習(xí)題課1開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能運(yùn)用開普勒第二、第三定律解決簡(jiǎn)單問題.2.掌握挖補(bǔ)法計(jì)算物體間的萬有引力.3.理解萬有引力與重力的關(guān)系．一、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用例1如圖1所示，某行星沿橢圓軌道運(yùn)行，遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽(yáng)的距離為a，近日點(diǎn)離太陽(yáng)的距離為b，過遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)行星的速率為va，則過近日點(diǎn)時(shí)行星的速率為()圖1A．vb＝eq\f(b,a)va B．vb＝eq\r(\f(a,b))vaC．vb＝eq\f(a,b)va D．vb＝eq\r(\f(b,a))va答案C解析若行星從軌道的A點(diǎn)經(jīng)足夠短的時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到A′點(diǎn)，則與太陽(yáng)的連線掃過的面積可看作扇形，其面積SA＝eq\f(a·vat,2)；若行星從軌道的B點(diǎn)也經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到B′點(diǎn)，則與太陽(yáng)的連線掃過的面積SB＝eq\f(b·vbt,2)；根據(jù)開普勒第二定律，得eq\f(a·vat,2)＝eq\f(b·vbt,2)，即vb＝eq\f(a,b)va，故C正確．例2已知兩個(gè)行星的質(zhì)量m1＝2m2，公轉(zhuǎn)周期T1＝2T2，則它們繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸之比eq\f(r1,r2)為()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\r(3,4)D.eq\f(1,\r(3,4))答案C解析由開普勒第三定律知eq\f(r3,T2)＝k和行星的質(zhì)量無關(guān)，由eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，得eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)))2)＝eq\r(3,4)，所以C正確．開普勒第三定律揭示的是不同行星運(yùn)動(dòng)快慢的規(guī)律，應(yīng)用時(shí)要注意以下兩個(gè)問題：(1)首先判斷兩個(gè)行星的中心天體是否相同，只有對(duì)同一個(gè)中心天體開普勒第三定律才成立．(2)明確題中給出的周期關(guān)系或半徑關(guān)系之后，根據(jù)開普勒第三定律列式求解．注意：開普勒定律不僅適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)．二、挖補(bǔ)法計(jì)算物體間的萬有引力例3有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)．現(xiàn)從M中挖去半徑為eq\f(1,2)R的球體，如圖2所示，則剩余部分對(duì)m的萬有引力F為()圖2A.eq\f(7GMm,36R2) B.eq\f(7GMm,8R2)C.eq\f(GMm,18R2) D.eq\f(7GMm,32R2)答案A解析質(zhì)量為M的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力F1＝Geq\f(Mm,2R2)＝Geq\f(Mm,4R2)挖去的球體的質(zhì)量M′＝eq\f(\f(4,3)π\(zhòng)f(R,2)3,\f(4,3)πR3)M＝eq\f(M,8)質(zhì)量為M′的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力F2＝Geq\f(M′m,R＋\f(R,2)2)＝Geq\f(Mm,18R2)則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力F＝F1－F2＝Geq\f(Mm,4R2)－Geq\f(Mm,18R2)＝eq\f(7GMm,36R2)，故選項(xiàng)A正確．1．萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的適用條件是質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)量均勻的球體，只有把挖去的小球補(bǔ)上才成為質(zhì)量均勻的球體．2．注意本題的基本思想—挖—補(bǔ)—挖．求剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力即是大球(補(bǔ)全)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力減去小球?qū)|(zhì)點(diǎn)的作用力．三、重力和萬有引力的關(guān)系1．萬有引力和重力的關(guān)系：如圖3所示，設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，A處物體的質(zhì)量為m，設(shè)物體受到地球的吸引力為F，方向指向地心O，由萬有引力公式得F＝Geq\f(Mm,R2).引力F可分解為兩個(gè)分力，其中一個(gè)分力為物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F向，另一個(gè)分力就是物體的重力mg.圖32．重力與緯度的關(guān)系：地面上物體的重力隨緯度的升高而增大．(1)在赤道上：eq\f(GMm,R2)＝mω2R＋mg.(2)在兩極：eq\f(GMm,R2)＝mg.(3)其它位置：重力是萬有引力的一個(gè)分力，重力的大小mg＜eq\f(GMm,R2)，重力的方向偏離地心．3．近似關(guān)系：如果忽略地球自轉(zhuǎn)，則萬有引力和重力的關(guān)系：mg＝eq\f(GMm,R2)，g為地球表面的重力加速度(一般計(jì)算用近似關(guān)系)．4．重力與高度的關(guān)系：若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度)．所以在同一緯度距地面越高，物體的重力加速度越小，則物體所受的重力也越小．