為“X)為奇函數(shù),

所以f(x)+f(x)=O,

所以((-x)3+(Q-l)(-x)2+asin(-x)+^x3+(tz-l)x2+Qsin%=0

所以2(a—1)%2=0,

所以a—1=0,解得a=l,

所以/(x)=-x3+sinx,f\x)=X2+COSX,

3

所以八0)=1,

所以曲線y=/(x)在點。0)處的切線斜率為1.

故選：C.

5.(2022?湖南?長沙縣第一中學(xué)模擬)函數(shù)y=21n(x+l)+sinx的圖象在％=0處的切線對應(yīng)的傾斜角為a,

則sin2a=()

3333

A.—B.±—C.-D.±-

101055

【答案】C

【解析】因為y=21n(x+l)+sinx

2

所以y，=------1-cosx

x+1

當x=0時，yC=3,此時tana=3,

..cc?2sina-cosa2tana63

..sin2a=2smcr-cosa=——---------------=-----z------=--------一?

sina+cosatana+\9+15

故選：C.

6.(2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬(文))已知拋物線丁=吼。＞0)在片1處的切線過點(2,1[,則該

拋物線的焦點坐標為.

【答案】[，，

【解析】解：由題意得：

1?2

由尤2=咫可得＞求導(dǎo)可得＞，=—不故切線斜率為一

aaa

12

故切線方程為y-±=—(x-l)

aa

又因為該切線過點（2,與，所以1=2（2-1）,解得a=2

72）2aa

拋物線方程為f=2y,焦點坐標為,,￡|.

故答案為：（。,￡|

py

7.（2022?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)模擬（理））曲線〃x）=?+x在x=l處的切線方程為.

【答案】x-y+l=O

【解析】解：因為〃x）=g+x,所以/6=詈+1=2,

廣（"=注立+1,所以尸6=n1>+1=1,

ee

所以切線方程為y-2=尤-1,即x-y+l=O；

故答案為：f+1=0

8.（2022?貴州遵義?三模（理））已知函數(shù)"x）=lnx+x,則〃刈在*=1處切線斜率為

【答案】2

【解析】/,（x）=-+l,/,（l）=1+l=2.

X1

故答案為：2

9.（2022?江西九江?三模（理））已知直線y=6+4（aeR）與曲線'二'-^了相切，貝U。=.

【答案】-2e

【解析】解：由丁=工一111%，所以y'=-一

exexx

/、/1n11

設(shè)切點為（/,%）,貝!）即+4=------In/,a=---------,

ex。ex。r"o

2

消去a得In/+3------=0,

e/

???函數(shù)/（x）=ln無+3-工在（0,+e）上單調(diào)遞增，且/口=0,...x?！梗藭ra=—2e.

ex〈eje

故答案為：-2e

10.（2022?廣東?深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬）已知函數(shù)"x）=xlnx-加+x（aeR）,則曲線y=〃x）在

點處的切線/恒過定點.

【答案】g，。］

【解析】函數(shù)/（%）=無始x—tax?+尤（。eR）的定義域為（0,+8）,

由/(x)=xlnx-dx2+x,得/'(x)=lnx+2-2or,則fr(l^=2-2a.

又/⑴=1-小則曲線y=〃x)在點(I"⑴)處的切線/的方程為了_(1“)=2(1-耳(尤-1),

Y-----QY—

，由|2可得｛-2,

H7=01y=0

所以直線/恒過定點g,01

故答案為：.

2維練能力JH

1.(2022?廣西?貴港市高級中學(xué)三模(理))已知曲線＞=以6工+111.%在點(Lae)處的切線方程為y=3x+。，

則()

A.a=e,b=-2B.a=e,b=2

C.a=e~ifb=—2D.a=c~x9b=2

【答案】C

【角星析】解：y'=ae"+axe"+—,k=yr|=ae+ae+l=2ae+1=3,

xx=1

：.ae=l,47=-=e-1.將(1,1)代入＞=3x+8得3+b=l,：.b=-2.

e

故選：C.

2.(2022?安徽哈肥一中模擬(文))對于三次函數(shù)八九)，若曲線＞=/(%)在點。0)處的切線與曲線尸雙工)

在點(1,2)處點的切線重合，則尸⑵=()

A.-34B.-14C.-4D.14

【答案】B

［解析］設(shè)f(x)=ax3+bx2+ex+d(aw0),

/(0)=d=0,f(x)=ax'4-bx2+ex,/.fr(x)=3ax2+2bx+c

2-0

/.f(0)=c=——=2,

1-0

設(shè)g(x)=VX%),貝Ijg⑴=/(l)=a+〃+2=2,即a+b=0.......①

又?.?g'")=/a)+礦(工),g'(D=/(D+ra)=2,r(1)=o,即

3a+力+2=0.......②

由①②可得a=—2,Z?=2,c=2,

???r（2）=—i4.

故選：B.

3.（2022?遼寧?沈陽二中模擬）函數(shù)y=的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是（）

A.0<r（2）<r（3）</（3）-/（2）B.0</（2）</（3）-/（2）<r（3）

c.0<r（3）</（3）-/（2）<r（2）D.0</（3）-/（2）</（3）<r（2）

【答案】c

【解析】從/（x）的圖象可以看出，點8處切線的斜率大于直線A2的斜率，直線的斜率大于點A處切線

的斜率，點A處切線的斜率大于0,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得o<r⑶<7一［⑵</⑵，即o<（⑶</0）-/⑵</⑵.

3—2

故選：C

（2022?山東煙臺?三模）已知函數(shù)〃x）=F"八，若方程〃耳=依-1有且僅有三個實數(shù)解，

4

Ix+2尤-1,九WU

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.0<a<lB.0<a<2C.<2>1D.a>2

【答案】B

【解析】解：作出函數(shù)/（x）的圖象如圖:

依題意方程“X）=1有且僅有三個實數(shù)解，即y=與y=ax-1有且僅有三個交點,

因為>=辦-1必過（0,-1）,且〃0）=-1,

若公0時，方程〃對=衣-1不可能有三個實數(shù)解，則必有。>0,

當直線>=辦-1與y=lnx在％>1時相切時，

設(shè)切點坐標為（1,%）,貝療'（x）=L即

X尤0

1,、

則切線方程為丁-％=—（工-%），

%

即y=—1+%—1=—x+Inx-1,

玉）玉）0

,/切線方程為y=ax-\,

1且ln/—l=-1,則％0=1,所以々=1,

即當。>0時y="X-1與y=/（x）在（0,+8）上有且僅有一個交點,

要使方程/（幻="XT有且僅有三個的實數(shù)解，

則當x40時〃x）=x2+2x-l與y=ox-l有兩個交點，設(shè)直線y=以-1與=x?+2x-l切于點（0,-1）,

止匕時/（x）=2x+2,則廣（0）=2,即4=2,

所以0<。<2,

故選：B

5.（2022?江蘇徐州?模擬）過平面內(nèi)一點P作曲線yTlnxI的兩條互相垂直的切線切點分別為4,鳥（心￡

不重合），設(shè)直線4,4分別與>軸交于點A，B,則尸面積的取值范圍為（）

A.B.（0,1）C.g,"D.（0,2]

【答案】B

【解析】解:設(shè)片（%—In石）,鳥（%2/口%2）

,1-1

當Ovxvl時，f（x）=,k]=—

xxx

故切線為：'+此玉=（%—玉），即,=---x+1—lnX]

%為

171

當）〉]時,/'（%）=-，k2=一,

Xx2

故切線為：y-lnx2=-（x-x2）,gpy=-.r-l+lnx2

-1,

兩切線垂直,則瓦=j則平LI

所以，4(0,1-111^),5(0,111X2-1),|AB|=11-111^-lnx2+1|=2

11?2

y=------x+l-lnxr=-----------

■石，解得…1

y=XyX-1-In再

122

qe(0-1)

"AABP7r，2=r

XyH------%]H------

xxXx

故選：B.

6.（2022?江西?新余市第一中學(xué)模擬（理））若點A在曲線y=lnx-l上運動，點8在直線y=x+2上運動,

A8兩點距離的最小值為

【答案】2夜

【解析】解：設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=lnx-l相切于點尸伍,1!!毛-1）時,

此時A,B兩點距離的最小值為點尸到直線y=x+2的距離,

P。,一1）,所以點尸到直線y=尤+2的距離為J,。

所以A,3兩點距離的最小值為2加-

故答案為：2立

7.（2022?河北滄州?二模）若直線》-，-8=0是曲線y=2?的一條切線，則實數(shù)6=

【答案】-1

【解析】因為y=2?,所以y=x?，令丁3=1，得x=l，

所以切點為(1,2),代入x-yi=O,得人=-1.