例4設(shè)地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的引力作用而產(chǎn)生的加速度為g，則eq\f(g,g0)為()A．1 B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,16)答案D解析地球表面處的重力加速度和離地心高4R處的加速度均由地球?qū)ξ矬w的萬有引力產(chǎn)生，所以有：地面上：Geq\f(mM,R2)＝mg0 ①離地心4R處：Geq\f(mM,4R2)＝mg ②由①②兩式得eq\f(g,g0)＝(eq\f(R,4R))2＝eq\f(1,16)，故D正確.1．(開普勒定律的應(yīng)用)某行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道如圖4所示，F(xiàn)1和F2是橢圓軌道的兩個(gè)焦點(diǎn)，行星在A點(diǎn)的速率比在B點(diǎn)的大，則太陽(yáng)是位于()圖4A．F2B．AC．F1D．B答案A解析根據(jù)開普勒第二定律：太陽(yáng)和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積，因?yàn)樾行窃贏點(diǎn)的速率比在B點(diǎn)的速率大，所以太陽(yáng)在離A點(diǎn)近的焦點(diǎn)上，故太陽(yáng)位于F2.2．(“挖補(bǔ)法”的應(yīng)用)如圖5所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F.如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝eq\f(R,2)，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)?)圖5A.eq\f(F,2) B.eq\f(F,8)C.eq\f(7F,8) D.eq\f(F,4)答案C解析利用挖補(bǔ)法來分析此題．原來物體間的萬有引力為F，挖去的半徑為eq\f(R,2)的球體的質(zhì)量為原來球體質(zhì)量的eq\f(1,8)，其他條件不變，故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F－eq\f(F,8)＝eq\f(7,8)F.3．(星球表面重力的計(jì)算)某未知星體的質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,4)，直徑是地球直徑的eq\f(1,4)，則一個(gè)質(zhì)量為m的人在未知星體表面的重力為(已知地球表面處的重力加速度為g)()A．16mg B．4mgC．mg D.eq\f(mg,4)答案B解析在星體表面處有Geq\f(Mm,R2)＝mg，因此未知星體表面的重力加速度為4g，所以該人在未知星體表面的重力為4mg.4．(開普勒第三定律的應(yīng)用)1980年10月14日，中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)發(fā)現(xiàn)了一顆繞太陽(yáng)運(yùn)行的小行星，2001年12月21日，經(jīng)國(guó)際小行星中心和國(guó)際小行星命名委員會(huì)批準(zhǔn)，將這顆小行星命名為“錢學(xué)森星”，以表彰這位“兩彈一星”的功臣對(duì)我國(guó)科技事業(yè)做出的卓越貢獻(xiàn)．若將地球和“錢學(xué)森星”繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)都看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)行軌道如圖6所示．已知“錢學(xué)森星”繞太陽(yáng)運(yùn)行一周的時(shí)間約為3.4年，設(shè)地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑為R，則“錢學(xué)森星”繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑約為()圖6A.eq\r(3,3.4)R B.eq\r(3.4)RC.eq\r(3,11.56)R D.eq\r(11.56)R答案C解析根據(jù)開普勒第三定律，有eq\f(R\o\al(3,錢),T\o\al(2,錢))＝eq\f(R3,T2)解得：R錢＝eq\r(3,\f(T\o\al(2,錢),T2))R＝eq\r(3,11.56)R故C正確．課時(shí)作業(yè)一、選擇題(1～7為單項(xiàng)選擇題，8～9為多項(xiàng)選擇題)1．如圖1所示，“神舟×號(hào)”繞地球沿橢圓形軌道運(yùn)動(dòng)，它在A、B、C三點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率()圖1A．一樣大B．經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)最大C．經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)最大D．經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)小于經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)答案B解析由圖可知：A點(diǎn)離地球最近，B點(diǎn)最遠(yuǎn)，根據(jù)開普勒第二定律知：到中心天體(地球)的距離越近速度越大，A點(diǎn)速率最大，B點(diǎn)最?。?．某物體在地面上受到地球?qū)λ娜f有引力為F.若要使此物體受到的引力減小到eq\f(F,4)，則此物體距離地面的高度應(yīng)為(R為地球半徑)()A．2R B．4RC．R D．8R答案C解析根據(jù)萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,R2)，有eq\f(1,4)F＝Geq\f(Mm,R＋h2)，則解得h＝R，選項(xiàng)C正確．3．火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為()A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g答案B解析在星球表面有mg＝eq\f(GMm,R2)，設(shè)火星表面的重力加速度為g火，則eq\f(g火,g)＝eq\f(M火R\o\al(2,地),M地R\o\al(2,火))＝0.4，故B正確．4．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d(礦井寬度很小)．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2答案A解析設(shè)地球的密度為ρ，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2).地球質(zhì)量可表示為M＝eq\f(4,3)πR3ρ.質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)物體的引力為零，礦井下以(R－d)為半徑的地球的質(zhì)量為M′＝eq\f(4,3)π(R－d)3ρ，解得M′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))3M，則礦井底部處的重力加速度g′＝eq\f(GM′,R－d2)，則礦井底部處的重力加速度和地球表面的重力加速度之比為eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，選項(xiàng)A正確．5．某未知星體的質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,4)，直徑是地球直徑的eq\f(1,4)，則一個(gè)質(zhì)量為m的人在未知星體表面受到的引力F星和地球表面所受引力F地的比值eq\f(F星,F地)為()A．16B．4C.eq\f(1,16)D.eq\f(1,4)答案B解析根據(jù)萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,R2)∝eq\f(M,R2)故eq\f(F星,F地)＝eq\f(M星,M地)·eq\f(R\o\al(2,地),R\o\al(2,星))＝eq\f(1,4)×(eq\f(4,1))2＝4，B項(xiàng)正確．6．若太陽(yáng)系八大行星公轉(zhuǎn)軌道可近似看做圓軌道，地球與太陽(yáng)之間的平均距離約為1.5億千米，結(jié)合下表可知，火星與太陽(yáng)之間的平均距離約為()水星金星地球火星木星土星公轉(zhuǎn)周期(年)0.2410.61511.8811.8629.5A.1.2億千米 B．2.3億千米C．4.6億千米 D．6.9億千米答案B解析由表中數(shù)據(jù)知T地＝1年，T火＝1.88年，由eq\f(r\o\al(3,地),T\o\al(2,地))＝eq\f(r\o\al(3,火),T\o\al(2,火))得，r火＝eq\r(3,\f(T\o\al(2,火)r\o\al(3,地),T\o\al(2,地)))≈2.3億千米，故B正確．7．據(jù)報(bào)道，最近在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個(gè)在地球表面重量為600N的人在這個(gè)行星表面的重量將變成960N，由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為()A．0.5B．2C．3.2D．4答案B解析若地球質(zhì)量為M0，則“宜居”行星質(zhì)量為M＝6.4M0，設(shè)地球半徑為r0，行星半徑為r，由mg＝Geq\f(Mm,r2)得eq\f(mg,mg′)＝eq\f(M0,r\o\al(2,0))·eq\f(r2,M)＝eq\f(600,960)，所以eq\f(r,r0)＝eq\r(\f(600M,960M0))＝eq\r(\f(600×6.4M0,960M0))＝2，選項(xiàng)B正確．

8.某行星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)行，如圖2所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，若行星運(yùn)動(dòng)周期為T，則該行星()圖2A．從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間B．從d經(jīng)a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間C．從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tab<eq\f(T,4)D．從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tcd>eq\f(T,4)答案CD解析根據(jù)開普勒第二定律知行星在近日點(diǎn)速度大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度?。行怯蒩到b運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速度大于由c到d運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速度，而弧長(zhǎng)ab等于弧長(zhǎng)cd，故A錯(cuò)誤；同理可知B錯(cuò)誤；在整個(gè)橢圓軌道上tab＝tad<eq\f(T,4)，tcd＝tcb>eq\f(T,4)，故C、D正確．9．如圖3所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，下列說法正確的是()圖3A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為eq\f(GMm,r－R2)B．一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)D．三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)答案BC解析地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力等于一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力，由萬有引力定律得其大小為eq\f(GMm,r2)，故A錯(cuò)誤，B正確；任意兩顆衛(wèi)星之間的距離L＝eq\r(3)r，則兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)，C正確；三顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小相等且三個(gè)引力互成120°，其合力為0，故D錯(cuò)誤．二、非選擇題10．火星半徑為地球半徑的一半，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9).一位宇航員連同宇航服在地球上的