故答案為：-L

8.(2022?山東淄博?模擬)函數(shù)=f-21nx+2在點處的切線方程是.

【答案】＞=3

79

【解析】由題，f\x)=2x--,則廣⑴=2-；；=0,

x2

因為〃1)=『+2=3,

所以切線方程為y=3,

故答案為：y=3

9.(2022?廣東茂名?二模)已知〃x)=(x+l)e\函數(shù)的圖象在x=0處的切線方程為.

【答案】2無-y+l=O

【解析】由〃x)=(x+l)e，得尸(*=/+(犬+1戶，

所以在尤=0處的切線的斜率為/■'(O)=e°+(O+l)e°=2,

又"0)=1,故切點坐標(0,1),

所以所求的切線方程為＞-1=2彳，即2x-y+l=0,

故答案為：2x-y+l=0.

10.(2022?福建福州?三模)某地在20年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，G￡＞尸的值尸(單位，億元)與時間單位:

年)之間的關(guān)系為P。)=片(1+10%)',其中外為，=0時的尸直假定玲=2,那么在f=10時，G。尸增長的

速度大約是.(單位：億元/年，精確到0。1億元/年)注：11%2.59,當x取很小的正數(shù)時，

ln(l+x)?x

【答案】0.52

【解析】由題可知P⑺=2(1+10%)'=2x1.1',

所以P'(f)=2xlllnl.l,

所以P(10)=2x1.嚴lnl.1《2x2.59x0.1=0.518.0.52,

即GDP增長的速度大約是0.52.

故答案為：0.52.

3維練素養(yǎng)

1.(2022?河南?模擬(理))已知函數(shù)〃x)=(2x+3)4+m的圖象經(jīng)過坐標原點，則曲線y=/(無)在點

處的切線方程是()

A.y=8x-72B.y=4x-76

C.y=8x+72D.y=4x+76

【答案】A

【解析】因為函數(shù)〃X)=(2X+3)4+7”的圖象經(jīng)過坐標原點，

所以〃0)=81+機=0,所以用=一81,

所以/(彳)=(2尤+3)—81

所以](-1)=一80.

因為廣(X)=8(2X+3「所以尸(一1)=8.

所以所求切線方程為V+8O=8(元+1),

即y=8尤一72.

故選：A.

2.(2022?安徽?蕪湖一中三模(理))已知函數(shù)/⑴在無eR上滿足/(2+x)=2〃2-%)-爐+6%,則曲線

y=在點(2,/(2))處的切線方程是()

A.2x-y-6=0B.6x-y-4=0

C.2x-y-4=0D.2x+y-4=0

【答案】c

【解析】,函數(shù)/(X)在R上滿足〃2+x)=2〃2-x)—x?+6x,用T替換x得：

/(2—x)=2/(2+x)—(-x)2+6(-x)=2/(2+x)-x2-6x,

：./(2+無)=2[2/(2+x)-x2~6劃一元2+6尤

f(2+x)=x2+2x

令t=2+x,貝lJx=r-2,—2)2+22)=/_2r,Bpf(x)=x2-2x

.?./8)=2元一2,.?.〃2)=0,廣⑵=2

???曲線y=/(x)在點(2,7(2))處的切線方程是：y-0=2-(x-2),即2尤-y-4=0.

故選：C.

3.(2022?山東濰坊?三模)過點尸(l,"0(meR)有"條直線與函數(shù)〃x)=xe，的圖像相切，當"取最大值時,

機的取值范圍為()

A.--^-<m<eB.--^-<m<0C.--<m<0D.m<e

eee

【答案】B

【解析】由〃力=屈"，r(x)=(x+l)e，,故當x<T時，r(x)<0,〃X)單調(diào)遞減，且〃力<0；當X>-1

時，r(x)>0,“X)單調(diào)遞增，結(jié)合圖象易得，過點尸(l，M(meR)至多有3條直線與函數(shù)〃x)=x/的圖

像相切，故72=3.

二L

-1-

此時，設(shè)切點坐標為(七,%),則切線斜率％=(x°+l)-e而，所以切線方程為y—尤()e*=(%o+l)-e&(%—%),將

P(l,機)代入得加=(一片+x0+l)-e%,存在三條切線即L豆數(shù)〃7=(_d+尤+l).e*有三個不同的根，又

g'(x)=—(x—l)(x+2)C,易得在(-2,1)上,g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增;在(-8,-2)和(1,+co)上，g<x)<0,

^-<m<0時符合題意

g(x)單調(diào)遞減，畫出圖象可得當鼠-2)<根<0,即一

2三飛i，勺

故選：B

4.（2022?遼寧大連?一模）若直線，=幻+仿與直線、=&尤+4（匕工網(wǎng)）是曲線y=lnx的兩條切線，也是曲

線y=二的兩條切線，則W+仿+仇的值為（）

A.e-1B.0C.1D.--1

e

【答案】C

【解析】由'=6,和y=lnx互為反函數(shù)可知，

兩條公切線y=用了+仿和y=k2x+b2也互為反函數(shù)，

lb,1,b,

即工二丁》一不滿足廠=%72,-~j~=b2,即左/2=1，b2=~~,

院匕k.h匕

可得切線方程為y—爐=爐(尤一芯)和y-in尤2='(x-x2),

X2

r,xxX1

整理得：y=ex+e,'-xe'^\y=-x-\+\nx2,貝i]K=e3=L,bx=e(1-^)=-l+lnx,,

X2X2

由e"=—,得玉=1n-=-1nx2,且,=—(1-xJ=-l+lnx2,

x2x2x2

貝1」偽=,所以X2=I*,

x2-1-xx

b,(1、=1+4(1一尤2)=1+(-1一%)1一^7^

所以人/,+4+a=1+4_廣=\+b1---

1]k

k1\^17\一]一王

故選：C

5.（2022?河北保定?二模）（多選題）若直線y=3x+〃z是曲線>=?。?>0）與曲線yu-V+nr-Ga〉。）的

公切線，則（）

A.m=—2B.m=-lC.n=6D.〃=7

【答案】AD

【解析】解：設(shè)直線y=3x+m與曲線,=三（%>0）相切于點（a,/）,

與曲線y=-Y+九x-6（x>0）相切于點。,38+機）,

對于函數(shù)y=V(x>0),y=3f,則3/=3(a>0),

解得。=1,

所以r=3+機，即根=—2.

對于函數(shù)y=+nx-6(x>0),y'=~2x+n,

貝i]-26+"=3（6>0）,

乂+nb-6=3b-2,

所以孑+6（3+處）-6=36-2,

又b>。,

所以6=2,n=7.

故選：AD

6.（2022?福建?莆田二中模擬）（多選題）已知拋物線C:1=4y的焦點為F,準線為/,P是拋物線C上

第一象限的點，忸尸|=5,直線尸尸與拋物線C的另一個交點為。，則下列選項正確的是（）

A.點尸的坐標為（4,4）

B.|CF|=|

CS-W

J乙。尸。-3

D.過點-1）作拋物線C的兩條切線其中A3為切點，則直線A2的方程為：V-2y+2=0

【答案】ABD

【解析】對于A,因為|刊”5,所以由拋物線的定義得力+1=5,得力=4,所以靖=4處=16,且點尸在

第一象限，所以坐標為（4,4）,則A正確

3a1<

對于B,幾的直線方程為：y=1+1,由y=“+1與無2=分聯(lián)立得，0（）,由兩點距離公式得|Q刊="

則B正確

對于C,方法一：SMPQ=^\OF\\XP-XQ|=.|xlx5=|

方法二：由B得|PQ|=亨，原點。到直線總的距離為所以所以C錯誤

2

對于D,設(shè)4（工,%）,3（尤2，%）,由Y=4y得，了=亍，則y'=：，"A切線方程為：>-%=,（尤-占），即

2

y_%=±％_五，由片=4/得，把點代入y=得，尤斯一2%+2=0

同理毛%-2%+2=。，即4周,%）,8（%,，2）兩點滿足方程：xox-2y